zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Giáo án điện tử

Chương 3: Không gian Vecto

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Báo xấu

141
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho V là một tập hơp với phép toán +. V được goi là không gian vecto

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3: Không gian Vecto

Bài gi ng môn h c Đ i s A1 Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Lê Văn Luy n lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đ i h c Khoa H c T Nhiên Tp. H Chí Minh Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 1 / 85
N i dung Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Không gian vectơ 2. T h p tuy n tính 3. Cơ s và s chi u c a không gian vectơ 4. Không gian vectơ con 5. Không gian nghi m c a h phương trình tuy n tính 6. T a đ và ma tr n chuy n cơ s Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 2 / 85
1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ Đ nh nghĩa. Cho V là m t t p h p v i phép toán +. V đư c g i là không gian vectơ trên K n u m i u, v, w ∈ V và α, β ∈ K ta có 8 tính ch t sau: (1) u+v = v +u; (2) (u+v )+w = u+(v +w); (3) t n t i 0 ∈ V : u+0 = 0+u = u; (4) t n t i u ∈ V : u +u = u+u = 0; (5) (αβ )u = α(βu); (6) (α + β )u = αu + βu; (7) α(u+v ) = αu+αv ; (8) 1.u = u. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 3 / 85
1. Không gian vectơ Khi đó ta g i: • m i ph n t u ∈ V là m t vectơ . • m i s α ∈ K là m t vô hư ng . • vectơ 0 là vectơ không . • vectơ u là vectơ đ i c a u. Ví d . Xét V = Kn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ K∀, i ∈ 1, n}. V i u = (a1 , a2 , . . . , an ), v = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Kn và α ∈ R, ta đ nh nghĩa phép c ng + và nhân . vô hư ng như sau: • u+v = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ); • αu = (αa1 , αa2 , . . . , αan ). Khi đó Kn là không gian vectơ trên K. Trong đó: Vectơ không là 0 = (0, 0, . . . , 0); Vectơ đ i c a u là −u = (−a1 , −a2 , . . . , −an ). Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 4 / 85
1. Không gian vectơ Ví d . T p h p Mm×n (K) v i phép c ng ma tr n và nhân ma tr n v i m t s th c thông thư ng là m t không gian vectơ trên K. Trong đó: Vectơ không là ma tr n không Vectơ đ i c a A là −A. Ví d . T p h p K[x] = {p(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 | n ∈ N, ai ∈ K, i ∈ 1, n} g m các đa th c theo x v i các h s trong K là m t không gian vectơ trên K v i phép c ng vectơ là phép c ng đa th c thông thư ng và phép nhân vô hư ng v i vectơ là phép nhân thông thư ng m t s v i đa th c. Ví d . T p h p Kn [x] g m các đa th c b c nh hơn ho c b ng n theo x v i các h s trong K là m t không gian vectơ trên K. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 5 / 85
1. Không gian vectơ Ví d . Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ K3 | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên K. Ví d . Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ K3 | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈ W / M nh đ . Cho V là m t không gian vectơ trên K. Khi đó v i m i u ∈ V và α ∈ K, ta có i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0); ii) (−1)u = −u. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 6 / 85
2. T h p tuy n tính 2. T h p tuy n tính 1.1 T h p tuy n tính 1.2 Đ c l p và ph thu c tuy n tính Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 7 / 85
2. T h p tuy n tính 2.1 T h p tuy n tính Đ nh nghĩa. Cho u1 , u2 , . . . , um ∈ V . M t t h p tuy n tính c a u1 , u2 , . . . , um là m t vectơ có d ng v i αi ∈ K u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um Khi đó, đ ng th c trên đư c g i là d ng bi u di n c a u theo các vectơ u1 , u2 , . . . , um . Ví d . • Vectơ u = (4, 4, 2) là t h p tuy n tính c a các vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), vì u = u1 + 2u2 − u3 . • Vectơ 0 luôn luôn là m t t h p tuy n tính c a u1 , u2 , ..., um vì 0 = 0u1 + 0u2 + . . . + 0um . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 8 / 85
2. T h p tuy n tính H i. Làm cách nào đ bi t u là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , ..., um ? Ta có u là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , ..., um khi phương trình u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um (∗) có nghi m α1 , α2 , . . . αm ∈ K. Xét trư ng h p không gian Kn . Gi s u = (b1 , b2 , . . . , bn ) u1 = (u11 , u21 . . . , un1 ); u2 = (u12 , u22 . . . , un2 ); ............................ um = (u1m , u2m . . . , unm ).   u11 α1 + u12 α2 + . . . + u1m αm = b1 ;  u21 α1 + u22 α2 + . . . + u2m αm = b2 ;  Khi đó (∗) ⇔ (∗∗)  ......................................  un1 α1 + un2 α2 + . . . + unm αm = bn .  Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 9 / 85
2. T h p tuy n tính   u11 u12 . . . u1m b1 u u22 . . . u2m b2  Ma tr n hóa (∗∗) ta đư c  21   ................... . .  un1 un2 . . . unm bn T c là (u1 u2 . . . um | u ) Như v y, đ ki m tra u là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , ..., um trong Kn ta làm như sau: • L p ma tr n hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • N u (1) vô nghi m, k t lu n u không ph i là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , ..., um . N u (1) có nghi m α1 , α2 , . . . αm thì u là t h p tuy n tính và có d ng bi u di n theo là u1 , u2 , ..., um : u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 10 / 85
2. T h p tuy n tính Ví d . Xét xem u = (−3, 1, 4) có là t h p tuy n tính c a các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?   1 −1 −2 −3 Gi i. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1 1 1 1 4     1 −1 −2 −3 10 3 4 d :=d −2d1 d :=d +d −2 − 2− −  0 7  − − − −2  0 1 −1 − 1 − − − −→ − −→ 1 5 5 7 d3 :=d3 −d1 d3 :=d3 −2d2 0 0 −7 −7 0 2 3 7   1001 d3 := −1 d3 − − −7 − →  0 1 0 2 . −−−− d1 :=d1 −3d3 0011 d2 :=d2 −5d3 H phương trình có nghi m duy nh t (α1 ; α2 ; α3 ) = (1; 2; 1). V y u là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , u3 . D ng bi u di n c a u là u = u1 + 2u2 + u3 . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 11 / 85
2. T h p tuy n tính Ví d . Xét xem u = (4, 3, 5) có là t h p tuy n tính c a các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?   1 1 −2 4 Gi i. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3 57 45     1 1 −2 0 −9 4 1 9 d :=d −2d1 d :=d −d −2 − 2− −  0 1 7 −5  − − − − 2  0 −1 − 1 − 7 −5  − − −→ − −→ 1 d3 :=d3 −5d1 d3 :=d3 −2d2 0 2 14 −15 0 −5 0 0 H vô nghi m vì 0x + 0y + 0z = −5. V y u không là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , u3 . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 12 / 85
2. T h p tuy n tính Ví d . Xét xem u = (4, 3, 10) có là t h p tuy n tính c a các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?   1 1 −2 4 Gi i. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3 57 4 10     1 1 −2 0 −9 4 1 9 d :=d −2d1 d :=d −d −2 − 2− −  0 1 7 −5  − − − − 2  0 −1 − 1 − 7 −5  − − −→ − −→ 1 d3 :=d3 −5d1 d3 :=d3 −2d2 0 2 14 −10 0 0 0 0 Nghi m c a h là (α1 ; α2 ; α3 ) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) V y u là t h p tuy n tính c a u1 , u2 , u3 . D ng bi u di n c a u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3 . Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 13 / 85
2. T h p tuy n tính Ví d . Trong không gian K4 cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm đi u ki n đ vectơ u = (a, b, c, d) là m t t h p tuy n tính c a u1 , u2 , u3 . Gi i.     2 −1 a −1 1 1 2 a 3 −1 b  b−a  1 0 1 0  |u )= → (u1 u2 u3   1 −1  0 −3 c−a  1 c 2 0 −2 d−a 1 0 1d 2     2 −1 0 2 −1 0 a a 0 −a + b −a + b 0 1 0 1 0   → → . 2 −4a + 3b + c  −4a + 3b + c  0 0 0 0 2 2 −3a + 2b + d a−b−c+d 0 0 00 0 Đ u là m t t h p tuy n tính c a u1 , u2 , u3 thì h có nghi m, t c là a + d = b + c. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 14 / 85
2. T h p tuy n tính 2.2 Đ c l p và ph thu c tuy n tính Đ nh nghĩa. Cho u1 , u2 , . . . , um ∈ V . Xét phương trình (∗) α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um = 0. • N u (∗) ch có nghi m t m thư ng α1 = α2 = . . . = αm = 0 thì ta nói u1 , u2 , . . . , um (hay {u1 , u2 , . . . , um }) đ c l p tuy n tính . • N u ngoài nghi m t m thư ng, (∗) còn có nghi m khác thì ta nói u1 , u2 , . . . , um (hay {u1 , u2 , . . . , um }) ph thu c tuy n tính . Nói cách khác, N u phương trình (∗) có nghi m duy nh t thì u1 , u2 , . . . , um đ c l p tuy n tính. N u phương trình (∗) có vô s nghi m thì u1 , u2 , . . . , um ph thu c tuy n tính. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 15 / 85
2. T h p tuy n tính Ví d . Trong không gian K3 cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). H i u1 , u2 , u3 đ c l p hay ph thu c tuy n tính? Gi i. Xét phương trình α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 = 0 ⇔ α1 (1, 2, −3) + α2 (2, 5, −1) + α3 (1, 1, −9) = (0, 0, 0)  α1 + 2α2 + α3 = 0;  ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0; −3α1 − α2 − 9α3 = 0.    1 2 1 Ma tr n hóa h phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên h có nghi m duy nh t. Suy ra u1 , u2 , u3 đ c l p tuy n tính. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 16 / 85
2. T h p tuy n tính Ví d . Trong không gian K3 cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). H i u1 , u2 , u3 đ c l p hay ph thu c tuy n tính? Gi i. Xét phương trình α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 = 0 ⇔ (α + 2α2 + α3 , α + α2 + 2α3 , α + 3α2 ) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0 α1 + 3α2 =0    121 Ma tr n hóa h phương trình, A =  1 1 2 . 130 Ta có r(A) = 2 nên h vô s nghi m. Suy ra u1 , u2 , u3 ph thu c tuy n tính. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 17 / 85
2. T h p tuy n tính Nh n xét. H vectơ u1 , u2 , . . . , um ph thu c tuy n tính khi và ch khi t n t i vectơ ui là t h p tuy n tính c a các vectơ còn l i. Th t v y, • N u u1 , u2 , . . . , um ph thu c tuy n tính thì có α1 , α2 , . . . , m αm ∈ K không đ ng th i b ng 0 sao cho αj uj = 0. Gi s j =1 αi = 0, khi đó 1 ui = − αj uj . αi j =i m • N u có ui sao cho ui = βj uj thì βj uj = 0, trong đó j =1 j =i βi = −1 = 0, đi u này ch ng t u1 , u2 , . . . , um ph thu c tuy n tính. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 18 / 85
2. T h p tuy n tính M nh đ . Cho V là không gian vectơ trên K và S = {u1 , u2 , . . . , um } là t p h p các vectơ thu c V . Khi đó • N u S ph thu c tuy n tính thì m i t p ch a S đ u ph thu c tuy n tính. • N u S đ c l p tuy n tính thì m i t p con c a S đ u đ c l p tuyên tính. H qu . Cho u1 , u2 , . . . , um là m vectơ trong Kn . G i A là ma tr n có đư c b ng cách x p u1 , u2 , . . . , um thành các dòng. Khi đó u1 , u2 , . . . , um đ c l p tuy n tính khi và ch khi A có h ng là r(A) = m. T H qu trên ta s xây d ng thu t toán ki m tra tính đ c l p tuy n tính c a các vectơ trong Kn Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 19 / 85
2. T h p tuy n tính Thu t toán ki m tra tính đ c l p tuy n tính c a các vectơ trong Kn Bư c 1: L p ma tr n A b ng cách x p u1 , u2 , . . . , um thành các dòng. Bư c 2: Xác đ nh h ng r(A) c a A. N u r(A) = m thì u1 , u2 , . . . , um đ c l p tuy n tính. N u r(A) < m thì u1 , u2 , . . . , um ph thu c tuy n tính. Trư ng h p m = n, ta có A là ma tr n vuông. Khi đó có th thay Bư c 2 b ng Bư c 2’ sau đây: Bư c 2’: Tính đ nh th c detA. N u detA = 0 thì u1 , u2 , . . . , um đ c l p tuy n tính. N u detA = 0 thì u1 , u2 , . . . , um ph thu c tuy n tính. Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 20 / 85

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.