Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tư Nghĩa

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA<br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN<br /> Năm học: 2016 - 2017<br /> Môn thi: Toán<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Bài 1: (3,0 điểm)<br /> x2  2 x 1<br /> 1<br /> 1<br />  .(<br /> <br /> )<br /> 3<br /> x 1 2 1 x  2 1 x  2<br /> <br /> Cho biểu thức A <br /> <br /> a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa<br /> b) Rút gọn biểu thức A<br /> c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.<br /> Bài 2: (6,0 điểm)<br /> a) Giải phương trình: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016 .<br /> b) Chứng minh rằng:<br /> <br /> 1 1<br />   2 biết x 3  y 3  3(x 2  y 2 )  4(x  y )  4  0 và x.y > 0.<br /> x y<br /> 1<br /> <br /> c)Cho x, y, z thỏa mãn  <br /> x<br /> <br /> <br /> 1 1 <br /> 1<br />  :<br />  1.<br /> y z   x y z <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tính giá trị của biểu thức B  x21  y 21 y11  z11 z 2017  x2017 .<br /> Bài 3: (4,0 điểm)<br /> a) Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: 20n  16n – 3n – 1 323<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: ( y  2) x2017  y 2  2 y 1  0<br /> Bài 4: (4,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt<br /> nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.<br /> a) Chứng minh SAHG = 2SAGO<br /> b) Chứng minh<br /> <br /> HD<br /> AD<br /> <br /> HE<br /> BE<br /> <br /> HF<br /> CF<br /> <br /> 1<br /> <br /> Bài 5: (3,0 điểm)<br /> Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó<br /> sao cho góc CAB 450 , góc DAB 300 . AC cắt BD tại M. Tính diện tích tam giác ABM theo R<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Bài<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> 1a<br /> (1,0đ)<br /> <br /> x  2  0<br />  x  2<br /> <br /> a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa :  x3  1  0  <br />  x  1<br /> <br /> x  2 1<br /> <br /> <br /> Điể<br /> m<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> b) Rút gọn biểu thức A<br /> A<br /> <br /> 1b<br /> (1,0đ)<br /> <br /> x2  2 x 1<br /> 1<br /> 1<br /> x( x  2)<br /> 1<br /> 2<br />  .(<br /> <br /> )<br />  .<br /> 3<br /> 2<br /> x 1 2 1 x  2 1 x  2<br /> ( x  1)( x  x  1) 2 1  ( x  2)<br /> <br /> x( x  2)<br /> 1<br /> x( x  2)  ( x  x  1)<br /> <br /> <br /> 2<br /> ( x  1)( x  x  1) x  1<br /> ( x  1)( x 2  x  1)<br /> ( x  1)<br /> 1<br /> <br />  2<br /> 2<br /> ( x  1)( x  x  1) x  x  1<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> x  x  1 ( x  1 )2  3<br /> 2<br /> 4<br /> 1<br /> 3<br /> Ta có A nhỏ nhất khi ( x  )2  đạt giá trị nhỏ nhất<br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là<br /> khi x  = 0  x <br /> 3<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Ta có A <br /> 1c<br /> (1,0đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> a) Giai phương tr nh: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016<br /> 2016<br /> Điều kiện x <br /> 2017<br /> Phương trình đã cho tương đương với<br /> x2  2 x  1  2017 x  2016  2 2017 x  2016  1  0<br /> <br />   x  1 <br /> 2<br /> <br /> 2a<br /> (2,0đ)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2017 x  2016  1  0<br /> <br /> x 1  0<br /> <br /> <br />  2017 x  2016  1  0<br /> <br /> x  1<br /> <br /> 2017 x  2016  1<br />  x  1 (thỏa mãn điều kiện)<br /> Vậy x  1 là nghiệm của phương trình đã cho.<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> b) Chứng minh:<br /> <br /> 1 1<br />   2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y ><br /> x y<br /> <br /> 0.<br /> Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0<br />  (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0<br />  ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0<br />  ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 1<br /> .( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0<br /> 2<br /> 1<br />  .( x + y + 2). ( x  y)2  ( x  1)2  ( y  1)2  2 = 0<br /> <br /> <br /> 2<br />  x+y+2=0<br />  x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0<br /> <br /> <br /> 2b<br /> (2,0đ)<br /> <br /> ( x)  ( y) ( x  y) 2<br /> <br />  1<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 2<br /> 1 1 x  y 2<br />  -2 Mà M   <br /> Do đó xy  1 suy ra 1 <br /> hay<br /> <br /> xy<br /> xy<br /> x y<br /> xy<br /> xy<br /> 1 1<br /> Vậy M    2 (đpcm)<br /> x y<br /> <br /> Áp dụng BĐT CauChy ta có ( x)( y) <br /> <br /> <br /> 1 1 <br /> 1<br />  :<br />  1.<br /> x y z   x y z <br /> <br /> <br /> 21  y 21 y11  z11 z 2017  x2017<br /> Tính giá trị của biểu thức B  x<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 1<br /> <br /> Cho x, y, z thỏa mãn  <br /> <br /> <br /> <br /> 2c<br /> (2,0đ)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1 1 1 <br /> <br /> 1 1 1<br /> 1<br /> Ta có:     : <br />  1     x  y  z  1<br />  x y z   x y z <br /> x y z<br />  (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz<br />  xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz<br />  (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0<br />  x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = 0<br /> x   y<br /> 2+ yx)( x+ z) = 0  ( x  y)( y  z )( x  z )  0   y   z<br />  (yz + zx + y<br /> <br /> z  x<br /> <br /> <br /> Thay vào B tính được B = 0<br /> Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323<br /> Ta có: 323 = 17.19<br /> 3a  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)<br /> (2,0đ) 20n – 1 19<br /> 16n – 3n 19 (n chẵn)<br /> Do đó 20n + 16n – 3n – 1 19<br /> (1)<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> <br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br />  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1)<br /> 20n – 3n 17<br /> 16n –1n 17 (n chẵn)<br /> Do đó 20n + 16n – 3n – 1 17<br /> (2)<br /> Mà (17; 19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1 323<br /> b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: ( y  2) x2017  y 2  2 y 1  0<br /> Nếu y + 2 = 0  y  2 lúc đó phương trình có dạng 0 x2017 1  0 (vô<br /> nghiệm).<br /> 3b<br /> (2,0đ)<br /> <br /> Nếu y  2 thì ta có x 2017 <br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> y2  2 y 1<br /> 1<br />  y<br /> y2<br /> y2<br /> <br /> 1<br /> nguyên y  2  Ư(1)  1;1 .<br /> y2<br /> Với y  2  1  y  3  x2017  4 (loại)<br /> Với y  2  1  y  1  x2017  0  x  0<br /> <br /> Vì x,y nguyên nên<br /> <br /> Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là: x = 0,y = -1<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> a) Chứng minh SAHG = 2SAGO<br />  Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK<br /> Nên KC vuông góc với AC<br /> Mà BE vuông góc với AC (gt)<br /> A<br /> Suy ra KC // BE hay KC // BH<br /> Chứng minh tương tự ta có KB // CH<br /> Nên tứ giác BHCK là hình bình hành<br /> F<br /> <br /> E<br /> <br /> H<br /> G<br /> <br /> B<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> O<br /> <br /> D M<br /> <br /> C<br /> K<br /> <br /> Gọi M giao điểm của BC và HK nên<br />  M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG =<br /> AM<br />  M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của tam giác<br /> AHK.<br /> 4<br /> (4,0đ) Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2 AM nên G là trọng tâm của tam giác<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> 3<br /> <br /> AHK<br /> Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của tam giác<br /> AHK<br /> Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO<br />  Tam giác AHG và tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và<br /> HG = 2GO<br /> Do đó SAHG = 2SAGO<br /> HF<br /> 1<br /> CF<br /> 1<br /> HD.BC<br /> HD HE HF 2<br /> Ta có:<br /> AD BE CF 1 AD.BC<br /> 2<br /> S<br /> S<br /> S<br /> HBC<br /> HAC SHAB<br /> HBC<br /> S<br /> S<br /> S<br /> ABC<br /> ABC<br /> ABC<br /> <br /> b) Chứng minh<br /> <br /> HD<br /> AD<br /> <br /> HE<br /> BE<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> HE.AC<br /> HF.AB<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> BE.A C<br /> CF.AB<br /> 2<br /> 2<br /> S<br /> S<br /> S<br /> HAC<br /> HAB = ABC = 1<br /> S<br /> S<br /> ABC<br /> ABC<br /> <br /> Tính diện tích tam giác ABM theo R<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 2,0đ<br /> <br />