Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chia sẻ: Tôi Là Ai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
35
lượt xem
12
download

Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phép toán trên các biến cố Cho A và B là 2 biến cố của cùng một .... XÁC SUẤT Tính chất của xác xuất 0 ≤P(A) ≤ 1; P( ∅)=0 P(Ω) = 1

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

  1. Gi i tích k t h p Quy t c nhân [SAMI-HUST]Vi n Toán ng d ng và Tin h c, ĐHBK Hà N i 1.1 Quy t c nhân Quy t c nhân N u có m cách ch n đ i tư ng x, và sau đó ng v i m i cách ch n x như th có n cách ch n đ i tư ng y, khi đó có m × n cách ch n đ i tư ng "x và y". Chương 1: S ki n ng u nhiên và phép tính xác T ng quát: N u có m1 cách ch n đ i tư ng x1 , v i m i cách ch n đ i tư ng x1 ta có m2 cách ch n đ i tư ng x2 , . . . , v i m i cách ch n x1 , x2 , . . . , xn−1 như th có mn su t cách ch n xn . Khi đó có m1 × m2 × · · · × mn cách ch n đ i tư ng “x1 , x2 , . . . và xn ”. (1) Chú ý 1.1 Tr n Minh Toàn Có th phát bi u quy t c nhân theo cách sau: M t công vi c đư c chia làm n giai đo n: giai đo n th nh t có m1 cách gi i quy t, Hà N i, tháng 8 năm 2012 giai đo n th 2 có m2 cách gi i quy t, ... giai đo n th n có mn cách gi i quy t. Khi đó có m1 × m2 . . . × mn cách gi i quy t công vi c trên. (1) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 1 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 3 / 52 Email: toantm24@gmail.com Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Ch nh h p l p Ch nh h p l p Bài toán Ví d 1 Ta có m t t p h p g m n ph n t , t n ph n t này ta s ch n ra k ph n t . Tuỳ vào đi u ki n ch n các ph n t như th nào (có th t , có l p) thì s cách ch n k ph n t X p 5 cu n sách vào 3 ngăn. H i có bao nhiêu cách x p? cũng có s khác nhau. Gi i: M i l n x p m t cu n sách lên là tương đương v i vi c ch n m t trong 3 ngăn đ cho Đ nh nghĩa 1.1 sách vào. M i ngăn có th đư c ch n nhi u l n. Do đó s cách x p 5 cu n sách vào 3 ˜3 ngăn là m t ch nh h p l p ch p 5 c a 3 ph n t . V y s cách x p là: A5 = 35 = 243. Ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm có th t g m k ph n t ch n t n ph n t đã cho, trong đó m i ph n t có th đư c ch n nhi u l n. Ký hi u s ch nh h p Ví d 2 ˜n l p ch p k c a n ph n t b i Ak . T 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5 l p đư c bao nhiêu s có 3 ch s ? Công th c tính Gi i: M i s đư c l p nên là m t cách l y 3 ch s có th t và có th gi ng nhau t 5 ch ˜n Ak =n . k (1.1) ˜5 s đã cho. Do đó s các s có 3 ch s đư c l p nên là: A3 = 53 = 125. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 4 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 5 / 52
  2. Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Ch nh h p Hoán v Đ nh nghĩa 1.2 Ch nh h p ch p k c a n ph n t là m t nhóm g m k ph n t có th t và khác nhau Đ nh nghĩa 1.3 ch n t n ph n t đã cho (đi u ki n: k ≤ n). Ký hi u s ch nh h p ch p k c a n ph n t b i Ak . n Hoán v c a n ph n t là m t nhóm có th t có n ph n t g m đ m t n ph n t đã cho. Ký hi u s hoán v c a n ph n t b i Pn . Công th c tính Chú ý 1.2 n! Ak = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = n . (1.2) (n − k)! Hoán v là m t trư ng h p đ c bi t c a ch nh h p khi k = n (Pn = An ). n Ví d 3 Công th c tính M t bu i h p g m 10 ngư i tham d , h i có m y cách ch n 1 ch to và 1 thư ký? Pn = n! . (1.3) Gi i: Ta th y 2 ngư i đư c ch n làm ch to và thư ký là m t c p (A, B) có th t và khác nhau đư c ch n t 10 ngư i d h p. Do đó s cách ch n là A2 = 10.9 = 90 (cách). 10 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 6 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 7 / 52 Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p Gi i tích k t h p T h p T h p Đ nh nghĩa 1.4 Ví d 4 T h p ch p k c a n ph n t (k ≤ n) là m t nhóm không phân bi t th t g m k ph n M i đ thi g m 3 câu h i l y trong 25 câu h i cho trư c. H i có th l p đư c bao nhiêu k t khác nhau ch n t n ph n t đã cho. Ký hi u s t h p ch p k c a n ph n t là Cn đ thi có n i dung khác nhau? Gi i: 3 25.24.23 Công th c tính S đ thi có th l p nên là: C25 = = 2300. 3! k Ak n n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Cn = = = . (1.4) k! k!(n − k)! k! Ví d 5 Khai tri n nh th c Newton Chú ý 1.3 n (a + b)n = Cn an−k bk = Cn an + Cn an−1 b + · · · + Cn abn−1 + Cn bn , k 0 1 n−1 n Qui ư c 0! = 1; k=0 k n−k Cn = Cn ; k k−1 k trong đó a, b ∈ R và n ∈ N. Cn = Cn−1 + Cn−1 . Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 8 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 9 / 52
  3. S ki n và các phép toán Phép th và s ki n S ki n và các phép toán Phép th và s ki n Phép th và s ki n Phép th và s ki n Mu n bi t đ ng xu ra m t nào thì tung đ ng xu lên, hành đ ng tung đ ng xu là Như v y s ki n ch có th x y ra n u ta th c hi n phép th . m t phép th . S ki n sơ c p: Là s ki n không th phân tích đư c n a Mu n bi t b n như th nào thì ph i th c hi n b n vào bia, hành đ ng b n súng S ki n ch c ch n: Là s ki n luôn x y ra trong phép th , ký hi u là Ω vào bia là m t phép th . S ki n không th : Là s ki n không bao gi x y ra khi th c hi n phép th . Ký hi u là ... ∅. Đ nh nghĩa 2.1 S ki n ng u nhiên: Là s ki n có th x y ra cũng có th không x y ra khi th c hi n phép th . Vi c th c hi n m t nhóm các đi u ki n cơ b n đ quan sát m t hi n tư ng nào đó đư c Phép th ng u nhiên: Phép th mà các k t qu c a nó là các s ki n ng u nhiên. g i là m t phép th . Các k t qu có th x y ra c a phép th g i là s ki n. Đ thu n ti n, các s ki n thư ng đư c ký hi u b ng ch in hoa: A, B, C, . . . Ví d 6 Ví d 7 Gieo m t con xúc x c đ quan sát s ch m xu t hi n (đây là m t phép th ). Các k t Gieo m t con xúc x c, khi đó qu sau đ u là các s ki n: Ω= “Gieo đư c m t có s ch m ≤ 6 và ≥ 1 ” là s ki n ch c ch n; “Xu t hi n m t k ch m ”, k = 0, 1, .., 6 ∅= “Gieo đư c m t 7 ch m” là s ki n không th ; “Xu t hi n m t ch n” A = “Gieo đư c m t ch n” là s ki n ng u nhiên. “Xu t hi n m t có s ch m không vư t quá 2” Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 11 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 12 / 52 S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Gi s A và B là hai s ki n trong cùng m t phép th . Quan h kéo theo Chú ý 2.1 S ki n A đư c g i là kéo theo s ki n B, ký hi u A ⊂ B (ho c A ⇒ B), n u A x y ra A1 + A2 + · · · + An là s ki n x y ra khi có ít nh t m t trong n s ki n đó x y ra thì B x y ra. M i s ki n ng u nhiên đ u có th bi u di n dư i d ng t ng c a m t s s ki n sơ c p nào đó. Quan h tương đương S ki n ch c ch n Ω là t ng c a m i s ki n sơ c p có th . Do đó Ω còn đư c g i Hai s ki n A và B đư c g i là tương đương v i nhau n u A ⊂ B và B ⊂ A và ký hi u là không gian các s ki n sơ c p. là A = B. Ví d 9 S ki n t ng Tung m t con xúc x c. Ta có 6 s ki n sơ c p Ai (i = 1, 6), trong đó Ai là s ki n xu t S ki n C đư c g i là t ng c a 2 s ki n A và B, ký hi u là C = A + B, n u C x y ra hi n m t i ch m i = 1, 2, . . . , 6. khi và ch khi ít nh t m t trong 2 s ki n A và B x y ra. A= “Xu t hi n m t có s ch m ch n”, ta suy ra A = A2 + A4 + A6 Ví d 8 B = “Xu t hi n m t có s ch m không vư t quá 3”, ta suy ra B = A1 + A2 + A3 . Hai ngư i th săn cùng b n m t con thú. N u g i A là s ki n ngư i th nh t b n trúng Khi đó C = A + B = A1 + A2 + A3 + A4 + A6 . con thú và B là s ki n ngư i th 2 b n trúng con thú, khi đó C = A + B là s ki n con thú b b n trúng. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 13 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 14 / 52
  4. S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n tích S ki n đ i l p S ki n C đư c g i là tích c a 2 s ki n A và B, ký hi u C = A.B (ho c AB), n u C x y ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. S ki n đ i l p v i s ki n A, ký hi u là A, là s ki n x y ra khi A không x y ra. Ta có Tích c a n s ki n A1 .A2 . . . An là s ki n x y ra khi c n s ki n cùng x y ra. Ví d 11 Ví d 10 Gieo m t con xúc x c m t l n, khi đó Hai ngư i th săn cùng b n m t con thú. N u g i A là s ki n ngư i th nh t b n trư t A = “Gieo đư c m t ch n” suy ra A= “Gieo đư c m t l ” con thú và B là s ki n ngư i th 2 b n trư t con thú, khi đó C = A.B là s ki n con A = “Gieo đư c m t 1 ch m” suy ra A= “Gieo không đư c m t 1 ch m” thú không b b n trúng. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 15 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 16 / 52 S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n và các phép toán Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n Quan h và phép toán c a các s ki n S ki n hi u Hi u c a 2 s ki n A và B, ký hi u là A − B, là s ki n x y ra khi và ch khi A x y ra nhưng B không x y ra. Thông thư ng ngư i ta ít s d ng s ki n hi u, mà thư ng bi n đ i nó thành s ki n tích như sau: A − B = A.B. Hai s ki n xung kh c Hai s ki n A và B đư c g i là xung kh c v i nhau n u chúng không đ ng th i x y ra trong m t phép th . A và B xung kh c khi và ch khi A.B = ∅. Picture1.png Ví d 12 M t x th b n 1 viên đ n vào bia. G i A là s ki n x th đó b n trúng vòng 8 và B là s ki n x th đó b n trúng vòng 10. Khi đó ta th y ngay AB = ∅ t c là A, B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 17 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 18 / 52 Hình 1: Sơ đ Venn th hi n các phép toán s ki n
  5. Các đ nh nghĩa xác su t Xác su t c a m t s ki n Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Xác su t c a m t s ki n Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Đ nh nghĩa 3.2 Xét m t phép th có h u h n k t qu có th x y ra (có n k t qu ), đ ng th i các k t qu này là đ ng kh năng xu t hi n; trong đó có m k t qu thu n l i cho s ki n A. Đ nh nghĩa 3.1 Khi đó: Xác su t c a m t s ki n là m t s n m gi a 0 và 1, s này đo lư ng kh năng xu t hi n m S trư ng h p thu n l i cho A P (A) = = . (3.1) c a s ki n đó khi phép th đư c th c hi n. Ký hi u xác su t c a s ki n A là P (A). n S trư ng h p có th x y ra M t s tính ch t cơ b n Ví d 13 0 ≤ P (A) ≤ 1; M t ngư i g i đi n tho i nhưng l i quên 2 ch s cu i c a s đi n tho i c n g i mà ch nh là 2 ch s đó khác nhau. Tìm xác su t đ ngư i đó ch n ng u nhiên 1 s đ g i thì P (Ω) = 1; P (∅) = 0; trúng s c n g i. P (A) + P A = 1. Gi i: G i A = “Ngư i đó ch n ng u nhiên 1 s g i thì trúng s c n g i”. S các k t qu có th x y ra khi ch n 2 ch s cu i là: n = A2 = 90; 10 S k t qu thu n l i cho vi c ch n đư c đúng s c n g i là m = 1; m 1 V y P (A) = = . Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 20 / 52 Tr n Minh Toàn () n 90 Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 21 / 52 Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Đ nh nghĩa xác su t theo c đi n Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Ví d 14 Trong h p có 4 viên bi tr ng và 6 viên bi đ cùng kích c . L y ng u nhiên đ ng th i ra Đ nh nghĩa 3.3 2 viên bi. Tính xác su t x y ra s ki n: Gi s t p h p vô h n các k t qu đ ng kh năng c a m t phép th có th bi u th b i 1 A = “Đư c 2 viên bi tr ng”; m t mi n hình h c Ω có đ đo (đ dài, di n tích, th tích, . . . ) h u h n khác 0, còn t p 2 B = “Đư c ít nh t 1 viên bi đ ”. các k t qu thu n l i cho s ki n A là m t mi n A. Khi đó xác su t c a s ki n A đư c xác đ nh b i: Gi i: 2 S cách l y ra 2 bi t h p là n = C10 = 45. Đ đo c a mi n A P (A) = . (3.2) 2 6 2 Đ đo c a mi n Ω 1 S cách l y đư c 2 bi tr ng là C4 = 6. V y P (A) = = . 45 15 2 Ta có B = "không có bi đ nào", suy ra B = A. Do đó Khái ni m đ ng kh năng trên Ω có nghĩa là đi m gieo có th rơi vào b t kỳ đi m nào c a Ω và xác su t đ nó rơi vào m t mi n con nào đó c a Ω t l v i đ đo c a mi n y. 2 13 P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A) = 1 − = . 15 15 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 22 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 23 / 52
  6. Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) Đ nh nghĩa xác su t theo quan đi m hình h c Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) Do tính đ ng kh năng là r t khó có đư c trong th c t , nên c n có m t cách khác đ Ví d 15 xác đ nh xác su t c a m t s ki n. Đư ng dây đi n tho i ng m n i m t t ng đài v i m t tr m dài 1km. Tính xác su t đ Đ nh nghĩa 3.4 dây đ t cách t ng đài không quá 100m. Gi s m t phép th có th th c hi n l p l i nhi u l n trong nh ng đi u ki n gi ng nhau. N u trong n l n th c hi n phép th trên có ml n xu t hi n s ki n A, khi đó t l Gi i m fn (A) = đư c g i là t n su t xu t hi n c a s ki n A trong n phép th . Rõ ràng n u dây đ ng ch t thì kh năng b đ t t i m t đi m b t kỳ trên dây là như n Cho s phép th tăng lên vô h n, t n su t xu t hi n A d n t i m t gi i h n xác đ nh, nhau, nên t p h p các k t qu có th x y ra có th bi u th b ng đo n th ng n i t ng gi i h n đó đư c đ nh nghĩa là xác su t c a A: đài v i tr m dài 1km. Còn s ki n A := “Dây b đ t cách t ng đài không quá 100m” đư c bi u th b ng đ dài 100m. Khi đó ta có m P (A) = lim fn (A) = lim . n→∞ n→∞ n 100 P (A) = = 0.1. 1000 Th c t P (A) đư c tính x p x b i t n su t fn (A) v i n đ l n. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 24 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 25 / 52 Các đ nh nghĩa xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) M t s công th c tính xác su t Công th c c ng xác su t Đ nh nghĩa xác su t theo t n su t (theo th ng kê) Công th c c ng xác su t N u A và B là hai s ki n xung kh c thì Ví d 16 P (A + B) = P (A) + P (B) . (4.3) Đ xác đ nh xác su t c a m t ngư i đàn ông 25 tu i s b ch t trong 1 năm s p t i, ngư i ta theo dõi 100000 nam thanh niên 25 tu i và th y r ng có 138 ngư i ch t trong vòng 1 năm sau đó. V y xác su t c n tìm x p x b ng: Ch ng minh. 138 Ta ch ng minh cho trư ng h p đơn gi n là phép th có n s ki n đ ng kh năng có th = 0.00138. x y ra, trong đó có mA kh năng thu n l i cho s ki n A và mB kh năng thu n l i cho 100000 s ki n B. Do A và B là 2 s ki n xung kh c nên AB = ∅, do đó s kh năng thu n l i cho s ki n A + B là m = mA + mB . Do đó ta có Chú ý 3.1 m mA + mB mA mB Đ nh nghĩa này ch dùng đư c cho các phép th ng u nhiên có th l p l i nhi u l n m t P (A + B) = = = + = P (A) + P (B). n n n n cách đ c l p trong các đi u ki n gi ng nhau. Ngoài ra đ xác đ nh m t cách tương đ i chính xác giá tr c a xác su t ta ph i ti n hành m t s đ l n các phép th , mà vi c này đôi khi không th th c hi n đư c do h n ch v th i gian và kinh phí. Công th c c ng xác su t: N u A và B là hai s ki n b t kỳ thì ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). (4.4) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 26 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 28 / 52
  7. M t s công th c tính xác su t Công th c c ng xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c c ng xác su t Công th c c ng xác su t Công th c c ng xác su t Ví d 17 Công th c c ng xác su t t ng quát: Cho n s ki n b t kỳ {Ai } , i = 1, n. Khi M t lô hàng g m 10 s n ph m, trong đó có 2 ph ph m. L y ng u nhiên đ ng th i t lô đó ta có hàng ra 6 s n ph m. Tìm xác su t đ có không quá 1 ph ph m trong 6 s n ph m đư c l y ra. n P Ai = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) − · · · + i=1 i i
  8. M t s công th c tính xác su t Xác su t có đi u ki n M t s công th c tính xác su t Xác su t có đi u ki n Xác su t có đi u ki n Xác su t có đi u ki n Công th c tính P (AB) P (A|B) = . (4.7) P (B) Ví d 20 T m t b bài tú lơkhơ 52 cây đã tr n k rút ng u nhiên ra m t cây bài. Bi t đó là cây Ch ng minh. đen, tính xác su t đó là cây át. Ta ch ng minh cho trư ng h p đ nh nghĩa xác su t theo c đi n. Gi s phép th có n kh năng x y ra và đ ng kh năng, trong đó mA kh năng thu n l i cho s ki n A, mB Gi i kh năng thu n l i cho s ki n B, mAB kh năng thu n l i cho s ki n AB. Ta có G i A "rút đư c cây át" và B “rút đư c cây đen”. Xác su t c n tính là P (A|B). mB mAB 26 1 2 P (B) = ; P (AB) = . Ta có P (B) = = ; P (AB) = , suy ra n n 52 2 52 Ta đi tính P (A|B). Vì s ki n B đã x y ra nên s kh năng có th x y ra ch còn là P (AB) 1 P (A|B) = = . mB , trong đó ch có mAB kh năng thu n l i cho s ki n A. Do đó ta có: P (B) 13 mAB mAB mB P (AB) P (A|B) = = : = . mB n n P (B) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 33 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 34 / 52 M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t T công th c xác su t có đi u ki n ta suy ra công th c nhân xác su t P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B) . T ng quát Đ nh nghĩa 4.2 Cho n s ki n A1 , A2 , . . . , An . Khi đó xác su t tích đư c tính như sau: Hai s ki n A và B đư c g i là đ c l p v i nhau n u vi c x y ra hay không x y ra s P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 ) .P (A2 |A1 ) .P (A3 |A1 A2 ) . . . P (An |A1 A2 . . . An−1 ) . ki n này không làm nh hư ng t i vi c x y ra hay không x y ra s ki n kia. T c là ta có: P (A) = P (A|B) = P (A|B) Đ nh nghĩa 4.3 P (B) = P (B|A) = P (B|A). Các s ki n A1 , A2 , . . . , An đư c g i là đ c l p (hay đ c l p trong t ng th ) n u vi c Hai s ki n A và B đ c l p v i nhau khi và ch khi x y ra hay không x y ra c a m t nhóm b t kỳ k s ki n (1 ≤ k ≤ n) không làm nh hư ng t i vi c x y ra hay không x y ra c a các s ki n còn l i. P (AB) = P (A).P (B). Khi đó ta có: P (A1 .A2 . . . An ) = P (A1 ).P (A2 ) . . . P (An ) Chú ý 4.1 N u A và B đ c l p thì các c p sau cũng đ c l p: A và B ; A và B ; A và B Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 35 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 36 / 52
  9. M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t Công th c nhân xác su t Ví d 21 Có 4 que thăm, trong đó có 3 que thăm dài b ng nhau và 1 que thăm ng n hơn. B n ngư i l n lư t lên rút ng u nhiên m t que thăm. Tính xác su t ngư i th i rút đư c thăm ng n (i = 1, 2, 3, 4). Ví d 22 Gi i Ba x th đ c l p v i nhau, m i ngư i b n m t viên đ n vào bia v i xác su t b n trúng G i Ai : “Ngư i th i rút đư c thăm ng n” v i i = 1, 2, 3, 4. Ta có c a t ng ngư i tương ng là 0.7; 0.8 và 0.9. Tính xác su t: 1 1 Có đúng 2 ngư i b n trúng; P (A1 ) = ; 4 2 Có ít nh t 1 ngư i b n trúng. 3 1 1 P (A2 ) = P A1 .P A2 |A1 = . = ; 4 3 4 3 2 1 1 P (A3 ) = P A1 A2 A3 = P A1 P A2 |A1 P A3 |A1 A2 = . . = ; 4 3 2 4 1 P (A4 ) = . 4 1 V y kh năng rút đư c thăm ng n c a 4 ngư i là như nhau và b ng . 4 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 37 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 38 / 52 M t s công th c tính xác su t Công th c nhân xác su t M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli Công th c nhân xác su t Công th c Bernoulli Gi i G i Ai : "ngư i th i b n trúng bia" v i i = 1, 2, 3. Theo bài ra ta có A1 , A2 , A3 đ c l p và P (A1 ) = 0.7; P (A2 ) = 0.8; P (A3 ) = 0.9. Đ nh nghĩa 4.4 1 G i A: "Có đúng hai ngư i b n trúng", khi đó (Dãy phép th Bernoulli) Ti n hành n phép th đ c l p. Gi s trong m i phép th ch A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 . Do ba s h ng trong t ng đôi m t xung có th x y ra m t trong hai trư ng h p: ho c s ki n A x y ra ho c s ki n A không kh c và các s ki n A1 , A2 , A3 đ c l p nên ta có: x y ra. Xác su t x y ra s ki n A trong m i phép th luôn b ng p. Đó chính là dãy phép th Bernoulli. P (A) = P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 = P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 Công th c Bernoulli = P (A1 ) P (A2 ) P A3 + P (A1 ) P A2 P (A3 ) + P A1 P (A2 ) P (A3 ) Xác su t đ s ki n A xu t hi n đúng k l n trong n phép th c a dãy phép th = 0.7 × 0.8 × (1 − 0.9) + 0.7 × (1 − 0.8) × 0.9 + (1 − 0.7) × 0.8 × 0.9 = 0.398. Bernoulli là: pn (k) = Cn pk q n−k , q = 1 − p; k = 0, 1, . . . , n. k (4.8) 2 G i B: “Có ít nh t 1 ngư i b n trúng bia” suy ra B: “Không có ai b n trúng”. Ta có B = A1 A2 A3 , suy ra P (B) = 1−P (B) = 1−P A1 A2 A3 = 1−P A1 P A2 P A3 = 1−0.3×0.2×0.1 = 0.994. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 39 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 40 / 52
  10. M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli Công th c Bernoulli Công th c Bernoulli Ví d 23 Ch ng minh. Gieo m t đ ng ti n 10 l n, đó là 10 phép th Bernoulli k Có Cn cách ch n k v trí trong n phép th đ x y ra s ki n A, các phép th còn l i M t ngư i b n 5 viên đ n, b n t ng viên m t vào m c tiêu. Đó là 5 phép th không x y ra A. ng v i m i cách ch n c đ nh k v trí x y ra s ki n A ta có xác su t Bernoulli. Nhưng n u 5 ngư i b n, m i ngư i b n 1 viên vào m c tiêu thì nói c a trư ng h p đó tính như sau: chung đó không ph i là phép th Bernoulli. T i nh ng phép th x y ra s ki n A thì xác su t x y ra là p; Gieo m t con xúc x c 100 l n, A là s ki n ra m t l c. Đó là 100 phép th T i nh ng phép th không x y ra s ki n A thì xác su t x y ra là q = 1 − p Bernoulli Do có k phép th x y ra A và n − k phép th không x y ra Anên xác su t x y ra trư ng h p có k phép th c đ nh x y ra A là pk q n−k . V y xác su t c n tính là Ví d 24 pn (k) = Cn pk q n−k . k Xác su t thành công c a m t thí nghi m sinh hóa là 40%. M t nhóm g m 9 sinh viên ti n hành cùng thí nghi m trên đ c l p v i nhau. Tìm xác su t đ : 1 Có đúng 5 thí nghi m thành công 2 Có ít nh t 1 thí nhi m thành công Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 41 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 42 / 52 M t s công th c tính xác su t Công th c Bernoulli Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Khái ni m nhóm đ y đ Công th c Bernoulli Khái ni m nhóm đ y đ Đ nh nghĩa 5.1 Nhóm các s ki n A1 , A2 , . . . , An (n ≥ 2) c a m t phép th đư c g i là m t nhóm đ y đ n u th a mãn 2 đi u ki n: Gi i Ai Aj = ∅, ∀i = j; Phép th là ti n hành thí nghi m. A là s ki n thí nghi m thành công. Ta có A1 + A2 + · · · + An = Ω. p = P (A) = 0.4; q = 1 − p = 0.6; n = 9. Ví d 25 1 Xác su t c n tính: p9 (6) = C9 p6 q 3 = C9 (0.4)6 (0.6)3 = 0.0743. 6 6 Xét phép th gieo m t con xúc x c 1 l n. 2 G i B là s ki n “có ít nh t 1 thí nghi m thành công”. Ta có B: “không có thí G i Ai : “Gieo đư c m t i ch m” v i i = 1, 2, . . . , 6. Ta có nhóm đ y đ nghi m nào thành công”. Khi đó {A1 , A2 , . . . , A6 }. G i P (B) = 1 − P B = 1 − (0.6)9 = 0.9899. A: “Gieo đư c m t ch n” B: “Gieo đư c m t 1 ch m ho c 3 ch m” C: “Gieo đư c m t 5 ch m” Khi đó {A, B, C} là m t nhóm đ y đ . Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 43 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 45 / 52
  11. Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Khái ni m nhóm đ y đ Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ Khái ni m nhóm đ y đ Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ Gi s A1 , A2 , . . . , An là m t nhóm đ y đ các s ki n. Xét s ki n H sao cho H ch Chú ý 5.1 x y ra khi m t trong các s ki n A1 , A2 , . . . , An x y ra. Nói cách khác H x y ra thì m t s ki n Ai nào đó x y ra. Khi đó ta có công th c xác su t đ y đ Đ i v i m t s ki n A thì ta có nhóm đ y đ A, A n Đ i v i 2 s ki n A và B thì ta có th thành l p m t nhóm đ y đ như: P (H) = P (Ai ) .P (H|Ai ) . (5.9) AB, AB, AB, A.B . i=1 Ch ng minh. Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 46 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 47 / 52 Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ Công th c xác su t đ y đ Ví d 26 Ví d 27 Xét m t lô s n ph m có s lư ng r t l n trong đó s s n ph m do phân xư ng I s n Có hai chu ng th . Chu ng th th nh t có 3 th tr ng và 3 th nâu. Chu ng th th xu t chi m 20%, phân xư ng II s n xu t chi m 30%, phân xư ng III s n xu t chi m hai có 6 th tr ng và 4 th nâu. B t ng u nhiên 2 con th t chu ng th nh t b vào 50%. Xác su t ph ph m c a phân xư ng I là 0.001; phân xư ng II là 0.005; phân xư ng chu ng th hai r i sau đó b t ng u nhiên 1 con th t chu ng th hai ra. Tính xác su t III là 0.006. L y ng u nhiên 1 s n ph m c a lô hàng. Tìm xác su t đ s n ph m đó là b t đư c th nâu t chu ng th hai. ph ph m. Gi i Gi i G i Ai : “Trong 2 con th b t t chu ng m t có i con th nâu” , i = 0, 1, 2. Ta có G i H: “S n ph m l y ra là ph ph m”; Ai : “S n ph m đó do phân xư ng i s n xu t” A0 , A1 , A2 l p thành m t nhóm đ y đ . G i H: “B t đư c th nâu t chu ng hai”. Ta có i = 1, 2, 3. Ta có {A1 , A2 , A3 } là m t nhóm đ y đ và 2 C3 1 C1C1 3 C2 1 P (A0 ) = 2 = ; P (A1 ) = 3 2 3 = ; P (A2 ) = 3 = 2 P (A1 ) = 0.2; P (A2 ) = 0.3; P (A3 ) = 0.5 C6 5 C6 5 C6 5 P (H|A1 ) = 0.001; P (H|A2 ) = 0.005; P (H|A3 ) = 0.006. 4 1 5 6 1 P (H|A0 ) = = ; P (H|A1 ) = ; P (H|A2 ) = = . 12 3 12 12 2 Áp d ng công th c xác su t đ y đ ta có Áp d ng công th c xác su t đ y đ : P (H) = P (A1 ) .P (H|A1 ) + P (A2 ) .P (H|A2 ) + P (A3 ) .P (H|A3 ) 2 1 1 3 5 1 1 5 = 0.2 × 0.001 + 0.3 × 0.005 + 0.5 × 0.006 = 0.0047. P (H) = P (Ai ) P (H|Ai ) = . + . + . = . i=0 5 3 5 12 5 2 12 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 48 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 49 / 52
  12. Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c Bayes Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c Bayes Công th c Bayes Công th c Bayes Trong công th c xác su t đ y đ , H là s ki n k t qu , còn các s ki n Ai i = 1, n là các s ki n nguyên nhân. N u bi t nguyên nhân nào x y ra thì ta Ch ng minh. xác đ nh đư c xác su t x y ra H. Theo công th c xác su t có đi u ki n ta có: Bây gi ngư c l i, ngư i ta đã bi t đư c k t qu x y ra H, mu n tính xác su t đ nguyên nhân th i x y ra là bao nhiêu, t c là đi tính P (Ai |H). P (Ai ) đư c g i là P (Ai H) P (Ai ).P (H|Ai ) P (Ai |H) = = . xác su t tiên nghi m, còn P (Ai |H) đư c g i là xác su t h u nghi m. P (H) P (H) n Ta có công th c Bayes: M t khác theo công th c xác su t đ y đ : P (H) = P (Aj ).P (H|Aj ). Thay vào công j=1 P (Ai )P (H|Ai ) th c trên ta có đpcm. P (Ai |H) = n , i = 1, 2, . . . , n. (5.10) j=1 P (Aj ).P (H|Aj ) Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 50 / 52 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 51 / 52 Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayes Công th c Bayes Công th c Bayes Ví d 28 M t nhà máy s n xu t bóng đèn có t l bóng đèn t t là 90%. Trư c khi xu t ra th trư ng, m i bóng đèn đ u đư c qua ki m tra ch t lư ng. Vì s ki m tra không tuy t đ i hoàn toàn nên m t bóng đèn t t có xác su t 0.9 đư c công nh n là t t, còn m t bóng đèn h ng có xác su t 0.95 b lo i b . 1 Tính t l bóng qua đư c ki m tra ch t lư ng. 2 Tính t l bóng h ng qua đư c ki m tra ch t lư ng. Gi i G i A: “Bóng đèn thu c lo i t t”; B: “Bóng đèn thu c lo i h ng”. Ta có A, B là m t nhóm đ y đ và P (A) = 0.9; P (B) = 0.1. G i H: "Bóng qua đư c ki m tra ch t lư ng", ta có P (H|A) = 0.9; P (H|B) = 0.05. 1 Theo công th c xác su t đ y đ ta có P (H) = P (A).P (H|A) + P (B).P (H|B) = 0.9 × 0.9 + 0.1 × 0.05 = 0.815. P (B).P (H|B) 0.1 × 0.05 2 Ta có P (B|H) = = = 0.0061. P (H) 0.815 Tr n Minh Toàn () Xác su t th ng kê Hà N i, tháng 8 năm 2012 52 / 52

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản