Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 21

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với "Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 21" các bạn sẽ được tìm hiểu và tham khảo các câu hỏi thi tự luận về môn Toán. Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và lời giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 21

THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 21 ********** Mæn: To¡n. Thíi gian: 180 phót C¥u 1 (2,0 iºm). Cho h m sè y = x + (2 − m)x + 4m (1), trong â m l tham sè thüc. 3 2 a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè (1) khi m = −1. b) T¼m m º ç thà h m sè (1) ct tröc ho nh t¤i 3 iºm ph¥n bi»t câ ho nh ë x , x , x sao cho 1 2 3 x21 + x22 + x23 = 13. C¥u 2 (1,0 iºm). a) T¼m x ∈ (−π; 2π) bi¸t 3 cos 2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1. √ b) X¡c ành ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t z= ( 2 − i)3 √ . 1 + 2i C¥u 3 (0,5 iºm). Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh3 2x+8 − 4 · 3x+5 + 27 < 0 (x ∈ R). y 3 − x3 − 9 = 3(x2 + y 2 ) + 3(x − y) C¥u 4 (1,0 iºm). Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh  √ p (x, y ∈ R). x + y + x2 + 16 + y 2 + 16 = 12  C¥u 5 (1,0 iºm). T½nh t½ch ph¥n 4 √ √ dx. Z x + ln(1 + x) I= √ 1 x+ x C¥u 6 (1,0 iºm). Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh thang c¥n ABCD ngo¤i ti¸p ÷íng trán (S) : x2 + y 2 − 10x − 2y + 1 = 0, AB v CD l c¡c c¤nh ¡y, iºm A(2; 6), iºm B câ ho nh ë d÷ìng. T¼m tåa ë c¡c ¿nh B , C , D. C¥u 7 (1,0 iºm). H¼nh châp S.ABCD câ ¡y l h¼nh chú nhªt, AB = a, AD = a√3, tam gi¡c SBC √ vuæng t¤i B , tam gi¡c SCD vuæng t¤i D, SC = a 5. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABCD v kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB , AC . C¥u 8 (1,0 iºm). Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng ∆ song song vîi m°t ph¯ng (P ) : x + y + 1 = 0 v ct hai ÷íng th¯ng d1 : x −2 1 = y −1 1 = z1 , d2 : x −1 1 = y +2 2 = z1 l¦n l÷ñt t¤i A, B sao cho AB = 3. C¥u 9 (0,5 iºm). Mët ëi t¼nh nguy»n câ 8 nam v 2 nú. Häi ph£i chån tø ëi t¼nh nguy»n â ½t nh§t bao nhi¶u ng÷íi º x¡c su§t chån ÷ñc ½t nh§t 1 nú lîn hìn 23 . C¥u 10 (1 iºm). Cho x, y, z l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 3. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa 16 xy + yz + zx + 1 P =p + . x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 + 1 x+y+z Nguy¹n D÷ Th¡i, TTBDKT Cao Thng, 11 èng a, TP Hu¸, D: 0905998369
P N THI THÛ SÈ 21 C¥u 1. Cho h m sè y = x3 + (2 − m)x2 + 4m (1), trong â m l tham sè thüc. a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè (1) khi m = −1. b) T¼m m º ç thà h m sè (1) ct tröc ho nh t¤i 3 iºm ph¥n bi»t câ ho nh ë x1 , x2 , x3 sao cho x21 + x22 + x23 = 13. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Vîi m = −1 ta câ y = x3 + 3x2 − 4. • Tªp x¡c ành: R. • Ta câ y = 3x + 6x, y = 0 ⇔ 0 2 0 x = 0 ⇒ y(0) = −4 x = −2 ⇒ y(−2) = 0. 1 − + 2 = ±∞. 3 3 • lim y = lim x3 x→±∞ x→±∞ x x • B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ −2 0 +∞ y0 + 0 − 0 + 0 +∞ y −∞ −4 • H m sè çng bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; −2), (0; +∞) v nghàch bi¸n tr¶n (−2; 0). • ç thà h m sè ¤t cüc ¤i t¤i (−2; 0) v ¤t cüc tiºu t¤i (0; −4). • ç thà: y O 1 x −2 −4 1
b) • Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa (C) vîi l x3 + (2 − m)x2 + 4m = 0 ⇔ (x + 2)(x2 − mx + 2m) = 0 x = −2 ⇔ 2 x − mx + 2m = 0 (1). • Do â d ct ç thà (C) t¤i 3 iºm ph¥n bi»t câ ho nh x1, x2, x3 = −2 ⇔(1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1 , x2 kh¡c − 2 "  m 0  ⇔ ⇔ m >8 4m + 4 6= 0  m 6= −1.  Theo ành lþ Vi-²t ta câ ( x1 + x2 = m x1 · x2 = 2m. • Ta câ x21 + x22 + x23 = 13 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 − 9 = 0 √ m = 2 + √ 13 ⇔m2 − 4m − 9 = 0 ⇔ m = 2 − 13. √ Vªy m = 2 − 13. C¥u 2. a) T¼m x ∈ (−π; 2π) bi¸t 3 cos2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1. √ ( 2 − i)3 b) X¡c ành ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t z= √ . 1 + 2i Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi 3(1 − sin2 x) − 2(1 − 2 sin2 x) − 3 sin x + 1 = 0 2 sin x = 1 sin x = 2 (lo¤i) ⇔ sin x − 3 sin x + 2 = 0 ⇔ π ⇔x = + k2π, k ∈ Z. 2 V¼ x ∈ (−π; 2π) n¶n x = π2 . b) Ta câ √ √ √ √ 2 2 − 6i + 3 2i2 − i3 − 2 − 5i 1 − 2i z= √ = 1 + 2i 3 √ √ 2 − 2 + 2i − 5i + 5 2i = = −2 − i 3 ⇒ z = −2 + i. Vªy ph¦n thüc cõa z l −2 v ph¦n £o cõa z l 1. C¥u 3. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 32x+8 − 4 · 3x+5 + 27 < 0 (x ∈ R). 2
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. °t t = 3x+4 , t > 0. B§t ph÷ìng tr¼nh trð th nh t2 − 12t + 27 < 0 ⇔ 3 < t < 9. Vîi t > 3 ta câ 3x+4 > 3 ⇔ x + 4 > 1 ⇔ x > −3. Vîi t < 9 ta câ 3x+4 < 9 ⇔ x + 4 < 2 ⇔ x < −2. Vªy tªp nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l S = (−2; −3). ( y 3 − x3 − 9 = 3(x2 +py 2 ) + 3(x − y) C¥u 4. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh √ x + y + x2 + 16 + y 2 + 16 = 12 (x, y ∈ R). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ( (y − 1)3 = (x + 1)3 + 7p (1) √ (x + x2 + 16) + (y + y 2 + 16) = 12 (2) Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ y = 1 + (x + 1)3 + 7. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) v sû döng Casio ta t¼m p 3 ÷ñc nghi»m x √= 0 ⇒ y = 3. X²t f (t) = t + t2 + 16, t ∈ R. Ph÷ìng tr¼nh (2) trð th nh f (x) + f (y) = 12 (3) √ Ta câ f (t) > t + t2 = t + |t| ≥ 0, ∀t ∈ R √ 0 t t + t2 + 16 f (t) f (t) = 1 + √ = √ =√ > 0, ∀t ∈ R. t2 + 16 t2 + 16 t2 + 16 Do â f (t) èng bi¸n tr¶n R. Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta nhªn th§y n¸u x t«ng th¼ y t«ng v ng÷ñc l¤i. Cëng vîi vi»c t¼m ÷ñc nghi»m cõa h» ta câ h÷îng ¡nh gi¡ nh÷ sau. Tr÷íng hñp 1: x > 0. Tø (1) câ y > 3. Ta câ f (x) + f (y) > f (0) + f (3) = 12 (tr¡i vîi (3)). Tr÷íng hñp 2: x < 0. Tø (1) câ y < 3. Ta câ f (x) + f (y) < f (0) + f (3) = 12 (tr¡i vîi (3)). Tr÷íng hñp 3: x = 0. Tø (1) câ y = 3 (thäa m¢n (3)). Vªy h» câ nghi»m duy nh§t (x, y) = (0; 3). C¥u 5. T½nh t½ch ph¥n Z 4√ √ I= x + ln(1 + x) x+ x √ dx. 1 Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ta câ 4 4 √ dx + dx = A + B. Z Z 1 ln(1 + x) I= √ √ √ 1 x+1 1 x( x + 1) T½nh A: °t t = √x + 1 ⇒ x = (t − 1)2 ⇒ dx = 2(t − 1)dt. êi cªn: x t 1 2 4 3 Do â 2(t − 1)dt
3 3 3 dt = 2(t − ln t)
= 2 + 2 ln 23 . Z Z 1
A= =2 1− 2 t 2 t 2 3
T½nh B : °t u = ln(1 + √x) ⇒ du = 2√x(11+ √x) dx. êi cªn: x t 1 ln 2 4 ln 3 Do â
ln 3 ln 3 2udu = u
Z
2
B= = ln2 3 − ln2 2. ln 2
ln 2 Vªy I = 2 + 2 ln 32 + ln2 3 − ln2 2. C¥u 6. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh thang c¥n ABCD ngo¤i ti¸p ÷íng trán (S) : x2 + y 2 − 10x − 2y + 1 = 0, AB v CD l c¡c c¤nh ¡y, iºm A(2; 6), iºm B câ ho nh ë d÷ìng. T¼m tåa ë c¡c ¿nh B , C , D. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. A E B F G I D H C ÷íng trán (S) câ t¥m I(5; 1) v câ b¡n k½nh R = 5. Gåi E , F , H , G l¦n l÷ñt l ti¸p iºm cõa (S) vîi AB , AD, DC , CB . Ta câ E , I , H th¯ng h ng, E l trung iºm AB v H l trung iºm CD. Tù gi¡c AEIF nëi ti¸p ÷íng trán (T ) ÷íng k½nh AI . Ta câ 7 2 7 2 17 (T ) : x − + y− = . 2 2 2 E v F l giao iºm cõa (S) vîi (T ) n¶n tåa ë cõa E , F thäa m¢n h»  2 x + y 2 − 10x − 2y + 1 = 0 10 57 7 2 7 2 17 ⇔ (x, y) ∈ (5; 6); ; .  x− + y− = 17 17 2 2 2 , F (5; 6). E l trung iºm AB n¶n B − 17 ; 17 (khæng thäa m¢n 10 57 14 12 • Tr÷íng hñp 1: E ; 17 17 v¼ B câ ho nh ë d÷ìng). • Tr÷íng hñp 2: E(5; 6), F . E l trung iºm AB n¶n B(8; 6) (thäa m¢n). I l trung 10 57 ; 17 17 iºm cõa HE n¶n H(5; −4). Ta câ DC : y + 4 = 0, AD : 15x − 8y + 18 = 0 n¶n D − ; −4 . 10 3 l trung iºm cõa CD n¶n C ; −4 . 40 H 3 Vªy B(8; 6), C , D − ; −4 . 40 10 ; −4 3 3 4
√ C¥u 7. H¼nh châp S.ABCD câ ¡y l h¼nh √ chú nhªt, AB = a, AD = a 3, tam gi¡c SBC vuæng t¤i B , tam gi¡c SCD vuæng t¤i D, SC = a 5. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABCD v kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SB , AC . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. S T A E D K B C Düng h¼nh b¼nh h nh ACBE . Gåi K, T l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A tr¶n BE , SK . √ √ • Ta câ SABCD = AB · AD = a2 3, AC = BD = AB 2 + AD2 = 2a. ( BC ⊥ BA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SA (1) BC ⊥ SB ( DC ⊥ DA ⇒ DC ⊥ (SAD) ⇒ DC ⊥ SA (2) DC ⊥ SD √ Tø (1) v (2) ta câ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC . Do â SA = SC 2 − AC 2 = a. Do vªy √ 1 a3 3 VS.ABCD = SABCD · SA = . a 3 • Ta câ AC k BE ⇒ AC k (SBE). Do â d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A, (SBE)). Ta câ BE ⊥ AK v BE ⊥ SA n¶n BE ⊥ (SAK) ⇒ BE ⊥ AT . M SK ⊥ AT n¶n AT ⊥ (SBE). Th nh thû d(A, (SBE)) = AT. √ Ta câ AE = BC = a 3 v tam gi¡c ABE vuæng t¤i A n¶n √ 1 1 1 1 1 1 7 a 21 = + = + + = 2 ⇒ AT = . AT 2 AS 2 AK 2 AS 2 AE 2 AB 2 3a 7 √ Vªy d(AC, SB) = 7 . a 21 5
C¥u 8. Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng ∆ song song vîi m°t ph¯ng (P ) : x + y + 1 = 0 v ct hai ÷íng th¯ng d1 : x −2 1 = y −1 1 = z1 , d2 : x −1 1 = y +2 2 = z1 l¦n l÷ñt t¤i A, B sao cho AB = 3. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng (P ) l n = (1; 1; 0). −→ A ∈ d1 ⇒ A(2a + 1; a + 1; a), B ∈ d2 ⇒ B(b + 1; 2b − 2; b), AB= (b − 2a; 2b − a − 3; b − a). Ta câ −→ ( ( ( A∈ / (P ) (2a + 1) + (a + 1) + 1 6= 0 a 6= −1 AB k (P ) ⇔ −→ −→ ⇔ ⇔ AB · n = 0 (b − 2a) + (2b − a − 3) = 0 b = a + 1. Vîi b = a + 1 ta câ AB= (1 − a; a − 1; 1). Do â −→ a = −1 (lo¤i) 2 2 AB = 3 ⇔ (a − 1) + (a − 1) + 1 = 9 ⇔ a =3 ÷íng th¯ng ∆ qua A(7; 4; 3) v nhªn AB= (−2; 2; 1) l m vectì ch¿ ph÷ìng n¶n câ ph÷ìng tr¼nh −→  x = 7 − 2t  ∆ : y = 4 + 2t  z = 3 + t. C¥u 9. Mët ëi t¼nh nguy»n câ 8 nam v 2 nú. Häi ph£i chån tø ëi t¼nh nguy»n â ½t nh§t bao nhi¶u ng÷íi º x¡c su§t chån ÷ñc ½t nh§t 1 nú lîn hìn 23 . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Gåi n l sè ng÷íi c¦n chån, Ω l khæng gian m¨u v A l bi¸n cè "câ ½t nh§t 1 nú ÷ñc chån". Tr÷íng hñp 1: n ≥ 9. V¼ ch¿ câ 8 nam n¶n n¸u chån ra n ≥ 9 ng÷íi th¼ câ ½t nh§t 1 nú ÷ñc chån. Do â x¡c su§t chån ÷ñc ½t nh§t 1 nú l (thäa m¢n). 2 P (A) = 1 > 3 Tr÷íng hñp 2: 1 ≤ n ≤ 8 . T½nh |Ω|: Ch½nh l sè c¡ch chån n ng÷íi tø 10 ng÷íi n¶n n |Ω| = C10 . T½nh |ΩA |: Sè c¡ch chån n ng÷íi to n nam l C8n. Do â n |ΩA | = C10 − C8n . Do â x¡c su§t cõa bi¸n cè A l |ΩA | Cn − Cn P (A) = = 10 n 8 . |Ω| C10 Ta câ 2 n 10! 8! P (A) > ⇔ C10 > 3C8n ⇔ >3 3 n!(10 − n)! n!(8 − n)! 2 ⇔30 > (10 − n)(9 − n) ⇔ n − 19n + 60 < 0 ⇔4 < n < 15. Th nh thû n > 4. Do â ph£i chån ½t nh§t 5 ng÷íi. 6
C¥u 10. Cho x, y, z l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 3. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa 16 xy + yz + zx + 1 P =p + . 2 2 2 2 2 2 x y +y z +z x +1 x+y+z Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy, ta câ x4 + y 4 + z 4 + 2(x + y + z) = (x4 + x + x) + (y 4 + y + y) + (z 4 + z + z) ≥ 3(x2 + y 2 + z 2 ) = (x2 + y 2 + z 2 )2 ⇒ x + y + z ≥ x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 . √ 2 °t s = x + y + z, ta câ s ∈ [ 3; 3], xy + yz + zx = s −3 2 . V¼ x2y2 + y2z2 + z2x2 ≤ x + y + z n¶n 16 xy + yz + zx + 1 16 s2 − 1 P ≥√ + =√ + = g(s). x+y+z+1 x+y+z s+1 2s Ta câ 8 1 1 √ g 0 (s) = − √ + + 2 < 0, ∀s ∈ [ 3; 3]. (s + 1) s + 1 2 2s √ N¶n g(s) nghàch bi¸n tr¶n [ 3; 3]. Do â g(s) ≥ g(3) = 283 . Th nh thû P ≥ 283 . D§u b¬ng x£y ra khi x = y = z = 1. Vªy GTNN cõa P b¬ng 283 . 7