Trung tâm Hocmai.vn
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy - Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày 10 tháng 06 năm 2010ộ
Đ THI TH Đ I H C S 02 Ề Ử Ạ Ọ Ố
PH N I (Chung cho t t c các thí sinh)Ầ ấ ả
Câu I. Cho hàm s ố
( )
3 2
2 3 1 2y x mx m x= + + − +
(1) (m là tham s th c)ố ự
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 0.ả ự ế ẽ ồ ị ố
2. Cho đi m M(3; 1) và đ ng th ng ể ườ ẳ ∆:
2y x= − +
. Tìm các giá tr c a m đ đ ng th ng ị ủ ể ườ ẳ ∆ c t đ thắ ồ ị
hàm s (1) t i 3 đi m A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có di n tích b ng ố ạ ể ệ ằ
2 6
.
Câu II. 1. Gi i ph ng trình ả ươ
()
2 2
2sin sin 2 cos sin 2 1 2cos 4
x x x x x π
− + = −
2. Tìm các giá tr c a tham s m đ h ph ng trình sau có nghi m th c duy nh t.ị ủ ố ể ệ ươ ệ ự ấ
( )
( )
2 2
1 1x y x y
x y m
+ + = +
+ =
Câu III.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a (a > 0). Góc ABC b ng 120ạ ằ o, c nh SA vuôngạ
góc v i m t ph ng (ABCD) và SA = a. G i Cớ ặ ẳ ọ ′ là trung đi m c a c nh SC. M t ph ng (ể ủ ạ ặ ẳ α) đi qua AC′
và song song v i BD c t các c nh SB, SD l n l t t i Bớ ắ ạ ầ ượ ạ ′, D′. Tính th tích kh i c a chópể ố ủ
S.AB′C′D′.
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho đi m A(-1; 0; 2), m t ph ng (P): ớ ệ ụ ọ ộ ể ặ ẳ
2 3 0x y z− − + =
và
đ ng th ng (d): ườ ẳ
2
3 6
2 4 1
y
x z
−
− −
= =
. Vi t ph ng trình đ ng th ng (dế ươ ườ ẳ ′) đi qua đi m A, c t (d) t iể ắ ạ
B và c t (P) t i C sao cho ắ ạ
.
Câu IV.
1. Cho s ph c ố ứ
; ,z x yi x y Z= + ∈
th a mãn ỏ
318 26z i= +
. Tính
( ) ( )
2009 2009
2 4T z z= − + −
2. Cho các s th c không âm x, y, z th a mãn ố ự ỏ
3z y z+ + =
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
( )
( )
( )
1 1 1
4 2ln 1 4 2ln 1 4 2ln 1
Px y y z z x
= + +
+ + − + + − + + −
PH N 2 (thí sinh làm m t trong hai câu)Ầ ộ
Câu Va.
1. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng ệ ẳ ớ ạ ở ườ
23x y+ =
,
1 0x y+ − =
.
2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC c đ nh A n m trên đ ng th ng (ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ố ị ằ ườ ẳ ∆):
2 3 14 0x y− + =
, c nh BC song song v i ạ ớ ∆, đ ng cao CH có ph ng trình: ườ ươ
2 1 0x y− − =
. Bi t trungế
đi m c a c nh AB là M(-3; 0). Xác đ nh t a đ các đ nh A, B, C.ể ủ ạ ị ọ ộ ỉ
Câu Vb.
1. Cho hình ph ng H gi i h n b i các đ ng ẳ ớ ạ ở ườ
2
y x=
;
2
2y x= −
. Tính th tích c a kh i tròn xoay t oể ủ ố ạ
thành khi quay hình H quanh tr c Ox.ụ
2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho đi m I(-1; 3). Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm I vàặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ể ế ươ ườ
c t đ ng th ng ắ ườ ẳ
3 4 10 0x y− + =
t i hai đi m A, B sao cho AIB b ng 120ạ ể ằ o.
-----------------------H t-------------------------ế
Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ườ ủ ọ ệ 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
H NG D N GI I Đ THI TH ĐH S 02 ƯỚ Ẫ Ả Ề Ử Ố
PH N I (Chung cho t t c các thí sinh)Ầ ấ ả
Câu I. Cho hàm s ố
( )
3 2
2 3 1 2y x mx m x= + + − +
(1) (m là tham s th c)ố ự
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 0.ả ự ế ẽ ồ ị ố
2. Cho đi m M(3; 1) và đ ng th ng ể ườ ẳ ∆:
2y x= − +
. Tìm các giá tr c a m đ đ ng th ng ị ủ ể ườ ẳ ∆ c t đ thắ ồ ị
hàm s (1) t i 3 đi m A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có di n tích b ng ố ạ ể ệ ằ
2 6
.
Đáp án: Ph ng trình hoành đ giao đi m c a đ th hàm s v i đ ng th ng ươ ộ ể ủ ồ ị ố ớ ườ ẳ ∆ là:
( ) ( )
2 2
2
0 2
2 3 1 2 3 2 3 2 0
x y
x mx m x x g x x mx m
= ⇒ =
+ + − + = − + ⇔ = + + − =
Đ ng th ng ườ ẳ ∆ c t đ th hàm s (1) t i ba đi m A(0; 2), B, Cắ ồ ị ố ạ ể
⇔ Ph ng trình g(x) = 0 có hai nghi m phân bi t x ươ ệ ệ ≠ 0
( )
22
03 2 0 2
1;
03 2 0 3
m
m m
m m
g x m
>
′
∆ >
− + >
⇔ ⇔ ⇔
< ≠
≠− ≠
Chi u cao ề∆MBC: h = d(M; (∆)) =
3 1 2 2
2
+ − =
.
V y ậ
24 3
MBC
S
BC h
= =
.
Vì xB, xC là hai nghi m ph ng trình g(x) = 0 và B, C ệ ươ ∈ ∆ nên:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 4
2 4 12 8 8 3 2 48 3 4 0
B C B C B C B C B C
BC x x y y x x x x x x
m m m m m m
= − + + = − = − −
= − + = − + = ⇔ − − =
1m⇔ = −
(lo i) ho c m = 4 (th a mãn).ạ ặ ỏ
Câu II. 1. Gi i ph ng trình ả ươ
()
2 2
2sin sin 2 cos sin 2 1 2cos 4
x x x x x π
− + = −
Đáp án: Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ươ ươ ươ ớ
()
( )
2
sin sin 2 cos sin 2 1 1 cos 2 1 sin 2
2
sin 2 sin cos sin 2 1 0
x x x x x x
x x x x
π
− + = + − = +
⇔ − − =
*
( )
sin 2 0 2
k
x x k
π
= ⇔ = ∈¢
*
( ) ( ) ( )
( )
2 2
sin cos sin 2 1 0 sin 1 2cos sin 0 sin 1 1 2sin 2sin 0x x x x x x x x x− − = ⇔ − − = ⇔ − + + =
( )
2
1 2sin 2sin 0x x⇔ + + =
(vô nghi m) ho c sinx = 1ệ ặ
( )
2
2
x k k
π
⇔ = + π ∈¢
2. Tìm các giá tr c a tham s m đ h ph ng trình sau có nghi m th c duy nh t.ị ủ ố ể ệ ươ ệ ự ấ
Page 2 of 6
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
( )
( )
2 2
1 1x y x y
x y m
+ + = +
+ =
Đáp án: Do h đ i x ng nên n u (x; y) là m t nghi m c a h thì (y; x) cũng là m t nghi m c a h . Doệ ố ứ ế ộ ệ ủ ệ ộ ệ ủ ệ
đó đ h ph ng trình có nghi m duy nh t thì x = y.ể ệ ươ ệ ấ
Thay x = y = 1 vào ph ng trình (2) ươ ⇒ m = 2.
Khi m = 2 thì h tr thành ệ ở
( )
( )
2 2
1 1
2
x y x y
x y
+ + = +
+ =
( ) ( )
( )
2
2
00
11
2 2
x y
x y
x y xy x y xy
x y xy
+ ≥
+ =
⇔ + + + = + ⇔
=
+ − =
ho c ặ
2
1
x y
xy
+ =
=
D th y h có ba nghi m (1; -1); (-1; 1) và (1; 1).ễ ấ ệ ệ
V y không t n t i giá tr m th a mãn.ậ ồ ạ ị ỏ
Câu III.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a (a > 0). Góc ABC b ng 120ạ ằ o, c nh SA vuôngạ
góc v i m t ph ng (ABCD) và SA = a. G i Cớ ặ ẳ ọ ′ là trung đi m c a c nh SC. M t ph ng (ể ủ ạ ặ ẳ α) đi qua AC′
và song song v i BD c t các c nh SB, SD l n l t t i Bớ ắ ạ ầ ượ ạ ′, D′. Tính th tích kh i c a chópể ố ủ
S.AB′C′D′.
Đáp án: G i O là giao đi m c a AC và BD; ọ ể ủ
I là giao đi m c a SO và ACể ủ ′.
Trong m t ph ng (SBD), qua I k đ ng th ngặ ẳ ẻ ườ ẳ
song song BD c t SB, SD l n l t t i Bắ ầ ượ ạ ′ và D′.
T BD ừ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′.
Ta có:
1
3 2 2
AC a SC a AC SC a
′
= ⇒ = ⇒ = =
.
Do I là tr ng tâm c a ọ ủ ∆SAC
2
2
3 3
a
B D BD
′ ′
⇒ = =
. V y ậ
2
1.
2 3
AB C D
a
S AC N D
′ ′ ′ ′ ′ ′
= =
T Bừ′D′ ⊥ (SAC) ⇒ (AB′C′D′) ⊥ (SAC′). V y đ ng cao h c a hình chóp S.ABậ ườ ủ ′C′D′ chính alf
đ ng cao c a tam giác đ u SACườ ủ ề ′ ⇒
3
2
a
h=
.
V y ậ
3
.
3
1.
3 18
S AB C D AB C D
a
V h S
′ ′ ′ ′ ′ ′
= =
(đvtt).
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho đi m A(-1; 0; 2), m t ph ng (P): ớ ệ ụ ọ ộ ể ặ ẳ
2 3 0x y z− − + =
và
đ ng th ng (d): ườ ẳ
2
3 6
2 4 1
y
x z
−
− −
= =
. Vi t ph ng trình đ ng th ng (dế ươ ườ ẳ ′) đi qua đi m A, c t (d) t iể ắ ạ
B và c t (P) t i C sao cho ắ ạ
.
Page 3 of 6
S
A
a
D
D
I
B
C
C
B
a
O
2
M
N
C
A
d
d
d
B
P
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
Đáp án: G i M là giao đi m c a (d) và (P). ọ ể ủ
Ph ng trình tham s c a (d) là:ươ ố ủ
3
2 4
6
x m
y m
z m
= +
= +
= +
.
Thay vào (P) ta có:
6 4 2 4 6 3 0 1m m m m− − − − − + = ⇔ =
V y M(5; 6; 7).ậ
K đ ng th ng (dẻ ườ ẳ 1) đi qua A và // (D). G i N là giao đi m c a (dọ ể ủ 1) và (P) ta có:
1
1 2
: 4
2
x t
d y t
z t
= − +
=
= +
. Thay vào (P) ta đ c ượ
2 4 4 2 3 0 1t t t t− + − − − + = ⇔ = −
V y N(-3, -4, 1).ậ
G i C là đi m trên (P) sao cho ọ ể
( )
2 0 19; 24; 11NC NM C+ = ⇒ − − −
uuur uuuur r
Đ ng CA c t (d) t i B th a mãn yêu c u. V y (dườ ắ ạ ỏ ầ ậ ′) là đ ng th ng qua A và C có ph ng trình:ườ ẳ ươ
12
18 24 13
y
xz
+−
= =
.
Câu IV.
1. Cho s ph c ố ứ
; ,z x yi x y= + ∈¢
th a mãn ỏ
3
18 26z i= +
. Tính
( ) ( )
2009 2009
2 4T z z= − + −
Đáp án: ta có
( ) ( )
3 2
3 3 2 2 3
2 3
3 18
3 3 18 26 3 26
x xy
z x xy x y y i i
x y y
− =
= − + − = + ⇒ − =
Do x = y = 0 không là nghi m h , đ t y = txệ ệ ặ
( )
( )
( )
( )
3 2
2
3 3
1 3 18 3 1 3 12 13 0
3 26
x t t t t
x t t
− =
⇒ ⇒ − − − =
− =
Khi
1
3
t=
thì x = 3 và y = 1, th a mãn x, y ỏ∈ Z.
Khi
2
3 12 13 0t t− − =
thì x, y
∉¢
. V y s ph c c n tìm là: z = 3 + iậ ố ứ ầ
V y ậ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2009 2009 2009 2009 1004 1004 1005
2 4 1 1 2 1 2 1 2T z z i i i i= − + − = + + − = + + − =
2. Cho các s th c không âm x, y, z th a mãn ố ự ỏ
3z y z+ + =
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
( )
( )
( )
1 1 1
4 2 ln 1 4 2ln 1 4 2 ln 1
Px y y z z x
= + +
+ + − + + − + + −
Đáp án: T gi thi t ừ ả ế
0 , , 3x y z≤ ≤
suy ra
( )
( )
4 2 ln 1 0; 4 2 ln 1 0x y y z+ + − > + + − >
và
( )
4 2 ln 1 0z x+ + − >
. Theo b t đ ng th c Cô-si ta có:ấ ẳ ứ
( )
( )
( )
9
4 2ln 1 4 2 ln 1 4 2 ln 1
Px y y z z x
≥+ + − + + + − − + + −
Xét hàm s ố
( ) ( )
[ ]
2ln 1 , 0;3f t t t t= + − ∈
, có
( )
1
1
t
f t t
−
′=+
.
Page 4 of 6
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đ o Thúy Tel: ạ(094)-2222-408
Hà N i, ngày04 tháng 06 năm 2010ộ
L p b ng bi n thiên hàm f(t), v i ậ ả ế ớ
[ ]
0; 3t∈
suy ra
( )
0 2ln 2 1f t≤ ≤ −
.
Do đó
( )
( )
( )
9 3
3 2ln 2
12
Pf x f y f z
≥ ≥ +
+ + +
.
V y ậ
3
min 3 2ln 2
P=+
, khi x = y = z = 1.
PH N 2 (thí sinh làm m t trong hai câu)Ầ ộ
Câu Va. 1. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng ệ ẳ ớ ạ ở ườ
23x y+ =
,
1 0x y+ − =
.
Đáp án: Ph ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ ng ươ ộ ể ủ ườ
2
3x y= −
và
1x y= −
là:
2 2
3 1 2 0 1y y y y y− = − ⇔ − − = ⇔ = −
ho c y = 2.ặ
V y ậ
( ) ( )
( )
2
2 2 3 2
22
1
1 1
9
3 1 2 2
3 2 2
y y
S y y dy y y dy y
−
− −
= − − − = − + + = − + + =
∫ ∫
(đvdt).
2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC c đ nh A n m trên đ ng th ng (ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ố ị ằ ườ ẳ ∆):
2 3 14 0x y− + =
, c nh BC song song v i ạ ớ ∆, đ ng cao CH có ph ng trình: ườ ươ
2 1 0x y− − =
. Bi t trungế
đi m c a c nh AB là M(-3; 0). Xác đ nh t a đ các đ nh A, B, C.ể ủ ạ ị ọ ộ ỉ
Đáp án: Vì AB ⊥ CH nên AB có ph ng trình: ươ
2 0x y c+ + =
.
Do M(-3; 0) ∈ AB nên c = 6. V y ph ng trình AB là: ậ ươ
2 6 0x y+ + =
.
Do A ∈ ∆ nên t a đ A là nghi m c a h : ọ ộ ệ ủ ệ
( )
2 3 14 0 4;2
2 6 0
x y A
x y
− + =
⇒ −
+ + =
Vì M(-3; 0) là trung đi m AB nên B(-2; -2)ể
C nh BC // ạ∆ và đi qua B nên BC có ph ng trình: ươ
( )
( )
2 2 3 2 0 2 3 2 0x y x y+ − + = ⇔ − − =
. V y t a đ Cậ ọ ộ
là nghi m c a h ệ ủ ệ
( )
2 3 2 0 1;0
2 1 0
x y C
x y
− − =
⇒
− − =
Câu Vb. 1. Cho hình ph ng H gi i h n b i các đ ng ẳ ớ ạ ở ườ
2
y x=
;
2
2y x= −
. Tính th tích c a kh i trònể ủ ố
xoay t o thành khi quay hình H quanh tr c Ox.ạ ụ
Đáp án: Ph ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ ng cong là:ươ ộ ể ủ ườ
2 2 4 2
2 2 0 1x x x x x= − ⇔ + − = ⇔ = −
ho c x = 1.ặ
Khi
[ ]
1; 1x∈ −
thì
2 2
2x x− ≥
và đ th các hàm ồ ị
2
y x=
và
2
2y x= −
cùng n m phía trên tr c Ox.ằ ụ
V y ậ
( )
1
13 5
2 4
1
1
44
2 2 3 5 5
x x
V x x dx x
−
−
= π − − = π − − = π
∫
(đvtt).
2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho đi m I(-1; 3). Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm I vàặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ể ế ươ ườ
c t đ ng th ng ắ ườ ẳ
3 4 10 0x y− + =
t i hai đi m A, B sao cho AIB b ng 120ạ ể ằ o.
Đáp án: G i H là hình chi u c a I trên đ ng th ng (d): ọ ế ủ ườ ẳ
3 4 10 0x y− + =
, khi đó:
Page 5 of 6