intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

Chia sẻ: Dung Chich Dung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

647
lượt xem
97
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập minh họa Toán cực trị trong không gian tọa độ

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

  1. BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) x = 1 − t  Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) :  y = −2 + t . Viết phương trình mặt z = 2 t  p phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. Lời giải tham khảo. Cách 1: Phương pháp hình học. Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình ∧ chiếu của M trên d. ta có : MAK = α = (d, Oy) .Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∧ MK MH (P) thì MAH = β = (d ' , P) = (Oy, P) . Như thế : sin α = ; sin β = .Trong tam giác AM AM vuông MHK thì MH ≤ MK ⇒ sin β ≤ sin α ⇒ max β = α khi H ≡ K . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm vuông góc với MK tại K. → Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương j = (0;1;0) ; nên nếu d’ qua A x = 1  và song song với Oy thì d’ có phương trình là  y = −2 + t . Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình z = 0  5 11 1 → 1 5 2 chiếu vuông góc của M trên d là K ( ;− ; ) ⇒ MK = (− ;− ; ) . Chọn véctơ pháp tuyến 6 6 3 6 6 6) → của (P) là n = (1;5;−2) 5 11 1 Phưong trình mặt phẳng (P): 1( x − ) + 5( y + ) − 2(z − ) = 0 6 6 3 Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. ( Lấy M(1;-2;0) ∈ d ; N(0;-1;2) ∈ d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ) D = − A + 2 B  A−B Do M và N thuộc (P) nên:  A−B ⇒ (P) : Ax + By + z + 2B − A = 0 . C= 2  2 → A−B → Ta có VTPT của (P) là n = (A; B; ) và VTCP của Oy là j (0;1;0) . 2 → → n . j B 2B Gọi α = (P, Oy) thì sin α = = = → →  A − B 2 5A 2 + 5B 2 − 2AB n . j A +B + 2 2   2  +Nếu B=0 thì sin α = 0 ⇒ α = 00. 2 2 A sin α = = (x = ) +Nếu B ≠ 0 thì A 2 A 5x − 2 x + 5 2 B 5  + 5 − 2  B B
  2. 4 Xét hàm số f ( x ) = sin α = 2 . 5x − 2 x + 5 2 4(−10 x + 2) 1 5 1 f ' (x) = ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = . Ta được Maxf(x)= khi x = (5x − 2 x + 5) 2 2 5 6 5 A 1 Vậy α lớn nhất khi = . Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9. B 5 Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0. Vĩnh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn **************************************************************************** Chú ý: 2 2 2 sin α = = ≤ 1/ Có thể viết 2 1 24  1 2 24 24 5( x 2 − x+ )+ 5 x −  + 5 25 5  5 5 5 2 5 1 Do đó max(sin α ) = khi x = . 24 5 2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. BÀI TOÁN 5 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) x +1 Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: = y + 1 = z − 3 và mặt phẳng 2 (P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học: Gọi d’= (P) ∩ (Q) và A=d ∩ (P) thì A ∈ d’.Lấy K ∈ d,kẻ KH ⊥ (P) và HI ⊥ d’thì : ∧ KH KIH = (P, Q) = α . Trong tam giác vuông KIH : tan α = HI , do KH không đổi nên: tan α nhỏ nhất ⇔ HI lớn nhất ⇔ I ≡ A (do HI ≤ HA) . Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P). Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’. → → VTCP của d là u = (2;1;1) ; VTPT của (P) là n (1;2;−1) suy ra VTCP của d’ là P →    → → → u ' =  u , n P  = (−3;3;3) hay u ' = (1;−1;−1) . Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:   →  ←  →  → n Q =  u , u '  = (0;3;−3) hay n Q = (0;1;−1) .   Điểm M(-1;-1;3) ∈ d ⇒ M ∈ (Q). Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
  3. y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) C = −2A − B M(-1;-1;3) ∈ d ; N(1;0;4) ∈ d ⇒ M;N ∈ (Q) Ta được:  D = 7 A + 4 B → Do đó (Q): Ax + By + (−2A − B)z + 7 A + 4B = 0 . VTPT của (Q) là n Q = (A; B;−2A − B) . → Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là : n = (1;2;−1) .Gọi α là góc giữa (P) và (Q) thì: P → → nP . nQ 3 A+B cos α = = . . → → 6 5A 2 + 2B 2 + 4AB nP . nQ Ta xét hai trường hợp của A. 3 B 3 Trường hợp 1: A=0. Ta được cos α = . = 6 2B 2 2 B 1+ 3 A Trường hợp 2: A ≠ 0 Ta có cos α = . 6 B B 2 5 + 2  + 4  A A 9 x 2 + 2x + 1 B Xét hàm số: f(x) = . (x= ;f ( x ) = cos 2 α) 6 2 x 2 + 4x + 5 A 9 6x + 6 f ' (x) = . f’(x) = 0 ⇔ x= -1. ( 6 2 x 2 + 4x + 5 ) 2 x - -1 + f’(x - 0 + f(x 3 ) 3 ) 4 0 4 3 3 π  π Vậy cos2 α < ⇒ cos α < ⇒α> ( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan 0; 2  ) 4 2 6   π Trường hợp (1) và (2) ⇒ min α = 6 Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 và D= 4. Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0. Hết Ghi Chú: 1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B ≠ 0 ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B ≠ 0 như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 ) 2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d. Trong các đường thẳng đi qua A và
  4. cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất Bài Toán 6 (Cực Trị Trong Không Gian Toạ Độ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng x = 1 − t  d :  y = −2 + t . Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường z = 2 t  thẳng (∆) có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất Bài giải đề nghị. Cách 1: Phương pháp hình học. Gọi (∆) là đường thẳng qua A và cắt d; (∆) và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d). Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên (∆) thì BK ⊥ (∆) . Vậy BK chính là khoảng cách từ B đến (∆) . * Trong tam giác vuông BKH thì BK ≥ BH nên BK ngắn nhất khi K ≡ H . Khi ấy (∆) đi qua hai điểm A và H. *Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤ BA nên BK lớn nhất khi K ≡ A . Khi ấy (∆) đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với BA. a) Trường hợp d(B, (∆) nhỏ nhất. Phương trình mp(P)= mp(A,d). → VTCP của d là a d = (−1;1;2) . Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và → AM = (0;−6;−2) .    →→ → Do đó VTPT của mp (P) là n =  a d , AM = (10;−2; 6) . Ta chọn n = (5;−1; 3) . →   Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 ⇔ 5x-y+3z-7 = 0. 5 68 146 Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được H(− ; ; ) . Như thế 7 35 35 véctơ chỉ 12 72 76 → → phương của (∆) là AH = (− ;− ; ) . Chon VTCP của (∆) là a = (15;18;−19) . 7 7 7 x −1 y − 4 z − 2 Ta đựoc phương trình của (∆) : = = 15 18 − 19 b) Trường hợp d(B, (∆) lớn nhất Trường hợp nầy thì (∆) nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA.
  5. → → Ta có AB = (−2;−2;2) ; VTPT của (P) là n = (5;−1;3) . Do đó VTCP của (∆) là: →    → → a =  AB, n  =(-4;16;12) . Chọn a = (−1;4;3) Ta được phương trình đường →   thẳng x −1 y − 4 z − 2 (∆) : = = −1 4 3 Cách 2: Phương pháp giải tích. → Gọi M = d ∩ (∆) thì M( 1-t;-2+t;2t) và (∆) có VTCP là AM = (− t; t − 6;2t − 2) . → Ta có: AB = (−2;−2;2) . Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng (∆) là:    → → AM, AB    56 t 2 − 304t + 416 28t 2 − 152 t + 208 d= = = → 6 t 2 − 20 t + 40 3t 2 − 10 t + 20 AM 28t 2 − 152 + 208 Xét hàm số f ( t ) = d 2 = . 3t 2 − 10 t + 20 16(11t 2 − 8t − 60) Ta có f ' (t ) = . f(t)= 0 ⇔ t = -2 hoặc t= 30/11. (3t 2 − 10t + 20) 2 30 4 28 Do f (−2) = 12 f ( ) = ; lim f ( t ) = nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 11 15 x →± ∞ 3 4/5 khi= 30/11. → Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d= 12 khi t=-2 cho AM = (2;−8;−6) . Chọn VTCP → x −1 y−4 z−2 của (∆) là a = (1;−4;−3) ta được phương trình (∆) : = = 1 −4 −3 2 30 →  30 36 38  Với min f(t)= mind2=4/15 , ta có min d= khi t = cho AM =  − ;− ;  15 11  11 11 11  → Chọn VTCP của (∆) là a = (15;18;−19) . Ta được phương trình của (∆) là: x −1 y − 4 z − 2 = = 15 18 − 19 Hết
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2