Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có hướng dẫn chấm môn: Toán (Năm học 2013-2014)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và làm quen với dạng đề thi, mời các bạn cùng tham khảo nội dung đề thi học sinh giỏi môn "Toán - Lớp 9" năm học 2013-2014 dưới đây. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có hướng dẫn chấm môn: Toán (Năm học 2013-2014)

ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 Câu 1. a) Tinh: ́ 5−2 2+ 9+ 4 2 b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = 4 . Tính giá trị của biểu thức: A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc Câu 2. Giải các phương trình sau: a) x − x + 1 − x + 4 + x + 9 = 0 b) 2(x2 + 2) = 5 x3 + 1 Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2013 là số hữu tỉ, đồng thời x 2 + y 2 + z 2 là số nguyên tố. y + z 2013 Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB
(Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ………..... PHÒNG GD&ĐT VT HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9 NĂM HỌC 2013 2014 Câu Ý Nội Dung 5 − 2 2 + 9 + 4 2 = 5 − 2 2 + (2 2 + 1) 2 = 5 − 2 3 + 2 2 = 5 − 2 ( 2 + 1) 2 = 3 − 2 2 = ( 2 − 1) 2 = 2 − 1 Câu 1 A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc a + b + c + abc = 4 � 4a + 4b + 4c + 4 abc = 16 � a (4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) = a (2 a + bc ) 2 = a (2 a + bc ) = 2a + abc Tương tự b(4 − c)(4 − a) = 2b + abc , c(4 − a)(4 − b) = 2c + abc � A = 2(a + b + c) + 3 abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = 8 a) ĐK: x 0. Pt x + 9 − x + 4 = x + 1 − x (1) 5 1 � = x+9 + x+4 x +1 + x � x + 9 + x + 4 = 5( x + 1 + x) (2) Từ (1),(2) suy ra: Câu 2 x + 9 = 3 x + 1 + 2 x 3 x + 1 = 9 x + 9 x + 9 ,dấu “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0. b) ĐK: x 1. Đặt a = x + 1 , b = x 2 − x + 1 với a 0, b>0. Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab (2ab)(a2b)=0 2a=b hoặc a=2b Với a=2b x + 1 =2 x 2 − x + 1 4x25x+3 = 0, vô nghiệm. Với b=2a x 2 − x + 1 =2 x + 1 5 37 x25x3 = 0 � x = (thỏa mãn đk x 1.) 2
x + y 2013 m Ta có y + z 2013 = n ( m, n �ﾥ * , ( m, n ) = 1 . ) nx − my = 0 x y m � nx − my =( mz − ny ) 2013 � � = = � xz = y 2 . mz − ny = 0 y z n Câu 3 x 2 + y 2 + z 2 = ( x + z ) − 2 xz + y 2 = ( x + z ) − y 2 = ( x + y + z ) ( x + z − y ) . 2 2 x2 + y 2 + z 2 = x + y + z Vì x + y + z > 1 và x 2 + y 2 + z 2 là số nguyên tố nên x − y + z =1 Từ đó suy ra x = y = z = 1 (thỏa mãn). A E F G O H B M C D Câu 4 ? BFC ? = BEC = 900 ( cùng nhìn cạnh BC) Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. ? CD = 900 DC ⊥ AC Ta có A Mà HE ⊥ AC; suy ra BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. Do đó AM, HO trung tuyến của ∆AHD G trọng tâm của ∆AHD GM 1 � = AM 3 GM 1 Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, = AM 3 Suy ra G là trong tâm của ∆ABC Câu 5 a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( + + ).( x + y + z ) ( . x+ . y+ . z )2 = x y z x y z ( a + b + c )2 (a+b+c)2 đpcm (1 điểm) Vế trái b)
2(1 + x 2 ) 2(1 + y 2 ) 2(1 + z 2 ) + + =M 2(1 + z 2 ) + (1 + y 2 ) 2(1 + x 2 ) + (1 + z 2 ) 2(1 + y 2 ) + (1 + x 2 ) Đặt 1 + x 2 = a,1 + y 2 = b,1 + z 2 = c. với a, b,c >0 Khi đó 2a 2b 2c 2a 2 2b 2 2c 2 M = + + = + + 2c + b 2a + c 2b + a 2ac + ab 2ab + bc 2bc + ac Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt (a +b +�c) 2+ +3(ab bc ca ) M 2 . Từ đó có đpcm Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i. xi ( xi − 1) Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C2xi = 2 x ( x − 1) x2 ( x2 − 1) x ( x − 1) Vậy tổng số các cặp ô đỏ là A= 1 1 + + ... + 13 13 2 2 2 Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau. x ( x − 1) x2 ( x2 − 1) x ( x − 1) Vậy C213=78 A= 1 1 + + ... + 13 13 2 2 2 13 13 �xi − �xi 2 156 i =1 i =1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 (�xi ) 2 �13(�xi2 ) � − s �156 i =1 i =1 13 s 13s2028 0 S 52 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = …= x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô Câu 6 đỏ). (Học sinh lập luận chỉ ra S 52 được 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x X x x x Xx x x x x x x x x Vậy giá trị lớn nhất của S=52
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa./.