Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 25

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp cho các bạn học sinh có thêm thông tin và kiến thức để chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học sắp tới mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 25". Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 25

THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 25 ********** Mæn: To¡n. Thíi gian: 180 phót C¥u 1 (2,0 iºm). a) T¼m m º h m sè y = x − 3(m − 1)x 3 2 + 3m(m − 2)x + m3 − 1 ¤t cüc tiºu t¤i x = 2. b) T¼m iºm M thuëc ç thà (C) : y = x 4 − 6x2 + 15 bi¸t ti¸p tuy¸n vîi (C) t¤i M song song vîi ÷íng th¯ng d : 8x + y − 18 = 0. C¥u 2 (1,0 iºm). √ a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh π π 2 (x ∈ R). sin 2x − = sin x − + 4 4 2 b) X¡c ành ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t (1 − 2i)z = (3 + 4i) . 2 C¥u 3 (0,5 iºm). Gi£i ph÷ìng tr¼nh 7 +2 · 7 = 9 (x ∈ R). x 1−x 5(x + x − y ) = 2(√y + 3 − √2x + 1 + 2) C¥u 4 (1,0 iºm). Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh  2 2 (x, y ∈ R). 2 2 x + y − x − 3y − 2 = 0 C¥u 5 (1,0 iºm). Cho (H) l h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði (C) : y = (1 − x)e , tröc Ox v tröc Oy. T½nh 2x di»n t½ch h¼nh ph¯ng (H) v thº t½ch vªt thº trán xoay sinh ra khi quay h¼nh (H) quanh tröc Ox C¥u 6 (1,0 iºm). Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh thang ABCD vuæng t¤i A(1; 0) v B, AD = 3BC , ÷íng th¯ng qua B v trung iºm cõa CD câ ph÷ìng tr¼nh ∆ : x + 2y − 9 = 0. T¼m tåa ë c¡c ¿nh cõa h¼nh thang ABCD bi¸t ÷íng th¯ng ∆ vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng AC v B câ ho nh ë nguy¶n. C¥u 7 (1,0 iºm). Cho h¼nh l«ng trö ùng ABC.A0B0C 0 câ ¡y ABC l tam gi¡c c¥n t¤i C , AB = 6a, [ = 300 , gâc giúa hai m°t ph¯ng (C 0 AB) v (ABC) b¬ng 600 . T½nh theo a thº t½ch cõa khèi l«ng trö ABC ABC.A0 B 0 C 0 v kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng B 0 C , AB . C¥u 8 (1,0 iºm). Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho hai iºm A(0; 0; −3), B(2; 0; −1) v m°t ph¯ng (P ) : 3x − y − z + 1 = 0 . a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng AB. b) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u (S) câ t¥m thuëc AB, câ b¡n k½nh b¬ng 2√11 v ti¸p xóc vîi (P ). C¥u 9 (0,5 iºm). Mët lîp câ câ 20 håc sinh giäi gçm 12 nam trong â câ mët nam l B½ th÷ v 8 nú trong â câ mët nú l lîp tr÷ðng. Th¦y gi¡o chõ nhi»m chån ng¨u nhi¶n 4 håc sinh trong sè â i dü têng k¸t to n tr÷íng. T½nh x¡c su§t º trong 4 håc sinh ÷ñc th¦y chån câ c£ nam v nú çng thíi câ óng mët håc sinh l c¡n bë lîp. C¥u 10 (1 iºm). Cho x, y, z l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 2. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 2 2 √ 3(x + y ) 2z z(z + 1) P = + − − 3z. 8 x + y (x + 1)(y + 1) Nguy¹n D÷ Th¡i, TTBDKT Cao Thng, 11 èng a, TP Hu¸, D: 0905998369
P N THI THÛ SÈ 25 C¥u 1. a) T¼m m º h m sè y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3m(m − 2)x + m3 − 1 ¤t cüc tiºu t¤i x = 2. b) T¼m iºm M thuëc ç thà (C) : y = x4 − 6x2 + 15 bi¸t ti¸p tuy¸n vîi (C) t¤i M song song vîi ÷íng th¯ng d : 8x + y − 18 = 0. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Tªp x¡c ành: R. Ta câ y 0 = 3x2 − 6(m − 1)x + 3m(m − 2) = 3(x − m)(x − m + 2), y 00 = 6(x − m + 1). C¡ch 1: 0 x =m y =0⇔ x = m − 2. B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ m−2 m +∞ y0 + 0 − 0 + y Tø b£ng bi¸n thi¶n ta câ x = m l iºm cüc tiºu cõa h m sè. Do â h m sè ¤t cüc tiºu t¤i iºm x = 2 ⇔ m = 2. Vªy m = 2. C¡ch 2: H m sè y ¤t cüc tiºu t¤i x = 2 th¼ y 0 (2) = 0 ⇒ 12 − 12(m − 1) + 3m(m − 2) = 0 2 m =2 ⇒m − 6m + 8 = 0 ⇒ m = 4. ( y 0 (2) = 0 Tr÷íng hñp 1: m = 4. Ta câ n¶n x = 2 l iºm cüc ¤i (khæng thäa m¢n). y 00 (2) = −6 < 0 ( y 0 (2) = 0 Tr÷íng hñp 2: m = 2. Ta câ n¶n x = 2 l iºm cüc tiºu (thäa m¢n). y 00 (2) = 6 > 0 Vªy m = 2. b) Gåi ∆ l ti¸p tuy¸n vîi (C) t¤i M . ∆ k d : y = −8x + 18 n¶n câ d¤ng ∆ : y = −8x + m, m 6= 18. ( x4 − 6x2 + 15 = −8x + m (1) ∆ ti¸p xóc vîi (C) ⇔ 4x3 − 12x = −8 (2) câ nghi»m. = −2 ⇒ m = −9 (thäa m¢n) Ta câ (2) ⇔ xx = 1 ⇒ m = 18 (lo¤i) Vªy M (−2; 7). 1
C¥u 2. √ Gi£i ph÷ìng tr¼nh π π 2 (x ∈ R). a) sin 2x − = sin x − + 4 4 2 b) X¡c ành ph¦n thüc v ph¦n £o cõa sè phùc z bi¸t (1 − 2i)z = (3 + 4i)2. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi π π π sin 2x − − sin − sin x − =0 4 π 4 π 4 ⇔2 cos x sin x − − sin x − =0 4 4 π ⇔(2 cos x − 1) sin x − =0 4  1  π cos x = x = ± + k2π ⇔  π 2 ⇔  π3 , k ∈ Z. sin x − =0 x = + kπ 4 4 Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S = 4 + kπ, ± 3 + k2π
k ∈ Z . nπ π
o b) Ta câ (3 + 4i)2 (−7 + 24i)(1 + 2i) −55 + 10i z= = = = −11 + 2i. 1 − 2i 5 5 Do â z = −11 − 2i. Vªy ph¦n thüc cõa z l −11 v ph¦n £o cõa z l −2. C¥u 3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh 7x + 2 · 71−x = 9 (x ∈ R). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. °t t = 7x > 0. Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh 14 2 t =2 t+ = 9 ⇔ t − 9t + 14 = 0 ⇔ t t = 7. Vîi t = 7 ta câ 7xx = 7 ⇔ x = 1. Vîi t = 2 ta câ 7 = 2 ⇔ x = log7 2. Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S = {1; log7 2}. ( √ √ 5(x2 + x − y 2 ) = 2( y + 3 − 2x + 1 + 2) C¥u 4. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh x2 + y 2 − x − 3y − 2 = 0 (1) (2) (x, y ∈ R). Ph¥n t½ch-Líi gi£i.  1 i·u ki»n: x≥−  2 y ≥ −3. Tøng ph÷ìng tr¼nh cõa h» khæng cho ta nh¥n tû n¶n ta s³ t¼m c¡ch k¸t hñp hai ph÷ìng tr¼nh cõa h» l¤i, ngh¾a l ta c¦n t¼m h¬ng sè k sao cho ph÷ìng tr¼nh (1) cëng k l¦n ph÷ìng tr¼nh (2) câ nh¥n tû. H÷îng 1: L§y ph÷ìng tr¼nh (1) cëng vîi k l¦n ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc √ (5 + k)x2 + (5 − k)x − 2k + 2 2x + 1 = (5 − k)y 2 + 3ky + 4 + 2 y + 3 (3) p Ta c¦n t¼m k sao√cho hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (3) çng d¤ng √ vîi nhau v t§t nhi¶n ph£i düa tr¶n hai l÷ñng cì b£n l 2x + 1 v √y + 3. Rã r ng c¡c l÷ñng 2x + 1 v √y + 3 khæng thº bi¸n êi theo 2
√ √ c¡c ¤i l÷ñng √ kh¡c n¶n ta s³ bi¸n êi v¸ tr¡i theo l÷ñng √ 2x + 1 v v¸ ph£i theo y + 3. H» sè cõa x trong c«n 2x + 1 l 2 2 cán h» sè cõa y trong c«n y + 3 l 1 n¶n º câ sü t÷ìng çng giúa hai v¸ ta ph£i câ h» sè cõa x ph£i g§p 4 l¦n h» sè cõa y2. Do â ta câ k+5 = 5 − k ⇔ k = 3. 4 Vîi k = 3 ta câ ph÷ìng tr¼nh (3) trð th nh √ 8x2 + 2x − 6 + 2 2x + 1 = 2y 2 + 9y + 4 + 2 y + 3 (4) p √ B¬ng c¡ch bi¸n êi v¸ tr¡i theo l÷ñng 2x + 1 v v¸ ph£i theo √y + 3 ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh √ 2(2x + 1)2 − 3(2x + 1) + 2 2x + 1 = 2(y + 3)2 − 3(y + 3) + 2 y + 3 (5) p √ Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (4) câ d¤ng f ( 2x + 1) = f (√y + 3) trong â f (t) = 2t4 − 3t2 + 2t. H÷îng 2(Th¦n Ròa hiºn linh): L§y ph÷ìng tr¼nh (1) cëng vîi A l¦n ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc √ 5(x2 + x − y 2 ) − 2( y + 3 − 2x + 1 + 2) + A(x2 + y 2 − x − 3y − 2) = 0 (6) p Ta c¦n t¼m A º ph÷ìng tr¼nh (6) câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh nh¥n tû. Muèn th¸ ta sû döng Casio º kiºm tra. Ta nhªp √ √ 5(X 2 + X − Y 2 ) − 2( Y + 3 − 2X + 1 + 2) + A(X 2 + Y 2 − X − 3Y − 2) v o m¡y (nhî nh§n nót = khi k¸t thóc nhªp º l÷u biºu thùc v o m¡y). Sau â nh§n Shift Calc t¤i A ∈ {±1; ±2; ±3; . . .} v Y = 1000 cho ¸n khi n o câ nghi»m ch®n. May mn l khi A = 3, Y = 1000 th¼ X = 501 = 1002 2 = y+2 2 , ngh¾a l câ nh¥n tû 2x − y − 2 khi ta l§y ph÷ìng tr¼nh (1) cëng vîi (3) l¦n ph÷ìng tr¼nh (2). ¸n ¥y ta ti¸p töc xû lþ nh÷ H÷îng 1. H÷îng 3(Theo Legend Master): Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ √ 3 − −4x2 + 4x + 17  y = √ 2 3 + −4x2 + 4x + 17  y = . 2 √ −4x2 + 4x + 17 Vîi y = 3− 2 . Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta t¼m ÷ñc nghi»m l÷u gi¡ trà n y v o A, x = 0.6937742252... y = −0.6124515497... l÷u gi¡ trà n y v o B. Ti¸p theo nh§n Mode 7 v nhªp F (X) = B − AX, Vîi X ch¤y tø -10 ¸n 10 v b÷îc nh£y 1. Ta t¼m ÷ñc F (2) = −2, ngh¾a l B − 2A = −2 hay y = 2x − 2. √ 2 T÷ìng tü vîi y = −4x + 4x + 17 3+ 2 ta công ÷ñc mèi quan h» nh÷ tr¶n. √ √ °t E = 5(x2 + x − y2) − 2( y + 3 − 2x + 1 + 2) v F = x2 + y2 − x − 3y − 2. Vîi y = 2x − 2 ta câ E = −3F hay E + 3F = 0, ngh¾a l ta s³ l§y ph÷ìng tr¼nh (1) cëng vîi 3 l¦n ph÷ìng tr¼nh (2). C¡ch 1: X²t h m f (t) = 2t4 − 3t2 + 2t, t ≥ 0. Khi â √ p (5) ⇔ f ( 2x + 1) = f ( y + 3) (7) 3
Ta câ f 0(t) = 8t3 − 6t + 2 = 2(t + 1)(2t − 1)2 ≥ 0, ∀t ≥ 0 n¶n f (t) çng bi¸n tr¶n [0; +∞). Do â √ p (7) ⇔ 2x + 1 = y + 3 ⇔ y = 2x − 2. Thay y = 2x − 2 v o (2) ta ÷ñc √ √ 15 − 65 5 − 65  x = ⇒y= 5x2 − 15x + 8 = 0 ⇔  10√ 5√ 15 + 65 5 + 65 x = ⇒y= . 10 5 ( √ √ ! √ √ !) Vªy tªp nghi»m cõa h» l S = 15 − 65 5 − 65 10 ; 5 ; 15 + 65 5 + 65 10 ; 5 . C¡ch 2: V¼ (x, y) = − ; −3 khæng l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh n¶n (x, y) 6= − ; −3 . Suy 1 1 √ 2 2 ra √y + x + 1 > 0. 2(2x − y − 2) (4) ⇔ (2x − y − 2)(4x + 2y + 5) + √ √ =0 2x + 1 + y + 3 2 ⇔ (2x − y − 2) 4x + 2y + 5 + √ √ = 0 (8) 2x + 1 + y + 3 Ta câ 2 2 4x + 2y + 5+ √ √ = 2 ((y + 3) + (2x + 1)) + √ √ −3 2x + 1 + y + 3 y + 3 + 2x + 1 p √ 2 1 1 ≥ y + 3 + 2x + 1 + √ √ +√ √ −3 y + 3 + 2x + 1 y + 3 + 2x + 1 s p √ 2 1 1 ≥33 y + 3 + 2x + 1 · √ √ ·√ √ − 3 = 0. y + 3 + 2x + 1 y + 3 + 2x + 1 √ D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi √y + 3 = 2x + 1 = 12 (khæng thäa m¢n h»). Do â ta câ (8) ⇔ y = 2x − 2. Thay y = 2x − 2 v o (2) ta ÷ñc √ √ 15 − 65 5 − 65  x = ⇒y= 5x2 − 15x + 8 = 0 ⇔  10√ 5√ 15 + 65 5 + 65 x = ⇒y= . 10 5 ( √ √ ! √ √ !) Vªy tªp nghi»m cõa h» l S = 15 − 65 5 − 65 10 ; 5 ; 15 + 65 5 + 65 10 ; 5 . C¥u 5. Cho (H) l h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði (C) : y = (1 − x)e2x, tröc Ox v tröc Oy. T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng (H) v thº t½ch vªt thº trán xoay sinh ra khi quay h¼nh (H) quanh tröc Ox. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa (C) v Ox l (1 − x)e2x = 0 ⇔ x = 1. Do â h¼nh ph¯ng (H) giîi h¤n bði c¡c ÷íng   x=1  x = 1 (H) : y = 0  y = (1 − x)e2x .  4
• Di»n t½ch h¼nh ph¯ng (H) l 1
1
(1 − x)e2x
dx = (1 − x)e2x dx. Z Z
S= 0 0 °t u = 1 − x, dx = e2x dx. Ta câ du = −dx, v = e2x . Do â 1 2 Z 1 1 1
1 e2 + 1 e2x dx = + e2x
= 1 − x 2x
1 1 S= e
+ . 2 0 2 0 2 4 0 4 • Thº t½ch vªt thº trán xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox l 1 (1 − x)2 e4x dx. Z V = 0 °t u = (1 − x)2, dx = e4xdx. Ta câ du = −2(1 − x)dx, v = 41 e4x. Do â (1 − x)2 4x