Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GD&ĐT Phú Lộc

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN<br /> <br /> HUYỆN PHÚ LỘC<br /> <br /> NĂM HỌC 2016 – 2017<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Môn thi: Toán – Lớp 9<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1. (4,0 điểm):<br />  3x  9 x  3<br /> Cho biểu thức A  <br /> <br /> x x 2<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> x 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> x2<br /> <br />  1<br /> 2 :<br />  x 1<br /> <br /> 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.<br /> 2) Rút gọn biểu thức A.<br /> 3) Tìm giá trị của x để<br /> <br /> 2<br /> là số tự nhiên.<br /> A<br /> <br /> Câu 2. (4,0 điểm)<br /> 1) Giải phương trình: x 2  10 x  27  6  x  x  4<br /> 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A <br /> <br /> x 1<br /> x  x 1<br /> 2<br /> <br /> Câu 3. (4,0 điểm):<br /> Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)<br /> 1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I<br /> của đoạn thẳng AB.<br /> 2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam<br /> giác đó.<br /> Câu 4. (6,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây<br /> CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.<br /> 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?<br /> 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng:<br /> HM MK CD<br /> <br /> <br /> HK MC 4R<br /> <br /> 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố<br /> <br /> định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).<br /> Câu 5. (2,0 điểm)<br /> Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:<br /> c  ab a  bc b  ac<br /> <br /> <br /> 2<br /> ab<br /> bc<br /> ac<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Câu<br /> <br /> Ý<br /> <br /> Lời giải<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> x  0<br /> Điều kiện: <br /> x  1<br /> <br /> 2<br /> <br />  3x  9 x  3<br /> <br /> A<br />  x x 2<br /> <br /> <br /> <br /> =<br /> <br /> =<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> <br /> x 1<br /> <br /> x3 x 2<br /> <br /> =<br /> <br /> <br /> x  1<br /> x  1<br /> x  1<br /> <br /> x 2<br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x  0<br /> Với điều kiện: <br /> x  1<br /> <br /> <br /> <br /> Vì A =<br /> <br /> <br /> <br /> Do đó:<br /> <br /> 2<br /> <br /> A<br /> <br /> Mà<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Vậy<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> x  1 ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> x  1 > 0 nên<br /> <br />   khi<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> x  1 = 1 hoặc<br /> <br /> x  1 =1 hoặc<br /> <br /> Do đó: x  0 hoặc x <br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ta có: A =<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  1<br /> 1<br />  2 :<br /> x2<br />  x 1<br /> <br />   x 1 <br /> <br /> <br /> x  2<br /> <br /> x  2<br /> <br /> x 1<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> x 1 =<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ≤2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x 1 = 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 1  3  2 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> là số tự nhiên khi x  0 hoặc x  3  2 2<br /> A<br /> <br /> Giải phương trình: x 2  10 x  27  6  x  x  4<br /> 0,5<br /> <br /> Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6<br /> VT  x 2  10 x  27   x  5  2  2 , dấu “=” xảy ra  x  5<br /> 2<br /> <br /> VP  6  x  x  4 <br /> <br /> Dấu “=” xảy ra <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 12  12  <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 6 x<br /> <br />  <br /> 2<br /> <br /> 6 x <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> x  4   VP  2 ,<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 6 x  x4  x 5<br /> x 1<br /> <br /> VT  VP  x  5 (TMĐK).<br /> <br /> Vậy nghiệm của phương trình là x  5<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> A<br /> <br /> x 1<br /> x  x 1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1 3<br /> <br /> Ta có: x  x  1   x     0, x  <br /> 2 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> A<br /> <br /> x2<br /> x 1<br /> x2  x 1 x2<br /> x2<br />  2<br /> 1 2<br /> 1 (vì 2<br />  0, x   )<br /> x  x 1<br /> x2  x 1<br /> x  x 1<br /> x  x 1<br /> <br /> Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0<br /> x 2  4x  4   x 2  x  1<br /> 3x  3<br /> x 1<br /> A 2<br />  3A  2<br /> <br /> x  x 1<br /> x  x 1<br /> x2  x  1<br /> <br />  x  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> x2  x 1<br /> <br />  x  2<br /> <br /> 1  1 (vì<br /> <br /> x2  x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  0, x )<br /> <br /> 1<br /> Suy ra: minA =  , khi x  2<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> Suy ra: A   , đẳng thức xảy ra khi x  2  0  x  2<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Suy ra I(0; 5)<br /> 2<br /> <br /> Tìm được A(0; 3); B(0; 7)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x + 3 =<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3x + 7<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x = – 2  yJ = 1  J(-2;1)<br /> <br /> Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  OJ2 + IJ2 = OI2  tam giác OIJ là tam giác vuông tại J<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 1<br />  S OIJ  OI .OJ   5  20  5 (đvdt)<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> là hình bình hành<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Mà AE  CD  tứ giác ACED là hình thoi<br /> 2<br /> <br /> Vì CD  AB  CM = MD<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại<br /> C, suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật<br /> Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có:<br /> MH.AC = MA.MC  MH =<br /> Tương tự ta có: MK =<br />  MH.MK =<br /> <br /> MA.MC<br /> AC<br /> <br /> MB.MC<br /> BC<br /> <br /> MA.MB.MC<br /> AC.BC<br /> <br /> 2<br /> <br /> Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C)<br /> MC 2 .MC 2 MC3<br /> MH.MK MC<br /> =<br /> <br /> =<br />  MH.MK =<br /> MC.AB<br /> AB<br /> MC 2<br /> AB<br /> <br /> Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br />