intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chia sẻ: Tôi Là Ai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST
Báo xấu
111
lượt xem 16
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phép toán trên các biến cố Cho A và B là 2 biến cố của cùng một .... XÁC SUẤT Tính chất của xác xuất 0 ≤P(A) ≤ 1; P( ∅)=0 P(Ω) = 1

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

  1. Gi i tích k t h p Quy t c nhân [SAMI-HUST]Vi n Toán ng d ng và Tin h c, ĐHBK Hà N i 1.1 Quy t c nhân Quy t c nhân N u có m cách ch n đ i tư ng x, và sau đó ng v i m i cách ch n x như th có n cách ch n đ i tư ng y, khi đó có m × n cách ch n đ i tư ng "x và y". Chương 1: S ki n ng u nhiên và phép tính xác T ng quát: N u có m1 cách ch n đ i tư ng x1 , v i m i cách ch n đ i tư ng x1 ta có m2 cách ch n đ i tư ng x2 , . . . , v i m i cách ch n x1 , x2 , . . . , xn−1 như th có mn su t cách ch n xn . Khi đó có m1 × m2 × · · · × mn cách ch n đ i tư ng “x1 , x2 , . . . và xn ”. (1) Chú ý 1.1 Tr n Minh Toàn Có th phát bi u quy t c nhân theo cách sau: M t công vi c đư c chia làm n giai đo n: giai đo n th nh t có m1 cách gi i quy t, Hà N i, tháng 8 năm 2012 giai đo n th 2 có m2 cách gi i quy t, ... giai đo n th n có mn cách gi i quy t. Khi đó có m1 × m2 . . . × mn cách gi i quy t công vi c trên. (1) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 1 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 3 / 52 Email: toantm24@gmail.com Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Ch nh h p l p Ch nh h p l p Bài toán Ví d 1 Ta có m t t p h p g m n ph n t , t n ph n t này ta s ch n ra k ph n t . Tuỳ vào đi u ki n ch n các ph n t như th nào (có th t , có l p) thì s cách ch n k ph n t X p 5 cu n sách vào 3 ngăn. H i có bao nhiêu cách x p? cũng có s khác nhau. Gi i: M i l n x p m t cu n sách lên là tương đương v i vi c ch n m t trong 3 ngăn đ cho Đ nh nghĩa 1.1 sách vào. M i ngăn có th đư c ch n nhi u l n. Do đó s cách x p 5 cu n sách vào 3 ˜3 ngăn là m t ch nh h p l p ch p 5 c a 3 ph n t . V y s cách x p là: A5 = 35 = 243. Ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm có th t g m k ph n t ch n t n ph n t đã cho, trong đó m i ph n t có th đư c ch n nhi u l n. Ký hi u s ch nh h p Ví d 2 ˜n l p ch p k c a n ph n t b i Ak . T 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5 l p đư c bao nhiêu s có 3 ch s ? Công th c tính Gi i: M i s đư c l p nên là m t cách l y 3 ch s có th t và có th gi ng nhau t 5 ch ˜n Ak =n . k (1.1) ˜5 s đã cho. Do đó s các s có 3 ch s đư c l p nên là: A3 = 53 = 125. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 4 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 5 / 52
  2. Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Ch nh h p Hoán v Đ nh nghĩa 1.2 Ch nh h p ch p k c a n ph n t là m t nhóm g m k ph n t có th t và khác nhau Đ nh nghĩa 1.3 ch n t n ph n t đã cho (đi u ki n: k ≤ n). Ký hi u s ch nh h p ch p k c a n ph n t b i Ak . n Hoán v c a n ph n t là m t nhóm có th t có n ph n t g m đ m t n ph n t đã cho. Ký hi u s hoán v c a n ph n t b i Pn . Công th c tính Chú ý 1.2 n! Ak = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = n . (1.2) (n − k)! Hoán v là m t trư ng h p đ c bi t c a ch nh h p khi k = n (Pn = An ). n Ví d 3 Công th c tính M t bu i h p g m 10 ngư i tham d , h i có m y cách ch n 1 ch to và 1 thư ký? Pn = n! . (1.3) Gi i: Ta th y 2 ngư i đư c ch n làm ch to và thư ký là m t c p (A, B) có th t và khác nhau đư c ch n t 10 ngư i d h p. Do đó s cách ch n là A2 = 10.9 = 90 (cách). 10 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 6 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 7 / 52 Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p T h p T h p Đ nh nghĩa 1.4 Ví d 4 T h p ch p k c a n ph n t (k ≤ n) là m t nhóm không phân bi t th t g m k ph n M i đ thi g m 3 câu h i l y trong 25 câu h i cho trư c. H i có th l p đư c bao nhiêu k t khác nhau ch n t n ph n t đã cho. Ký hi u s t h p ch p k c a n ph n t là Cn đ thi có n i dung khác nhau? Gi i: 3 25.24.23 Công th c tính S đ thi có th l p nên là: C25 = = 2300. 3! k Ak n n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Cn = = = . (1.4) k! k!(n − k)! k! Ví d 5 Khai tri n nh th c Newton Chú ý 1.3 n (a + b)n = Cn an−k bk = Cn an + Cn an−1 b + · · · + Cn abn−1 + Cn bn , k 0 1 n−1 n Qui ư c 0! = 1; k=0 k n−k Cn = Cn ; k k−1 k trong đó a, b ∈ R và n ∈ N. Cn = Cn−1 + Cn−1 . Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 8 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 9 / 52
  3. S ki n và các phép toán Phép th và s ki n S ki n và các phép toán Phép th và s ki n Phép th và s ki n Phép th và s ki n Mu n bi t đ ng xu ra m t nào thì tung đ ng xu lên, hành đ ng tung đ ng xu là Như v y s ki n ch có th x y ra n u ta th c hi n phép th . m t phép th . S ki n sơ c p: Là s ki n không th phân tích đư c n a Mu n bi t b n như th nào thì ph i th c hi n b n vào bia, hành đ ng b n súng S ki n ch c ch n: Là s ki n luôn x y ra trong phép th , ký hi u là Ω vào bia là m t phép th . S ki n không th : Là s ki n không bao gi x y ra khi th c hi n phép th . Ký hi u là ... ∅. Đ nh nghĩa 2.1 S ki n ng u nhiên: Là s ki n có th x y ra cũng có th không x y ra khi th c hi n phép th . Vi c th c hi n m t nhóm các đi u ki n cơ b n đ quan sát m t hi n tư ng nào đó đư c Phép th ng u nhiên: Phép th mà các k t qu c a nó là các s ki n ng u nhiên. g i là m t phép th . Các k t qu có th x y ra c a phép th g i là s ki n. Đ thu n ti n, các s ki n thư ng đư c ký hi u b ng ch in hoa: A, B, C, . . . Ví d 6 Ví d 7 Gieo m t con xúc x c đ quan sát s ch m xu t hi n (đây là m t phép th ). Các k t Gieo m t con xúc x c, khi đó qu sau đ u là các s ki n: Ω= “Gieo đư c m t có s ch m ≤ 6 và ≥ 1 ” là s ki n ch c ch n; “Xu t hi n m t k ch m ”, k = 0, 1, .., 6 ∅= “Gieo đư c m t 7 ch m” là s ki n không th ; “Xu t hi n m t ch n” A = “Gieo đư c m t ch n” là s ki n ng u nhiên. “Xu t hi n m t có s ch m không vư t quá 2” Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 11 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 12 / 52 S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Gi s A và B là hai s ki n trong cùng m t phép th . Quan h kéo theo Chú ý 2.1 S ki n A đư c g i là kéo theo s ki n B, ký hi u A ⊂ B (ho c A ⇒ B), n u A x y ra A1 + A2 + · · · + An là s ki n x y ra khi có ít nh t m t trong n s ki n đó x y ra thì B x y ra. M i s ki n ng u nhiên đ u có th bi u di n dư i d ng t ng c a m t s s ki n sơ c p nào đó. Quan h tương đương S ki n ch c ch n Ω là t ng c a m i s ki n sơ c p có th . Do đó Ω còn đư c g i Hai s ki n A và B đư c g i là tương đương v i nhau n u A ⊂ B và B ⊂ A và ký hi u là không gian các s ki n sơ c p. là A = B. Ví d 9 S ki n t ng Tung m t con xúc x c. Ta có 6 s ki n sơ c p Ai (i = 1, 6), trong đó Ai là s ki n xu t S ki n C đư c g i là t ng c a 2 s ki n A và B, ký hi u là C = A + B, n u C x y ra hi n m t i ch m i = 1, 2, . . . , 6. khi và ch khi ít nh t m t trong 2 s ki n A và B x y ra. A= “Xu t hi n m t có s ch m ch n”, ta suy ra A = A2 + A4 + A6 Ví d 8 B = “Xu t hi n m t có s ch m không vư t quá 3”, ta suy ra B = A1 + A2 + A3 . Hai ngư i th săn cùng b n m t con thú. N u g i A là s ki n ngư i th nh t b n trúng Khi đó C = A + B = A1 + A2 + A3 + A4 + A6 . con thú và B là s ki n ngư i th 2 b n trúng con thú, khi đó C = A + B là s ki n con thú b b n trúng. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 13 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 14 / 52
  4. S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n tích S ki n đ i l p S ki n C đư c g i là tích c a 2 s ki n A và B, ký hi u C = A.B (ho c AB), n u C x y ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. S ki n đ i l p v i s ki n A, ký hi u là A, là s ki n x y ra khi A không x y ra. Ta có Tích c a n s ki n A1 .A2 . . . An là s ki n x y ra khi c n s ki n cùng x y ra. Ví d 11 Ví d 10 Gieo m t con xúc x c m t l n, khi đó Hai ngư i th săn cùng b n m t con thú. N u g i A là s ki n ngư i th nh t b n trư t A = “Gieo đư c m t ch n” suy ra A= “Gieo đư c m t l ” con thú và B là s ki n ngư i th 2 b n trư t con thú, khi đó C = A.B là s ki n con A = “Gieo đư c m t 1 ch m” suy ra A= “Gieo không đư c m t 1 ch m” thú không b b n trúng. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 15 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 16 / 52 S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n hi u Hi u c a 2 s ki n A và B, ký hi u là A − B, là s ki n x y ra khi và ch khi A x y ra nhưng B không x y ra. Thông thư ng ngư i ta ít s d ng s ki n hi u, mà thư ng bi n đ i nó thành s ki n tích như sau: A − B = A.B. Hai s ki n xung kh c Hai s ki n A và B đư c g i là xung kh c v i nhau n u chúng không đ ng th i x y ra trong m t phép th . A và B xung kh c khi và ch khi A.B = ∅. Picture1.png Ví d 12 M t x th b n 1 viên đ n vào bia. G i A là s ki n x th đó b n trúng vòng 8 và B là s ki n x th đó b n trúng vòng 10. Khi đó ta th y ngay AB = ∅ t c là A, B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 17 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 18 / 52 Hình 1: Sơ đ Venn th hi n các phép toán s ki n
  5. Các đ nh nghĩa xác su t Xác su t c a m t s ki n Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Xác su t c a m t s ki n Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Đ nh nghĩa 3.2 Xét m t phép th có h u h n k t qu có th x y ra (có n k t qu ), đ ng th i các k t qu này là đ ng kh năng xu t hi n; trong đó có m k t qu thu n l i cho s ki n A. Đ nh nghĩa 3.1 Khi đó: Xác su t c a m t s ki n là m t s n m gi a 0 và 1, s này đo lư ng kh năng xu t hi n m S trư ng h p thu n l i cho A P (A) = = . (3.1) c a s ki n đó khi phép th đư c th c hi n. Ký hi u xác su t c a s ki n A là P (A). n S trư ng h p có th x y ra M t s tính ch t cơ b n Ví d 13 0 ≤ P (A) ≤ 1; M t ngư i g i đi n tho i nhưng l i quên 2 ch s cu i c a s đi n tho i c n g i mà ch nh là 2 ch s đó khác nhau. Tìm xác su t đ ngư i đó ch n ng u nhiên 1 s đ g i thì P (Ω) = 1; P (∅) = 0; trúng s c n g i. P (A) + P A = 1. Gi i: G i A = “Ngư i đó ch n ng u nhiên 1 s g i thì trúng s c n g i”. S các k t qu có th x y ra khi ch n 2 ch s cu i là: n = A2 = 90; 10 S k t qu thu n l i cho vi c ch n đư c đúng s c n g i là m = 1; m 1 V y P (A) = = . Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 20 / 52 Tr n Minh Toàn () n 90 Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 21 / 52 Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Ví d 14 Trong h p có 4 viên bi tr ng và 6 viên bi đ cùng kích c . L y ng u nhiên đ ng th i ra Đ nh nghĩa 3.3 2 viên bi. Tính xác su t x y ra s ki n: Gi s t p h p vô h n các k t qu đ ng kh năng c a m t phép th có th bi u th b i 1 A = “Đư c 2 viên bi tr ng”; m t mi n hình h c Ω có đ đo (đ dài, di n tích, th tích, . . . ) h u h n khác 0, còn t p 2 B = “Đư c ít nh t 1 viên bi đ ”. các k t qu thu n l i cho s ki n A là m t mi n A. Khi đó xác su t c a s ki n A đư c xác đ nh b i: Gi i: 2 S cách l y ra 2 bi t h p là n = C10 = 45. Đ đo c a mi n A P (A) = . (3.2) 2 6 2 Đ đo c a mi n Ω 1 S cách l y đư c 2 bi tr ng là C4 = 6. V y P (A) = = . 45 15 2 Ta có B = "không có bi đ nào", suy ra B = A. Do đó Khái ni m đ ng kh năng trên Ω có nghĩa là đi m gieo có th rơi vào b t kỳ đi m nào c a Ω và xác su t đ nó rơi vào m t mi n con nào đó c a Ω t l v i đ đo c a mi n y. 2 13 P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A) = 1 − = . 15 15 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 22 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 23 / 52
  6. Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) Do tính đ ng kh năng là r t khó có đư c trong th c t , nên c n có m t cách khác đ Ví d 15 xác đ nh xác su t c a m t s ki n. Đư ng dây đi n tho i ng m n i m t t ng đài v i m t tr m dài 1km. Tính xác su t đ Đ nh nghĩa 3.4 dây đ t cách t ng đài không quá 100m. Gi s m t phép th có th th c hi n l p l i nhi u l n trong nh ng đi u ki n gi ng nhau. N u trong n l n th c hi n phép th trên có ml n xu t hi n s ki n A, khi đó t l Gi i m fn (A) = đư c g i là t n su t xu t hi n c a s ki n A trong n phép th . Rõ ràng n u dây đ ng ch t thì kh năng b đ t t i m t đi m b t kỳ trên dây là như n Cho s phép th tăng lên vô h n, t n su t xu t hi n A d n t i m t gi i h n xác đ nh, nhau, nên t p h p các k t qu có th x y ra có th bi u th b ng đo n th ng n i t ng gi i h n đó đư c đ nh nghĩa là xác su t c a A: đài v i tr m dài 1km. Còn s ki n A := “Dây b đ t cách t ng đài không quá 100m” đư c bi u th b ng đ dài 100m. Khi đó ta có m P (A) = lim fn (A) = lim . n→∞ n→∞ n 100 P (A) = = 0.1. 1000 Th c t P (A) đư c tính x p x b i t n su t fn (A) v i n đ l n. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 24 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 25 / 52 Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) M t s công th c tính xác su t Công th c c ng xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) Công th c c ng xác su t N u A và B là hai s ki n xung kh c thì Ví d 16 P (A + B) = P (A) + P (B) . (4.3) Đ xác đ nh xác su t c a m t ngư i đàn ông 25 tu i s b ch t trong 1 năm s p t i, ngư i ta theo dõi 100000 nam thanh niên 25 tu i và th y r ng có 138 ngư i ch t trong vòng 1 năm sau đó. V y xác su t c n tìm x p x b ng: Ch ng minh. 138 Ta ch ng minh cho trư ng h p đơn gi n là phép th có n s ki n đ ng kh năng có th = 0.00138. x y ra, trong đó có mA kh năng thu n l i cho s ki n A và mB kh năng thu n l i cho 100000 s ki n B. Do A và B là 2 s ki n xung kh c nên AB = ∅, do đó s kh năng thu n l i cho s ki n A + B là m = mA + mB . Do đó ta có Chú ý 3.1 m mA + mB mA mB Đ nh nghĩa này ch dùng đư c cho các phép th ng u nhiên có th l p l i nhi u l n m t P (A + B) = = = + = P (A) + P (B). n n n n cách đ c l p trong các đi u ki n gi ng nhau. Ngoài ra đ xác đ nh m t cách tương đ i chính xác giá tr c a xác su t ta ph i ti n hành m t s đ l n các phép th , mà vi c này đôi khi không th th c hi n đư c do h n ch v th i gian và kinh phí. Công th c c ng xác su t: N u A và B là hai s ki n b t kỳ thì ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). (4.4) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 26 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 28 / 52
  7. M t s công th c tính xác su t Công th c c ng xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c c ng xác su t Công th c c ng xác su t Công th c c ng xác su t Ví d 17 Công th c c ng xác su t t ng quát: Cho n s ki n b t kỳ {Ai } , i = 1, n. Khi M t lô hàng g m 10 s n ph m, trong đó có 2 ph ph m. L y ng u nhiên đ ng th i t lô đó ta có hàng ra 6 s n ph m. Tìm xác su t đ có không quá 1 ph ph m trong 6 s n ph m đư c l y ra. n P Ai = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) − · · · + i=1 i i
  8. M t s công th c tính xác su t Xác su t có đi u ki n M t s công th c tính xác su t Xác su t có đi u ki n Xác su t có đi u ki n Xác su t có đi u ki n Công th c tính P (AB) P (A|B) = . (4.7) P (B) Ví d 20 T m t b bài tú lơkhơ 52 cây đã tr n k rút ng u nhiên ra m t cây bài. Bi t đó là cây Ch ng minh. đen, tính xác su t đó là cây át. Ta ch ng minh cho trư ng h p đ nh nghĩa xác su t theo c đi n. Gi s phép th có n kh năng x y ra và đ ng kh năng, trong đó mA kh năng thu n l i cho s ki n A, mB Gi i kh năng thu n l i cho s ki n B, mAB kh năng thu n l i cho s ki n AB. Ta có G i A "rút đư c cây át" và B “rút đư c cây đen”. Xác su t c n tính là P (A|B). mB mAB 26 1 2 P (B) = ; P (AB) = . Ta có P (B) = = ; P (AB) = , suy ra n n 52 2 52 Ta đi tính P (A|B). Vì s ki n B đã x y ra nên s kh năng có th x y ra ch còn là P (AB) 1 P (A|B) = = . mB , trong đó ch có mAB kh năng thu n l i cho s ki n A. Do đó ta có: P (B) 13 mAB mAB mB P (AB) P (A|B) = = : = . mB n n P (B) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 33 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 34 / 52 M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t T công th c xác su t có đi u ki n ta suy ra công th c nhân xác su t P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B) . T ng quát Đ nh nghĩa 4.2 Cho n s ki n A1 , A2 , . . . , An . Khi đó xác su t tích đư c tính như sau: Hai s ki n A và B đư c g i là đ c l p v i nhau n u vi c x y ra hay không x y ra s P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 ) .P (A2 |A1 ) .P (A3 |A1 A2 ) . . . P (An |A1 A2 . . . An−1 ) . ki n này không làm nh hư ng t i vi c x y ra hay không x y ra s ki n kia. T c là ta có: P (A) = P (A|B) = P (A|B) Đ nh nghĩa 4.3 P (B) = P (B|A) = P (B|A). Các s ki n A1 , A2 , . . . , An đư c g i là đ c l p (hay đ c l p trong t ng th ) n u vi c Hai s ki n A và B đ c l p v i nhau khi và ch khi x y ra hay không x y ra c a m t nhóm b t kỳ k s ki n (1 ≤ k ≤ n) không làm nh hư ng t i vi c x y ra hay không x y ra c a các s ki n còn l i. P (AB) = P (A).P (B). Khi đó ta có: P (A1 .A2 . . . An ) = P (A1 ).P (A2 ) . . . P (An ) Chú ý 4.1 N u A và B đ c l p thì các c p sau cũng đ c l p: A và B ; A và B ; A và B Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 35 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 36 / 52
  9. M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t Ví d 21 Có 4 que thăm, trong đó có 3 que thăm dài b ng nhau và 1 que thăm ng n hơn. B n ngư i l n lư t lên rút ng u nhiên m t que thăm. Tính xác su t ngư i th i rút đư c thăm ng n (i = 1, 2, 3, 4). Ví d 22 Gi i Ba x th đ c l p v i nhau, m i ngư i b n m t viên đ n vào bia v i xác su t b n trúng G i Ai : “Ngư i th i rút đư c thăm ng n” v i i = 1, 2, 3, 4. Ta có c a t ng ngư i tương ng là 0.7; 0.8 và 0.9. Tính xác su t: 1 1 Có đúng 2 ngư i b n trúng; P (A1 ) = ; 4 2 Có ít nh t 1 ngư i b n trúng. 3 1 1 P (A2 ) = P A1 .P A2 |A1 = . = ; 4 3 4 3 2 1 1 P (A3 ) = P A1 A2 A3 = P A1 P A2 |A1 P A3 |A1 A2 = . . = ; 4 3 2 4 1 P (A4 ) = . 4 1 V y kh năng rút đư c thăm ng n c a 4 ngư i là như nhau và b ng . 4 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 37 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 38 / 52 M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli Công th c nhân xác su t Công th c Bernoulli Gi i G i Ai : "ngư i th i b n trúng bia" v i i = 1, 2, 3. Theo bài ra ta có A1 , A2 , A3 đ c l p và P (A1 ) = 0.7; P (A2 ) = 0.8; P (A3 ) = 0.9. Đ nh nghĩa 4.4 1 G i A: "Có đúng hai ngư i b n trúng", khi đó (Dãy phép th Bernoulli) Ti n hành n phép th đ c l p. Gi s trong m i phép th ch A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 . Do ba s h ng trong t ng đôi m t xung có th x y ra m t trong hai trư ng h p: ho c s ki n A x y ra ho c s ki n A không kh c và các s ki n A1 , A2 , A3 đ c l p nên ta có: x y ra. Xác su t x y ra s ki n A trong m i phép th luôn b ng p. Đó chính là dãy phép th Bernoulli. P (A) = P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 = P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 Công th c Bernoulli = P (A1 ) P (A2 ) P A3 + P (A1 ) P A2 P (A3 ) + P A1 P (A2 ) P (A3 ) Xác su t đ s ki n A xu t hi n đúng k l n trong n phép th c a dãy phép th = 0.7 × 0.8 × (1 − 0.9) + 0.7 × (1 − 0.8) × 0.9 + (1 − 0.7) × 0.8 × 0.9 = 0.398. Bernoulli là: pn (k) = Cn pk q n−k , q = 1 − p; k = 0, 1, . . . , n. k (4.8) 2 G i B: “Có ít nh t 1 ngư i b n trúng bia” suy ra B: “Không có ai b n trúng”. Ta có B = A1 A2 A3 , suy ra P (B) = 1−P (B) = 1−P A1 A2 A3 = 1−P A1 P A2 P A3 = 1−0.3×0.2×0.1 = 0.994. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 39 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 40 / 52
  10. M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli Công th c Bernoulli Công th c Bernoulli Ví d 23 Ch ng minh. Gieo m t đ ng ti n 10 l n, đó là 10 phép th Bernoulli k Có Cn cách ch n k v trí trong n phép th đ x y ra s ki n A, các phép th còn l i M t ngư i b n 5 viên đ n, b n t ng viên m t vào m c tiêu. Đó là 5 phép th không x y ra A. ng v i m i cách ch n c đ nh k v trí x y ra s ki n A ta có xác su t Bernoulli. Nhưng n u 5 ngư i b n, m i ngư i b n 1 viên vào m c tiêu thì nói c a trư ng h p đó tính như sau: chung đó không ph i là phép th Bernoulli. T i nh ng phép th x y ra s ki n A thì xác su t x y ra là p; Gieo m t con xúc x c 100 l n, A là s ki n ra m t l c. Đó là 100 phép th T i nh ng phép th không x y ra s ki n A thì xác su t x y ra là q = 1 − p Bernoulli Do có k phép th x y ra A và n − k phép th không x y ra Anên xác su t x y ra trư ng h p có k phép th c đ nh x y ra A là pk q n−k . V y xác su t c n tính là Ví d 24 pn (k) = Cn pk q n−k . k Xác su t thành công c a m t thí nghi m sinh hóa là 40%. M t nhóm g m 9 sinh viên ti n hành cùng thí nghi m trên đ c l p v i nhau. Tìm xác su t đ : 1 Có đúng 5 thí nghi m thành công 2 Có ít nh t 1 thí nhi m thành công Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 41 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 42 / 52 M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Khái ni m nhóm đ y đ Công th c Bernoulli Khái ni m nhóm đ y đ Đ nh nghĩa 5.1 Nhóm các s ki n A1 , A2 , . . . , An (n ≥ 2) c a m t phép th đư c g i là m t nhóm đ y đ n u th a mãn 2 đi u ki n: Gi i Ai Aj = ∅, ∀i = j; Phép th là ti n hành thí nghi m. A là s ki n thí nghi m thành công. Ta có A1 + A2 + · · · + An = Ω. p = P (A) = 0.4; q = 1 − p = 0.6; n = 9. Ví d 25 1 Xác su t c n tính: p9 (6) = C9 p6 q 3 = C9 (0.4)6 (0.6)3 = 0.0743. 6 6 Xét phép th gieo m t con xúc x c 1 l n. 2 G i B là s ki n “có ít nh t 1 thí nghi m thành công”. Ta có B: “không có thí G i Ai : “Gieo đư c m t i ch m” v i i = 1, 2, . . . , 6. Ta có nhóm đ y đ nghi m nào thành công”. Khi đó {A1 , A2 , . . . , A6 }. G i P (B) = 1 − P B = 1 − (0.6)9 = 0.9899. A: “Gieo đư c m t ch n” B: “Gieo đư c m t 1 ch m ho c 3 ch m” C: “Gieo đư c m t 5 ch m” Khi đó {A, B, C} là m t nhóm đ y đ . Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 43 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 45 / 52
  11. Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Khái ni m nhóm đ y đ Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ Khái ni m nhóm đ y đ Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ Gi s A1 , A2 , . . . , An là m t nhóm đ y đ các s ki n. Xét s ki n H sao cho H ch Chú ý 5.1 x y ra khi m t trong các s ki n A1 , A2 , . . . , An x y ra. Nói cách khác H x y ra thì m t s ki n Ai nào đó x y ra. Khi đó ta có công th c xác su t đ y đ Đ i v i m t s ki n A thì ta có nhóm đ y đ A, A n Đ i v i 2 s ki n A và B thì ta có th thành l p m t nhóm đ y đ như: P (H) = P (Ai ) .P (H|Ai ) . (5.9) AB, AB, AB, A.B . i=1 Ch ng minh. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 46 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 47 / 52 Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ Ví d 26 Ví d 27 Xét m t lô s n ph m có s lư ng r t l n trong đó s s n ph m do phân xư ng I s n Có hai chu ng th . Chu ng th th nh t có 3 th tr ng và 3 th nâu. Chu ng th th xu t chi m 20%, phân xư ng II s n xu t chi m 30%, phân xư ng III s n xu t chi m hai có 6 th tr ng và 4 th nâu. B t ng u nhiên 2 con th t chu ng th nh t b vào 50%. Xác su t ph ph m c a phân xư ng I là 0.001; phân xư ng II là 0.005; phân xư ng chu ng th hai r i sau đó b t ng u nhiên 1 con th t chu ng th hai ra. Tính xác su t III là 0.006. L y ng u nhiên 1 s n ph m c a lô hàng. Tìm xác su t đ s n ph m đó là b t đư c th nâu t chu ng th hai. ph ph m. Gi i Gi i G i Ai : “Trong 2 con th b t t chu ng m t có i con th nâu” , i = 0, 1, 2. Ta có G i H: “S n ph m l y ra là ph ph m”; Ai : “S n ph m đó do phân xư ng i s n xu t” A0 , A1 , A2 l p thành m t nhóm đ y đ . G i H: “B t đư c th nâu t chu ng hai”. Ta có i = 1, 2, 3. Ta có {A1 , A2 , A3 } là m t nhóm đ y đ và 2 C3 1 C1C1 3 C2 1 P (A0 ) = 2 = ; P (A1 ) = 3 2 3 = ; P (A2 ) = 3 = 2 P (A1 ) = 0.2; P (A2 ) = 0.3; P (A3 ) = 0.5 C6 5 C6 5 C6 5 P (H|A1 ) = 0.001; P (H|A2 ) = 0.005; P (H|A3 ) = 0.006. 4 1 5 6 1 P (H|A0 ) = = ; P (H|A1 ) = ; P (H|A2 ) = = . 12 3 12 12 2 Áp d ng công th c xác su t đ y đ ta có Áp d ng công th c xác su t đ y đ : P (H) = P (A1 ) .P (H|A1 ) + P (A2 ) .P (H|A2 ) + P (A3 ) .P (H|A3 ) 2 1 1 3 5 1 1 5 = 0.2 × 0.001 + 0.3 × 0.005 + 0.5 × 0.006 = 0.0047. P (H) = P (Ai ) P (H|Ai ) = . + . + . = . i=0 5 3 5 12 5 2 12 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 48 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 49 / 52
  12. Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c Bayes Công th c Bayes Công th c Bayes Trong công th c xác su t đ y đ , H là s ki n k t qu , còn các s ki n Ai i = 1, n là các s ki n nguyên nhân. N u bi t nguyên nhân nào x y ra thì ta Ch ng minh. xác đ nh đư c xác su t x y ra H. Theo công th c xác su t có đi u ki n ta có: Bây gi ngư c l i, ngư i ta đã bi t đư c k t qu x y ra H, mu n tính xác su t đ nguyên nhân th i x y ra là bao nhiêu, t c là đi tính P (Ai |H). P (Ai ) đư c g i là P (Ai H) P (Ai ).P (H|Ai ) P (Ai |H) = = . xác su t tiên nghi m, còn P (Ai |H) đư c g i là xác su t h u nghi m. P (H) P (H) n Ta có công th c Bayes: M t khác theo công th c xác su t đ y đ : P (H) = P (Aj ).P (H|Aj ). Thay vào công j=1 P (Ai )P (H|Ai ) th c trên ta có đpcm. P (Ai |H) = n , i = 1, 2, . . . , n. (5.10) j=1 P (Aj ).P (H|Aj ) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 50 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 51 / 52 Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c Bayes Công th c Bayes Ví d 28 M t nhà máy s n xu t bóng đèn có t l bóng đèn t t là 90%. Trư c khi xu t ra th trư ng, m i bóng đèn đ u đư c qua ki m tra ch t lư ng. Vì s ki m tra không tuy t đ i hoàn toàn nên m t bóng đèn t t có xác su t 0.9 đư c công nh n là t t, còn m t bóng đèn h ng có xác su t 0.95 b lo i b . 1 Tính t l bóng qua đư c ki m tra ch t lư ng. 2 Tính t l bóng h ng qua đư c ki m tra ch t lư ng. Gi i G i A: “Bóng đèn thu c lo i t t”; B: “Bóng đèn thu c lo i h ng”. Ta có A, B là m t nhóm đ y đ và P (A) = 0.9; P (B) = 0.1. G i H: "Bóng qua đư c ki m tra ch t lư ng", ta có P (H|A) = 0.9; P (H|B) = 0.05. 1 Theo công th c xác su t đ y đ ta có P (H) = P (A).P (H|A) + P (B).P (H|B) = 0.9 × 0.9 + 0.1 × 0.05 = 0.815. P (B).P (H|B) 0.1 × 0.05 2 Ta có P (B|H) = = = 0.0061. P (H) 0.815 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 52 / 52
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2