Đề thi kèm bài giải Toán cao cấp (vi tích phân a1)

Chia sẻ: Nguyễn Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

2.082
lượt xem 243
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề thi kèm bài giải toán cao cấp (vi tích phân a1)', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi kèm bài giải Toán cao cấp (vi tích phân a1)

1 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ HỌC KỲ HÈ - NHÓM 02 KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 BỘ MÔN TOÁN Ngày thi: 22/06/2011 Thời gian làm bài: 90 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2 ) 1 nếu x = 0 2x + x2 cos Câu 1. Cho hàm số f (x) = . Hãy tính f ′ (x). x3 nếu x = 0 0 Câu 2. Một cái hồ bơi gia đình có dạng là một bán cầu có bán kính là 2 (m). Người ta đang bơm nước vào hồ. Tại thời điểm bán kính mặt nước đang là 1, 5(m) và đang tăng với tốc độ 0, 1 (m/phút) thì chiều cao của mực nước trong hồ thay đổi theo tốc độ nào? Giả sử rằng tốc độ này không thay đổi, hỏi sau bao lâu thì hồ đầy nước? Câu 3. Một công ty bao bì dự định sản xuất một loại thùng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh x và chiều cao là y . Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thùng như vậy được tính theo công thức C = 5x2 + 30xy . Hãy xác định x, y sao cho thùng có thể tích mong muốn là 1125 cm3 với chi phí thấp nhất. Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabole y = x2 + 2x và đường thẳng y = 5 − 2x. 2√ Câu 5. Tính độ dài cung phẳng y = x x với x ∈ [0, 3]. 3 n ∞ x2 + 1 1 Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm . n2 3x − 1 n=1 ∞ xn Câu 7. Biết rằng chuỗi hội tụ trên khoảng (−1, 1), hãy tính tổng của chuỗi. n+2 n=0 Cần Thơ, ngày 17 tháng 06 năm 2011 Cán bộ giảng dạy LÊ HOÀI NHÂN Thang điểm: 1,00 điểm/câu 1 Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 22.06.2011. Điểm thi Các 2 em xem trên kế hoạch học tập của mình vào chiều ngày 28.06.2011. Phúc khảo bài thi: từ 08 giờ đến 11 giờ ngày 29.06.2011 tại VP. BM. Toán Khoa Khoa học tự nhiên.
2 MÔN THI VI TÍCH PHÂN A1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ HỌC KỲ HÈ - NHÓM 02 KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 BỘ MÔN TOÁN Ngày thi:22/06/2011 Thời gian làm bài: 90 phút ĐÁP ÁN 1 3 1 Câu 1. • x = 0 thì f ′ (x) = 2x cos + 2 sin 3 + 2. 3 x x x ∆f 1 • x = 0 thì f ′ (0) = lim = 2. = lim ∆x cos +2 ∆x3 ∆x to0 ∆x ∆x to0 1 3 1 2x cos 3 + 2 sin 3 + 2 nếu x = 0 • Vậy f ′ (x) = x x x nếu x = 0 2 Câu 2. • Bán kính mặt nước và chiều cao mực nước liên hệ với nhau qua đẳng thức (2 − h(t))2 + [r (t)]2 =4 (1) =⇒ −h (t). (2 − h(t)) + r (t).r (t) = 0 ′ ′ • Tại thời điểm t0 ta có: r (t0 ) = 1, 5 r ′(t0 ) = 0, 1 √ 7 1, 52 h(t0 ) = 2 − 4− = 2− 2 √ 1, 5.0, 1 37 • Từ (1) ta có h (t0 ) = ≈ 0, 1134m/ phút. = ′ 70 4 − 1, 52 • Gọi ∆t là khoảng thời gian hồ đầy nước. Ta có, √ 7 ∆h 35 ≈ 12phút. 2 ∆t = ′ = = √ h (t0 ) 3 37 70 1125 Câu 3. • Thể tích thùng: x2 y = 1125 =⇒ y = . x2 33750 • Chi phí sản xuất C (x) = 5x2 + . Ta tìm giá trị nhỏ nhất của C (x) với x > 0. x 33750 . • C ′ (x) = 10x − x2 C (x) = 0 ⇐⇒ x = 15 =⇒ y = 5 ′ 67500 =⇒ C ′′ (15) > 0. C ′′ (x) = 10 + x3 Do đó, C (x) đạt cực tiểu tại x = 15. • Do cực tiểu của C (x) là duy nhất nên giá trị này là giá trị nhỏ nhất. Vậy kích thước của thùng nên là 15, 15, 5 thì chi phí sản xuất là nhỏ nhất.
3 Câu 4. • Phương trình hoành độ giao điểm của Parabole và đường thẳng x2 + 2x = 5x − 2 ⇐⇒ x = 1 hoặc x = −5. • Diện tích miền D: 1 1 −x2 − 4x + 5 dx = 36 (đvdt). 2 S= |x + 4x − 5|dx = −5 −5 √ 2√ √ Câu 5. • Vi phân cung: P : y = x x =⇒ y ′ = x =⇒ ds = 1 + xdx. 3 • Độ dài cung: 3 3 √ 2 14 (đvcd). 3 l= 1 + xdx = (1 + x) 2 = 3 3 0 0 2 x2 + 1 x2 + 1 un+1(x) n Câu 6. . • c(x) = lim = lim = un (x) n→∞ n + 1 3x − 1 3x − 1 n→∞ 3x − 1 > x2 + 1 1
4 ĐIỂM QUY ĐỔI TỪ ĐIỂM SỐ SANG ĐIỂM CHỮ ĐIỂM SỐ ĐIỂM CHỮ 8.5 - 10.0 A 7.5 - 8.4 B+ 7.0 - 7.4 B 6.0 - 6.9 C+ 5.5 - 5.9 C 5.0 - 5.4 D+ 4.0 - 4.9 D 0.0 - 3.9 F