Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Việc ôn tập sẽ trở nên đơn giản hơn khi các em đã có trong tay Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Tham khảo tài liệu không chỉ giúp các em củng cố kiến thức môn học mà còn giúp các em rèn luyện giải bài tập, nâng cao tư duy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A.LÝ THUYẾT B.DẠNG BÀI MINH HỌA I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Chứng minh hệ thức Phương pháp giải Sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng minh. Bài 1. Cho ABC nhọn có đường cao AH . Chứng minh AB 2  AC 2  BH 2  CH 2 . Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD tại O . Chứng minh AB 2  CD 2  AD 2  BC 2 .   2 AM  AB  Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A A  900 , kẻ BM  CA . Chứng minh  2   1. MC  BC  Bài 4 . Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE 2  EK .EG ; 1 1 1 b)   ; AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB  a, CD  b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng 1 1 1 1 song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng    . OE OG a b Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc Phương pháp giải Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn. Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn. Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm. Bài 1. Cho ABC vuông tại A có đường cao AH , có AB  15 cm, AH  12 cm . Tính BH , BC , CH , AC Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ DE  AC  E  AC  . Biết AB  9 cm, AC  17 cm, CD  15 cm. a) Tính AD , BC , DE . b) Tính S ABCD , S ABC . 3 Bài 3. Cho ABC vuông tại A , có AB  AC , BC  30 cm . Tính AB , AC . 4 Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC). 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) Tính cạnh hình thoi biết AB  c, BC  a . 2ac b) Chứng minh BD  với AB  c, BC  a . ac c) Tính độ dài AB, BC, biết AD  m, DC  n, DE  d . Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ / / BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết PQ  a, FE  b . Tính độ dài của BC. Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE  2 . Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF  3 . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC. Dạng 3. Toán thực tế Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn. Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là   37,   31. Tính chiều dài CD của cây cầu. Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2, 5 m . Tính chiều cao cây. Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 k m . Quán Game ở tại vị trí C , biết AC  800 m và AB  AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An. 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng? A B H C A. AH 2 = AB.AC . B. AH 2 = BH .CH . C. AH 2 = AB.BH . D. AH 2 = CH .BC . Câu 2: "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng .. ". Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là: A. Tích hai cạnh góc vuông. B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông. D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông. Câu 3: Cho tam ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai? A c b h c' b' B H C a 1 1 1 A. b 2 = b ¢.c . B. 2 = 2 + 2. C. a.h = b ¢.c ¢ . D. h 2 = b ¢.c ¢ . h a b Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai? A B H C AB 2 + AC 2 A. AB 2 = BH .BC . B. AC 2 = CH .BC . C. AB .AC = AH .BC .D. AH 2 = AB 2 .AC 2 Câu 5: Tìm x , y trong hình vẽ sau: 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A 12 x y B H C 20 A. x = 7, 2; y = 11, 8 . B. x = 7; y = 12 . C. x = 7, 2; y = 12, 8 . D. x = 7, 2; y = 12 . Câu 6: Tính x , y trong hình vẽ sau: A 10 x y B H C 16 A. x = 6, 5; y = 9, 5 . B. x = 6, 25; y = 9, 75 .C. x = 9, 25; y = 6, 75 . D. x = 6; y = 10 . Câu 7: Tìm x , y trong hình vẽ sau: A 10 8 B x H y C A. x = 3, 6; y = 6, 4 . B. y = 3, 6; x = 6, 4 . C. x = 4; y = 6 . D. x = 2, 8; y = 7, 2 . Câu 8: Tính x , y trong hình vẽ sau: A 3 4 B x H y C A. x = 3, 2; y = 1, 8 . B. x = 1, 8; y = 3, 2 . C. x = 2; y = 3 . D. x = 3; y = 2 . Câu 9: Tìm x , y trong hình vẽ sau: 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A 5 7 x B H C y 35 74 35 74 A. x = ; y = 74 . B. y = ; x = 74 . C. x = 4; y = 6 . D. x = 2, 8; y = 7, 2 . 74 74 Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , chiều cao AH và AB = 5; AC = 12 . Đặt BC = y; AH = x . Tính x , y . 60 60 A. x = 4; y = 119 . B. y =; x = 13 . C. x = 4, 8; y = 13 . D. x = ; y = 13 . 13 13 Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ^ BC ( H thuộc BC ). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15cm . Tính độ dài đoạn thẳng BH . A. BH = 5, 4 . B. BH = 4, 4 . C. BH = 5, 2 . D. BH = 5 . Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ^ BC ( H thuộc BC ). Cho biết AB : AC = 4 : 5 và BC = 41 cm . Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). A. CH » 2, 5 . B. CH » 4 . C. CH » 3, 8 . D. CH » 3, 9 . Câu 13: Tính x trong hình vẽ sau: A 12 13 x B H C A. x = 14 . B. x = 13 . C. x = 12 . D. x = 145 . Câu 14: Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A 15 20 x B H C A. x » 8, 81 . B. x » 8, 82 . C. x » 8, 83 . D. x » 8, 80 . Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết: AB : AC = 3 : 4 và AH = 6cm . Tính độ dài các đoạn thẳng CH . A. CH = 8 . B. CH = 6 . C. CH = 10 . D. CH = 12 . Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết AB : AC = 3 : 7 và AH = 42cm . Tính độ dài các đoạn thẳng CH . 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A. CH = 96 . B. CH = 49 . C. CH = 98 . D. CH = 89 . Câu 17: Tính x , y trong hình vẽ sau: A x y B 1 H 4 C A. x = 2 5; y = 5 . B. x = 5; y = 3 5 . C. x = 5; y = 2 5 . D. x = 2 5; y = 2 5 . Câu 18: Tính x , y trong hình vẽ sau: A x y B 2 H 5 C A. x = 14; y = 35 . B. x = 35; y = 14 . C. x = 24; y = 3 5 . D. x = 6; y = 15 . Câu 19: Tính x trong hình vẽ sau: M x x 6 N D P 8 A. x = 6 2 . B. x = 8 2 . C. x = 8 3 . D. x = . 2 Câu 20: Tính x trong hình vẽ sau: M x x 8 N D P A. x = 6 2 . B. x = 6 . C. x = 6 3 . D. x = 82 . Câu 21: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D . Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết AD = 12cm , DC = 25cm . Tính độ dài BC , biết BC < 20 . A. BC = 15cm . B. BC = 16cm . C. BC = 14cm . D. BC = 17cm . Câu 22: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D . Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết AD = 10cm , DC = 20cm . Tính độ dài BC . 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A. BC = 3 61 cm . B. BC = 2 61 cm . C. BC = 15 cm . D. BC = 61 cm . Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 5 : 12 và AB + AC = 34cm . Câu 23: Tính các cạnh của tam giác ABC . A. AB = 5; AC = 12; BC = 13 . B. AB = 24; AC = 10; BC = 26 . C. AB = 10; AC = 24; BC = 26 . D. AB = 26; AC = 12; BC = 24 . Câu 24: Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A. AH » 9, 23; BH » 7, 69;CH » 18, 31 . B. AH » 9, 3; BH » 7, 7;CH » 18, 3 . C. AH » 8, 23; BH » 8, 69;CH » 17, 31 . D. AH » 7, 69; BH » 8, 23;CH » 17, 77 . Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm . Câu 25: Tính các cạnh của tam giác ABC . A. AB = 9; AC = 10; BC = 15 . B. AB = 9; AC = 12; BC = 15 . C. AB = 8; AC = 10; BC = 15 . D. AB = 8; AC = 12; BC = 15 . Câu 26: Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH . A. BH = 7, 2; AH = 5, 4;CH = 9, 6 . B. CH = 7, 2; BH = 5, 4; AH = 9, 6 . C. AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9 . D. AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9, 6 . Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC (hình vẽ). A E D B M H N C AB 2 Câu 27: Tỉ số bằng với tỉ số nào sau đây? AC 2 AB 2 HC AB 2 HB AB 2 HA AB 2 HC A. 2 = . B. 2 = . C. 2 = . D. 2 = . AC HB AC HC AC HB AC HA AB 3 Câu 28: Tỉ số bằng với tỉ số nào sau đây? AC 3 AB 3 BD AB 3 AD AB 3 BD AB 3 EC A. 3 = . B. 3 = . C. 3 = . D. 3 = . AC EC AC EC AC ED AC BD Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 9 cm,CH = 16 cm . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M , N . (hình vẽ). A E D B M H N C 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 29: Tính độ dài đoạn thẳng DE . A. DE = 12 cm . B. DE = 8 cm . C. DE = 15 cm . D. DE = 16 cm . Câu 30: Tính độ dài đoạn MN ? A. MN = 15 cm . B. MN = 13 cm . C. MN = 12, 5 cm . D. MN = 12 cm . Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 9cm,CH = 16cm . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M , N . (hình vẽ). A E D B M H N C Câu 31: Tính diện tích tứ giác DENM . A. SDENM = 57 cm 2 . B. S DENM = 150 cm 2 . C. S DENM = 37, 5 cm 2 . D. SDENM = 75 cm 2 . Câu 32: Tính độ dài đoạn thẳng DE . A. DE = 5 cm . B. DE = 8 cm . C. DE = 7 cm . D. DE = 6 cm . Câu 33: Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 3 2 A. MN = BC . B. MN = BC . C. MN = BC . D. MN = BC . 3 2 4 3 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 4cm,CH = 9cm . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M , N . (hình vẽ). A E D B M H N C Câu 34: Tính diện tích tứ giác DENM . A. S DENM = 19, 5 cm 2 . B. S DENM = 20, 5 cm 2 . C. SDENM = 19 cm 2 . D. S DENM = 21, 5 cm 2 . Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH . Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, DE . (hình vẽ) 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C N M D H E Câu 35: Tính CD .CM bằng: A. CH .CE . B. CE .CN . C. CH .CN . D. CD .CN . 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
III.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm . Tính BH , AH . Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 5cm, BC = 13cm , đường cao AH . Tính AH . Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC . AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE .AC  = ABC b) ADE  Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao. Các điểm N , M trên các đường thẳng   BD,CE sao cho AMB = ANC = 900 . Chứng minh rằng tam giác AMN cân. Bài 5: Cho hình vuông ABCD , một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB . Gọi F là giao điểm của DE và BC . 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 = 2 + DA DE DF 2 Bài 6:Cho đoạn thẳng AB = 4cm . C là điểm di động sao cho BC = 3cm . Vẽ tam giác AMN vuông tại 1 1 A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để + đạt giá trị lớn nhất. AM 2 AN 2  = 1200 Bài 7: Cho hình thoi ABCD với A . Tia Ax tạo với tia BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M , cắt đường CD tại N . 1 1 4 Chứng minh rằng: 2 + 2 = AM AN 3AB 2 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao. Cho biết BH = x , HC = y . x +y Chứng minh rằng: xy £ 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN GIẢI I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI Dạng 1 Chứng minh đẳng thức hình học Bài 1. Cho ABC nhọn có đường cao AH . Chứng minh AB 2  AC 2  BH 2  CH 2 . Lời giải Xét  ABH vuông tại H , ta có: AB 2  AH 2  BH 2 1 . Xét ACH vuông tại H , ta có: AC 2  AH 2  CH 2  2 . Lấy 1   2  ta được: AB 2  AC 2  BH 2  CH 2 (đpcm). Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD tại O . Chứng minh AB 2  CD 2  AD 2  BC 2 . Lời giải Lần lượt xét các tam giác vuông AOD , AOB , BOC , DOC ta được:  AD 2  OA2  OD 2 1  2 CD  OC  OD  2  2 2   AB  OA  OB  3 2 2 2  BC 2  OB 2  OC 2  4    1   4  Lấy  , ta được:  2    3  AB 2  CD 2  OA2  OB 2  OC 2  OD 2   AD  BC  OA  OB  OC  OD 2 2 2 2 2 2  AB 2  CD 2  AD 2  BC 2 .   2 AM  AB  Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A A  900 , kẻ BM  CA . Chứng minh  2   1. MC  BC  11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Lời giải Gọi H là trung điểm BC. Lại có ABC cân tại A.  AH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.Xét AHC và BMC     900 AHC  BMC có:   AHC  BMC  g.g    BCM chung BC MC BC 2 MC      BC 2  2 MC . AC 1 . AC HC AC BC 2 2 AM  AB  AC  MC  AB  Xét:  2  1   2  1 MC  BC  MC  BC  2 AC  AB  AC 2. AB 2   2    (Thay 1 vào) MC  BC  MC 2.MC . AC AB 2  AC   AC 2  AB 2 (luôn đúng)  đpcm. AC Bài 4.Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE 2  EK .EG ; 1 1 1 b)   ; AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Lời giải EK EB a) Vì AD / / BK   (1) AE ED AE EB Vì AB / / DG   (2) EG ED EK EB AE Từ (1) và (2) có:    AE 2  EK .EG AE ED EG Vậy AE 2  EK .EG AE DE AE BE b) Vì AD / / BK   ; AB / / DG   AK DB AG BD AE AE DE BE BD 1 1 1 nên     1   AK AG BD BD BD AK AG AE 1 1 1 Vậy   . AK AG AE c) Đặt AB  a, AD  b BK AB a KC CG KC BK b Vì AB / / CG    ; AD / / CK    nên  KC CG CG AD DG b a DG  BK .DG  a.b (hằng số). Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB  a, CD  b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng 1 1 1 1 song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng    . OE OG a b Lời giải 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
OE DE OE DE Vì OE / / AB nên    (theo hệ quả định lý Ta-lét) (1). AB DA a DA OE AE OE AE Vì OE / / CD nên    (theo hệ quả định lý Ta- DC DA b DA lét) (2). OE OE DE AE 1 1 Từ (1) và (2) ta được     1  OE     1 a b DA DA a b 1 1 1    a b OE 1 1 1 Tương tự có:   a b OG 1 1 1 1 Vậy    . OE OG a b 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài 1. Cho ABC vuông tại A có đường cao AH , có AB  15 cm, AH  12 cm . Tính BH , BC , CH , AC Lời giải Xét ABC vuông tại A , có đường cao AH . Ta có: 1 1 1  2  2  AH AB AC 2 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2 2  AC AH AB 12 15 400  AC  20  cm  .  BC  AB  AC  15  20  625 2 2 2 2 2  BC  25  cm  AB 2 152  AB 2  BH .BC  BH    9  cm  . BC 25 AC 2 20 2  AC 2  CH .CB  CH    16  cm  . CB 25 Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ DE  AC  E  AC  . Biết AB  9 cm, AC  17 cm, CD  15 cm. a) Tính AD , BC , DE . b) Tính S ABCD , S ABC . Lời giải a. Xét ADC vuông tại D , có đường cao DE , ta được:  AD  AC  DC  17 15  64 2 2 2 2 2  AD  8  cm  . 1 1 1 1 1 289  2  2  2  2 2  . DE AD DC 8 15 14400 120  DE   cm  . 17 Từ B kẻ BH  DC  H  DC  .  AD  BH . Ta lại có: AB  DH ( ABCD là hình thang)   90 0 . và BAD  ABDH là hình chữ nhật.  AB  DH  9  cm   .  AD  BH  8  cm  Xét BHC vuông tại H , ta được: BC 2  BH 2  HC 2  82   DC  DH  2  64  36  100  BC  10  cm  . b. Ta có: 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 AB  DC  . AD  92  S ABCD  2  cm  .  2 1 8.15 S ADC   AD.DC   60  cm 2  . 2 2  S ABC  S ABCD  S ADC  92  60  S ABC  32  cm2  . 3 Bài 3. Cho ABC vuông tại A , có AB  AC , BC  30 cm . Tính AB , AC . 4 Lời giải 3x Gọi AC  x  cm   AB   cm  với x  0. Xét 4 ABC vuông tại A , có 9x2 BC 2  AB 2  AC 2  900   x2 16  x 2  576  x  24 . Vậy AC  24  cm  , AB  18  cm  . Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC). a) Tính cạnh hình thoi biết AB  c, BC  a . 2ac b) Chứng minh BD  với AB  c, BC  a . ac c) Tính độ dài AB, BC, biết AD  m, DC  n, DE  d . Lời giải a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x. ED AE Vì ED / / BC nên  (hệ quả định lý Ta-lét) BC AB x cx    cx  a  c  x   cx  ac  ax a c ac   a  c  x  ac  x  ac ac Vậy x  . ac b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK  BA . Ta có tam giác ABK cân tại B nên BKA   BAK1 ABC (tính chất góc ngoài tam giác). 2   DBF Mà EBD 1 ABC     BD / / AK  BD  CB (hệ quả định lý Ta-lét) AKB  DBF 2 AK CK BD CB a    (1) AK BC  BK a  c Trong tam giác ABK có: AK  AB  BK  c  c  2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2). a 2ac Từ (1) và (2) có: BD  .2c  ac ac 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2ac Vậy BD  . ac ED AD d m d m  n c) Vì ED / / BC nên  (hệ quả định lý Ta-lét)    BC  BC AC BC m  n m d m  n Tương tự có AB  n d m  n d m  n Vậy BC  và AB  . m n Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ / / BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết PQ  a, FE  b . Tính độ dài của BC. Lời giải Đặt BC  x . Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có: 1 1 1 1 ax     GE  GF  GE GF a x ax ax 2ax 2ax  GE  GF  2  EF  b ax ax ax ab  ab  bx  2ax  0  x  2a  b ab Vậy BC  . 2a  b Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE  2 . Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF  3 . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC. Lời giải Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF. AB BE BE 2 1 Vì AB / / CG nên     (hệ quả định lý Ta-lét) CG EC BC  BE 6  2 2  CG  2 AB  2.6  12  FG  CG  CF  12  3  9 BH CF Vì AH / / CG nên  AB FG BH 3 3    BH  6.  2  BH  BE 6 9 9 Xét BAE và BCH có:  BE  BH  theo treân      ABE  CBH  90  AB  BC tính chaát hình vuoâng     BAE  BCH  c.g .c   BEA   BHC   AMC  MAH  AHM  MAH AEB  90 Vậy  AMC  90 . 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3: Toán thực tế: Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn. Lời giải   90 . Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC. Ta có: BAC   42 . Theo giả thiết, ta có BCA Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:   AB  AB  AC.tan BCA tan BCA   7,5 tan 42  6, 75  cm  AC Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm). Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là   37,   31. Tính chiều dài CD của cây cầu. Lời giải Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu.   BD Ta có: tan BAD AB  BD  AB.tan BAD  920.tan 37  920.0, 754  693, 68  m    BC Mặt khác: tan BAC AB   920.tan 31  920.0, 6  552  m   BC  AB.tan BAC Vậy chiều dài của cây cầu là: CD  BD  BC  693, 68  552  141, 68  m  . Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2, 5 m . Tính chiều cao cây. Lời giải 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi chiều dài dây là AC và chiều cao cây là AB. Đặt AB  x  m  với x  0, 5 . Do khi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn  0, 5 m .  AC  x  0, 5  m  Xét ABC vuông tại B , ta được: AC 2  BC 2  AB 2   x  0,5  2,52  x 2  x 2  x  0, 25  6, 25  x 2 2  x  6. Vậy cây cao 6 m . Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 k m . Quán Game ở tại vị trí C , biết AC  800 m và AB  AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An. Lời giải 800 m = 0,8 Km. Xét ABC vuông tại A , ta có: BC 2  AB 2  AC 2  2000 2  800 2  BC  2154  m   2,154  Km  . Thời gian An đi từ nhà đến quán Game là AC 0,8 t1    0,16  h  . v1 5 Thời gian Bảo đi từ nhà đến quán Game là BC 2,154 t2   h . v2 v2 Do An và Bảo đến cùng lúc nên 2,154 t1  t2   0,16 v2  v2  13,5  Km/h  . Vậy Bảo sẽ đi với vận tốc  13, 5 Km/h. 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu 1. Lời giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức HA2 = HB.HC . Đáp án cần chọn là B. 2. Lời giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức HA2 = HB.HC . Hay "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền". Đáp án cần chọn là B. 3. Lời giải: Nhận thấy ah = bc nên phương án C là sai. Đáp án cần chọn là C. 4. Lời giải: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có các hệ thức 1 1 1 AC 2 = CH .BC ; AB 2 = BH .BC ; AB.AC = BC .AH và 2 = 2 + . AH AB AC 2 AB 2 + AC 2 1 1 Nhận thấy phương án D: AH 2 = 2 2 = 2 + là sai. AB .AC AB AC 2 Đáp án cần chọn là D. 5. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB 2 144 AB 2 = BH .BC  BH = = = 7, 2  CH = BC - BH = 20 - 7, 2 = 12, 8 . BC 20 Vậy x = 7, 2; y = 12, 8 . Đáp án cần chọn là C. 6. Lời giải: Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB 2 100 AB 2 = BH .BC  BH = = = 6, 25  CH = BC - BH = 16 - 6, 25 = 9, 75 . BC 16 Vậy x = 6, 25; y = 9, 75 . Đáp án cần chọn là B. 7. Lời giải: Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 100  BC = 10 . Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB 2 62 AB 2 = BH .BC  BH = = = 3, 6 hay x = 3, 6 . BC 10  CH = BC - BH = 10 - 3, 6 = 6, 4 hay y = 6, 4 . Vậy x = 3, 6; y = 6, 4 . Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải: Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 25  BC = 5 . Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB 2 32 AB 2 = BH .BC  BH = = = 1, 8 hay x = 1, 8 . BC 5  CH = BC - BH = 5 - 1, 8 = 3, 2 hay y = 3, 2 . 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy x = 1, 8; y = 3, 2 . Đáp án cần chọn là B. 9. Lời giải: Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 74  BC = 74 . Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB.AC 5.7 35 74 35 74 AH .BC = AB.AC  AH = = = . Vậy x = ; y = 74 . BC 74 74 74 Đáp án cần chọn là A. 10. Lời giải: A 5 12 x B H C y Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 169  BC = 13 . Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB.AC 5.12 60 60 AH .BC = AB.AC  AH = = = . Vậy x = ; y = 13 . BC 13 13 13 Đáp án cần chọn là D. 11. Lời giải: A B H C AB AC AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 AB 2 + AC 2 Ta có: AB : AC = 3 : 4  =  = = = 3 4 9 16 9 + 16 25 BC 2 225 = = =9 25 25 (Vì theo định lý Pytago ta có AB 2 + AC 2 = BC 2  AB 2 + AC 2 = 225 ) AB 2 AC 2 Nên = 9  AB = 9; = 9  AC = 12 . 9 16 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: AB 2 81 AB 2 = BH .BC  BH = = = 5, 4 . Vậy BH = 5, 4 . BC 15 Đáp án cần chọn là A. 12. Lời giải: 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com