Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2013 - Đề số 3 (kèm đáp án)

Chia sẻ: Trần Duy Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2013 - Đề số 3 (kèm đáp án) giúp các em ôn luyện và trau dồi kiến thức môn Toán để đạt kết quả cao trong kì thi ĐH, CĐ sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2013 - Đề số 3 (kèm đáp án)

BOXMATH Đ THI TH Đ I H C NĂM 2013 vn http://boxmath.vn Môn: TOÁN Đ S 3 NGÀY 10.11.2012 PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m) x+2 Câu 1. (2 đi m) Cho hàm s y = có đ th (C) x−1 . a) Kh o sát và v đ th (C). b) G i A(1; 4) và I là giao đi m hai đư ng ti m c n. Tìm t a đ đi m B n m trên đ th (C) và t a đ đi m C n m trên √ ath 10 đư ng ti m c n ngang c a đ th (C) sao cho t giác IABC n i ti p đư c trong m t đư ng tròn có bán kính b ng . 2 Câu 2. (2 đi m) a) Gi i phương trình: sin 2x + sin 4x = tan x + cot x.  x3 y + x3 + xy + x = 1 b) Gi i h phương trình: 4x3 y2 + 4x3 − 8xy − 17x = −8 sin3 x π 4 Câu 3. (1 đi m) Tính tích phân I= dx 0 cos6 x 2 xm Câu 4. (1 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i B và C, có AB = 4a,CD = a, BC = 4a. G i M là trung đi m c a AB, E là giao đi m c a MD và BC. Bi t r ng chân đư ng cao H c a hình chóp S.ABCD là trung đi m c a đo n AE và cos SCD = √ . Hãy tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (SAC) theo a. 29 Câu 5. (1 đi m) Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn 2(a4 + b4 + c4 ) − 3(a2 + b2 + c2 ) + 12 = (a + b + c)2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P= + + bo 3b + c 3c + a 3a + b PH N RIÊNG (3 đi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n A ho c B A. Theo chương trình chu n Câu 6A. (2 đi m) a) Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A, có B và C thu c đư ng th ng (d) có phương trình 4x + 3y − 9 = 0, :// 5 tr ng tâm G ; −2 . Đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có bán kính R = 5. Tìm t a đ các đ nh A, B,C và tính đ dài 3 đư ng phân giác trong góc B. b) Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), m t c u (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 2y + 2z − 6 = 0. Vi t phương trình m t ph ng (P) đi qua hai đi m A, B và c t (S) theo thi t di n là m t hình tròn (C) có di n tích b ng 6π. log4 (−x2 −2x+3) 2 Câu 7A. (1 đi m) Xác đ nh m đ b t phương trình < m có nghi m đúng v i m i x ∈ (−2; 0). 3 p B. Theo chương trình nâng cao Câu 6B. (2 đi m) a) Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(6; 10), tâm đư ng tròn ngo i ti p là I(6; 5) và tâm đư ng tròn n i htt 11 ti p là K 2; .Vi t phương trình các c nh c a tam giác 2 b) Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A(4; 3; 6), B(−2; 3; 8) và m t ph ng (P) : x + 2y + 3z − 14 = 0. Tìm trên (P) đi m M sao cho MA + MB đ t giá tr nh nh t. 2 −x 2 −x 2 −x Câu 7B. (1 đi m) Xác đ nh m đ b t phương trình 252x − 2(m − 1).102x + (m + 1).42x ≥ 0 có nghi m đúng v i m i 1 x th a mãn |x| ≥ . 2 ———————————————–H t—————————————————-
T NG H P L I GI I TRÊN DI N ĐÀN vn x+2 Câu 1.a Cho hàm s y = có đ th (C). Kh o sát và v đ th (C). x−1 L i gi i: (hungchng) Đ th TXĐ D = R\{1}; 5 −3 đ o hàm y = < 0 ∀x ∈ D, (x − 1)2 4 . Hàm s ngh ch bi n trên (−∞; 1); (1; +∞) lim y = +∞; lim y = −∞; 3 ath x→1+ x→1− x = 1 là phương trình ti m c n d c 2 lim y = 1; lim y = 1; x→−∞ x→+∞ y = 2 là phương trình ti m c n ngang 1 B ng bi n thiên x −∞ 1 +∞ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 y − − 1 +∞ −2 y −∞ xm 1 −3 Câu 1.b G i A(1; 4) và I là giao đi m hai đư ng ti m c n. Tìm t a đ đi m B n m trên đ th (C) và t a đ đi m C n m trên đư ng ti m c n ngang c a đ th (C) sao cho t giác IABC n i ti p đư c trong m t đư ng tròn có bán kính b ng √ 10 . 2 L i gi i: (nhatqny) A(1; 4), I(1; 1) là giao đi m c a hai đư ng ti m c n b+2 G i B b; ∈ (C), (b = 1), C(c; 1), (c = 1) là đi m n m trên đư ng ti m c n ngang y = 1 bo b−1 5 → − O là tâm đư ng tròn ngo i ti p t giác IABC. H là trung đi m c a IA ⇒ H 1; , IA(0; 3) 2 5 Phương trình đư ng th ng (d) qua O và vuông góc v i IA c t IA t i H: (d) : y = √ 2 5 10 2 + 9 = 5 ⇔ a = 3 ho c a = 1 O ∈ (d) ⇒ O a; , (a = 1). OA = R = ⇔ (a − 1) 2 2 4 2 2 2 3 3 5 TH1: a = ⇒ O ; :// 2 2 2 √ 10 3 2 b+2 5 2 5 √ OB = R = ⇔ b− + − = ⇔ ((b − 1)3 − 9)(b − 2) = 0 ⇔ b = 2 hoăc b = 1 + 3 9 2 2 b−1 2 2 √ √ 3+ 3 9 Do đó:B(2; 4) ho c B 1 + 3 9; √ 3 9 √ 10 OC = R = ⇔ c = 2 ho c c = 1(lo i) Do đó:C(2; 1) 2 1 1 5 TH2: a = ⇒ O ; 2 2 2 √ 1 2 b+2 5 2 5 p 10 OB = R = ⇔ b− + − = (vô nghi m) 2 2 b−1 2 2 √ √ 3+ 9 3 V y B(2; 4), B 3 9; √ 3 , C(2; 1) 9 htt Câu 2.a Gi i phương trình: sin 2x + sin 4x = tan x + cot x. L i gi i: (thienlonghoangde) Đi u ki n tan x = 0. Ta có: 1 sin 2x + sin 4x = tan x + cot x = ⇐⇒ sin2 2x(1 + 2cos2x) = 2 ⇐⇒ (1 − cos2 2x)(1 + 2cos2x) = 2 sinx.cosx Đ t t = cosx t ∈ [−1; 1] t = 0. Ta đư c f (t) = 2t 3 + t 2 − 2t + 1 = 0. Nh n th y min f (t) > 0 ta đư c pt vô nghi m. 2
L i gi i: (Mai Tuan Long) ĐK:sin 2x = 0 vn   cos 2x = 1  cos 2x = 1    PT ⇐⇒ cos 2x − cos 4x − cos 6x = 3 ⇐⇒ cos 4x = −1 ⇐⇒ cos 2x = 0     cos 6x = −1 4 cos3 2x − 3 cos 2x + 1 = 0   =⇒ PT vô nghi m.  x3 y + x3 + xy + x = 1 . Câu 2.b Gi i h phương trình: 4x3 y2 + 4x3 − 8xy − 17x = −8 ath L i gi i:  K Ni m) (Ph  x3 (y + 1) + x(y + 1) = 1 x3 (y + 1) + x(y + 1) = 1 ⇐⇒ 4x3 (y2 + 1) − 8x(y + 1) − 9x = −8 4x3 (y + 1)2 − 8x3 (y + 1) − 8x(y + 1) − 9x = −8   a = x a3 b + ab = 1 (1) Đ t H pt thành b = y + 1 4a3 b2 − 8a3 b + 8ab − 9a = −8 (2) L y 8 nhân pt(1) + pt(2) ta đư c:  8ab + 4a3 b2 8ab − 9a = 0 ⇐⇒ 4a3 b2 + 16ab − 9a = 0 +  a3 b + ab = 1 a3 b + ab = 1 a3 b + ab = 1 Khi đó h pt là ⇐⇒ hay a(4a2 b2 + 16b − 9) = 0 a = 0 4a2 b2 + 16b = 9 ⇐⇒  b =  4a2   a 1 a(a2 + 1) 1 2 (a2 + 1)2 + 16 a(a 1 2 + 1) =9 xm ⇐⇒  b =  1 a(a2 + 1) 4a + 16(a2 + 1) = 9a(a2 + 1)2  ⇐⇒  b =   5 1 a(a2 + 1) 9a + 18a3 − 16a2 + 5a − 16 = 0 b =  1 b = 1  ⇐⇒ a(a2 + 1) ⇐⇒ 2 vì 9a4 + 9a3 + 27a2 + 11a + 16 > 0 ∀a ∈ R (a − 1)(9a4 + 9a3 + 27a2 + 11a + 16) = 0  a = 1 bo sin3 x π 4 Câu 3. Tính tích phân I= dx 0 cos6 x L i gi i: (thienlonghoangde) √ π 2 Đ t t = cos x dt = − sin xdx, đ i c n: x = 0 thì t = 1, x = thì t = . 4 √ 2 √ 2 2 2 √ 2 1−t 2 t −5 t −3 2 2+2 Nên ta có: I = − dt. V y ta đư c I = − − = 1 t6 −5 −3 15 1 :// Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i B và C, có AB = 4a,CD = a, BC = 4a. G i M là trung đi m c a AB, E là giao đi m c a MD và BC. Bi t r ng chân đư ng cao H c a hình chóp S.ABCD là trung đi m c a đo n AE và 2 cos SCD = √ . Hãy tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (SAC) theo a. 29 L i gi i: (Mai Tuan Long)  − = −− → → CH = 1 AB    CD BM CH = 2a −→ → HA − HE  Ta có: ⇒ CB = −CE − → −→ ⇒ 2 ⇒ 2 CD = 1 BM CB = −CE CH AB cos SCH = √ 2  29 p 4a 1 1 40a3 ⇒ SH = HC. cos SCH = √ . V y SABCD = (AB +CD)BC = 10a2 ⇒ VS.ABCD = SH.SABCD = . 29 2 3 87 1 1 HM BC ⇒ HM ⊥ HC. G i I= HM AC ⇒ t di n HSCI là t di n vuông t i đ nh H, nên HI = HM = BC = 2a 2 2 htt 1 1 1 1 4a 8a ⇒ 2 = + + ⇒ d(H; (SAC) = √ . ⇒ d(B; (SAC) = d(E; (SAC)) = 2d(H; (SAC)) = √ . d (H; (SAC) HC2 HI 2 SH 2 37 37 Câu 5. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn 2(a4 + b4 + c4 ) − 3(a2 + b2 + c2 ) + 12 = (a + b + c)2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P= + + 3b + c 3c + a 3a + b L i gi i: (nhok_lazy) 3
Thu g n gi thi t, ta đư c: ab + bc + ca = (a4 + b4 + c4 ) − 2(a2 + b2 + c2 ) + 6 = ∑(a4 + 1) − 2(a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 3 vn Suy ra a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca) = 3 (∑ a)2 (∑ a)2 3 Ta có: P≥ = ≥ ∑ (3b + c) 4(a + b + c) 4 Đ ng th c x y ra a = b = c = 1 Câu 6A.a Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A, có B và C thu c đư ng th ng (d) có phương trình 4x + 3y − 5 ; −2 . Đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có bán kính R = 5. Tìm t a đ các đ nh A, B,C và tính đ . 9 = 0, tr ng tâm G 3 dài đư ng phân giác trong góc B. ath L i gi i: (GGGGGGG) B K I G xm A J C Câu 6A.b Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), m t c u (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 2y + 2z − 6 = 0. Vi t bo phương trình m t ph ng (P) đi qua hai đi m A, B và c t (S) theo thi t di n là m t hình tròn (C) có di n tích b ng 6π. L i gi i: (Mai Tuan Long) M t c u (S) có tâm là I(1; −1; −1) và bán kính R = 3. √ √ √ M t ph ng (P) c t (S) theo thi t di n là hình tròn (C) có di n tích 6π ⇒ (C) có bán kính: r = 6 ⇒ d(I; (P)) = R2 − r2 = 3. Xét hai m t ph ng: (Q1 ) có PT: x − z − 1 = 0 ; (Q2 ) có PT: y − 1 = 0 Ta có: AB = (Q1 ) (Q2 ) ⇒ m t ph ng (P) ch a AB có PT: m(x − z − 1) + n(y − 1) = 0 ⇔ mx + ny − mz − (m + n) = 0 v i m2 + n2 > 0 , (1). |m − 2n| |m − 2n| √ :// ⇒ d(I; (P)) = √ ⇒√ = 3 ⇔ 5m2 + 4mn − n2 = 0 , (2) 2m 2 + n2 2m 2 + n2    5m2 + 4mn − n2 = 0 m = 0 m = 0 K t h p (1) và (2) ta đư c: ⇔ ho c m2 + n2 > 0 n = 5m n = −m  m = 0 +V i ta có (P) có PT: x − y − z = 0 n = −m  m = 0 +V i ta có (P) có PT: x + 5y − z − 6 = 0. n = 5m p log4 (−x2 −2x+3) 2 Câu 7A. Xác đ nh m đ b t phương trình < m có nghi m đúng v i m i x ∈ (−2; 0). 3 htt L i gi i: (Ailasieunhan) log4 (−x2 −2x+3) log4 3 2 2 2 x ∈ (−2; 0) =⇒ 3 < −x2 − 2x + 3 < 4 =⇒ log4 3 < log4 (−x2 − 2x + 3) < 4 ⇐⇒ < < 3 3 3 log4 3 2 Do đó: yêu c u bài toán ⇐⇒ m ≥ 3 4
Câu 6B.a Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(6; 10), tâm đư ng tròn ngo i ti p là I(6; 5) và tâm đư ng tròn 11 vn n i ti p là K 2; .Vi t phương trình các c nh c a tam giác 2 L i gi i: (GGGGGGG) A . ath B K I C xm Câu 6B.b Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A(4; 3; 6), B(−2; 3; 8) và m t ph ng (P) : x + 2y + 3z − 14 = 0. Tìm trên (P) đi m M sao cho MA + MB đ t giá tr nh nh t. L i gi i: (Mai Tuan Long) G i I là trung đi m c a AB⇒ I = (1; 3; 7) Ta có: M(a; b; c) ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c − 14 = 0, (1) G i H là hình chi u c a I lên (P), A1 là đi m đ i x ng c a A qua (P) AB (−6; 0; 2) ⇒ AB (P) ⇒ AA1 = 2.IH = bo IH AA 1 ⇒ ⇒ H là trung đi m c a BA1 ⇒ H= BA1 (P) AA1 = 2.IH Ta có: MA + MB = MA1 + MB ≥ BA1 x y ra khi M ≡ H ⇔ M thu c đư ng th ng qua I và vuông góc v i (P) ⇒ a−1 = b−3 = c−7 , (2) 1 2 3  a + 2b + 3c − 14 = 0 T (1) và (2) ta có M có t a đ th a mãn h PT: ⇔ M(0; 1; 4)  a−1 = b−3 = c−7 1 2 3 :// L i gi i: (ledinhmanqb) G i M(a; b; c) ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c = 14. Khi đó ta có MA = (4 − a)2 + (3 − b)2 + (6 − c)2 ; MB = (−2 − a)2 + (3 − b)2 + (8 − c)2 . √ 6(MA + MB) = (4 + 1 + 1) [(4 − a)2 + (3 − b)2 + (6 − c)2 ] + (1 + 1 + 4) [(−2 − a)2 + (3 − b)2 + (8 − c)2 ] ≥ |2(a − 4) + (b − 3) + (c − 6)| + |(−2 − a) + (b − 3) + 2(c − 8)| ≥ |a + 2b + 3c − 38| = | − 24| = 24. √ 4−a 3−b 6−c −2 − a b − 3 c − 8 p Suy ra min(MA + MB) = 4 6 ⇐⇒ = = và = = . Gi i và tìm đư c đi m M(0; 1; 4). 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Câu 7B. Xác đ nh m đ b t phương trình 252x −x − 2(m − 1).102x −x + (m + 1).42x −x ≥ 0 có nghi m đúng v i m i x th a 1 htt mãn |x| ≥ . 2 L i gi i: (Mai Tuan Long) 2 5 2x −x 1 Đ t: t = ,t |x| ≥ ⇔ 2x− x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1. 2 2 BPT ⇔ t 2 − 2(m − 1)t + m + 1 ≥ 0 có nghi m đúng v i m i t ≥ 1. (1) Đ t: f (t) = t 2 − 2(m − 1)t + m + 1 ⇒ f (t) = 2t − 2(m − 1) ⇒ f (t) = 0 ⇔ t = m − 1. ⇒ f (t) đ ng bi n trên [m − 1; +∞) và ngh ch bi n trên (−∞ : m − 1] +N u: 1 ∈ [m − 1; +∞) ⇒ m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2 Thì Min[1;+∞) [ f (t)] = f (1) = 4 − m 5
 4 − m ≥ 0 ⇒ ĐK (1) ⇔ ⇔m≤2,(*) vn m ≤ 2 + N u 1 ∈ (−∞; m − 1] ⇒ m − 1 ≥ 1 ⇔ m ≥ 2 Thì Min[1;m−1] [ f (t)] = f (m − 1) = −m2 + 3m  −m2 + 3m ≥ 0 ⇒ ĐK(1) ⇔ ⇔ 2 ≤ m ≤ 3 , ( ** ) m ≥ 2 T ( * ) và ( ** ) ta có T p giá tr m th a mãn ĐK đ bài là: T = (−∞; 3] L i gi i: (Mai Tuan Long) . 2 5 2x −x 1 Đ t: t = ,t |x| ≥ ⇔ 2x− x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1. 2 2 ath BPT ⇔ t 2 − 2(m − 1)t + m + 1 ≥ 0 có nghi m đúng v i m i t ≥ 1. (1) Đ t: f (t) = t 2 − 2(m − 1)t + m + 1 Xét : ∆ = m2 − 3m; a = 1 > 0; − b = m − 1; f (1) = 4 − m. a  ∆ > 0   ĐK (1)⇔ ∆ ≤ 0, (2) Ho c f (1) ≥ 0 , (3)   b −a 0   (3)⇔ 4−m ≥ 0 ⇔ m < 0 , ( ** )    m−1 < 1 xm K t h p ( * ) v i ( ** ) ta đư c T p các giá tr m c n tìm là: T = (−∞; 3] bo p :// htt 6