Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 20

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên "Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 20" với 10 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 20

THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 20 ********** Mæn: To¡n. Thíi gian: 180 phót C¥u 1 (2,0 iºm). Cho h m sè y = −x + 3x − 1 câ ç thà (C). 3 2 a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè. b) T¼m m º ph÷ìng tr¼nh sau câ 3 nghi»m thüc ph¥n bi»t, trong â câ óng 2 nghi»m lîn hìn 1 x3 − 3x2 + 2m − 1 = 0. C¥u 2 (1,0 iºm). a) Cho α ∈ 3π thäa m¢n sin α2 + cos α2 = − 12 . T½nh P = sin π . ; 2π α+ 2 6 b) T¼m tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z bi¸t |z − 2i + 1| = |iz + i − 1|. C¥u 3 (0,5 iºm). Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh log √6x − 5x + 1 + 21 log (2x − 1) ≥ 21 (x ∈ R). 1 2 3 2 C¥u 4 (1,0 iºm). T¼m m º h» ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m 3 ( √ x2 y + 1 − 2x − 2xy = 1 (x, y ∈ R). x3 − 3x − 3xy − 2 = m C¥u 5 (1,0 iºm). T½nh t½ch ph¥n 1 (4x + 3) ln(x + 1)dx. Z I= 0 C¥u 6 (1,0 iºm). Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho ÷íng trán (S) : (x + 1) + (y − 1)2 = 20 v 2 ÷íng th¯ng ∆ : y − 6 = 0. ÷íng√ trán (C) câ t¥m thuëc ÷íng th¯ng ∆ çng thíi ct ÷íng trán (S) t¤i hai iºm A, B sao cho AB = 2 2 v ÷íng th¯ng AB t¤o vîi ÷íng th¯ng ∆ mët gâc 450. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng trán (C). C¥u 7 ( ). 1,0 iºm H¼nh châp S.ABC câ AB = BC = 2a, ABC [ = 1200 , hai m°t ph¯ng (SAB) v (SAC) còng vuæng gâc vîi m°t ¡y, m°t ph¯ng (SBC) t¤o vîi m°t ¡y mët gâc 300. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v b¡n k½nh m°t c¦u ngo¤i ti¸p h¼nh châp S.ABC . C¥u 8 ( ). 1,0 iºm Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz , cho m°t c¦u (S) : (x − 5)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9 v m°t ph¯ng (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0. a) Chùng minh r¯ng m°t ph¯ng (P ) ti¸p xóc vîi m°t c¦u (S). b) T¼m tåa ë ti¸p iºm cõa (P ) v (S). C¥u 9 (0,5 iºm). Gåi Ω l tªp c¡c sè câ 4 chú sè. Chån ng¨u nhi¶n tø Ω mët sè. T½nh x¡c su§t º sè ÷ñc chån câ chú sè ùng sau khæng nhä hìn chú sè ùng tr÷îc. C¥u 10 (1 iºm). Cho a, b, c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng √ √ 3 √ 3 a+ b + 3 c + 5 ≥ (a + b)(b + c)(c + a). Nguy¹n D÷ Th¡i, TTBDKT Cao Thng, 11 èng a, TP Hu¸, D: 0905998369
P N THI THÛ SÈ 20 C¥u 1. Cho h m sè y = −x3 + 3x2 − 1 câ ç thà (C). a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè. b) T¼m m º ph÷ìng tr¼nh sau câ 3 nghi»m thüc ph¥n bi»t, trong â câ óng 2 nghi»m lîn hìn 1 x3 − 3x2 + 2m − 1 = 0. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) • Tªp x¡c ành: R. • Ta câ y 0 = −3x2 + 6x, y 0 = 0 ⇔ x ∈ {0; 2} . • lim y = lim x3 −1 + − 2 = +∞, lim y = lim x3 −1 + − 2 = −∞. 3 1 3 1 x→−∞ x→−∞ x x x→+∞ x→+∞ x x • B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ 0 2 +∞ y0 − 0 + 0 − +∞ 3 y −1 −∞ • H m sè nghàch bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; 0) v (2; +∞). • H m sè çng bi¸n tr¶n (0; 2). • ç thà h m sè ¤t cüc tiºu t¤i (0; −1) v ¤t cüc ¤i t¤i (2; 3). • ç thà: y 3 d 1 O x 1 2 −1 1
b) • Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi −x3 + 3x2 − 1 = 2m − 2 (1) Sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) ch½nh l sè giao iºm cõa ç thà (C) vîi ÷íng th¯ng d : y = 2m − 2. • Düa v o ç thà ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 3 nghi»m ph¥n bi»t trong â câ óng 2 nghi»m lîn hìn 1 3 5 ⇔ 1 < 2m − 2 < 3 ⇔ 0. N¶n cos α = 1 − sin2 α = . Do â 3π p 7 α∈ 2 4 √ √ π π 7−3 3 P = sin α cos + cos α sin = . 6 6 8 b) °t z = x + yi, x, y ∈ R. Ta câ M (x, y) v |z − 2i + 1| = |iz + i − 1| ⇔ |(x + 1) + (y − 2)i| = | − (y + 1) + (x + 1)i| p p ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = (y + 1)2 + (x + 1)2 ⇔ 2y − 1 = 0. Vªy tªp hñp c¡c iºm M l ÷íng th¯ng d : 2y − 1 = 0. √ C¥u 3. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh log 1 3 6x2 − 5x + 1 + 1 2 log3 (2x − 1)2 ≥ (x ∈ R). 1 2 Ph¥n t½ch-Líi gi£i.  ( 1 6x2 − 5x + 1 > 0 x < 3 i·u ki»n: (2x − 1)2 > 0 ⇔ 1 x> . 2 B§t ph÷ìng tr¼nh tr÷ìng ÷ìng vîi 1 1 1 − log3 (3x − 1)(2x − 1) + log3 (2x − 1)2 ≥ 2 2 2 2x − 1 2x − 1 ⇔ log3 ≥1⇔ ≥3 3x − 1 3x − 1 7x − 2 1 2 ⇔ ≤0⇔
C¥u 4. T¼m m º h» ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m ( √ x2 y + 1 − 2x − 2xy = 1 (x, y ∈ R). x3 − 3x − 3xy − 2 = m Ph¥n t½ch-Líi gi£i. √ i·u ki»n: y ≥ −1. °t z = y + 1 ≥ 0 ⇒ y = z 2 − 1. H» ¢ cho trð th nh ( x2 z − 2xz 2 = 1 (1) x3 − 3xz 2 = m + 2 Tr÷íng hñp 1: z = 0 . Khi â ( (væ nghi»m). 0=1 (1) ⇔ x3 = m + 2 Tr÷íng hñp 2: z > 0 . °t t = xz ⇔ x = tz. Ta câ h» (1) trð th nh ( z 3 (t2 − 2t) = 1 (2) z 3 (t3 − 3t) = m + 2 (3) V¼ z > 0 n¶n tø (2) ta câ t2 − 2t > 0 ⇔ t ∈ D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞). L§y (3) chia (2) v¸ theo v¸ ta câ t2 − 3 f (t) = = m + 2 (4) t−2 Do â h» ¢ cho câ nghi»m khi v ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (4) câ nghi»m t ∈ D (5) Ta câ t2 − 4t + 3 t = 1 (lo¤i) 0 f (t) = =0⇔ (t − 2)2 t = 3. lim f (t) = ±∞, lim f (t) = ±∞. t→±∞ t→2± B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ 0 2 3 +∞ y0 + − 0 + 3 +∞ +∞ y 2 −∞ 6 Tø b£ng bi¸n thi¶n ta câ 3 1 " " (5) ⇔ m + 2 < ⇔ m < − 2 2 m+2≥6 m≥4 Vªy m ∈ ∪ [4; +∞). 1 −∞; − 2 C¥u 5. T½nh t½ch ph¥n 1 (4x + 3) ln(x + 1)dx. Z I= 0 3
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. °t u = ln(x + 1) v dv = (4x + 3)dx, ta câ du = x +1 1 dx v v = 2x2 + 3x+1 = (2x + 1)(x + 1). Do â
1 Z 1 I = (2x2 + 3x + 1) ln(x + 1)
− (2x + 1)dx
0 0 2
1 = 6 ln 2 − x + x
= 6 ln 2 − 2. 0 C¥u 6. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho ÷íng trán (S) : (x + 1)2 + (y − 1)2 = 20 v ÷íng th¯ng ∆ : y − 6 = 0. ÷íng trán √(C) câ t¥m thuëc ÷íng th¯ng ∆ çng thíi ct ÷íng trán (S) t¤i hai iºm A, B sao cho AB = 2 2 v ÷íng th¯ng AB t¤o vîi ÷íng th¯ng ∆ mët gâc 450. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng trán (C) bi¸t t¥m cõa (C) câ ho nh ë d÷ìng. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. J A H B I √ ÷íng trán (S) câ t¥m I(−1; 1) v câ b¡n k½nh R = 2 5. Gåi J v r l¦n l÷ñt l t¥m v b¡n k½nh cõa ÷íng trán (C). • Ta câ (AB, \ ∆) = 450 v IJ ⊥ AB n¶n (IJ, \ ∆) = 450 . Gåi K l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa I tr¶n ∆. Ta câ tam gi¡ IJK vuæng c¥n t¤i K n¶n √ √ √ IJ = 2IK = 2d(I, ∆) = 5 2 (1) J ∈ ∆ ⇒ J(a; 6), a > 0. Ta câ 2 a =4 a = −6 (lo¤i) (1) ⇔ (a + 1) + 25 = 50 ⇔ Do â J(4; 6) v (C) : (x − 4)2 + (y − 6)2 = r2. • ÷íng trán (C) ct ÷íng trán (S) khi v ch¿ khi |R − r| < JI < R + r (2) • Ta câ A, B l giao iºm cõa (C) vîi (S) n¶n tåa ë cõa A, B thäa m¢n h» ( (x + 1)2 + (y − 1)2 = 20 (3) (x − 4)2 + (y − 6)2 = r2 (4) 4
L§y (3) trø (4) v¸ theo v¸ ta ÷ñc 10x + 10y + r2 − 70 = 0 (5) V¼ tåa ë cõa c¡c iºm A, B thäa m¢n (5) n¶n ta câ AB : 10x + 10y + r2 − 70 = 0. Ta câ 2 2 AB = 2 R − d (I, AB) ⇔ 2 = 20 − |r − 70| q 2 2 √ 10 2 2 (thäa m¢n (2)) 2 r = 10 ⇔|r − 70| = 60 ⇔ 2 r = 130 • V¥y (C) : (x − 4)2 + (y − 6)2 = 10 ho°c (C) : (x − 4)2 + (y − 6)2 = 130. C¥u 7. H¼nh châp S.ABC câ AB = BC = 2a, ABC\ = 1200 , hai m°t ph¯ng (SAB) v (SAC) còng vuæng gâc vîi m°t ¡y, m°t ph¯ng (SBC) t¤o vîi m°t ¡y mët gâc 300. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v b¡n k½nh m°t c¦u ngo¤i ti¸p h¼nh châp S.ABC . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. S J M I C A B H Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A tr¶n BC , I l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC , M l trung iºm SA, (P ) l m°t ph¯ng trung trüc cõa SA, d l ÷íng th¯ng qua I vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (ABC) v J l giao iºm cõa d vîi (P ). √ • Ta câ SABC = 12 AB · BC sin ABC \ = a2 3.  (SAB) ⊥ (ABC)  (SAC) ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC. (SAB) ∩ (SAC) = SA  M AH ⊥ BC nen BC ⊥ (SAH).   (SBC) ∩ (ABC) = BC  BC ⊥ (SAH) \ ⇒ ((SBC), [ = 300 . (ABC)) = SHA  (SAH) ∩ (SBC) = SH  (SAH) ∩ (ABC) = AH 5
√ \ = 600 , AH = AB · sin ABH ABH \ = a 3, SA = AH · tan SHA [ = a. Vªy √ 1 a3 3 VS.ABC = SA · SABC = . 3 3 • Ta câ d l tröc cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC v J ∈ d n¶n JA = JB = JC (1) L¤i câ J ∈ (P ) n¶n JA = JM (2) Tø (1) v (2) ta câ JA = JB = JC = JS n¶n J l t¥m m°t c¦u ngo¤i ti¸p h¼nh châp S.ABC . √ Ta câ AM = 12 SA = aa , AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB · BC · cos ABC \ = 12a2 ⇒ AC = 2a 3, = 2a. Tù gi¡c AM JI l h¼nh chú nhªt n¶n AC IA = 2 sin ABC \ √ p 2 2 a 17 JA = AM + AI = . 2 √ Vªy b¡n k½nh m°t c¦u ngo¤i ti¸p h¼nh châp S.ABC l 2 . a 17 C¥u 8. Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho m°t c¦u (S) : (x − 5)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9 v m°t ph¯ng (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0. a) Chùng minh r¬ng m°t ph¯ng (P ) ti¸p xóc vîi m°t c¦u (S). b) T¼m tåa ë ti¸p iºm cõa (P ) v (S). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. M°t c¦u (S) câ t¥m I(5; 2; 2) v câ b¡n k½nh R = 3, VTPT cõa m°t ph¯ng (P ) l −→ n = (2; 2; −1). a) Ta câ d(I, (P )) = |10 √ + 4 − 2 − 3| 2 2 2 = 3 = R n¶n m°t ph¯ng (P ) ti¸p xóc vîi m°t c¦u (S). 2 +2 +1 b) Gåi H l ti¸p iºm cõa (P ) v (S). ÷íng th¯ng IH qua I v vuæng gâc vîi (P ) n¶n nhªn −→ n l m vectì ch¿ ph÷ìng, do â câ ph÷ìng tr¼nh  x = 5 + 2t  IH : y = 2 + 2t z = 2 − t.  H ∈ IH ⇒ H(2a + 5; 2a + 2; −a + 2). H ∈ (P ) ⇔ 2(2a + 5) + 2(2a + 2) − (−a + 2) − 3 = 0 ⇔ a = −1. Vªy H(3; 0; 3). C¥u 9. Gåi Ω l tªp c¡c sè câ 4 chú sè. Chån ng¨u nhi¶n tø Ω mët sè. T½nh x¡c su§t º sè ÷ñc chån câ chú sè ùng sau khæng nhä hìn chú sè ùng tr÷îc. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Gåi A l bi¸n cè "sè ÷ñc chån câ chú sè ùng sau khæng nhä hìn chú sè ùng tr÷îc". 6
Sè câ 4 chú sè câ d¤ng abcd, vîi a, b, c, d ∈ X = {0; 1; 2; . . . ; 9} , a 6= 0. T½nh Ω: Ta câ a câ 9 c¡ch chån tø tªp X\ {0} . b câ 10 c¡ch chån tø tªp X. c câ 10 c¡ch chån tø tªp X. d câ 10 c¡ch chån tø tªp X. Do â Ω = 9 · 103 = 9000. T½nh |ΩA |: C¡ch 1: Sè abcd thäa m¢n chú sè ùng sau khæng nhä hìn chú sè ùng tr÷îc n¶n 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9 ⇔ 1 ≤ x = a < y = b + 1 < z = c + 2 < t = d + 3 ≤ 12. Do â sè c¡c sè abcd thäa m¢n a ≤ b ≤ c ≤ d ch½nh l sè c¡c bë sè (x, y, z, t) m 1 ≤ x < y < z < t ≤ 12 vîi c¡c sè x, y, z, t ÷ñc chån tø tªp {0; 1; 2; . . . ; 12}. Vªy |ΩA| = C124 = 495. C¡ch 2: Ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau Tr÷íng hñp 1: Sè ÷ñc chån ch¿ chùa 1 chú sè. • Chån mët chú sè tø tªp X câ C91 c¡ch chån. • Vîi chú sè ÷ñc chån, gi£ sû l sè a, th¼ ta lªp ÷ñc mët sè duy nh§t thäa m¢n l aaaa. Do â câ C91 sè trong tr÷íng hñp n y. Tr÷íng hñp 2: Sè ÷ñc chån ch¿ chùa 2 chú sè. • Chån hai chú sè tø tªp X câ C92 c¡ch chån. • Vîi hai chú sè ÷ñc chån, gi£ sû l a < b, th¼ ta lªp ÷ñc óng 3 sè thäa m¢n l aaab, aabb, abbb. Do â câ 3 · C92 sè trong tr÷íng hñp n y. Tr÷íng hñp 3: Sè ÷ñc chån ch¿ chùa 3 chú sè. • Chån ba chú sè tø tªp X câ C93 c¡ch chån. • Vîi ba chú sè ÷ñc chån, gi£ sû l a < b < c, th¼ ta lªp ÷ñc óng 3 sè thäa m¢n l abcc, abbc, aabc. Do â câ 3 · C93 sè trong tr÷íng hñp n y. Tr÷íng hñp 4: Sè ÷ñc chån chùa 4 chú sè. • Chån bèn chú sè tø tªp X câ C94 c¡ch chån. • Vîi ba chú sè ÷ñc chån, gi£ sû l a < b < c < d, th¼ ta lªp ÷ñc óng 1 sè thäa m¢n l abcd. Do â câ ·C94 sè trong tr÷íng hñp n y. Vªy |ΩA| = C91 + 3 · C92 + 3 · C93 + C94 = 495. Th nh thû x¡c su§t cõa bi¸n cè A l |ΩA | 11 P (A) = = . |Ω| 200 C¥u 10. Cho a, b, c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng √ √ 3 √ 3 3 a+ b+ c + 5 ≥ (a + b)(b + c)(c + a). 7
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ta câ (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) ⇒ 3(a + b)(b + c)(c + a) = 27 − a3 − b3 − c3 n¶n b§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi √ √3 √ 3( 3 a + b + 3 c + 5) ≥ 27 − a3 − b3 − c3 √ √ 3 √ ⇔a3 + b3 + c3 + 3( 3 a + b + 3 c) ≥ 12 (1) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ √ √ √ √ √ 3 q 4 a3 + 3 3 a = a3 + 3 a + 3 a + 3 a ≥ 4 a3 · 3 a = 4a (2) √ √ √ √ √ 3 r 3 3 3 33 3 4 3 b + 3 b = b + b + b + b ≥ 4 b3 · b = 4b (3) √ √ √ √ √ 3 q 3 3 4 c +3 c=c + 3 3 c+ 3 c+ 3 c ≥ 4 c3 · 3 c = 4c (4) Cëng v¸ theo v¸ (2), (3), (4) ta câ √ √ 3 √ a3 + b3 + c3 + 3( 3 a + b + 3 c) ≥ 4(a + b + c) = 12. Do â b§t ¯ng thùc (1) óng. 8