Chương 4. Tích phân bất định

Chia sẻ: Tran Manh Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

141
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương này ta luôn giả thiết a, b là các số thực, a

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4. Tích phân bất định

Ch¬ng 4. TÝch ph©n bÊt ®Þnh 4.1. Nguyªn hµm vµ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh. 4.1.1. Nguyªn hµm. Trong ch¬ng nµy ta lu«n gi¶ thiÕt a, b lµ c¸c sè thùc, a < b. §Þnh nhÜa 4.1. Hµm F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm f(x) trªn (a;b), nÕu: F′ (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)). VÝ dô 4.1. x2 x2 , Φ(x) = + 4 trªn (−∞;+∞ ). V×: (i) f(x) = x cã c¸c nguyªn hµm F(x) = 2 2 F′ (x) = x = f(x); Φ ′ (x) = x = f(x) (∀x ∈ (−∞;+∞ )). − (ii) f(x) = x 1 cã nguyªn hµm F(x) = ln | x| trªn (−∞;+∞ )\{0} v×: − F′ (x) = x 1 = f(x) ) (∀x ∈ (−∞;+∞ )\{0}). §Þnh lý 4.1. NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). Khi ®ã, (i) Víi C lµ mét h»ng sè tuú ý th× F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). (ii) Mäi nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b) ®Òu cã d¹ng F(x) + K víi K lµ mét h»ng sè nµo ®ã. Chøng minh. (i) Víi C lµ mét h»ng sè tuú ý th× [F(x) + C]′ = F′ (x) = f(x) (∀x∈ (a;b)). VËy F(x) + C lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). (ii) Gi¶ sö Φ(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). nghÜa lµ Φ ′ (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)). ⇒ [F(x) − Φ(x)]′ = F′ (x) − Φ ′ (x) = f(x) − f(x) = 0 (∀x ∈ (a;b)). ⇒ F(x) − Φ(x) = K (∀x ∈ (a;b)) víi K lµ mét h»ng sè nµo ®ã.(®pcm) ý nghÜa cña ®Þnh lý. NÕu f(x) cã nguyªn hµm trªn (a;b) th× nã cã v« sè nguyªn hµm trªn (a; b) vµ hai nguyªn hµm kh¸c nhau cña f(x) trªn (a;b) sai kh¸c nhau mét h»ng sè. §Þnh lý 4.2. NÕu f(x) liªn tôc trªn (a;b) th× nã cã nguyªn hµm trªn (a; b). 1
Chó thÝch (i) §Þnh nghÜa 4.1 vµ c¸c ®Þnh lý 4.1, 4.2 cßn ®óng khi thay (a; b) b»ng [a; b]. V× vËy nã vÉn ®óng khi thay ( a; b) b»ng X lµ hîp cña c¸c tËp cã d¹ng (a; b) vµ [c; d] víi a, b, c, d, lµ c¸c sè thùc bÊt kú. (ii) Trong ch¬ng nµy, ta chØ xÐt ®Õn nguyªn hµm cña c¸c hµm liªn tôc. NÕu hµm ®îc cho cô thÓ vµ cã c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n, th× ta chØ kh¶o s¸t nguyªn hµm cña nã trªn c¸c kho¶ng mµ nã liªn tôc. V× vËy, khi ®· thõa nhËn ®Þnh lý 4.2 th× mçi khi tÝnh nguyªn hµm cña mét hµm nµo ®ã ta kh«ng cÇn xÐt sù tån t¹i nguyªn hµm cña nã n÷a. 4.1.2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh. §Þnh nghÜa 4.2. NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). Th× biÓu thøc F(x) + C víi C lµ mét h»ng sè tuú ý, ® îc gäi lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña hµm f (x) trªn (a;b) vµ ký hiÖu lµ: ∫ f ( x) dx . Trong ®ã, ∫ ®îc gäi lµ dÊu tÝch ph©n; f(x) ®îc gäi lµ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n; f(x)dx ®îc gäi lµ biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n; x lµ biÕn sè lÊy tÝch ph©n. VËy: ∫ f ( x ) d x = F(x) + C. 2 x d x = x + C; (ii) (i) ∫ ∫ cos xd x = − sin x + VÝ dô 4.2. C. 2 4.1.3. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh. TÝnh chÊt 4.1. NÕu f(x) cã nguyªn hµm trªn (a;b) th×: ′  ∫ f ( x ) d x  = f ( x ) (∀x ∈ (a;b));   d  ∫ f ( x ) d x  = f ( x ) d x (∀x ∈ (a;b)).   TÝnh chÊt 4.2. NÕu F(x) lµ hµm kh¶ vi trªn (a;b) th×: ∫ d  F ( x )  = F(x) + C (∀x ∈ (a;b)).   TÝnh chÊt 4.3. NÕu f(x), h(x) cã nguyªn hµm trªn (a;b) th×: 2
∫ f ( x) ± h ( x)  dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ h ( x) dx ;   ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x víi k lµ h»ng sè tuú ý. 4.1.4. B¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n. ∫ f ( x ) d x trªn (a;b) chØ NhËn xÐt 4.1. Tõ ®Þnh nghÜa 4.2 ta thÊy muèn tÝnh cÇn t×m mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b) råi céng víi C. Tõ ®ã ta cã b¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n sau:(víi a > 0 ) x α+1 dx ∫ x = ln x + C ∫ x d x = α + 1 + C (α ≠ −1) α ax ∫ e dx = e x x +C ∫ a d x = ln a + C (0 < a ≠ −1) x ∫ s in xd x = − cos x + C ∫ cos xd x = sin x + C dx dx ∫ cos 2 x = tgx + C ∫ sin 2 x = − cot gx + C dx ∫ 1 + x 2 = arctgx + C = −arc cot gx + C , dx ∫ = arcsin x + C = − arccos x + C 2 1− x dx x 1 dx x ∫ = arcsin +C ∫ a 2 + x 2 = a arctg a + C a a2 − x2 a+x dx 1 dx ∫ = ln x + x 2 ± a 2 + C ∫ a 2 − x 2 = 2a ln +C. a−x x2 ± a2 VÝ dô 4.3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: ∫ ( 3x ) x dx ∫ t gxd x . ∫ 1+ x2 d x ; ∫ sin 2 x cos 2 x ; 2 + 2x − 5 d x ; b) a) c) d) 3
∫ ( 3x ) + 2x − 5 d x = 3∫ x 2d x + 2∫ xd x − 5∫ d x = x 3 + x 2 − 5x + C . 2 Gi¶i. a) ( ) 2 1 d 1+ x ( ) 1 x b) ∫ dx = ∫ = ln 1 + x 2 + C . 1+ x2 2 1+ x2 2 sin 2 x + cos 2 x dx ∫ sin 2 x cos 2 x =∫ c) dx = sin 2 x cos 2 x dx dx =∫ +∫ = tgx − cot gx + C . cos 2 x sin 2 x s in x d cos x ∫ tgxd x = ∫ cos x d x = − ∫ = − ln cos x + C . d) cos x VÝ dô 4.4. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) ∫ s in k xd x , ∫ cos k xd x (víi k lµ h»ng sè kh¸c 0); dx ∫ dx dx ). (x− b) ∫ c) ∫ ; ; d) x2 − 4 sin 4 x + cos 4 x 3 + 2x 1 1 ∫ s in k xd x = k ∫ sin k xd k x = − k cos k x + C , Gi¶i. a) 1 1 ∫ cos k xd x = k ∫ cos k xd k x = k sin k x + C . b) ( ) ( ) x x d 3 + 2x 1 3+ 2 − 2 ( ) 1 1 1 dx x ∫ 3 + 2x = 3 ∫ 3 + 2x d x = 3 ∫ d x − 3 ln 2 ∫ 3 + 2x = 3 − 3 ln 2 ln 3 + 2 + C x . 1 dx dx dx dx ∫ sin 4 x + cos 4 x = 2∫ 2 − sin 2 2x = 2∫ 1 + cos 2 2x = 2∫ 1 cos 2 2x = c) 1+ cos 2 2x 1 d 2x d tg 2x 1 tg 2x =∫ =∫ = +C. . arctg 2 + tg 2 2x cos 2 2x 2 + tg 2 2x 2 2 4
) ) ( ( 2 1 1 dx ∫ ∫ x + x 2 − 4 d x = ∫ x 2 + 2x x 2 − 4 + x 2 − 4 d x = ) (x− d) 2 16 16 2 x −4 = ( ) d(x ) (x ) 12 1 1 13 1 1 1 3 ∫ x d x + 16 ∫ x − 4 ∫ d x = 24x + 24 2 2 2 2 −4 − −4 − x +C. = 8 4 4 ∫ f ( x ) d x víi f(x) lµ hµm h÷u tû theo x. VÝ dô 4.5. TÝnh x 3 + 4x 2 − 2x + 1 ∫ ¸p dông tÝnh: dx . x4 + x Pn ( x ) Gi¶i. f(x) lµ hµm h÷u tû theo x nghÜa lµ f(x) = trong ®ã Pn(x) vµ Pm(x) Pm ( x ) (m,n nguyªn d¬ng) lÇn lît lµ c¸c ®a thøc bËc n, m theo x. Pm(x) lµ ®a thøc bËc m theo x nªn nã ® îc ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc bËc nhÊt vµ c¸c tam thøc bËc hai v« nghiÖm. V× vËy, ®Ó tÝnh ticha ph©n trªn ngêi ta t¸ch hµm f(x) (theo ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh) thµnh tæng cña Bx + C A ( ) c¸c biÓu thøc cã d¹ng vµ víi A, B, C, x0 , k, p lµ c¸c p ( x − x0 ) k ax 2 + bx + c h»ng sè tho¶ m·n: a > 0; k vµ p nguyªn, kh«ng ©m. Sau ®ã t¸ch tÝch ph©n ®· cho thµnh tæng cña c¸c tÝch ph©n. x 3 + 4x 2 − 2x + 1 ¸p dông tÝnh: I = ∫ dx . x4 + x Ta cã: x4 + x = x(x + 1)(x2−x + 1) nªn x 3 + 4x 2 − 2x + 1 1 2 2x x 3 + 4x 2 − 2 x + 1 =− +2 = ( ) f(x) = . x ( x + 1) x 2 − x + 1 x x +1 x − x +1 x4 + x 1  2 2x dx dx xd x I = ∫ − d x = ∫ x − 2∫ x + 1 + 2∫ x 2 − x + 1 +2 VËy  x x + 1 x − x + 1 ( ) d x2 − x + 1 dx dx dx ∫ x − 2∫ x + 1 + ∫ x 2 − x + 1 + ∫ x 2 − x + 1 = 5
( ) x x2 − x + 1 2x − 1 2 + +C. arctg = ln ( x + 1) 2 3 3 4.2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh Trong thùc tÕ, nÕu chØ sö dông b¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n vµ tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh ®Ó gi¶i bµi to¸n tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh, th× trong nhiÒu trêng hîp kh«ng gi¶i ®îc. §Ó kh¾c phôc ®iÒu ®ã, sau ®©y chóng ta ® a ra hai ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh. 4.2.1. Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè. ∫ f ( x) dx (x ∈ [a; b]). Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n NÕu ®Æt x = ϕ (t) trong ®ã ϕ (t) t¨ng (hoÆc gi¶m), kh¶ vi trªn [α; β], ϕ ′ (t) liªn tôc trªn [α; β]; cã miÒn gi¸ trÞ [a; b]; vµ ϕ ′ (t) ≠ 0 (∀ t ∈ (α; β)). Th×: ∫ f ( x ) d x = ∫ f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) d t .   (c«ng thøc nµy gäi lµ c«ng thøc ®æi biÕn sè tÝnh tÝch ph©n). ′ ∫ f ( x ) d x  = f ( x ) . Chøng minh. Víi mçi x ∈ [a; b] ta cã: (4.1)  x MÆt kh¸c, v× ϕ (t) t¨ng (hoÆc gi¶m), kh¶ vi liªn tôc trªn [α; β]; ϕ′ (t) ≠ 0 (∀ t ∈ (α; β)) vµ cã miÒn gi¸ trÞ [a; b]. Do ®ã, tån t¹i duy nhÊt hµm ng îc t = t(x) t¨ng (hoÆc gi¶m), kh¶ vi liªn tôc trªn [a; b], cã miÒn gi¸ trÞ [ α; β] vµ: dx = ϕ′ 1 1 = (t)dt, t′ (x) = ′ . x ( t ) ϕ′ ( t ) ′ ′ { } { } ⇒ ∫ f ϕ ( t )  .ϕ′ ( t ) d t ∫ f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) d t .t ′ =     x x t 1 = f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) .t ′ = f ϕ ( t )  ϕ′ ( t ) . = f ϕ ( t )  = f ( x ) . (4.2)       x x′ t Tõ (4.1) vµ (4.2.) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý 4.1. (i) KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng khi thay [a; b] vµ [α; β] t¬ng øng thay 6
b»ng (a; b) vµ (α; β). (ii) Khi sö dông ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè (®Æt x = ϕ (t)) ®Ó tÝnh tÝch ph©n, ta ph¶i kiÓm tra ®Çy ®ñ c¸c ®iÒu kiÖn cña hµm ϕ (t). ∫ ∫ 9 − x 2 d x , b) x 2 + 4d x . VÝ dô 4.6. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) ∫ 9 − x 2 d x . Hµm f(x) = 9 − x 2 x¸c ®Þnh trªn [−3;3]. Gi¶i. a) §Æt x = 3 sin t = ϕ (t) t ∈ [ −π 2 ; π 2 ] ⇒ ϕ (t) t¨ng trªn [ −π 2 ; π 2 ], ϕ′ (t) = 3cost ≠ 0, liªn tôc trªn ( −π 2 ; π 2 ), cã miÒn gi¸ trÞ [−3;3] . V× t ∈ [ −π 2 ; π 2 ]⇒ 9 − x 2 = 3 1 − sin 2 t = 3 cos t = 3 cos t ; dx = 3cost dt. 9 9t 9 ∫ ( 1 + cos 2t ) d t = 2 + 4 sin 2t + C ⇒∫ 9 − x d x = 9∫ cos td t = 2 2 2  x 9 x9 = arcsin + sin  2 arcsin ÷ + C . 2 34 3  ∫ x 2 + 4d x . b) x 2 + 4 x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). Hµm f(x) = §Æt x = 2 tg t = ϕ (t) (t ∈( −π 2 ; π 2 )) ⇒ ϕ (t) t¨ng trªn( −π 2 ; π 2 ), ϕ′ (t) = 2 −π ; π ), cã miÒn gi¸ trÞ (−∞;+∞ ). 2 ≠ 0, liªn tôc trªn ( 22 cos t 2 2 2d t (v× t∈ ( −π 2 ; π 2 )). VËy: x 2 + 4 = 4tg 2t + 4 = = ⇒ dx = ; cos t cos t cos 2 t cos t d sin t ( ) ∫ cos 4 t d t = 4∫ 2d t dt ∫ x + 4d x = ∫ = 4∫ 2 2 4tg t + 4 ( ) =4 = 2 1 − sin 2 t cos 2 t cos 3 t 7
d ( 1 + sin t ) d ( 1 − sin t ) 2 1 1 d sin t ∫ ( 1 + sin t ) 2 ∫ 1 − sin t + 1 + sin t  d sin t = − ∫ ( 1 − sin t ) 2 + 2∫ 1 − sin 2 t + =   1 + sin t 1 1 − + ln +C= 1 − sin t 1 + sin t 1 − sin t ( ) ( ) −2 1 + tg 2t sin t + 2 ln 1 + tg 2t ( 1 + sin t ) + C  x2   x2   x   x  = −  2 + ÷sin  arctg ÷ + 2 ln  1 + ÷1 + sin  arctg ÷ + C. 2 2 4  2      ′ ∫ f ϕ ( t )  ϕ ( t )  dt , ta cã thÓ ®Æt t = −1 −1 Chó ý 4.2. NÕu tÝch ph©n cã d¹ng    ϕ(x). Trong ®ã, ϕ (x) t¨ng (hoÆc gi¶m), kh¶ vi trªn [a; b], ϕ ′ (x) liªn tôc trªn [a; b]; cã miÒn gi¸ trÞ [α; β]; vµ ϕ ′ (x) ≠ 0 (∀ t ∈ (a; b)) th×: ′ f ( x ) d x = ∫ f ϕ−1 ( t )   ϕ−1  ( t ) d t . ∫    KÕt qu¶ trªn vÉn ®óng khi thay [a; b] vµ [α; β] t¬ng øng b»ng (a; b) vµ (α; β). ∫( ) ( 3x − 5) 19 d x , ∫ x − 3 x dx . VÝ dô 4.7. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) b) ( 3x − 5) 19 d x . ∫ Hµm f(x) = (3x − 5)19 x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). Gi¶i. a) §Æt t = 3x − 5 = ϕ (x). Th× ϕ (x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn (−∞;+∞ ); ϕ′ (x) = 3 (≠ 0) liªn tôc trªn (−∞;+∞ ); cã miÒn gi¸ trÞ (−∞;+∞ ). VËy 1 1 1 ( 3x − 5) 19 d x = ∫ t 19d t = t 20 + C = ( 3x − 3) 20 + C . ∫ 3 60 60 ∫( ) x − 3 x d x . Hµm f(x) = x − 3 x x¸c ®Þnh trªn [0;+∞ ). b) 1 x = ϕ (x). Th× ϕ (x) x¸c ®Þnh, t¨ng [0;+∞ ); ϕ′ (x) = (≠ 0) 6 §Æt t = 66 x 5 liªn tôc trªn (0;+∞ ); cã miÒn gÝa trÞ [0;+∞ ). VËy: 8
∫( ) ( ) 2 3 x − 3 x d x = 6∫ t 3 − t 2 t 5d t = 6∫ t 8d t − 6∫ t 7d t = t 9 − t 8 + C 3 4 26 9 36 8 = x− x +C 3 4 VÝ dô 4.8. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: arcsin2xdx dx dx dx ∫ ∫ ∫ 2+ 3 7+ x , ∫ x x −3, a) b) c) , d) . 1 − 4x 2 ex + 3 1 dx ∫ 2+ 3 7+ x x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ )\{−15}. Gi¶i. a) . Hµm f(x) = 2+ 3 7+ x §Æt t = 2 + 3 7 + x = ϕ (x) víi x ≠ −15. 1 Th× ϕ (x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn ( −∞;+∞ )\{−15}; ϕ′ (x) = (≠ 0) liªn 33 ( 7 + x ) 2 tôc trªn (−∞;+∞ )\{−15}; cã miÒn gi¸ trÞ (−∞;+∞ )\{0}. VËy : ( t − 2) 2 dt 3 2 dx ∫ 2 + 3 7 + x = 3∫ t d t = 3∫ td t − 12∫ d t + 12∫ t = 2 t − 12t + 12 ln t + C ( ) 3 2 2+ 3 7+ x − 24 − 12 3 7 + x + 12 ln 2 + 3 7 + x + C . = 2 1 dx ∫ x x −3 x¸c ®Þnh trªn (3;+∞ ). b) . Hµm f(x) = x x −3 9
x − 3 = ϕ (x). Th× ϕ (x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn (3;+∞ ); ϕ′ (x) = §Æt t = 1 (≠ 0) liªn tôc trªn (3;+∞ ); cã miÒn gi¸ trÞ (0;+∞ ). VËy: 2 x −3 x −3 2td t 2 2 dx dt t ∫ x x −3 =∫ 2 = 2∫ = +C = +C arctg arctg ( ) ( 3) 2 t +3 t 3 3 3 3 + t2 . 1 dx c) ∫ x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). . Hµm f(x) = ex + 3 ex + 3 §Æt t = e x + 3 = ϕ (x). ex Th× ϕ (x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn (−∞;+∞ ); ϕ′ (x) = (≠ 0) liªn tôc trªn 2 ex + 3 (3;+∞ ); cã miÒn gi¸ trÞ ( 3 ;+∞ ). VËy: ex + 3 − 3 t− 3 2td t 1 1 dx dt ∫ =∫ 3 = 2∫ = +C = +C ln ln () 2 t − 3t 3 t+ 3 3 ex + 3 ex + 3 + 3 t2 − 3 a rcsin 2xd x a rcsin 2x 11 ∫ x¸c ®Þnh trªn (− ; ). d) . Hµm f(x) = 1 − 4x 2 1 − 4x 2 22 2 11 §Æt t = arcsin2x= ϕ (x). Th× ϕ (x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn (− ; );ϕ′ (x) = 1 − 4x 2 22 11 (≠ 0) liªn tôc trªn (− ; ); cã miÒn gi¸ trÞ (−1;1). 22 2d x 2d x 2d x 1 = = ⇒ dx = cost dt ⇒ dt = . VËy cos t 1 − sin 2 t 1 − 4x 2 2 arcsin 2xd x ∫ = 2∫ td t = t 2 + C = arcsin 2 2x + C . 1 − 4x 2 4.2.2. Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. 10
NÕu u(x), v(x) lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn miÒn X th×: d(uv) = udv + vdu. LÊy tÝch ph©n bÊt ®Þnh hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn ta cã: ∫u ( x) dv ( x) = u ( x) v ( x) − ∫v ( x) du ( x) . (C«ng thøc trªn ®îc gäi lµ c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn). VÝ dô 4.9. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) ∫ xe d x , b) ∫e ∫ x sin ∫ a rc sin xd x . 2x 2 nx sin m xd x (n, m ≠ 0), c) xd x , d) Gi¶i. a) ∫ xe d x . Hµm f(x) = xe2x x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). 2x §Æt u(x) = x ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞ )); 1 2x v′ (x) = e2x ⇒ v(x) = e (∀x ∈ (−∞;+∞ )). 2 1 2x 1 2x 1 1 1 1 ⇒ ∫ xe d x = xe − ∫ e d x = xe2 x − ∫ e2 x d 2x = xe2 x − e2 x + C . 2x 2 2 2 4 2 4 ∫e nx sin m xd x (n, m ≠ 0). Hµm f(x) = enxsin mx x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). b) §Æt u(x) = sin mx ⇒ u′ (x) = mcos mx (∀x ∈ (−∞;+∞ )); 1 nx v′ (x) = enx ⇒ v(x) = e (∀x ∈ (−∞;+∞ )). n 1 nx m ⇒ ∫ e sin m xd x = e sin m x − ∫ en x cos m xd x . nx n n §Æt u1(x) = cos mx ⇒ u1′ (x) = −msin mx (∀x ∈ (−∞;+∞ )); 1 nx v1′ (x) = enx ⇒ v1(x) = e (∀x ∈ (−∞;+∞ )). n  1 nx  1 nx m m ⇒ ∫ e sin m xd x = e cos m x + ∫ en x sin m xd x  nx e sin m x − n n n n   m2 1 nx m e sin m x − 2 en x cos m x − 2 ∫ en x sin m xd x . = n n n 11
n m ⇒∫ e sin m xd x = nx enx sin m x − 2 en x cos m x + C . 2 2 2 n +m n +m c) 1 1 1 1 1 x ( 1 − cos 2x ) d x = ∫ xd x − ∫ x cos 2xd x = x 2 − ∫ x cos 2xd x ∫ x sin xd x = 2∫ 2 2 2 4 2 . u(x) = x ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞ )); §Æt 1 v′ (x) = cos 2x ⇒ v(x) = sin 2x (∀x ∈ (−∞;+∞ )). 2 ⇒ 12 1 1 1 1 1 ∫ x sin xd x = x − x sin 2x + ∫ sin 2xd x = x 2 − x sin 2x − cos 2x + C . 2 4 4 4 4 4 8 ππ ∫ a rc sin xd x . Hµm f(x) = arcsin x x¸c ®Þnh trªn (− ;+ ). d) 22 1 π π u(x) = arcsin x ⇒ u′ (x) = (∀x ∈ (− ;+ )); §Æt 2 1− x 2 2 π π v′ (x) = 1 ⇒ v(x) = x (∀x ∈ (− ;+ )). 2 2 −1 ( ) ( ) 1 xd x ∫ ar sin xd x = x arcsin x − ∫ = x arcsin x + ∫ 1 − x 2 d 1− x2 2 ⇒ 2 1− x2 = x arcsin x + 1 − x 2 + C . VÝ dô 4.10. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: xd x ∫x ∫ sin 2 x , b) 2 ∫ a 2 + x 2 d x (a > 0), d) sin m xd x (m ≠ 0), c) a) dx ∫ (1+ x ) . 3 2 xd x x ∫ sin 2 x x¸c ®Þnh trªn (0; π). Gi¶i. a) . Hµm f(x) = sin 2 x 12
u(x) = x ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (0; π)); §Æt 1 v′ (x) = ⇒ v(x) = −cotg x (∀x ∈ (0; π)). s in 2 x ⇒ xd x cos x d sin x ∫ sin 2 x = − x cot gx + ∫ cot gxd x = − x cot gx + ∫ d x = − x cot gx + ∫ sin x sin x = − x cot gx + ln sin x + C . ∫x 2 sin m xd x (m ≠ 0). Hµm f(x) = x2 sin mx x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). b) ⇒ u′ (x) = 2x (∀x ∈ (−∞;+∞ )); u(x) = x2 §Æt 1 v′ (x) = sin mx ⇒ v(x) = − cos mx (∀x ∈ (−∞;+∞ )). m 12 2 ∫ x sin m xd x = − x cos m x + ∫ x cos m xd x . 2 ⇒ m m ⇒ u1′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞ )); §Æt u1(x) = x 1 v1′ (x) = cos mx ⇒ v1(x) = sin mx (∀x ∈ (−∞;+∞ )). m 21  12 1 ∫x x cos m x +  x sin m x − ∫ sin m xd x  2 sin m xd x = − ⇒ m m m m  12 2 2 =− x cos m x + 2 x sin m x + 3 cos m x + C . m m m ∫ a 2 + x 2 d x (a > 0). Hµm f(x) = a 2 + x 2 x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ). c) x ⇒ u′ (x) = (∀x ∈ (−∞;+∞ )); §Æt u(x) = 2 2 a +x a2 + x2 v′ (x) = 1 ⇒ v(x) = x (∀x ∈ (−∞;+∞ )). x2 a2 + x 2 − a2 ⇒I= ∫ a + x d x = x a + x − ∫ dx = x a + x − ∫ 2 2 2 2 2 2 dx 2 2 2 2 a +x a +x dx = x a2 + x2 − ∫ a2 + x2 d x + a2 ∫ = x a 2 + x 2 − I + a 2 ln x + a 2 + x 2 2 2 a +x 13
1 1 x a 2 + x 2 + a 2 ln x + a 2 + x 2 + C . ⇒I = 2 2 dx dx d) §Æt I = ∫ ,J= ∫ (1+ x ) (1+ x ) . 3 2 2 2 1+ x2 − x2 x 2d x dx Ta cã: I = ∫ =∫ dx = J − ∫ . (1+ x ) ( 1+ x ) (1+ x ) 3 3 3 2 2 2 ⇒ u′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞ )); §Æt u(x) = x −1 x v′ (x) = ⇒ v(x) = (∀x ∈ (−∞;+∞ )). ( ) ( ) 3 2 1 + x2 4 1+ x2 x 2d x 3 −x x 1 + ⇒∫ = + J J ⇒I = ( ) 4. (1+ x ) ( ) 2 3 2 4 4 1+ x2 2 4 1+ x2 1+ x2 − x2 x 2d x x 2d x dx dx ∫ =∫ dx = ∫ 1+ x2 ∫ 1+ x2 = arctgx − ∫ − J= . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1+ x2 1+ x 1+ x ⇒ u1′ (x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞ )); §Æt u1(x) = x x −1 ( ) v1′ (x) = ⇒ v1(x) = 2 1 + x 2 (∀x ∈ (−∞;+∞ )). ( 1+ x ) 2 2 1 dx 1 x x −∫ ⇒ J = arctgx + = + arctgx + C . 2 2 2 2 + 2x 2 1+ x 2 + 2x 2 3x 3 x + + arctgx + C ⇒I = ( ) . 2 2 8 + 8x 8 4 1+ x2 4.2.3. TÝch ph©n cña mét sè líp hµm. Th«ng qua c¸c vÝ dô tõ 4.3 ®Õn 4.10 chóng ta cã ® îc ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n cã d¹ng: ∫ Pn ( x ) e ∫ Pn ( x ) sin m xd x ; ∫ Pn ( x ) cos m xd x mx dx ; ∫ Pn ( x ) arcsin xd x ; ∫ Pn ( x ) arccos xd x ∫e nx sin m xd x ; 14
∫e nx ∫ ∫ a2 ± x2 d x ; x 2 − a2 d x cos m xd x ; ∫ f ( x, ) ∫ f ( x ,cx + d ) d x ; k x ,n x dx trong ®ã f(x,t) lµ hµm h÷u tû theo x vµ theo t, P n(x) lµ ®a thøc bËc n theo x; n, k lµ c¸c sè nguyªn d¬ng; a lµ h»ng sè d¬ng; c, d, m lµ h»ng sè kh¸c 0. Sau ®©y chóng ta ®a ra ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n cña mét sè líp hµm quan träng kh¸c. mx + n 1. TÝnh I = ∫ dx ( ax ) . (a, b, c n, m, k lµ c¸c h»ng sè ; a, m, k kh¸c 0 vµ k 2 + bx + c ax2 + bx + c = 0 v« nghiÖm). m mb (2ax + b) + n − Ta cã: d(ax2 + bx + c) = (2ax + b)dx ; mx + n = . 2a 2a ( ) 2 m d ax + bx + c  mx + n mb dx ∫ dx ∫2 ∫2 + n − ( ) VËy: = . 2a  ax + bx + c k ( ) ( ) k k ax 2 + bx + c 2a ax + bx + c   TÝch ph©n thø nhÊt ®· cã d¹ng c¬ b¶n, tÝnh tÝch ph©n thø hai b»ng c¸ch b ®Æt t = x + . 2a VÝ dô 4.11. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 5x + 3 2x + 3 ∫ ∫ x 2 − x + 1d x , dx . a) b) − x 2 + 2x + 5 Gi¶i. a) ( ) ( ) d x−1 d x2 − x + 1 2x + 3 dx 2 ∫ x 2 − x + 1d x = ∫ x 2 − x + 1 + 4∫ x 2 − x + 1 = ln x − x + 1 + 4∫ 2 ( ) 2 x−1 +3 2 4 2x − 1 8 2 = ln x − x + 1 + +C. arctg 3 3 15
( ) +3 d ( x − 1) d − x 2 + 2x + 5 5x + 3 ∫ d x = −5∫ ∫ b) = 22 − ( x − 1) − x 2 + 2x + 5 2 − x 2 + 2x + 5 2 x −1 −5 − x 2 + 2x + 5 + 3 arcsin + C. 2 ∫ f ( sin x ,cosx ) d x . (trong ®ã f(sinx, cosx) lµ hµm h÷u tû theo sinx 2. TÝnh I = vµ cosx).  π π x = h(x). Th× h(x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn  − ; ÷, h′ (x) = §Æt t = tg  4 4 2 1  π π x (≠ 0) liªn tôc trªn  − ; ÷, cã miÒn gi¸ trÞ (−∞;+∞ ). 2 2 cos  4 4 2 1− t2 2t 2d t ,cos x = ,d x = Ta cã: sinx = . Do ®ã, ta chuyÓn ®îc viÖc 1+ t2 1+ t2 1+ t2 tÝch ph©n cña hµm h÷u tû theo sinx vµ cosx vÒ viÖc tÝnh mét tÝch ph©n cña hµm h÷u tû theo t. VÝ dô 4.12. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: dx dx a) I = ∫ ∫ cos x . , b) J = 2 sin x + 1  π π x = h(x). Th× h(x) x¸c ®Þnh, t¨ng trªn  − ; ÷, h′ (x) = Gi¶i. §Æt t = tg  4 4 2 1  π π x (≠ 0) liªn tôc trªn  − ; ÷, cã miÒn gi¸ trÞ (−∞;+∞ ). 2 2 cos  4 4 2 1− t2 2t , cosx = Ta cã: sinx = . Khi ®ã: 1+ t2 1+ t2 16
d ( t + 2) t + 2− 3 1 dx dt ∫ 2 sin x + 1 = ∫ t 2 + 4t + 1 = ∫ ( t + 2) 2 − 3 = 2 +C = ln t +2+ 3 3 x + 2− 3 tg 1 2 +C ln 2 3 tg x + 2 + 3 2 1 1+ t  x π 1 dx dt ⇒∫ =∫ = ln + C = ln tg  + ÷ + C . 1− t2 2 1− t 2  2 4 cos x Chó ý 4.3. Trªn ®©y chóng ta ®· ® a ra ph¬ng ph¸p chung ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n cña c¸c hµm h÷u tû theo sin x vµ cos x. Tuy nhiªn, trong mét sè tr êng hîp ®Æc biÖt ta l¹i cã c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c hiÖu qu¶ h¬n. Ch¼ng h¹n: (i) NÕu hµm f(sin x, cos x) lµ hµm ch½n theo sin x vµ lÎ theo cos x th× ®Æt: t = cos x. (ii) NÕu hµm f(sin x, cos x) lµ hµm ch½n theo cos x vµ lÎ theo sin x th× ®Æt: t = sin x. (iii) NÕu hµm f(sin x, cos x) lµ hµm ch½n theo c¶ cos x vµ sin x th× sö dông c«ng 2sin2 x = 1 − cos 2x, 2cos2 x = 1 + cos 2x. thøc h¹ bËc: (iiii) NÕu hµm f(sin x, cos x) lµ hµm lÎ theo cos x vµ sin x th× ®Æt: t = sin2 x. VÝ dô 4.13. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) ∫ s in xd x , b) ∫ s in ∫ s in ∫ s inx cos 3 2 x cos 3 xd x , c) 2 x cos 4 xd x , d) 3 xd x . Gi¶i. a) ∫ s in xd x . §Æt t = cosx ⇒ dt = − sinxdx. 3 ( ) 13 1 ⇒ ∫ sin xd x = − ∫ 1 − t d t = −t + t + C = − cos x + cos x + C . 3 2 3 3 3 ∫ s in 2 x cos 3 xd x . §Æt t = sinx ⇒ dt = cosxdx. b) ( )1 1 1 1 ∫ sin x cos 3 xd x = ∫ t 2 1 − t 2 d t = t 3 − t 5 + C = sin 3 x − sin 5 x + C . 2 ⇒ 3 5 3 5 1 1 ∫ ( 1 − cos 2x ) ( 1 + cos 2x ) d x = 8 ∫ ( 1 + cos 2x ) sin 2xd x . 2 ∫ sin 2 x cos 4 xd x = 2 c) 8 17
1 1 ∫ ( 1 + cos 2x ) ( 1 − cos 4x ) d x = 16  ∫ ( 1 + cos 2x − cos 4x − cos 4x cos 2x ) d x  =   16 1 1  ∫ ( 1 − cos 4x ) d x  +  32 ∫ ( cos 2x − cos 6x ) d x =  16 1 1 1 1 + s in 2x − sin 4x − sin 6x + C . = 16 64 64 192 1 1 sin 2x cos 2 xd x = ∫ sin 2x ( 1 + cos 2x ) d x. . ∫ sinx cos xd x = 2∫ 3 d) 4 §Æt t = cos2x ⇒ dt = −2 sin2xdx. ∫ s inx cos 3 xd x = ⇒ 1 1 11 1 1 8∫ d t − ∫ td t = − t − t 2 + C = − cos 2x − cos 2 2x + C . − 8 88 8 8 C©u hái «n tËp ch¬ng 4 C©u 1: Cho hµm f(x) x¸c ®Þnh trªn (a; b). §Þnh nghÜa nguyªn hµm cña f(x) trªn (a; b). Chøng tá r»ng nÕu f(x) cã mét nguyªn hµm F(x) trªn ( a; b) th× mäi nguyªn hµm cña f(x) trªn (a; b) ®Òu ®îc biÓu thÞ díi d¹ng F(x) + C, trong ®ã C lµ mét h»ng sè bÊt kú. C©u 2: §Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh; nªu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña nã. C©u 3: Nªu sù kh¸c nhau gi÷a nguyªn hµm vµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña hµm f(x) trªn (a; b). C©u 4: Tr×nh bÇy néi dung cña c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n: ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn vµ ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè. C©u 5: Tr×nh bÇy ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n cña c¸c hµm h÷u tû, v« tû vµ c¸c hµm lîng gi¸c. 18