Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán – Trường THCS Tân Ước (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

154
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn "Toán – Trường THCS Tân Ước" năm học 2015-2016 gồm 5 câu hỏi bài tập trong thời gian làm bài 150 phút, giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và làm quen với dạng đề thi trắc nghiệm. Chúc các bạn thi tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán – Trường THCS Tân Ước (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRƯỜNGTHCS TÂN ƯỚC NĂM HỌC 2015 2016 Môn thi: Toán 9 Đề chính thức Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề) (Đề này gồm 01 trang) Bài 1 (6,0 điểm): � x +3 x +2 x + 2 �� x � 1) Cho biểu thức A = � � − + : �� 1 − � � x −2 x − 3 x − 5 x + 6 �� x + 1 � Với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của biểu thức A 1 khi x= 6 + 6 + 6 + ...... ( có vô hạn dấu căn) là 6 1 c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất A đó. 2) Cho x = 3 1 + 84 + 3 1 − 84 . Chứng minh x có giá trị là một số nguyên 9 9 Bài 2 (4,0 điểm ) a) Giải phương trình + + = (x+y+z) 3000 x 2 − yz y 2 − xz b) Chứng minh rằng : nếu = x ( 1 − yz ) y ( 1 − xz ) Với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 1 1 1 Thì x + y + z = + + x y z Bài 3 (3,0 điểm) a , Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : y2+ 2xy 7x12=0 a + b 1 b, Chứng minh rằng: a 3a + b + b 3b + a 2 với a, b là các số dương. ( ) ( ) Bài 4 (6 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh K là trung điểm của CH. c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Bài 5 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y + 2 2 xy Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015 2016 Môn: Toán Bài Nội dung Biểu điểm Bài 1 1) a) Với điều kiện ( *) ta có: � �� x +3 x +2 x +2 �: � x + 1 − x � A = � − + � ) � x −2 � x −3 ( x −2 )( ) x − 3 �� x +1 x +1 � � x −9− x + 4+ x + 2 � 1 � (0,5 = :� � ( x −2 )( x −3 ) � x +1 � đ) x −3 � 1 � = :� � ( x −2 )( ) x − 3 � x +1 � (0,5đ) 1 1 x +1 = : = (0,5đ) x − 2 x +1 x −2 b) ta có x= 6 + 6 + 6 + ...... ( vô hạn dấu căn) với x>0 x2 = 6+ 6 + 6 + 6 + ...... ( vô hạn dấu căn) x2 = 6 +x x2 x 6 =0 ( x+2)(x3) = 0 x= 2( loại) hoặc x=3( nhận) (0,5đ) x +1 x +1− x + 2 3 Ta có : A1= −1 = = x −2 x −2 x −2 (0,5đ) Do vậy, giá trị của biểu thức A1 tại x=3 là: 3 3( 3 + 2) = = −3( 3 + 2) 3−2 3− 4 (0,5đ) x +1 x −2 1 3 c) ta có A = � = = 1− . x −2 x +1 A x +1 1 3 0,25 đ Để có GTNN thì có GTLN, hay x + 1 có A x +1 GTNN.Ta có: x + 1 1 , dấu "=" xảy ra khi x = 0. 1 3 0,25 đ Giá trị nhỏ nhất của là 1 − = 1 − 3 = −2 , xảy ra khi x = 0. A 0 +1 0,25 đ 0,25đ
1 0,5đ 2, Đặt 3 1 + 84 = a; 3 1 − 84 = b x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = − . 9 9 3 Ta có: x = (a + b) = a + b3 + 3ab(a + b) 3 3 3 0,5đ Suy ra: x3 = 2 – x x3 + x – 2 = 0 � ( x 1) ( x 2 + x + 2 ) = 0 0,5đ 2 1� 7 x = 1. Vì x + x + 2 = � 2 �x + �+ > 0 . Từ đó suy ra điều phải � 2� 4 0,5đ chứng minh a) Bài 2 ĐK: (*) 0,25đ Do ≥ 0, ≥ 0, ≥0 Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có : = ≤ 0,25đ = ≤ = ≤ 0,25đ Vậy : + + ≤ (x+y+z)3000 Dấu "=" xảy ra x2000= y2001= z2002=1 0,25đ x 2001 y 2002 ( thoả man đk (*) ) z 2003 0,25đ Vậy nghiệm của phương trình là: x=2001, y=2002, z=2003 x 2 − yz y 2 − xz b , x 1 − yz = y 1 − xz 0,25đ ( ) ( ) 0,25đ � ( x 2 − yz ) ( y − xyz ) = ( y 2 − xz ) ( x − xyz ) � x 2 y − x3 yz − y 2 z + xy 2 z 2 − xy 2 + xy 3 z + x 2 z − x 2 yz 2 = 0 0,25đ � ( x 2 y − xy 2 ) − ( x 3 yz − xy 3 z ) + ( x 2 z − y 2 z ) − ( x 2 yz 2 − xy 2 z 2 ) = 0 � xy ( x − y ) − xyz ( x 2 − y 2 ) + z ( x 2 − y 2 ) − xyz 2 ( x − y ) = 0 � ( x − y) � xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz 2 � � �= 0 0,25đ � xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz = 0 (vì x �y � x − y �0 ) 2 0,25đ � xy + xz + yz = xyz ( x + y ) + xyz 2 0,25đ xy + xz + yz xyz ( x + y ) + xyz 2 � = (vì xyz 0) 0,25đ xyz xyz 1 1 1 � + + = x+ y+ z 0,25đ x y z 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 3 a) Ta có : y2+2xy 7x 12 =0 4y2+ 8xy 28 48 = 0 0,25đ 4y249 +4x(2y7) = 1 0,25đ ( 2y 7)(2y+7+4x) =1 0,25đ Vậy ta có �2 y − 7 = 1 �x = −4 0,25đ � � �2 y + 7 + 4 x = −1 �y = 4 2 y − 7 = −1 �x = −3 Hoặc � � � �2 y + 7 + 4 x = 1 �y = 3 0,25đ Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện đề bài là: (x;y) { (−3;3);(−4; 4)} 0,25đ a + b 2(a + b) b) Ta có: = (1) a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) 0,25 đ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b 4a ( 3a + b ) = ( 2) 0,25đ 2 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b ( 3b + a ) = ( 3) 2 2 0,25đ Từ (2) và (3) suy ra: 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) 4a + 4b ( 4 ) Từ (1) và (4) suy ra: 0,25đ a + b 2(a + b) 1 = a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) 4a + 4b 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. 0,25đ Bài 4 M C I K A B O H
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn (2đ) Chứng minh OI ⊥ AC. 0.75đ Suy ra ∆ OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính 0.25đ OC. CH ⊥ AB (gt) ∆ CHO vuông tại H H thuộc đường tròn 0.75đ đường kính OC. 0.25đ Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC, hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh K là trung điểm của CH (2điểm) ∆ MAB có KH//MA (cùng ⊥ AB) 0,75đ KH HB AM.HB AM.HB (1) = � KH = = AM AB 2R AB 0,25đ Chứng minh cho CB // MO AOMﾷﾷ = CBH (đồng vị). C/m ∆ MAO đồng dạng với ∆ CHB 0.75đ MA AO AM.HB AM.HB = � CH = = (2) CH HB AO R 0.25đ Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH. 3) Chu vi tam giác ACB là PACB = AB + AC + CB = 2R + AC + CB 0,25đ Ta lại có: ( AC − CB) 2 �0� AC2 + CB2 �2AC.CB � 2AC2 + 2CB2 �AC2 + CB2 + 2AC.CB 0,5 đ ( ) 2 AC2 + CB2 �( AC + CB) � AC + CB � 2 AC2 + CB2 � AC + CB � 2AB2 2 ( ) (theo đl pitago) 0,25đ AC + CB �� 2.4R2 AC + CB �2R 2 0,25đ Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB. 0,25đ ( ) Suy ra PACB 2R + 2R 2 = 2R 1 + 2 , dấu "=" xảy ra khi M là 0,25đ điểm chính giữa cung AB. ( ) Vậy max PACB = 2R 1 + 2 đạt được khi M là điểm chính giữa 0,25đ cung AB. Bài 5 Ta có 0 ( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2 ( x + y ) 2 42 0,25đ � x 2 + y 2 �2 xy � 2( x 2 + y 2 ) �( x + y ) 2 � x 2 + y 2 � = = 8(*) 2 2 Cũng từ x 2 + y 2 �� 2 xy ( x + y ) 2 �4 xy 0,25đ ( x + y )2 42 33 33 xy = = 4 (**) 4 4 xy 4 33 33 65 0,25đ Từ ( *) Và (**) suy ra A = x + y + 8+ = 2 2 xy 4 4 dấu " =" xảy ra � x = y = 2 . 65 0,25đ Vậy Min A = � x = y = 2 4