Trung tâm Hocmai.vn
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy - Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày 07 tháng 06 năm 2010ộ
Đ THI TH Đ I H C S 01 Ề Ử Ạ Ọ Ố
PH N I (Chung cho t t c các thí sinh)Ầ ấ ả
Câu I. Cho hàm s : ố
( )
( )
3 2 2
2 1
1 4 3
3 2
y x m x m m x= + + + + + +
.
1. Kh o sát và v đ th c a hàm s khi m = -3.ả ẽ ồ ị ủ ố
2. V i giá tr nào c a m hàm s có c c đ i, c c ti u? G i xớ ị ủ ố ự ạ ự ể ọ 1, x2 là hoành đ hai đi m c c đ i, c c ti uộ ể ự ạ ự ể
c a hàm s , hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ủ ố ị ớ ấ ủ ể ứ
( )
1 2 1 2
. 2x x x x− +
.
Câu II.
1. Gi i ph ng trình ả ươ
( )
4 4
2
1 cot 2 cot 2 sin cos 3
cos
x x x x
x
++ + =
2. Tìm các giá tr c a tham s m đ b t ph ng trình ị ủ ố ể ấ ươ
( )
( )
2
4 4 5 2 0x x m x x− + − + + ≥
nghi m đúng v iệ ớ
m i giá tr x thu c đo n ọ ị ộ ạ
2; 2 3
+
Câu III. 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, ữ ậ
2AD a=
, CD = 2a. C nh SA vuông gócạ
v i đáy và ớ
( )
3 2 0SA a a= >
. G i K là trung đi m c a c nh CD. Ch ng minh m t ph ng (SBK) vuôngọ ể ủ ạ ứ ặ ẳ
góc v i m t ph ng (SAC) và tính th tích kh i chóp SBCK theo a.ớ ặ ẳ ể ố
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho lăng tr đ ng OAB.Oớ ệ ọ ộ ụ ứ 1A1B1 v i A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và Oớ1(0;
0; 4). Xác đ nh t a đ đi m M trên AB, đi m N trên OAị ọ ộ ể ể 1 sao cho đ ng th ng MN song song v i m tườ ẳ ớ ặ
ph ng (ẳα):
và đ dài MN = ộ
5
.
Câu IV. 1. Tính t ng: ổ
2 2 2 2
0 1 2
...
1 2 3 1
n
n n n n
C C C C
Sn
= + + + +
+
, đó n là s nguyên d ng và ở ố ươ
k
n
C
là số
t h p ch p k c a n ph n t .ổ ợ ậ ủ ầ ử
2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho đ ng tròn (C): ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ườ
2 2 6 2 6 0x y x y+ + − + =
và các đi mể
B(2; -3) và C(4; 1). Xác đ nh t a đ đi m A thu c đ ng tròn (C) sao cho tam giác ABC cân t i đi mị ọ ộ ể ộ ườ ạ ể
A và có di n tích nh nh t.ệ ỏ ấ
PH N 2 (thí sinh làm m t trong hai câu)Ầ ộ
Câu Va. 1. Tính tích phân:
( )
ln 5
ln 2 10 1 1
x x
dx
I
e e
−
=− −
∫
.
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
( )
( )
( )
2
2
1
2
2 2
3
2 2 4
2
2 2 4 1 0 5
x
y
xxy
x y x x y x
−
+ + =
+ − − + =
Câu Vb. 1. Tính tích phân:
4
3
0
sin
cos
x x
I dx
x
π
=∫
.
2. Gi i ph ng trình ả ươ
( ) ( )
2
2 7 7 2
log log 3 2log 3 log
2
x
x x x x x
+ + = + +
-----------------------H t-------------------------ế
H NG D N GI I Đ THI TH ĐH S 01 ƯỚ Ẫ Ả Ề Ử Ố
Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ườ ủ ọ ệ 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
PH N I (Chung cho t t c các thí sinh)Ầ ấ ả
Câu I. Cho hàm s : ố
( )
( )
3 2 2
2 1
1 4 3
3 2
y x m x m m x= + + + + + +
.
1. Kh o sát và v đ th c a hàm s khi m = -3.ả ẽ ồ ị ủ ố
2. V i giá tr nào c a m hàm s có c c đ i, c c ti u? G i xớ ị ủ ố ự ạ ự ể ọ 1, x2 là hoành đ hai đi m c c đ i, c c ti uộ ể ự ạ ự ể
c a hàm s , hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ủ ố ị ớ ấ ủ ể ứ
( )
1 2 1 2
. 2x x x x− +
.
Đáp án: Ta có
( )
2 2
2 2 1 4 3y x m x m m
′= + + + + +
.
Hàm s có c c đ i, c c ti u khi và ch khi yố ự ạ ự ể ỉ ′ = 0 có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1, x2 hay
( )
( )
22 2
1 2 4 3 0 6 5 0 5 1m m m m m m
′
∆ = + − + + > ⇔ + + < ⇔ − < < −
Theo đ nh lí Vi-ét, ta có ị
( )
1 2 1x x m+ = − +
,
( )
2
1 2 1
. 4 3
2
x x m m= + +
Suy ra
( )
( )
2 2
1 1
4 3 2 1 8 7
2 2
m m m m m+ + + + = + +
Ta nh n th y, v i ậ ấ ớ
( )
5; 1m∈ − −
thì
( )
2
2
9 8 7 4 9 0m m m− ≤ + + = + − <
Do đó A l n nh t b ng ớ ấ ằ
9
2
khi m = -4.
Câu II.
1. Gi i ph ng trình ả ươ
( )
4 4
2
1 cot 2 cot 2 sin cos 3
cos
x x x x
x
++ + =
Đáp án: Đi u ki n: sin2x ề ệ ≠ 0.
Ph ng trình ươ
()
2 4 2
2
2 1
2 1 sin 2 3 sin 2 sin 2 2 0
2
sin x x x
x
⇔ + − = ⇔ + − =
( )
2
2
2
sin 2 2 sin 2 1 cos 2 0 4 4
sin 2 1
xk
x x x k
x
= − π π
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
=
¢
2. Tìm các giá tr c a tham s m đ b t ph ng trình ị ủ ố ể ấ ươ
( )
( )
2
4 4 5 2 2x x m x x− + − + + ≤
nghi m đúng v iệ ớ
m i giá tr x thu c đo n ọ ị ộ ạ
2; 2 3
+
Đáp án: Đ t ặ
24 5t x x= − +
. T ừ
[ ]
2; 2 3 1; 2x t
∈ + ⇒ ∈
. B t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ấ ươ ươ ươ ớ
( ) ( )
2
25
5 2 0 2
t
t m t m g t
t
−
− + + ≥ ⇔ ≥ =
+
(do
2 0t+ >
)
B t ph ng trình nghi m đúng ấ ươ ệ
( )
[ ]
2; 2 3 max , 1; 2x m g t t
∀ ∈ + ⇔ ≥ ∈
.
Xét hàm g(t) có g(t) đ ng bi n ồ ế
[ ]
( )
( )
[ ]
1
1; 2 max 2 , 1; 2
4
t m g t m t
−
∀ ∈ ⇒ ≥ = = ∈
Page 2 of 5
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
Câu III. 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t,ữ ậ
2AD a=
, CD = 2a. C nh SA vuông góc v i đáy vàạ ớ
( )
3 2 0SA a a= >
. G i K là trung đi m c a c nh AC. Ch ngọ ể ủ ạ ứ
minh m t ph ng (SBK) vuông góc v i m t ph ng (SAC) và tínhặ ẳ ớ ặ ẳ
th tích kh i chóp SBCK theo a.ể ố
Đáp án: 1. G i H là giao c a AC và BK thì ọ ủ
BH =
2
3
BK
2 3
3
a
=
và CH =
1
3
; CA =
6
3
a
2 2 2 2
2BH CH a BC BK AC⇒ + = = ⇒ ⊥
T BK ừ⊥ AC và BK ⊥ SA ⇒ BK ⊥ (SAC) ⇒ (SBK) ⊥ (SAC)
VSBCK =
1
3
SA.SBCK =
1
3
23
2
3 2 2
a
a a⋅ =
(đvtt)
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho lăng tr đ ng OAB.Oớ ệ ọ ộ ụ ứ 1A1B1 v i A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và Oớ1(0;
0; 4). Xác đ nh t a đ đi m M trên AB, đi m N trên OAị ọ ộ ể ể 1 sao cho đ ng th ng MN song song v i m tườ ẳ ớ ặ
ph ng (ẳα):
và đ dài MN = ộ
5
.
Đáp án:
Có A1(2; 0; 4) ⇒
( )
12; 0; 4OA =
uuuur
⇒ ph ng trình OAươ 1:
( )
2
0 2 ; 0; 4
4
x n
y N n n
z n
=
= ⇒
=
Có
( )
2; 4; 0AB = −
uuur
⇒ ph ng trình AB: ươ
( )
2 2
4 2 2 ; 4 ; 0
0
x m
y m N m m
z
= −
= ⇒ −
=
V y ậ
( )
2 2 2; 4 ; 4MN n m m m= + − −
uuuur
T ừ
( )
( )
( )
( )
1
// . 0 2 2 2 2 4 4 0 1; 0; 2
2
MN MN n n m m n n N
α
α ⇔ = ⇔ + − − + = ⇔ = ⇒
uuuur uuuur
.
Khi đó:
( )
()
( )
21
2 2
2
84
1; ; 0
5 5
5
2 1 16 4 5
02; 0; 0
M
m
MN m m
mM A
=
= − + + = ⇔ ⇒
=≡
Câu IV. 1. Tính t ng: ổ
2 2 2 2
0 1 2
...
1 2 3 1
n
n n n n
C C C C
Sn
= + + + +
+
, đó n là s nguyên d ng và ở ố ươ
k
n
C
là số
t h p ch p k c a n ph n t .ổ ợ ậ ủ ầ ử
Đáp án: Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 !
!
1 1 , 0,1,...,
1 1 1
! ! 1 1 ! !
k k
n n
C C
n
nk n
k k n
k n k n k n k
+
+
+
= ⋅ = ⋅ = ∀ =
+ + +
− + + −
V y: ậ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 1
1 1 1 1
2
1...
1
n
n n n n
S C C C C
n
+
+ + + +
= + + + +
+
T ừ
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 . 1 1
n n n
x x x
+ + +
+ + = +
, cân b ng h s ằ ệ ố
1n
x+
hai v ta có:ở ế
Page 3 of 5
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2222 2
0 1 2 3 1 1
1 1 1 1 1 2 2
... n n
n n n n n n
C C C C C C
+ +
+ + + + + +
+ + + + + =
V y: ậ
( )
1
2 2
2
1
1
n
n
C
S
n
++−
=+
2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho đ ng tròn (C): ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ườ
2 2 6 2 6 0x y x y+ + − + =
và các đi mể
B(2; -3) và C(4; 1). Xác đ nh t a đ đi m A thu c đ ng tròn (C) sao cho tam giác ABC cân t i đi mị ọ ộ ể ộ ườ ạ ể
A và có di n tích nh nh t.ệ ỏ ấ
Đáp án: Đ ABC làm tam giác cân t i A thì A ph i n m trên đ ng trung tr c (ể ạ ả ằ ườ ự ∆) qua trung đi m BC làể
M(3; 1) và nh n ậ
( )
2; 4BC
uuur
làm véc t pháp tuy n nên (ơ ế ∆) có ph ng trình:ươ
( )
( )
2 3 4 1 0 2 1 0x y x y− + + = ⇔ + − =
Vì A ∈ (C) nên t a đ A là nghi m c a h : ọ ộ ệ ủ ệ
2 2 6 2 6 0
2 1 0
x y x y
x y
+ + − + =
+ − =
Gi i h tìm ra hai đi m Aả ệ ể 1(-1; 1) và A2(
21
5
−
;
13
5
)
Do
1 2
18
20 5
A M A M= < =
nên
1 2
A BC A BC
S S<
. V y đi m c n tìm là A(-1; 1)ậ ể ầ
PH N 2 (thí sinh làm m t trong hai câu)Ầ ộ
Câu Va. 1. Tính tích phân:
( )
ln 5
ln 2 10 1 1
x x
dx
I
e e
−
=− −
∫
.
Đáp án: Đ t ặ
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx= − ⇒ = − ⇒ =
. Khi x = ln2 thì t = 1; khi x = ln5 thì t = 2.
Khi đó:
( ) ( )
()
2
ln 5 2 2 2
2
2
ln 2 1 1 1 1
2 3 5
1 1 1 1 1
2 ln ln
3 3 3 3 3 3 2
9
9
10 1
x x
dx tdt dt t
I dt
t t t
t
t t
e e
−
= = = = − − = − =
− + +
−
−
− −
∫ ∫ ∫ ∫
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
( )
( )
( )
2
2
1
2
2 2
3
2 2 4
2
2 2 4 1 0 5
x
y
xxy
x y x x y x
−
+ + =
+ − − + =
Đáp án: Đi u ki n: x ề ệ ≠ 0
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 2
5 2 2 2 1 0 2 1 x
x xy x xy x xy y x
−
⇔ + − + + = ⇔ + = ⇔ =
Thay vào (4) nh n đ c: ậ ượ
2
2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 3 1 2 1
1 1
2 2 2 2
x x
x x x x x
x x x x
− − − − −
− = − = − = −
2
2 2
1 1 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1
2 2
x x
x x
x x x x
f f
x x x x
− −
− − − −
⇔ + = + ⇔ =
đó Ở
( )
22
tt
f t = +
là hàm đ ng bi n v i m i ồ ế ớ ọ t.
Page 4 of 5
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
T đó suy ra ừ
2
2 2
1 2 1 3
24
x x x y
x x
− − −
= ⇔ = ⇒ =
V y nghi m c a h ph ng trình là ậ ệ ủ ệ ươ
3
24
x y −
= ⇒ =
.
Câu Vb. 1. Tính tích phân:
4
3
0
sin
cos
x x
I dx
x
π
=∫
.
Đáp án: Đ t u = x và ặ
3
sin
cos
x
dv dx du dx
x
= ⇒ =
và
2
1
2cos
vx
=
.
T đó: ừ
4
44
2 2 0
00
1 1 1
tan
2 4 2 4 2
2cos cos
x dx
I x
x x
π
ππ
π π
= − = − = −
∫
2. Gi i ph ng trình ả ươ
( ) ( )
2
2 7 7 2
log log 3 2log 3 log
2
x
x x x x x
+ + = + +
(6)
Đáp án: Đi u ki n: x > 0ề ệ
( )
()
( )
( )
2 2 7
6 log log 2log 3 0
2
x
x x x
⇔ − + + =
Xét
2
2ln ln 2
log 2
2 2
x
x x
x x x
= ⇔ = ⇔ =
(7)
Đ t: ặ
( ) ( )
ln 1 lnx x
f x f x
x x
−
′
= ⇒ =
;
( )
0f x x e
′= ⇔ =
.
V y ph ng trình f(x) = 0 có nhi u nh t hai nghi m. D th y x = 2 và x = 4 là nghi m c a (7).ậ ươ ề ấ ệ ễ ấ ệ ủ
Xét
( )
2 7
log 2log 3x x= +
(8)
Đ t: ặ
2
log 2t
x t x= ⇔ =
( )
( )
()()()
24 2 1
8 7 2 3 6 9 1
7 7 7
t t t
t t
⇔ = + ⇔ + + =
có nghi m duy nh t t = 2.ệ ấ
V y ph ng trình có nghi m x = 2 và x = 4.ậ ươ ệ
=====================H t==========================ế
Page 5 of 5