intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế - ThS. Trần Thị Tuấn Anh

Chia sẻ: Nguyễn Văn Berybr | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST
Báo xấu
1.050
lượt xem 111
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế gồm 2 phần: ứng dụng cực trị hàm một biến và ứng dụng cực trị hàm nhiều biến. Tài liệu đưa ra các dạng toán thường gặp và phương pháp giải từng dạng để sinh viên biết cách tính mỗi khi gặp các trường hợp tương tự, phần cuối là bài tập. Đây là tài liệu học tập dành cho sinh viên chuyên ngành Kinh tế, Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế - ThS. Trần Thị Tuấn Anh

  1. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -1- BÀI TOÁN NG D NG C C TR TRONG KINH T Ph n 1 : ng d ng c c tr hàm m t bi n I. Bài toán tìm s n lư ng ñ doanh nghi p ñ c quy n có l i nhu n cao nh t Gi s m t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i hàng, bi t hàm c u c a doanh nghi p ñ i v i m t hàng ñó là QD = D (P) Hàm t ng chi phí C = C (Q) Trong ñó : • QD : Lư ng c u v hàng hoá c a doanh nghi p (Quantity Demand) • P : Giá bán c a hàng hoá (Price) • C : Chi phí c a doanh nghi p (Cost) • Q : S n lư ng s n ph m ñư c s n xu t trong m t ñơn v th i gian (Quantity) Hãy xác ñ nh m c s n lư ng mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c c ñ i Phương pháp gi i G i Q là m c s n lư ng mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c c ñ i ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì Q = QD => Q = D(P) (Q là hàm s theo bi n P) => P = P(Q) ( P là hàm s theo bi n Q) Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = P (Q).Q (Doanh thu là hàm s theo bi n Q) Chi phí C = C (Q) (Chi phí là hàm s theo bi n Q) L i nhu n π = R − C = P(Q ).Q − C (Q) (L i nhu n là hàm s theo bi n Q) Bài toán tr thành tìm Q ñ hàm π ñ t c c ñ i ( ðây là bài toán c c tr hàm m t bi n) 1 Ví d : Cho doanh nghi p ñ c quy n s n xu t m t lo i hàng v i QD = 656 − P 2 Hàm chi phí C (Q) = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100 Tìm m c s n lư ng Q ñ doanh nghi p có l i nhu n cao nh t Gi i : G i Q là m c s n lư ng c n tìm ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì
  2. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -2- 1 Q = Q( D ) = 656 − P 2 ⇒ P = 1312 − 2Q Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = (1312 − 2Q).Q = 1312Q − 2Q 2 Chi phí C = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100 L i nhu n π = R − C = −Q 3 + 75Q 2 + 312Q − 100 Bài toán tr thành tìm Q ñ hàm π ñ t c c ñ i ( ðây là bài toán c c tr hàm m t bi n) π ′ = −3Q 2 + 150Q + 312 π ′ = 0 ⇒ Q = 2 ∨ Q = 52 π ′′ = −6Q + 150 • T i ñi m nghi ng Q = 2 ⇒ π ′′ = −6.2 + 150 = 138 > 0 ⇒ π ñ t c c ti u t i Q = 2 (ðây không ph i là m c s n lư ng c n tìm) • T i ñi m nghi ng Q = 52 ⇒ π ′′ = −6.52 + 150 < 0 ⇒ π ñ t c c ñ i t i Q = 52 V y ñ có l i nhu n cao nh t, doanh nghi p ph i s n xu t m c s n lư ng Q = 52. II . Bài toán xác ñ nh m c thu ñ thu ñư c t ng thu t i ña Gi s m t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i hàng hóa bi t hàm c u c a doanh nghi p v lo i hàng trên là QD = D (P) và hàm t ng chi phí C = C (Q) Hãy xác ñ nh m c thu t ñ nh trên m t ñơn v s n ph m ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t. Phương pháp gi i G i t là m c thu ñ nh trên m t ñơn v s n ph m và Q là m c s n lư ng doanh nghi p s n xu t ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i. ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì Q = QD => Q = D(P) (Q là hàm s theo bi n P) => P = P(Q) ( P là hàm s theo bi n Q) Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = P (Q).Q (Doanh thu là hàm s theo bi n Q) Chi phí C = C (Q) T ng thu doanh nghi p ph i n p
  3. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -3- T = t.Q L i nhu n π = R − C − T = P(Q ).Q − C (Q) − t.Q Trư c h t tìm Q = Q(t ) ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i Sau ñó tìm m c thu t ñ t ng thu T = t.Q (t ) ñ t c c ñ i. Ví d Cho QD = 2000 − P C (Q) = Q 2 + 1000Q + 50 Hãy xác ñ nh m c thu t ñ nh trên m t ñơn v s n ph m ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t. Gi i G i t là m c thu ñ nh trên m t ñơn v s n ph m và Q là m c s n lư ng doanh nghi p s n xu t ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i. ð doanh nghi p tiêu th h t hàng thì Q = QD => Q = 2000 − P => P = 2000 − Q Doanh thu c a doanh nghi p R = P.Q = (2000 − Q ).Q = 2000Q − Q 2 Chi phí C = Q 2 + 1000Q + 50 T ng thu doanh nghi p ph i n p T = t.Q L i nhu n π = R − C − T = −2Q 2 + (1000 − t )Q − 50 Trư c h t tìm Q = Q(t ) ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i π ′ = −4Q + 1000 − t 1000 − t π′ = 0 ⇒ Q = 4 1000 − t Vì π ′′ = −4 < 0 nên Q= là m c s n lư ng doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c c 4 ñ i. Khi ñó 1000 − t T = t.Q = t. 4 1 T′ = (1000 − 2t ) 4
  4. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -4- 1000 T′ = 0 ⇒ t = = 500 2 1 T ′′ = − < 0 nên t ng thu T s ñ t c c ñ i t i t = 500 2 V y t = 500 chính là m c thu c n tìm ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t 1000 − 500 Khi ñó doanh nghi p s s n xu t v i m c s n lư ng Q= = 125 2 Lưu ý N u mu n doanh nghi p s n xu t 200 ñơn v s n ph m , thì ta xác ñ nh m c thu c n thu sao cho 1000 − t Q= = 200 4 ⇒ t = 1000 − 800 = 200 III . Bài toán xác ñ nh m c thu hàng nh p kh u Cho hàm cung và hàm c u cho s n xu t và tiêu dùng n i ñ a v m t m t hàng là QS = S ( P) QD = D( P) Gi s nhà nư c cho phép m t doanh nghi p ñ c quy n nh p kh u m t hàng trên, bi t r ng ñơn giá trên th trư ng qu c t c ng v i chi phí nh p kh u (chưa k thu ) cho m t ñơn v hàng là P0 Hãy tính m c thu nh p kh u t ñ nh trên m t ñơn v hàng nh p kh u ñ t ng thu nh p kh u thu ñư c là l n nh t. Phương pháp gi i : G i t (t > 0) là m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng nh p kh u Và Q là lư ng hàng doanh nghi p nh p kh u Khi ñó ñ tiêu th h t lư ng hàng nh p kh u thì Q = QD − QS (Chênh l ch c u và cung trong th trư ng n i ñ a, QD > QS ) ⇒ Q = D ( P ) − S ( P) ( S n lư ng là hàm s theo bi n P) Doanh thu R = P.Q = P[Q( P ) − S ( P)] (Doanh thu là hàm s theo bi n P) Chi phí C = P0 .Q = P0 .[D ( P) − S ( P )] T ng thu nh p kh u ph i n p T = t.Q = t [D( P) − S ( P)] L i nhu n π = R − C − T = [D ( P ) − S ( P)](P − P0 − t ) Trư c h t tìm P = P(t ) ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i Sau ñó tìm m c thu t ñ t ng thu T = t [D( P(t )) − S ( P(t ))] ñ t c c ñ i.
  5. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -5- Ví d Cho m t doanh nghi p ñ c quy n nh p kh u m t lo i hàng hóa bi t hàm cung và c u c a hàng hóa ñó trong th trư ng n i ñ a là QD = 4200 − P và QS = −200 + P Giá bán trên th trư ng qu c t + chi phí nh p kh u c a m t ñơn v hàng là P0 = 1600 Tìm m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng nh p kh u ñ thu ñư c nhi u thu nh p kh u nh t. Gi i G i t là m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng nh p kh u Và Q là lư ng hàng c n ph i nh p kh u ð tiêu th h t hàng nh p kh u thì Q = QD − QS = (4200 − P) − (−200 + P) = 4400 − 2 P Doanh thu R = P.Q = P(4400 − 2 P) Chi phí C = P0 .Q = 1600(4400 − 2 P ) T ng thu nh p kh u ph i n p T = t.Q = t (4400 − 2 P) L i nhu n π = R − C − T = (4400 − 2 P)(P − 1600 − t ) π ′ = −2( P − 1600 − t ) + (4400 − 2 P) = 7600 + 2t − 4 P π ′ = 0 ⇒ 7600 + 2t − 4 P = 0 t ⇒ P = 1900 + 2 t π ′′ = −4 < 0 nên π ñ t l i nhu n c c ñ i t i m c giá P = 1900 + 2 Khi ñó t ng thu  t  T = t.Q = t (4400 − 2 P) = t 4400 − 2(1900 + ) = t (600 − t )  2  T ′ = 600 − 2t T ′ = 0 ⇒ t = 300 T ′′ = −2 => hàm T ñ t c c ñ i t i m c thu t = 300 300 Giá bán trên th trư ng n i ñ a lúc ñó s là P = 1900 + = 2050 2 Lưu ý N u mu n b o tr cho hàng s n xu t n i ñ a, nhà nư c ph i ñánh thu sao cho giá bán không ñư c th p quá. Ví d mu n giá bán t i th trư ng n i ñ a không dư i 2100 thì m c thu nh p kh u là t sao
  6. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -6- 1 cho P = 1900 + t ≥ 2100 ⇒ t ≥ 400 , nghĩa là m c thu nh p kh u t i thi u là 400 trên m t 2 ñơn v hàng nh p kh u. IV . Bài toán xác ñ nh m c thu xu t kh u Cho hàm cung và hàm c u cho s n xu t và tiêu dùng n i ñ a v m t m t hàng là QS = S ( P) QD = D( P) Gi s nhà nư c cho phép m t doanh nghi p ñ c quy n xu t kh u m t hàng trên, bi t r ng ñơn giá trên th trư ng qu c t tr ñi chi phí xu t kh u (chưa k thu ) cho m t ñơn v hàng là P0 Hãy tính m c thu xu t kh u t ñ nh trên m t ñơn v hàng xu t kh u ñ t ng thu xu t kh u thu ñư c là l n nh t. Phương pháp gi i : G i t (t > 0) là m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng xu t kh u Và Q là lư ng hàng doanh nghi p xu t kh u Khi ñó lư ng hàng có th xu t kh u là Q = QS − QD (Chênh l ch c u và cung trong th trư ng n i ñ a, QS > QD ) ⇒ Q = S ( P) − D ( P) ( S n lư ng là hàm s theo bi n P) Doanh thu R = P0 .Q = P0 [S ( P) − D( P)] (Doanh thu là hàm s theo bi n P) Chi phí C = P.Q = P.[S ( P) − D( P)] T ng thu nh p kh u ph i n p T = t.Q = t [S ( P) − D ( P)] L i nhu n π = R − C − T = [S ( P) − D ( P)](P0 − P − t ) Trư c h t tìm P = P(t ) ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i Sau ñó tìm m c thu t ñ t ng thu T = t [S ( P(t )) − D ( P (t ))] ñ t c c ñ i. Ví d Cho m t doanh nghi p ñ c quy n nh p kh u m t lo i hàng hóa bi t hàm cung và c u c a hàng hóa ñó trong th trư ng n i ñ a là QD = 4200 − P và QS = −200 + P Giá bán trên th trư ng qu c t (không bao g m chi phí xu t kh u c a m t ñơn v hàng) là P0 = 3200 Tìm m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng xu t kh u ñ thu ñư c nhi u thu xu t kh u nh t. Gi i G i t là m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng xu t kh u Và Q là lư ng hàng xu t kh u
  7. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -7- P là giá doanh nghi p thu mua m t hàng ñó ñ xu t kh u Khi ñó lư ng hàng có th xu t kh u là Q = QS − QD = −200 + P − (4200 − P ) = 2 P − 4400 Doanh thu R = P0 .Q = P0 (2 P − 4400) = 3200(2 P − 4400) Chi phí C = P.Q = P (2 P − 4400) T ng thu nh p kh u ph i n p T = t.Q = t (2 P − 4400) L i nhu n π = R − C − T = (2 P − 4400)(3200 − P − t ) π ′ = 2(3200 − P − t ) − (2 P − 4400) = 10800 − 2t − 4 P π ′ = 0 ⇒ 10800 − 2t − 4 P = 0 t ⇒ P = 2700 − 2 t π ′′ = −4 < 0 nên π ñ t l i nhu n c c ñ i t i m c giá P = 2700 − 2 Khi ñó t ng thu  t  T = t.Q = t (2 P − 4400) = t 2(2700 − ) − 4400 = t (1000 − t )  2  T ′ = 100 − 2t T ′ = 0 ⇒ t = 500 T ′′ = −2 => hàm T ñ t c c ñ i t i m c thu t = 500 500 Giá bán trên th trư ng n i ñ a lúc ñó s là P = 2700 − = 2450 2 Lưu ý N u ta mu n giá tiêu dùng t i th trư ng trong nư c không vư t quá 2400 thì m c thu xu t kh u ph i là bao nhiêu? 1 G i m c thu là t thì ta có giá tiêu dùng t i th trư ng n i ñ a là P = 2700 − t ≤ 2400 ⇒ t ≥ 600 , 2 nghĩa là m c thu xu t kh u t i thi u là 600 trên m t s n ph m. Ph n 2 : ng d ng c c tr hàm nhi u bi n I. Bài toán t i ña hóa l i nhu n cho doanh nghi p s n xu t nhi u m t hàng trong ñi u ki n c nh tranh hoàn h o
  8. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -8- Gi s doanh nghi p s n xu t n lo i hàng hóa bán trong ñi u ki n c nh tranh hoàn h o v i các m c giá P , P2 ,..., Pn . 1 Hàm chi phí C = C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) v i Qi (i = 1, n) là m c s n lư ng th i mà doanh nghi p s n xu t . Tìm các m c s n lư ng Q1 , Q2 ,..., Qn mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c c ñ i. Phương pháp gi i G i Q1 , Q2 ,..., Qn là các m c s n lư ng c n tìm Doanh thu n R = P Q1 + P2Q2 + ... + PnQn = ∑ Pi Qi 1 i =1 Chi phí C = C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) L i nhu n n π = R − C = ∑ PiQi − C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) i =1 Bài toán tr thành tìm Q1 , Q2 ,..., Qn ñ hàm π ñ t c c ñ i. Ví d Cho doanh nghi p s n xu t 2 m t hàng trong ñi u ki n c nh tranh hoàn h o v i giá P = 60; P2 = 75 . Hàm chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q2 . Tìm các m c s n lư ng Q1 ,Q2 doanh 1 2 nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n ñ t c c ñ i. Gi i : G i Q1 ,Q2 là các m c s n lư ng c n tìm Doanh thu : R = P Q1 + P2Q2 = 60Q1 + 75Q2 1 Chi phí : C = Q12 + Q1Q2 + Q22 L i nhu n ; π = R − C = 60Q1 + 75Q2 − Q12 − Q1Q2 − Q22 ði m d ng là nghi m c a h :  ∂π  ∂Q = 0  1 60 − 2Q1 − Q2 = 0 Q1 = 15  ∂π ⇒ ⇒  =0 75 − Q1 − 2Q2 = 0 Q2 = 30  ∂Q2  Xét các ñ o hàm riêng c p hai
  9. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM -9- ∂ 2π = −2 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −1 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π = −2 ∂Q2 2 − 2 − 1 Khi ñó ma tr n Hesse H =   − 1 − 2 H 1 = −2 < 0 − 2 −1 H2 = =3>0 −1 − 2 Q1= 15 Vì (−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñ t c c ñ i t i m c s n lư ng Q2 = 30 V y doanh nghi p có l i nhu n c c ñ i n u s n xu t 15 ñơn v hàng hoá th nh t và 30 ñơn v hàng hóa th 2. II . Bài toán t i ña hoá l i nhu n cho doanh nghi p s n xu t nhi u m t hàng trong ñi u ki n ñ c quy n Cho m t doanh nghi p ñ c quy n s n xu t và kinh doanh n lo i hàng hóa, bi t hàm c u c a các hàng hóa trên là QDi = Di ( P , P2 ,..., Pn ) v i 1 i = 1, n Trong ñó . • QDi : lư ng c u c a hàng hoá th i. • P , P2 ,..., Pn : Giá bán c a n lo i hàng hóa. 1 • Q1 , Q2 ,..., Qn : S n lư ng c a n lo i hàng hóa. Hàm t ng chi phí là C = C (Q1 , Q2 ,..., Q2 ) Tìm m c s n lư ng Q1 , Q2 ,..., Qn mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n ñ t c c ñ i. Phương pháp gi i G i Q1 , Q2 ,..., Qn là các m c s n lư ng c n tìm ð doanh nghi p bán h t hàng thì Q1 = QD1 Q1 = D1 ( P , P2 ,..., Pn ) 1  P = P (Q1 , Q2 ,..., Qn ) 1 1  Q = D ( P , P ,..., P )  P = P (Q , Q ,..., Q ) Q2 = QD2  2  2 ⇒ ⇒ 2 1 2 n 2 1 2 n  ... ... ... Q = .Q Qn = Dn ( P , P2 ,..., Pn )   Pn = Pn (Q1 , Q2 ,..., Qn )   n Dn 1 Doanh thu
  10. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM - 10 - n n R = Q1 P + Q2 P2 + ... + Qn Pn = ∑ Qi Pi = ∑ Qi .Pi (Q1 , Q2 ,..., Qn ) 1 i =1 i =1 Chi phí C = C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) L i nhu n n π = R − C = ∑ Qi .Pi (Q1 , Q2 ,..., Qn ) − C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) i =1 Bài toán tr thành tìm Q1 , Q2 ,..., Qn ñ hàm π ñ t c c ñ i. Ví d : Cho m t doanh nghi p ñ c quy n s n xu t và kinh doanh 2 lo i hàng , bi t hàm c u c a 2 c a 2 lo i hàng hóa ñó như sau : QD1 = 40 − 2 P + P2 1 QD2 = 15 + P − P2 1 Hàm chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q2 2 Tìm các m c s n lư ng t ng lo i hàng mà doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n c a doanh nghi p ñ t c c ñ i. Gi i : G i Q1 ,Q2 là các m c s n lư ng c n tìm ð doanh nghi p tiêu th h t hàng Q1 = QD1  Q1 = 40 − 2 P + P2  P = 55 − Q1 − Q2 ⇒ ⇒ 1 1  Q2 = QD2  Q2 = 15 + P − P2 1  P2 = 70 − Q1 − 2Q2 Doanh thu R = Q1P + Q2 P2 = Q1 (55 − Q1 − Q2 ) + Q2 (70 − Q1 − 2Q2 ) 1 ⇒ R = −Q12 − 2Q2 − 2Q1Q2 + 55Q1 + 70Q2 2 Chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q2 2 L i nhu n π = R − C = 55Q1 + 70Q2 − 2Q12 − 3Q1Q2 − 3Q22 Bài toán tr thành tìm Q1 ,Q2 ñ hàm π ñ t c c ñ i ði m d ng là nghi m c a h :  ∂π  ∂Q = 0  1  55 − 4Q1 − 3Q 2 = 0 Q1 = 8   ∂π ⇒  ⇒  23  =0  70 − 3Q1 − 6 Q 2 = 0 Q 2 = 3  ∂Q2    Xét các ñ o hàm riêng c p hai
  11. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM - 11 - ∂ 2π = −4 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −3 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π = −6 ∂Q2 2  − 4 − 3 Khi ñó ma tr n Hesse H =   − 3 − 6 H 1 = −4 < 0 −4 −3 H2 = = 15 > 0 −3 −6 Q1 = 8  Vì ( −1) H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñ t c c ñ i t i m c s n lư ng  k 23 Q2 = 3  V y doanh nghi p có l i nhu n c c ñ i n u s n xu t 8 ñơn v hàng hoá th nh t và 23 ñơn v hàng 3 hóa th 2. III . Bài toán t i ña hóa l i nhu n cho doanh nghi p s n xu t m t m t hàng nhưng bán trên nhi u th trư ng M t công ty s n xu t ñ c quy n m t lo i s n ph m và tiêu th trên n th trư ng tách bi t. Gi s hàm c u trên n th trư ng như sau QD1 = D1 ( P ) 1 QD2 = D2 ( P2 ) ... QDn = Dn ( Pn ) Hàm t ng chi phí : C = C (Q) v i Q = Q1 + Q2 + ... + Qn Trong ñó : • Q là t ng s n lư ng c a doanh nghi p. • Qi là lư ng hàng phân ph i trên th trư ng th i (∀i = 1, n) Tìm lư ng hàng phân ph i trên t ng th trư ng ñ doanh nghi p ñ t l i nhu n c c ñ i Phương pháp gi i : G i Q1 , Q2 ,..., Qn là lư ng hàng phân ph i trên t ng th trư ng c n tìm ð doanh nghi p bán h t hàng thì
  12. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM - 12 - Q1 = QD1 Q1 = D1 ( P ) 1  P = P (Q1 ) 1 1  Q = D ( P )  P = P (Q ) Q2 = QD2  2  2 ⇒ ⇒ 2 2 2 2  ... ... ... Q = .Q Qn = Dn ( Pn )   Pn = Pn (Qn )   n Dn Doanh thu n n R = Q1P + Q2 P2 + ... + Qn Pn = ∑ Qi Pi = ∑ Qi .Pi (Qi ) 1 i =1 i =1 Chi phí C = C (Q ) = C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) vì Q = Q1 + Q2 + ... + Qn L i nhu n n π = R − C = ∑ Qi .Pi (Qi ) − C (Q1 , Q2 ,..., Qn ) i =1 Bài toán tr thành tìm Q1 , Q2 ,..., Qn ñ hàm π ñ t c c ñ i. Ví d Cho m t doanh nghi p ñ c quy n s n xu t và kinh doanh m t lo i hàng hóa bán trên 3 th trư ng tách bi t v i các hàm c u QD1 = 840 − 2 P1 QD2 = 1230 − 3P2 Hàm chi phí C = 20 + 150Q + Q 2 v i Q =Q1 +Q2 Tìm lư ng hàng phân ph i trên t ng th trư ng ñ l i nhu n c c ñ i. Gi i : G i Q1 ,Q2 là lư ng hàng phân ph i trên t ng th trư ng c n tìm ð doanh nghi p bán h t hàng thì  Q1 Q1 = QD1  Q1 = 840 − 2 P  P = 420 − 2  1 ⇒ ⇒ 1  Q2 = QD2  Q2 = 1230 − 3P2  P = 410 − Q3  2  3 Doanh thu Q1 Q R = Q1 P + Q2 P2 = Q1 (420 − 1 ) + Q2 (410 − 3 ) 2 3 2 2 Q Q ⇒ R = 420Q1 − 1 + 410Q2 − 2 2 3 Chi phí C = 20 + 150Q + Q 2 = 20 + 150(Q1 + Q2 ) + (Q1 + Q2 ) 2 ⇒ C = 20 + 150Q1 + 150Q2 + Q12 + 2Q1Q2 + Q2 2 L i nhu n
  13. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM - 13 - 3 4 π = R − C = 270Q1 + 260Q2 − Q12 − Q22 − 2Q1Q2 − 20 2 3 Bài toán tr thành tìm Q1 ,Q2 ñ hàm π ñ t c c ñ i. ði m d ng là nghi m c a h :  ∂π  ∂Q = 0  1  270 − 3Q1 − 2Q2 = 0  Q1 = 50  ∂π ⇒ 8 ⇒  260 − Q2 − 2Q1 = 0 Q2 = 60 =0  3  ∂Q2  Xét các ñ o hàm riêng c p hai ∂ 2π = −3 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −2 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π 8 =− ∂Q2 2 3 − 3 − 2  Khi ñó ma tr n Hesse H = 8  − 2 − 3    H 1 = −3 < 0 −3 −2 H2 = =4>0 −2 − 8 3 Q1 = 50 Vì (−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñ t c c ñ i t i m c s n lư ng  Q2 = 60 V y doanh nghi p có l i nhu n c c ñ i n u s n xu t 50 ñơn v hàng hoá th nh t và 60 ñơn v hàng hóa th 2. Khi ñó t ng s n lư ng c a doanh nghi p s là Q = Q1 + Q2 = 50 + 60 = 110 Bài t p Bài 1. Cho doanh nghi p ñ c quy n s n xu t và kinh doanh m t lo i hàng bi t hàm c u c a lo i hàng ñó trên th 1 trư ng là QD = 656 − P . Hàm chi phí C = Q 3 − 77Q 2 + 1000Q + 100 2 Tìm m c s n lư ng doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n ñ t c c ñ i. Bài 2. Cho bi t hàm c u v m t lo i hàng hóa c a doanh nghi p ñ c quy n s n xu t và kinh doanh lo i hàng ñó là QD = 300 − P . Hàm chi phí s n xu t c a doanh nghi p là C = Q 3 − 19Q 2 + 333Q + 10 Tìm m c s n lư ng doanh nghi p c n s n xu t ñ có ñư c l i nhu n t i ña. Bài 3. Cho doanh nghi p ñ c quy n s n xu t và kinh doanh m t lo i hàng bi t hàm c u c a lo i hàng ñó trên th trư ng là QD = 2640 − P . Hàm chi phí C = Q 2 + 1000Q + 100 a. Hãy xác ñ nh m c thu t trên m t ñơn v s n ph m ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t
  14. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM - 14 - b. N u ta mu n doanh nghi p s n xu t ít nh t là 300 s n ph m thì ta có th ñ nh m c thu trên m t s n ph m t i ña là bao nhiêu? Tìm m c s n lư ng doanh nghi p c n s n xu t ñ l i nhu n ñ t c c ñ i. Bài 4. Bi t hàm cung và hàm c u v m t lo i hàng hóa th trư ng n i ñ a là Qs = −40 + P và QD = 420 − P M t công ty ñư c ñ c quy n nh p kh u lo i hàng hóa ñó v i giá nh p kh u(bao g m c chi phí nh p kh u) là P0 = 180 . Hãy xác ñ nh m c thu nh p kh u ñánh trên m t ñơn v s n ph m nh p kh u ñ thu ñư c c a doanh nghi p nhi u thu nh t. Bài 5. M t công ty ñ c quy n nh p m t lo i hàng, bi t hàm cung và hàm c u c a lo i hàng hóa trên th trư ng trong nư c là Qs = −20 + P và QD = 880 − P . Bi t giá bán lo i hàng này trên th trư ng qu c t là P0 = 250 Tìm m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng nh p ñ thu ñư c c a công ty nhi u thu nh t. Bài 6. M t công ty ñư c ñ c quy n xu t kh u m t m t hàng bi t hàm cung và hàm c u t i th trư ng n i ñ a là Qs = −20 + P và QD = 400 − P . Giá bán trên th trư ng qu c t là P0 = 310 Tìm m c thu ñ nh trên m t ñơn v hàng xu t kh u ñ thu ñư c c a công ty nhi u thu nh t. Bài 7. M t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n hai lo i s n ph m. Bi t hàm c u c a hai lo i hàng trên là QD1 = 400 − 2 P + P2 1 QD2 = 480 + P − P2 1 Hàm t ng chi phí C = 160Q1 + 240Q2 + 150 a. Tìm m c s n lư ng c a m i lo i s n ph m ñ doanh nghi p có l i nhu n t i ña Bài 8. M t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n hai lo i s n ph m. Bi t hàm c u c a hai lo i hàng trên là QD1 = 800 − 2 P + P2 1 QD2 = 960 + P − P2 1 Hàm t ng chi phí C = 320Q1 + 480Q2 + 150 Tìm m c s n lư ng c a m i lo i s n ph m ñ doanh nghi p có l i nhu n t i ña Bài 9. M t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i s n ph m và tiêu th trên hai th trư ng tách bi t. Bi t hàm c u 1 trên hai th trư ng là QD1 = 470 − P và QD2 = 620 − P2 1 2 Hàm t ng chi phí C = Q 2 + 60Q + 20 Tìm lư ng hàng phân ph i cho t ng th trư ng ñ doanh nghi p có l i nhu n t i ña. T ñó suy ra t ng s n lư ng c a doanh nghi p. Bài 10. M t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i s n ph m và tiêu th trên hai th trư ng tách bi t. Bi t hàm c u 1 trên hai th trư ng là QD1 = 310 − P và QD2 = 235 − P2 1 2 Hàm t ng chi phí C = Q 2 + 30 Q + 20 Tìm lư ng hàng phân ph i cho t ng th trư ng ñ doanh nghi p có l i nhu n t i ña. T ñó suy ra t ng s n lư ng c a doanh nghi p.
  15. GV: Ths Tr n Th Tu n Anh – Trư ng ð i h c Kinh t TPHCM - 15 - Bài 11. M t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n m t lo i s n ph m và tiêu th trên ba th trư ng tách bi t. Bi t hàm c u 1 trên t ng th trư ng như sau QD1 = 30 − P1 3 1 QD2 = 57,5 − P2 4 1 QD3 = 54 − P3 5 a. Tìm lư ng hàng cung c p cho t ng th trư ng ñ doanh nghi p có l i nhu n t i ña bi t hàm t ng chi phí c a doanh nghi p là C = 15 − 30Q b. Tìm lư ng hàng cung c p cho t ng th trư ng ñ doanh nghi p có l i nhu n t i ña bi t hàm t ng chi phí c a doanh nghi p là C = Q 2 + 30Q + 15 Bài 12. M t doanh nghi p s n xu t ñ c quy n hai lo i s n ph m. Bi t hàm c u c a hai lo i hàng trên là 1 QD1 = (290 − 3P + 2 P2 ) 1 7 1 QD2 = (650 − 3P2 + P ) 1 7 a. Tìm m c s n lư ng c a m i lo i s n ph m mà doanh nghi p c n s n xu t ñ có l i nhu n t i ña bi t hàm t ng chi phí c a doanh nghi p là C = Q12 + Q1Q2 + Q2 2 b. V n h i như trên n u thu su t ñ nh trên m i s n ph m c a lo i hàng th nh t là t1 = 26 và trên lo i hàng th 2 là t2 = 24 . Hàm chi phí s n xu t là C = Q + Q1Q2 + Q 1 2 2 2 500 Bài 13. Cho bi t hàm t ng chi phí ñ s n xu t m t lo i s n ph m là C (q ) = q 2 + 2000q + q a. Tìm chi phí biên t b. Xác ñ nh q ñ chi phí trung bình nh nh t. So sánh chi phí biên t và chi phí trung bình t i ñi m trên.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2