Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 6/10/2016 Thời gian làm bài:150 phút

Câu 1 (4,0 điểm)

với 1) Rút gọn biểu thức

.

2) Cho , tính giá trị biểu thức

Câu 2 (5,0 điểm)

1) Cho là một nghiệm của phương trình: . Với a, b là các số hữu

chia hết cho 100.

tỉ. Tìm a và b. 2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh 3) Cho là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng:

Câu 3 (4,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x sao cho là số chính phương.

2) ia i phương tr nh:

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. ọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P. 1) Chứng minh IC.CN = IN.CM. 2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD. 3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất. Câu 5 ( điểm)

Cho và . Chứng minh rằng

------ HẾT ------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Trang | 1

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:.................................. iám thị 1 (Họ tên và ký)...................................................................................................... iám thị 2 (Họ tên và ký)......................................................................................................

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Câu 1

Hướng dẫn giải

Điểm

với

0.75

1.1 (2.0 điểm)

0.5

0.75

0.75

0.5

1.2 (2.0 điểm)

0.5

0.25

Câu 2

Ta có

0.25

Vì x là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0

0.5

Nên

2.1 (2.0 điểm)

Do a, b là các số hữu tỉ nên - 17a – 3b – 1 và 12a + 2b là các số hữu tỉ

0.5

Trang | 2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

là một số hữu tỉ

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=>

0.25

Kết luận…

Ta có

Do P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số lẻ

=> p2 + 1 và p2 – 1 là các số chẵn

0.5

=> p4 -1 chia hết cho 4

=> p20 -1 chia hết cho 4

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số không chia hết cho 5

2.2 (1.5 điểm)

Lập luận được p4 -1 chia hết cho 5

0.75

Lập luận được chia hết cho 5

=> p20 -1 chia hết cho 25

Mà (4 ; 25) = 1

0.25

=> p20 -1 chia hết cho 100

0.75

0.5

2.3 (2.0 điểm)

Vì là độ dài ba cạnh một tam giác nên:

0.75

Kết luận…

Câu 3

Ta có: x3 - 3x2 + x + 2 = (x-2)(x2 – x -1)

* Xét x – 2 = 0  x = 2 thỏa mãn bài toán; x2 – x -1 = 0 (loại)

0.5

* Xét x - 2 = x2 – x -1 Suy ra x = 1

3.1 (2.0 điểm)

Xét x ≠ 2; x ≠ 1

0.5

Trang | 3

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Với x nguyên ta chứng minh được: (x – 2 ; x2 – x -1) = 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Nên x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương khi x – 2 và x2 – x -1 cùng là số

chính phương.

Để x2 – x -1 là số chính phương thì x2 – x -1 = y2 với y Z.

0.5

Tìm được x = 2 (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1

Thử lại x = - 1 ta có x3 - 3x2 + x + 2 có giá trị là -1 không phải là số chính

phương => x = - 1 loại

0.5

Vây x = 2 hoặc x = 1 thì x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương.

0.25

ia i phương tr nh:

Đie u kie

n:

.

1.0

3.2 (2.0 điểm)

hoặc

Tìm được x = 2 thỏa mãn

Nếu

0.75

Tìm được x = 1 thỏa mãn

Nếu

Câu 4

Trang | 4

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

+ Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a

0.75

+ BI là đường phân giác của tam giác BNC =>

+ AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác NBC ta có:

0.75

4.1 (2.0 điểm)

Nên

0.5

+ Chứng minh được hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g)

1.5

DM.BN = a2

Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều (1)

0.5

Lại có DM.BN = a2 (2)

4.2. (2.5 điểm)

Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c)

0.25

0.25

Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và => Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g)

Vì S(ABD) không đổi => S(ADKN) lớn nhất khi S(ADKN) + S(ABD) lớn nhất hay S(NBK) lớn nhất

Thật vấy: S(NBK) = (HS phải chứng minh công thức này)

0.5

4.3. (2.0 điểm)

=> S(NBK) =

0.5

Lại có NB.BK

Trang | 5

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

=4a2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

0.5

=> S(NBK) Dấu “ =” xảy ra khi BN =BK = 2a, mà AN + DK = 2a, BA = BD = a. Vậy N, K cách A, D một khoảng là a.

Áp dụng bất đẳng thức cô si: a5 + ≥ 2a² ; b5 + ≥ 2b² ; c5 + ≥ 2c².

0.5

Suy ra a5 + b5 + c5 + ≥ 2(a² + b² + c²)

Câu 5 (1.0 điểm)

Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c

0.5

Trang | 6

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807

Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

- Luyên thi ĐH, THPT Q với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II. Lớp Học Ảo VCLASS

Học Online như Học ở lớp Offline

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HS Quốc ia.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH- Đ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III. Uber Toán Học

Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online

- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, iáo viên Toán và iảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra độc lập.

- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

Trang | 7

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807