CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO

Chia sẻ: Le Thuy Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

313
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho cơ cấu không gian nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng các chương trình tính toán số đang được...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO

CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho cơ cấu không gian nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như Maple, Mathematica. Các điều kiện cân bằng hoàn toàn lực quán tính của cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do được trình bày trong một thí dụ áp dụng. Summary: This paper presents a method for deriving the static balancing conditions of spatial mechanisms with multi - degree - of - freedom. The method has advantage of being suitable for the applications of the widely accessible computer algebra systems such as Maple, Mathematica. In the example, the static balancing conditions for complete shaking force of a spatial four - degree - of - freedom parallel mechanism are given. CT 2 I. MỞ ĐẦU Cân bằng khối lượng của cơ cấu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu véctơ lực quán tính chính và véctơ mômen lực quán tính chính của các khâu động của cơ cấu. Bài toán cân bằng khối lượng của các cơ cấu máy đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, nhiều công trình nghiên cứu cân bằng khối lượng của cơ cấu được công bố trên nhiều tạp chí chuyên khảo. Một đánh giá tổng quan các nghiên cứu về cân bằng khối lượng cơ cấu được trình bày trong công trình [1, 2, 3, 6] và nhiều công trình khác. Các kết quả cân bằng lực quán tính các cơ cấu chấp hành song song ba, bốn và sáu bậc tự do bằng cách thêm vào các khối lượng phụ trên các khâu đã được đăng tải trong các công trình [4, 5]. Các tay máy song song không gian ngày càng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực cơ khí. Do đó sự cân bằng khối lượng cơ cấu hoặc tay máy song song không gian trở thành một nhiệm vụ quan trọng. Trong bài báo này thiết lập một dạng các điều kiện cân bằng của các cơ cấu không gian dựa trên khái niệm véctơ hàm các toạ độ suy rộng dư [3]. II. CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG HỆ LỰC QUÁN TÍNH CỦA CƠ CẤU KHÔNG GIAN Xét hệ nhiều vật không gian gồm p khâu, được dẫn động quay. Sử dụng các hệ toạ độ suy T rộng q1, q2, …, qq . Véctơ các toạ độ suy rộng có dạng: q = ⎡q1 ,q 2 ,...,q p ⎤ (2.1) ⎣ ⎦
r p dp r r Biểu thức cân bằng lực quán tính theo [6]: F* = −∑ mi a i = 0 ⇒ ∑ mi vi = 0 (2.2) dt i=1 i=1 p ∑m v Do là điều kiện đủ, từ (2.2) có thể suy ra: (2.3) =0 i i i=1 p p p ∑m x = 0, ∑ m i ySi = 0, ∑ m i zSi = 0 Viết lại (2.3) dưới dạng: (2.4) & & & i Si i=1 i=1 i=1 Việc biểu diễn vị trí ( rSi ), vận tốc ( vSi ) của khối tâm Si của khâu thứ i của một cơ cấu dưới dạng giải tích tường minh rất khó thực hiện. Để biến đổi các điều kiện cân bằng dạng vi phân về dạng đại số, ta cần sử dụng số toạ độ suy rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ. Sử dụng ma trận côsin chỉ hướng để xác định vị trí khối tâm Si của khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố định theo hệ thức: rSi = rOi + Ai rS(i ) (2.5) trong đó rOi là véctơ toạ độ của điểm gốc Oi i của hệ toạ độ động {Oi ξ i ηi ζ i } gắn liền với khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố định {Oxyz} và rS(i ) i là véctơ toạ độ của điểm Si trên hệ toạ độ động {Oi ξ i ηi ζ i } như trên hình 2.1. A i là ma trận cosin chỉ hướng của khâu thứ i: T rS(i ) = ⎡ξ Si ζ Si ⎤ i (2.6) ηSi ⎣ ⎦ Chọn một véctơ hàm các toạ độ suy CT 2 rộng dư z = [ z1 ... z m ] T z2 bao gồm các phần tử là hàm của các toạ độ suy rộng dư, sao cho vị trí của khối tâm Si có thể biểu diễn dưới dạng: Hình 2.1. Định nghĩa hệ trục toạ độ không gian ySi = e* + b iT z , zSi = e* + ciT z , i = 1, 2,..., p x Si = e* + a iT z , (2.7) xi yi zi Véctơ ai , b i , ci có các thành phần không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q , các thành phần của véctơ z là các hàm của các toạ độ suy rộng, e* ,e* và e* là hằng số. xi yi zi Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.7), các phương trình liên kết của cơ cấu có thể viết dưới dạng ma trận: Dz + f * = 0 , D = [ DI DII ] (2.8) Các ma trận D và f * chỉ gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q . Phân véctơ z thành hai nhóm: z = [ v w ] (2.9) với v là véctơ T hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.7) có thể viết lại dưới dạng: x Si = e* + aiI v + aiII w , ySi = e* + b iI v + b iII w , zSi = e* + ciI v + ciII w , i = 1, 2,..., p (2.10) T T T T T T xi xi xi ai = [aiI aiII ] , b i = [b iI biII ] , ci = [ciI ciII ] T T T Trong đó: (2.11)
DI v + DII w + f * = 0 Phương trình liên kết (2.8) có thể viết lại dưới dạng: (2.12) Ma trận DII được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ w chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Từ (2.12) có thể biểu diễn véctơ ( ) − w = −DII1 f * + DI v w qua véctơ v như sau: (2.13) x Si = e xi + g iT v, ySi = e yi + h iT v, z Si = e zi + k iT v Thế (2.13) vào (2.10) ta được: (2.14) ∂v ∂v ∂v q = ( q1 ,q 2 ,...,q n ) Từ đó suy ra: (2.15) x′ i = g iT , y ′ i = h iT , z ′ i = k iT , S S S ∂q ∂q ∂q Trong đó g i , hi và k i có dạng: g iT = aiI − aiII D −1D I , h iT = b iI − b iII D−1DI , k iT = ciI − ciII D −1D I T T T T T T (2.16) II II II e xi = e* − aiII D−1f * , e yi = e* − b iII D −1f * , e zi = e* − ciII D−1f * T T T xi II yi II zi II Thế phương trình (2.15) vào các điều kiện cân bằng (2.4) thu được: ⎛p T ⎞ ∂v ⎛p ⎞ ∂v ⎛p ⎞ ∂v ⎜ ∑ mi g i ⎟ = 0, ⎜ ∑ mi hiT ⎟ = 0, ⎜ ∑ mi k iT ⎟ (2.17) =0 ∂q ∂q ⎠ ∂q ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 Để cho điều kiện (2.17) được thoả mãn với mọi giá trị của v thì: p p p ∑m g ∑m h ∑m k (2.18) T T T = 0, = 0, =0 i i i i i i CT 2 i=1 i=1 i=1 Các phương trình (2.18) chính là các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu dưới dạng đại số. Việc dẫn ra các phần tử của g i , hi và k i là tương đối phức tạp về mặt toán học, thí dụ trong mục 3 sẽ cho thấy phương pháp này rất phù hợp với hệ chương trình như Maple. III. CÂN BẰNG CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN BỐN BẬC TỰ DO Xét cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay như hình 3.1. Cơ cấu gồm 5 chân liên kết bệ máy với bàn máy động, trong đó 4 chân được dẫn động. Mỗi chân nối với bàn máy cố định bằng một khớp bản lề và nối với bàn máy động bằng một khớp cầu. Chân 5 không được dẫn động và chỉ gồm một khâu, bốn chân được dẫn động đều gồm có 2 khâu, nối với nhau bằng khớp các - đăng. Để mô tả vị trí khối tâm của mỗi khâu, trên mỗi khâu định nghĩa một toạ độ tham chiếu. Hệ trục toạ độ cố định Oxyz với trục z hướng lên trên và gốc toạ độ O được đặt tại tâm của khớp bản lề của chân thứ 5 như trên hình 3.2. Hệ toạ độ di động O′x ′y′z′ được gán với bàn máy động tại điểm O′ thuộc bàn máy động. Toạ độ đề - các của bàn máy động được xác định qua vị trí của gốc O' so với hệ toạ độ cố định Oxyz và được ký hiệu là p = [ x, y, z ] , hướng của bàn máy động (hướng của hệ toạ độ T
động O′x ′y′z′ với hệ toạ độ cố định) được xác định qua ma trận quay Q . Các phần tử của ma trận quay là các hàm của các góc Euler, các bất biến bậc hai, bất biến tuyến tính hoặc các thành phần khác. Toạ độ các điểm nối Pi trong hệ toạ độ động của bàn máy động được ( a i , bi ,ci ) với ký hiệu là i = 1,..,5 . Khi đó: Hình 3.1. Sơ đồ cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay pi = p5 + Q ( p′ − p′ ) , i = 1,.., 4 (3.1) i 5 trong đó pi là véctơ vị trí của các điểm Pi trong hệ toạ độ cố định Oxyz , p′ là véctơ vị trí của các điểm Pi i trong hệ toạ độ động O′x ′y′z′ : p i = [ x i y i z i ] , p′ = [ a i b i ci ] T T CT 2 (3.2) i Véctơ p 5 là vị trí của điểm P5 trong hệ toạ độ cố định như mô tả trên hình 3.2, được xác định theo: p5 = [ l5 cosα 0 l5 cosα ] T (3.3) Hình 3.2. Hệ toạ độ gắn với chân thứ 5 Giả thiết rằng vị trí khối tâm của chân thứ 5 nằm trên đường nối giữa O và P5 , khi đó có thể xác định véctơ vị trí khối tâm của chân thứ 5 theo hình 2 như sau: r5 = p5 ⎛ 5c ⎞ l (3.4) ⎜ ⎟ ⎝ l5 ⎠ Trong đó r5 là véctơ vị trí khối tâm, l5 là chiều dài của chân và l5c là chiều dài từ O tới khối tâm S5 . Hai khâu của chân thứ i của cơ cấu được mô tả như hình 3.3, hai hệ toạ độ tham chiếu Oi1ξ i1ηi1ζ i1 và Oi2 ξ i2 ηi2 ζ i2 lần lượt gắn với khâu động thứ nhất và thứ hai của chân thứ i. Hai gốc toạ độ Oi1 và Oi2 lần lượt được đặt tại tâm của hai khớp. Giả thiết rằng khối tâm Ci2 của khâu thứ 2 thuộc chân thứ i (i=1 ,.., 4) nằm trên đường nối Oi2 và Pi . Như hình 3.3, sử dụng các ký hiệu li2 = Oi2 Pi , ξ i2 = Oi2 Ci2 và gọi lCi = Ci2 Pi hay lCi = li2 − ξ Ci2 . Các toạ độ của các điểm Pi trong hệ toạ độ động gắn với bàn máy di động, được ký hiệu là ( a i , bi ,ci ) với i = 1,.., 4 , và hướng của hệ toạ độ động O′x ′y′z′ đối với hệ toạ độ cố định Oxyz
được mô tả bằng ma trận quay Q . Điểm Oi1 được đặt tại tâm của khớp bản lề của chân thứ i. Toạ độ của điểm Oi1 biểu diễn trong hệ toạ độ cố định là ( x i0 , yi0 , z i0 ) , với i = 1,..., 4 . T Ta cũng dùng ký hiệu Ci1 và Ci2 lần lượt là vị trí khối tâm của của khâu dưới (khâu nối với bàn máy cố định) và khâu trên (khâu nối với bàn máy động) của chân thứ i. Gọi θi1 và θi2 lần lượt là các góc giữa khâu động thứ nhất và khâu động thứ hai của chân thứ i với trục z của hệ toạ độ cố định, γi là góc giữa Hình 3.3. Hệ toạ độ gắn với chân thứ i hướng dương của trục x của hệ toạ độ cố định với trục ζ i1 , và βi là góc giữa hướng dương của trục x của hệ toạ độ cố định với trục ξi 2 , trong đó giả thiết rằng véc tơ ζ i1 nằm trong mặt phẳng xy của hệ trục toạ độ cố định. Với các ký hiệu đó, có thể viết các ma trận cosin chỉ hướng: −sinβi ⎤ −sinγ i cosθ i1 ⎡cosβi sinθi2 cosβi cosθi2 ⎡ sinγ i sinθ i1 cosγ i ⎤ ⎥ , Q = ⎢ sinβ sinθ cosβi ⎥ Q i1 = ⎢ −cosγ i sinθ i1 (3.5) sinβi cosθi2 cosγ i cosθ i1 sinγ i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i2 i i2 ⎢ cosθi2 0⎥ ⎢ cosθ i1 0⎥ −sinθi2 sinθ i1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ CT 2 Đã giả thiết rằng, khối tâm của khâu thứ hai của chân thứ i nằm trên đường thẳng nối Oi2 Pi như mô tả trên hình 3.3. Khi đó có thể viết: pi1 = ri0 + Q i1l i1 , i = 1,.., 4 (3.6) Trong đó pi1 và ri 0 lần lượt là véctơ vị trí của các điểm Oi1 ,Oi2 đối với hệ toạ độ cố định (hình 3.3), li1 và li2 lần lượt là véctơ từ Oi1 tới Oi2 và từ Oi2 tới Pi trong hệ toạ độ khâu. ⎡ x i0 ⎤ ⎡ x i1 ⎤ ⎡li1 ⎤ ⎡li2 ⎤ ⎢ y ⎥ , p = ⎢ y ⎥ , l = ⎢ 0 ⎥ , l = ⎢ 0 ⎥ , i = 1,..., 4 (3.7) ri0 = ⎢ i0 ⎥ ⎢ i1 ⎥ i1 ⎢ ⎥ ⎢⎥ i1 i2 ⎢ zi0 ⎥ ⎢ zi1 ⎥ ⎢0⎥ ⎢0⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ Với li1 là khoảng cách từ Oi1 tới Oi2 , li2 là khoảng cách từ Oi2 tới Pi ( i = 1,..., 4 ). Véctơ vị pi = p + Qp′ trí pi của các điểm Pi cũng được xác định theo công thức: (3.8) i Trong đó : p = [ x y z ] , p′ = [ a i bi ci ] , i = 1,..., 4 T T (3.9) i Véctơ vị trí khối tâm của bàn máy động rP , của khâu thứ nhất ri1 và của khâu thứ hai ri2 của chân thứ i xác định qua: rP = p + Qc P ; ri1 = ri0 + Qi1b i1 ; ri 2 = ri0 + Qi1li1 + Qi2b i2 (3.10) Trong đó : c P , bi1 , bi2 lần lượt là véctơ vị trí khối tâm của bàn máy động, của khâu thứ nhất và thứ hai của chân thứ i xác định trong hệ toạ độ gắn liền với khâu.
Từ các ràng buộc động học của cơ cấu, kết hợp với động học của chuỗi Oi1Oi2 Pi P5 O ( i = 1,..., 4 ) , ta có: ri0 + Qi1l i1 + Qi2 l i2 = p5 + Q ( p′ − p′ ) (3.11) i 5 Phương trình (3.11) có thể viết dưới dạng ma trận đầy đủ: ⎡ x i0 ⎤ ⎡ sinγ i sinθi1 -sinγ i cosθi1 cosγ i ⎤ ⎡li1 ⎤ ⎡ cosβi sinθi2 -sinβ i ⎤ ⎡li2 ⎤ cosβ i cosθ i2 ⎢ y ⎥ + ⎢ −cosγ sinθ cosγ i cosθi1 sinγ i ⎥ ⎢ 0 ⎥ + ⎢ sinβi sinθ i2 cosβ i ⎥ ⎢ 0 ⎥ sinβ i cosθ i2 ⎢ i0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ i i1 ⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ (3.12) −sinθ i2 ⎣ z i0 ⎦ ⎣ cosθ i1 sinθ i1 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ cosθ i2 ⎦⎣ ⎦ ⎡ l5sinα ⎤ ⎡ q11 q12 q13 ⎤ ⎡ a i − a 5 ⎤ = ⎢ 0 ⎥ + ⎢ q 21 q 22 q 23 ⎥ ⎢ bi − b5 ⎥ (i = 1,..., 4) ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢l5 cosα ⎥ ⎢ q 31 q 32 q 33 ⎥ ⎢ ci − c5 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ Chọn hệ toạ độ khối tâm các khâu trên hệ tọa độ động gắn liền với các khâu là : T bij = ⎡ ξ Cij ζ Cij ⎤ i = 1,..., 4; j = 1, 2 (3.13) ηCij ⎣ ⎦ Gọi Cij là khối tâm của các khâu, toạ độ của Cij trong hệ toạ độ động gắn liền với mỗi khâu biểu diễn theo phương trình (3.13). Theo như giả thiết ban đầu ở trên, khối tâm của khâu T thứ hai thuộc chân thứ i nằm trên đường nối Oi2 và Pi thì : bi2 = ⎡ξ C 0 0⎤ . ⎣ ⎦ i2 Theo phương pháp véctơ hàm các toạ độ suy rộng, dựa vào các ma trận cosin chỉ hướng ta chọn véctơ z có dạng như sau, với ký hiệu viết tắt s = sin,c = cos : CT 2 z =[cθ11,sθ11,cθ12 ,cθ21,sθ21,cθ22 ,cθ31,sθ31,cθ32 ,cθ41,sθ41,cθ42 ,cα,sα,cθ11cγ1,cθ11sγ1,sθ11cγ1,sθ11sγ1, (3.14) sθ12cβ1,sθ12sβ1,cθ21cγ2 ,cθ21sγ2 ,sθ21cγ2 ,sθ21sγ2 ,sθ22cβ2 ,sθ22sβ2 ,cθ31cγ3 ,cθ31sγ3 ,sθ31cγ3 ,sθ31sγ3 , sθ32cβ3 ,sθ32sβ3 ,cθ41cγ4 , cθ41sγ4 ,sθ41cγ4 ,sθ41sγ4 ,sθ42cβ4 ,sθ42sβ4 ,q11,q12 ,q13 ,q21,q22 ,q23 ,q31,q32 ,q33 ]T Thực hiện phân chia véctơ z thành hai véctơ v và w như sau: v = [ cθ11 ,sθ11 ,cθ 21 ,sθ 21 ,cθ 31 ,sθ 31 ,cθ 41 ,sθ 41 ,cα,sα,cθ11cγ1 ,cθ11sγ1 ,sθ11cγ1 , (3.15) sθ11sγ1 ,cθ 21cγ 2 ,cθ 21sγ 2 ,sθ 21cγ 2 ,sθ 21sγ 2 ,cθ 31cγ 3 , cθ 31sγ 3 ,sθ 31cγ 3 ,sθ 31sγ 3 , cθ 41cγ 4 ,cθ 41sγ 4 ,sθ 41cγ 4 ,sθ 41sγ 4 ,q11 ,q12 ,q13 ,q 21 ,q 22 ,q 23 , q 31 ,q 32 ,q 33 ] T w = [ cθ12 ,cθ 22 ,cθ32 ,cθ 42 ,sθ12 cβ1 ,sθ12sβ1 ,sθ 22 cβ 2 ,sθ 22sβ 2 ,sθ32 cβ 3 ,sθ32sβ 3 ,sθ 42 cβ 4 ,sθ 42sβ 4 ] T Khi đó mười hai phương trình liên kết có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: ⎡v⎤ Dz + f * = [ D I D II ] ⎢ ⎥ + f * = D I v + D II w + f * = 0 (3.16) ⎣w ⎦ Trong đó: f * = − [ x10 z20 ] T x20 y10 y20 z10
⎡0 0⎤ 0 0 0 0 0 0 0 0 l5 0 0 0 -l11 0 0 a1 - a5 b1 - b5 c1 - c5 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l11 0 0 0 0 0 a1 - a5 b1 - b5 c1 - c5 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 ⎢ ⎥ ⎢-l11 a1 - a5 b1 - b5 c1 - c5 ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 l5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 000 0 0 0 0 0 l5 0 0 0 0 0 0 a2 - a5 b2 - b5 c2 - c5 0 0 0 0 0 0⎥ 0 0 -l21 0 0 0 0 00 0 ⎢0 0⎥ 000 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 a2 - a5 b2 - b5 c2 - c5 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 -l21 0 0 0 0 0 l5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a2 - a5 b2 - b5 c2 - c5 ⎥ 0 l21 0 00 0 0 00 0 0 DI = ⎢ 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l5 0 0 0 0 0 a3 - a5 b3 - b5 c3 - c5 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 -l31 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 a3 - a5 b3 - b5 c3 - c5 0 0 00 0 0 0 0 l31 0 00 0 0 ⎢0 a3 - a5 b3 - b5 c3 - c5 ⎥ 0 0 0 -l31 0 0 0 l5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 000 0 0 0 l5 0 0 0 0 -l41 a4 - a5 b4 - b5 c4 - c5 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 a4 - a5 b4 - b5 c4 - c5 0 0 0⎥ 00 0 0 00 0 0 0 0 l41 0 ⎢0 a4 - a5 b4 - b5 c4 - c5 ⎥12×35 0 0 0 0 0 -l41 0 l5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 1 ⎢0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ l 12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0⎥ l 22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0⎥ l 32 ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎡0 ⎤ 0 0 0 -l 12 0 0 0 0 0 0 0 ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ⎥ ⎢0 ⎥ 0 0 0 0 l 12 0 0 0 0 0 0 l 42 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ -l 12 ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢- 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 -l 22 0 0 0 0 0 ⎢ l 12 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 0 0 0 0 0 l 22 0 0 0 0 1 ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l 21 ⎢0 -l 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎥ ⇒ D II = ⎢ -1 D II = ⎢ ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 -l 32 0 0 0 1 ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ l 22 ⎢0 ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 l 32 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 1 0 -l 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ l 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -l 42 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l 42 ⎥ ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎥ 12×12 l 32 0 0 -l 42 0 0 0 0 0 0 0 ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ 1 ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ l 32 ⎢ ⎥ 1 ⎢0 0⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 ⎢ ⎥ l 42 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ l 42 ⎣ ⎦ 12×12 Với các tọa độ khối tâm đã chọn và các ma trận DI , DII , các véctơ g ij , hij , k ij có thể dễ dàng CT 2 xác định theo phương trình (2.16). Sau đó thay vào điều kiện cân bằng lực quán tính theo công thức (2.18), ta thu được 12 điều kiện cân bằng tĩnh như sau: ⎛ ξ C l21 ⎞ ⎛ ξl⎞ m11ηC11 = 0 ; m 21ηC21 = 0 ; m11ξ C11 + m12 ⎜ l11 - C12 11 ⎟ = 0 ; m 21ξ C21 + m 22 ⎜ l21 - 22 ⎟ = 0 (3.17) l22 ⎠ l12 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ξl⎞ ⎛ ξl⎞ m31ηC31 = 0 ; m 41ηC41 = 0 ; m31ξ C + m32 ⎜ l31 - C32 31 ⎟ = 0 ; m 41ξ C + m 42 ⎜ l41 - C42 41 ⎟ = 0 (3.18) l 42 ⎠ l32 ⎠ 41 ⎝ 31 ⎝ m 32 ξ C32 l5 m12 ξ C12 l5 m 22 ξ C22 l5 m 42 ξ C42 l5 (3.19) + + + + m 5 ξ C5 + m P l 5 = 0 l12 l 22 l32 l 42 m32 ξ C32 ( a 3 - a 5 ) m12 ξ C12 ( a1 - a 5 ) m 22 ξ C22 ( a 2 - a 5 ) m 42 ξ C42 ( a 4 - a 5 ) + mp ( x p - a 5 ) = 0 (3.20) + + + l12 l22 l32 l42 m32 ξ C32 ( b3 - b5 ) m12 ξ C12 ( b1 - b5 ) m 22 ξ C22 ( b 2 - b5 ) m 42 ξ C42 ( b 4 - b5 ) + m p ( y p - b5 ) = 0 (3.21) + + + l12 l22 l32 l 42 m32 ξ C32 ( c3 - c5 ) m12 ξ C12 ( c1 - c5 ) m 22 ξ C22 ( c2 - c5 ) m 42 ξ C42 ( c4 - c5 ) + m p ( z p - c5 ) = 0 (3.22) + + + l12 l22 l32 l42 Để cân bằng lực quán tính ta tiến hành lắp thêm khâu phụ là các đối trọng cho cơ cấu như trên hình 3.4. Dựa vào các điều kiện cân bằng lực quán tính (3.17)-(3.22) ta đưa ra bảng thông ( ) số đề nghị cân bằng tĩnh của cơ cấu. Trong bảng 3.1 dưới, ξ S , ηS , ζ S là vị trí khối tâm của các ij ij ij
khâu thứ j thuộc chân thứ i sau cân bằng, m* là khối lượng và ( ξ* , η* , ζ* ) là vị trí khối tâm i S S S ij ij ij thêm vào khâu thứ j thuộc chân thứ i ( i = 1,.., 4; j = 1, 2 ) . Bảng 3.1. Thông số cân bằng tĩnh đề nghị cho cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do Khâu ζ S ( m) ξS ( m) ζ S (m) ηS ( m ) ξS ( m ) mij ( kg ) mijbd ( kg ) ηS ( m ) * * * * ij ij ij ij ij ij ij 11 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0 12 10 0.5 0 0 21 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0 22 10 0.5 0 0 31 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0 32 10 0.5 0 0 41 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0 42 10 0.5 0 0 ( ) m P = 100 ( kg ) , m5 = 240 ( kg ) , ξ S5 ,ηS5 , ζ S5 = ( −0.5,0,0 ) III. KẾT LUẬN Trong bài báo này đã trình bầy một thuật toán xác định các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu không gian nhiều bậc tự do theo phương pháp véctơ hàm các tọa độ suy rộng. Các điều kiện cân bằng tĩnh (3.17) - (3.22) của cơ cấu bốn khâu không gian thu được theo phương pháp véctơ hàm các tọa CT 2 độ suy rộng trong bài báo này đã được so sánh với các điều kiện cân bằng tĩnh theo phương pháp tọa độ suy rộng dư tối thiểu và vị trí khối tâm chung của tác giả Jiegao Wang đã công bố trong cac công trình [5] và [6]. Hai phương pháp cho kết quả hoàn toàn Hình 3.4. Mô hình khi lắp thêm khâu phụ giống nhau. Ngoài ra thuật toán của phương pháp véctơ hàm các tọa độ suy rộng rất dễ dàng triển khai trên máy tính. Tài liệu tham khảo [1]. G.G Lowen, F.R. Tepper, R.S. Berkof: Balancing of linkages – An update. Mechanism and Machine Theory 18 (1983) 213-220. [2]. Dresig H., Vulfson I. I., Dynamik der Mechanismen, Springer Verlag, Wien, 1989. [3]. Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien: Balancing conditions of spatial mechanisms. Mechanism and Machine Theory 42 (2007) 1141-1153. [4]. Jiegao Wang, Clement M. Gosselin: Static balancing of spatial four-degree-of-freedom parallel mechanisms. Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 563-593. [5]. Jiegao Wang: Kinematic analysis, dynamic analysis and static balancing of spatial parallel mechanisms or manipulators with revolute actuators. Ph.D Thesis. Laval University 1997. [6]. Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật. Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2007. [7]. Đỗ Trọng Phú: Cân bằng khối lượng cơ cấu nhiều bậc tự do. Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2008♦