Đáp án đề thi cuối học kỳ II năm học 2017-2018 môn Toán cao cấp C2 - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Chia sẻ: Mỹ Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi cuối học kỳ II năm học 2017-2018 môn Toán cao cấp C2 cung cấp cho người đọc nội dung đề thi và bài giải chi tiết 6 câu hỏi trong đề thi. Đề thi giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án đề thi cuối học kỳ II năm học 2017-2018 môn Toán cao cấp C2 - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2017-2018 KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG MOÂN: TOAÙN CAO CAÁP C2 BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ moân hoïc: MATH 130901 Thôøi gian : 90 phuùt (14/6/2018) Ñeà thi goàm 2 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu Caâu 1 (1,5 ñieåm-Tính gaàn ñuùng baèng vi phaân caáp 1, caáp 2)   Vôùi   0 beù, taäp B (a, b), ε   ( x, y )  R 2 : ( x  a) 2  ( y  b) 2  ε goïi laø   laân caän (a, b) hay goïi taét laø laân caän (a,b) . Neáu haøm z  f ( x, y ) coù taát caû caùc ñaïo haøm rieâng f x' , f y' , f xx '' , f yy '' , f xy '' lieân tuïc trong B(a, b), ε  thì : i) L( x, y )  f (a,b) + f x' (a, b)( x  a) + f y' (a, b)( y  b)  f ( x, y ) ( x, y)  B(a, b), ε  Coâng thöùc xaáp xæ naøy goïi laø xaáp xæ tuyeán tính (linear approximation) cuûa f ( x, y ) trong laân caän (a, b) . ii) Q( x, y )  f (a, b) + f x' (a, b)( x  a ) + f y' (a, b)( y  b)  f xy '' (a, b)( x  a )( y  b)  1 '' 1 ''  f xx (a, b)( x  a) 2 + f yy (a, b)( y  b) 2  f ( x, y ) ( x, y )  B(a, b), ε  2 2 Coâng thöùc xaáp xæ naøy goïi laø xaáp xæ bậc hai (Quadratic approximation) cuûa f ( x, y ) trong laân caän (a, b) . Tìm L( x, y ) và Q( x, y ) cuûa haøm soá f ( x, y )  xe 2 y  x 2  ln(1  y ) trong laân caän (2,0) . Caâu 2 (1,5 ñieåm-Moâ hình toái öu hoùa saûn xuaát daïng Cobb-Douglas ) Moät coâng ty söû duïng K ñôn vò voán vaø L ñôn vò lao ñoäng thì löôïng saûn phaåm saûn xuaát ñöôïc laø Q( K , L)  80.K 0.2 L0.8 Moãi ñôn vò voán chi phí $50 vaø moãi ñôn vò lao ñoäng chi phí $25 ; töùc laø chi phí cho caû voán vaø löïc löôïng lao ñoäng laø C  50 K  25 L Haõy xaùc ñònh K vaø L ñeå löôïng saûn phaåm saûn xuaát ñöôïc lôùn nhaát vaø tính löôïng saûn phaåm lôùn nhaát ñoù, bieát raèng soá tieàn chi phí coâng ty söû duïng khoâng vöôït quaù $500,000 . Caâu 3 (1,5 ñieåm- ÖÙng duïng tích phaân suy roäng vaøo xaùc suaát - Haøm maät ñoä cuûa phaân phoái muõ) Tính tích phaân suy roäng 1 e  3 x 1   x. f  x dx vôùi f ( x )   khi x0 3 0 khi x0   Moät coâng ty hoaït ñoäng trong lónh vöïc kinh doanh vaø dòch vuï thöïc hieän khaûo saùt roài moâ hình hoùa vaø  tính ñöôïc thôøi gian ñôïi trung bình cuûa moät khaùch haøng cuûa coâng ty xaáp xæ laø TTB   x. f x dx , vôùi  x laø thôøi gian coù ñôn vò tính laø phuùt. Hoûi trung bình moãi khaùch haøng cuûa coâng ty ñôïi xaáp xæ bao nhieâu phuùt? Caâu 4 (1,5 ñieåm- Moâ hình ñoäng veà giaù saûn phaåm) (thôøi gian t tính baèng thaùng, giaù p tính baèng USD) Bieát giaù p  p(t ) cuûa moät loaïi saûn phaåm(haøng hoùa) taïi thôøi ñieåm t thoûa phöông trình vi phaân p' '4 p'3 p  600  e 0.2t vaø p(0)  $300 Giaûi phöông trình vi phaân tìm p(t ) . Öôùc tính giaù cuûa saûn phaåm sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
Caâu 5 (2 ñieåm-Moâ hình taêng tröôûng logistic coù thu hoaïch-Logistic growth with harvesting) Baïn tham gia vaøo moät döï aùn troàng, chaêm soùc, baûo toàn, phaùt trieån khai thaùc beàn vöõng moät khu röøng. Giaû söû löôïng röøng (taïm söû duïng ñôn vò laø: ñôn vò röøng) ôû thôøi ñieåm t (ñôn vò tính laø naêm) ñöôïc xaáp xæ bôûi haøm y (t ) , thoûa phöông trình vi phaân logistic coù thu hoaïch y ' (t )  ky(8  y )  H (t ) trong ñoù k  const  0 laø haèng soá tyû leä, H (t ) laø toác ñoä thu hoaïch. Giaûi phöông trình tìm y (t ) bieát: k  0.025 , y (0)  4 (taïi thôøi ñieåm baét ñaàu döï aùn coù 4 ñôn vò röøng), H (t ) = 0.2 (toác ñoä khai thaùc lieân tuïc haøng naêm laø 0.2 ñôn vò röøng). Löôïng röøng seõ xaáp xæ bao nhieâu sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn? Caâu 6 (2 ñieåm- Moâ hình söû duïng, khai thaùc, thanh lyù thieát bò- Resale value problem) Giaù trò baùn laïi r (t ) cuûa moät maùy sau t naêm seõ giaûm vôùi toác ñoä tyû leä vôùi hieäu giöõa giaù trò hieän taïi vaø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy. Töùc laø, neáu S laø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy thì r (t ) thoûa phöông trình dr  k r  S  , vôùi k  const  0 laø haèng soá tyû leä dt Giaûi phöông trình xaùc ñònh r (t ) bieát giaù trò mua môùi cuûa maùy laø $50,000, giaù trò 5 naêm sau laø $10,000 vaø giaù trò pheá lieäu S = $1,000. Moät coâng ty mua môùi maùy naøy vaø khai thaùc ñuùng 5 naêm thì baùn laïi. Trong 5 naêm khai thaùc maùy naøy, coâng ty ñöôïc moät doøng lôïi nhuaän lieân tuïc laø f (t )  $12,000 /naêm vaø doøng tieàn naøy ñöôïc chuyeån lieân tuïc vaøo trong moät taøi khoaûn nhaän laõi lieân tuïc vôùi laõi suaát haøng naêm laø 5% (töùc laø r  0.05 , nhaäp laõi lieân tuïc vaøo voán-compounded continuosly). Tính giaù trò hieän taïi doøng lôïi nhuaän f (t ) sau 5 naêm; tính giaù trò hieän taïi tieàn baùn laïi maùy cuoái naêm thöù 5; tính giaù trò hieän taïi roøng cuûa caû 5 naêm mua, khai thaùc, baùn laïi maùy naøy. Cho bieát Giaù trò hieän taïi cuûa doøng tieàn ñöôïc chuyeån lieân tuïc vaøo trong moät taøi khoaûn trong khoaûng thôøi gian 0  t  T vôùi toác ñoä cho bôûi haøm f (t ) vaø taøi khoaûn naøy nhaän laõi suaát haøng naêm laø r (nhaäp laõi lieân tuïc vaøo voán-compounded continuosly) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc T PV   f (t )e  rt dt 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………  Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Caâu 1, 2: Tính ñöôïc ñaïo haøm rieâng, vi phaân, tìm cöïc trò, GTLN &GTNN G1: 1.1, 1.2 haøm nhieàu bieán vaø bieát öùng duïng vaøo ñôøi soáng G2: 2.1, 2.2, , 2.1.4 ; Caâu 3, 6: Tính ñöôïc tích phaân haøm moät bieán vaø bieát öùng duïng vaøo ñôøi soáng G1: 1.1, 1.2;G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Caâu 4, 5, 6: Giaûi ñöôïc phöông trình vi phaân caáp 1, caáp hai vaø vaø bieát öùng G1: 1.1, 1.2 duïng vaøo ñôøi soáng. G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Ngaøy 12 thaùng 6 naêm 2018 THOÂNG QUA BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑAÙP AÙN TOAÙN C2 (ngaøy thi 14/6/2018) Caâu Noäi dung Ñieåm hoûi Caâu1 1,5ñ f ( x, y )  xe 2y  x  ln(1  y ) 2 TXĐ: D  ( x, y )  R : y   1 2 1 f x'  e 2 y  2 x , f y'  2 xe 2 y  1 y '' f xx  2 , f xy ''  2e 2 y , f yy ''  4 xe 2 y  1 0.5ñ (1  y ) 2 i)Tìm L( x, y ) : f (2,0)  2e 20  22  ln(1  0)  6 , f x' (2, )0  e 20  2  2  5 , 1 f y' (2,0)   2  2e 20  5 1 0 0.25ñ L( x, y )  f (2,0) + f x' (2,0)( x  2) + f y' (2,0)( y  0)  6  5( x  2)  5( y  0)  5 x  5 y  4  xe2 y  x 2  ln(1  y )  f ( x, y ) , ( x, y )  B(2,0),   0.25ñ '' ii) Tìm Q( x, y ) : f xx (2,0  2 , f xy '' (2,0)  2e 20  2 , 1 '' f yy (2,0)  4  2  e 20  7 (1  0) 2 0.25ñ Q( x, y )  f (2,0) + f x' (2,0)( x  2) + f y' (2,0)( y  0)  f xy '' (2,0)( x  2)( y  0)  1 '' 1 ''  f xx (2,0)( x  2) 2 + f yy (2,0)( y  0) 2 2 2 1 1  5 x  5 y  4  2( x  2)( y  0)  2( x  2) 2  7( y  0) 2 0.25ñ 2 2 7 2  x2  y  2 xy  x  y  f ( x, y ) , ( x, y )  B(2,0),   2 Caâu 2 1,5ñ Baøi toaùn trôû thaønh, tìm giaù trò lôùn nhaát haøm soá Q( K , L)  80.K L 0.2 0.8 treân  K  0, L  0 mieàn  C  50 K  25L  500000  ' L 0.8 QK  16   0  K Heä phöông trình xaùc ñònh ñeåm döøng  0.2 voâ nghieäm. 0.5ñ Q '  64 K   0  L L  K 0  Xeùt treân bieân:   Q ( K , L)  0 0.25ñ 0  L  20000  L0  Xeùt treân bieân:   Q ( K , L)  0 0.25ñ 0  K  10000 -1-
 L  20000  2 K  Xeùt treân bieân:   0  x  10000 đăt Q( K , L)  80.K 0.2 (20000  2 K )0.8  f ( K ), vôùi 0  K  10000 0.8 0.2  20000  2 K   K  f ' ( K )  16.   128   K   20000  2 K  0.8 0.2  20000  2 K   K  0.25ñ f ' ( K )  0  16.   128   0  K  2000  K   20000  2 K   K  2000   L  16000  L  20000  2 K f (0)  0 , f (10000)  0 , f (2000)  844485.0629 Vậy công ty cần sử dụng số đơn vị vốn là K  2000 và số đơn vị lao động là L  16000 để sản xuất được lượng sản phẩm lớn nhất là Q(2000,16000)  844485.0629 sản phẩm. 0.25ñ Caâu 3 1.5ñ  0  1  1 a 1 1  x 1  x 1  x  x. f x dx   x.0dx  0 x. 3 e 3 dx  3 0 x.e 3 dx  3 alim    0 x.e 3 dx 0.5ñ 1  1  x a a 1  x    lim  3xe 3  3 e 3 dx  3 a   0 0   0.25ñ 1  1  x a  x a 1   lim  3 xe 3  9e 3  3 a   0 0  1  1  a 1  a  0.25ñ  lim   3ae 3  9e 3  9   3 3 a     0.25ñ TTB   x. f x dx  3 (phút)  0.25ñ Trung bình mỗi khách hàng công ty đợi xấp xỉ là 3 phút Caâu 4 1,5ñ p' '4 p'3 p  600  e 0,2t , p(0)  $300 Phöông trình thuaàn nhaát töông öùng : p' '4 p'3 p  0 0.25ñ Phöông trình ñaëc tröng: k 2  4k  3  0  k  1 hay k  3 0.25ñ Nghieäm toång quaùt phöông trình thuaàn nhaát: Po (t ) = C1e  C2e t 3t Nghieäm rieâng phöông trình p' '4 p'3 p  600 (1) daïng Y1  A Tính ñöôïc Y1'  0, Y1''  0 . -2-
600 Thay vaøo (1) ñöôïc 3 A  600  A   200 . 0.25ñ 3 Suy ra Y1  200 Nghieäm rieâng phöông trình p ' '4 p'3 p  e 0, 2t (2) daïng Y2  Be0, 2t Tính ñöôïc Y2'  0,2 Be 0, 2t , Y2''  0,04 Be 0, 2t . 25 Thay vaøo (2) ñöôïc 0,04 Be 0, 2t  0,8Be 0, 2t  3Be 0, 2t  e 0, 2t  B  . 56 25  0, 2t Suy ra Y2  e 56 0.25ñ Theo nguyeân lyù choàng chaát nghieäm thì nghieäm rieâng cuûa phöông trình 25  0, 2t p' '4 p'3 p  600  e 0,2t laø P(t )  Y1  Y2 = 200 + e 56 Nghieäm toång quaùt phöông trình p' '4 p'3 p  600  e 0,2t laø 25  0, 2t p(t ) = Po (t ) + P(t )  C1e t  C2e 3t + 200 + e 56 25 p(0)  $300  C1  C2 + 200 +  300 56 Vậy nghiệm cần tìm là 25  0, 2t 5575 p(t ) = C1e t  C2e 3t + 200 + e , với C1  C2  56 56 0.5ñ 25 Khi t ñuû lôùn C1e  C2e  e  0.2t  0 neân p(t )  200 (USD) t 3t 56 Sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn, giaù saûn phaåm xaáp xæ $ 200 . Caâu 5 2ñ Thay k  0.025 và H (t ) = 0.2 vào y ' (t )  ky(8  y )  H (t ) , ta được dy dy y2  8 y  8 0.5ñ  0.025 y (8  y )  0.2   (1) dt dt 40 dy 1    dt (do y (0)  4 nên y 2  8 y  8  0 ) y  8y  8 2 40 0.25ñ (y  4  2 2 cũng là nghiệm phương trình (1) nhưng không thỏa điều kiện y (0)  4 ) Tích phân hai vế dy 1 d ( y  4) t y 2  8y  8    dt  C1   40 ( y  4)  8 2    C1 40 0.25ñ y42 2 1 t y42 2 2  ln    C1  ln  t  4 2C1 4 2 y42 2 40 y42 2 10 -3-
2 2 y42 2  t4 2C1 y42 2  t   e 10   e 10 e 4 2C1 y42 2 y42 2 y42 2  t 2 0.25ñ   Ce 10 (với C  e 4 2C1  const  0 ) y42 2 2 y42 2  t   Ce 10 (với C  const âm hoặc dương tùy ý) y42 2 2  t  y  4  2 2  Ce 10 ( y  4  2 2 ) (với C  const tùy ý) 2  t 4  2 2  (2 2  4)Ce 10  y (với C  const tùy ý)  2 t 0.25ñ 1  Ce 10 y (0)  4  C  1 2  t 4  2 2  ( 4  2 2 )e 10 Vậy y (t )  2  t 1 e 10 2  t 4  2 2  (2 2  4)Ce 10 lim y (t )  lim 2  42 2 t   t    t 1  Ce 10 0.5ñ Sau khoảng thời gian t đủ lớn, lượng rừng xấp xỉ 4  2 2 đơn vị. Caâu 6 2ñ Caùch 1 Phöông trình ñöôïc vieát laïi r (0)  50 r'(t)  kr  k , vôùi  (ñôn vò $1000)  r (5)  10 0.25ñ Nghieäm toång quaùt phöông trình   kdt   kdt dt  C  = e kt  kekt dt  C  0.5ñ r (t ) = e   ke     = e kt  ekt  C  = 1  Ce kt (ñôn vò $1000) 0.25ñ   Caùch 2 Phöông trình ñöôïc vieát laïi 0.25ñ dr  k rS -4-
Tích phaân hai veá dy  r  S   kdt  ln C 0.25ñ 0.25ñ  kt  ln C  ln r  S   kt  ln C  r  S  e  r  S  Ce  kt  r  S  Ce  kt 0.25ñ Hay r (t ) = 1  Ce kt (ñôn vò $1000) r (0)  50  1  C  50  C  49     5k  10    1 9  r (5)  10 1  Ce k ln( )  0.33891914422  5 49 0.5ñ Vaäy r (t ) = 1  49e 0.33891914422t (ñôn vò $1000) hay r (t ) = 1000  49000e 0.33891914422t (ñôn vò $1) Giá trị hiện tại doøng lôïi nhuaän f (t ) sau 5 naêm T 5 5 PV   f (t )e dt  12000e  0.05t dt  240000 e  0.05t  rt 0 0 0  240000 (1  e  0 .05  5 )  53087 . 81206 0.5ñ Giaù trò hieän taïi tieàn baùn laïi maùy cuoái naêm thöù 5 10000  e 0.055  7788.007831 Giaù trò hieän taïi roøng cuûa caû 5 naêm mua, khai thaùc, baùn laïi maùy naøy ( 53087 . 81206  7788.007831 ) - 50000 = 10875.81989 Vậy lợi nhuận (tính theo giá trị của tiền ở hiện tại) của cả 5 năm mua, khai thác, bán lại máy này xấp xỉ $10,875.82. ……………………………………………………………………Heát………………………………………………………………………… -5-