Giải Toán lớp 11: Phương pháp và kỹ năng - Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Phương pháp giải Toán lớp 11" sẽ trình bày một số phương trình lượng giác thường gặp, cùng với đó là bài tập ôn tập chương để các em luyện tập củng cố kiến thức. Mời thầy cô và các em cùng theo dõi chi tiết tại đây nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải Toán lớp 11: Phương pháp và kỹ năng - Phần 2

Trang 87 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP §3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1 Giải một số phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn: Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện a sin2 x + b sin x + c = 0 t = sin x −1 ≤ t ≤ 1 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = cos x −1 ≤ t ≤ 1 π a tan2 x + b tan x + c = 0 t = tan x x 6= + kπ 2 a cot2 x + b cot x + c = 0 t = cot X x 6= kπ Nếu đặt t = sin2 x, cos2 x hoặc t = | sin x |, | cos x | thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1. 2. Ví dụ Ví dụ 1  π x= + k2π Giải phương trình: 4 cos2 x − 4 sin x − 1 = 0. ¤  6 5π (k ∈ Z) x= + k2π 6 Ê Lời giải. 4 cos2 x − 4 sin x − 1 = 0 ⇔ 4(1 − sin2 x) − 4 sin x − 1 = 0 ⇔ 4 − 4 sin2 x − 4 sin x − 1 = 0 ⇔ 4 sin2 x + 4 sin x − 3 = 0. Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  t= 4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ (2t − 1)(2t + 3) = 0 ⇔   2 −3 t= . 2 π  x = + k2π 1 6 Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔  (k ∈ Z).  2 5π LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 x= + k2π 6
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 88 Ví dụ 2 x = k2π  −π x = + k2π (k ∈ Z) Giải phương trình: cos 2x − 3 cos x + 2 = 0.  ¤ 3  π x= + k2π 3 Ê Lời giải. cos 2x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔ cos2 x − sin2 x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0. Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  2 2t − 3t + 1 = 0 ⇔ (2t − 1)(t − 1) = 0 ⇔ t = 2 t = 1. x = k2π  1  t = cos x =  −π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  2 ⇔ x = 3 + k2π (k ∈ Z).  t = cos x = 1  π x = + k2π 3 Ví dụ 3  −π x= + k2π 6 Giải phương trình 3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0. ¤  7π (k ∈ Z) x= + k2π 6 Ê Lời giải. 3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0 ⇔ 3(1 − 2 sin2 x) + 7 sin x + 2 = 0 ⇔ 6 sin2 x − 7 sin x − 5 = 0. Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  5 t= 6t2 − 7t − 5 = 0 ⇔ (3t − 5)(2t + 1) = 0 ⇔   3 −1 t= . 2 −π −1 x= + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔  6 (k ∈ Z). 2 7π x= + k2π TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH 6
Trang 89 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Ví dụ 4  −π x= + kπ  2 Giải phương trình: 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0. −π  ¤ x = + kπ (k ∈ Z)    6 π x= + kπ 6 Ê Lời giải. 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x + 5(1 − sin2 x) − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0. Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  2 t= 4t − 5t + 1 = 0 ⇔ (4t − 1)(t − 1) = 0 ⇔  4 t = 1. −π  x= + kπ  2 1  1  2 t = sin x = t = sin x = ±  −π Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên  4 ⇔ 2 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z).  t 2 = sin x = 1 t = sin x = ± 1  6  π x = + kπ 6 Ví dụ 5 Giải phương trình: cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0. ¤ x = kπ (k ∈ Z) Ê Lời giải. cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ cos2 2x − sin2 2x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ (cos2 x − sin2 x)2 − 4 sin2 x cos2 x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ (1 − 2 sin2 x)2 − 4 sin2 x(1 − sin2 x) + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ 1 − 4 sin2 x + 4 sin4 x − 4 sin2 x + 4 sin4 x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ 8 sin4 x + 4 sin2 x = 0. Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=0 2 8t + 4t = 0 ⇔ 4t(2t + 1) = 0 ⇔  −1 t= . 2 Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = sin2 x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z). Ví dụ 6  π 1 2 5 x= + k2π Giải phương trình: − tan2 x + − = 0. ¤  3 −π (k ∈ Z) 2 cos x 2 x= + k2π 3 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 90 Ê Lời giải. π Điều kiện: cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ (k ∈ Z). Ta có: 2 1 2 2 5 sin2 x 4 cos x 5 cos2 x − tan x + − =0 ⇔− + − = 0. 2 cos x 2 2 cos2 x 2 cos2 x 2 cos2 x ⇔ cos2 x − 1 + 4 cos x − 5 cos2 x = 0 ⇔ 4 cos2 x − 4 cos x + 1 = 0 ⇔ (2 cos x − 1)2 = 0 1 ⇔ cos x = 2  π x = + k2π ⇔  3 (k ∈ Z). −π x= + k2π 3  π x= + k2π So sánh hai nghiệm với điều kiện thỏa mãn. Vậy   3 (k ∈ Z). −π x= + k2π 3 3. Bài tập vận dụng Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau  −π x= + k2π  6 a) 2 sin2 x − sin x − 1 = 0. 7π  ¤ x = + k2π (k ∈ Z)    6 π x= + k2π 2  π x= + k2π 2 6 b) 4 sin x + 12 sin x − 7 = 0. ¤  5π (k ∈ Z) x= + k2π 6  π x = + k2π  4 3π √ √  x = + k2π c) 2 2 sin2 x − (2 + 2) sin x + 1 = 0. 4  ¤ (k ∈ Z)  π x = + k2π   6  5π x = + kπ 6  −π x= + kπ  2 d) −2 sin3 x + sin2 x + 2 sin x − 1 = 0. π  ¤ x =  + k2π (k ∈ Z)  6 5π  x= + k2π 6 x = k2π  −π 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0. x = + k2π (k ∈ Z)  e) ¤  3 π x= + k2π 3  −π x= + k2π f) 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0. ¤  π 3 (k ∈ Z) x= + k2π 3 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 91 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP x = k2π √ √ −3π g) 2 cos2 x + ( 2 − 2) cos x = x = + k2π  2. ¤  4 (k ∈ Z) 3π x= + k2π 4  −3π x = + k2π  4 √ √ √ 3π  x = + k2π  h) 4 cos2 x − 2( 3 − 2) cos x = 6. ¤   4 −π (k ∈ Z) x = + k2π   6 π x = + k2π 6 √ −π i) tan2 x + 2 3 tan x + 3 = 0. ¤x= 3 + kπ (k ∈ Z) √ 3−3  √ x = arctan + kπ j) 2 tan2 x − 2 3 tan x − 3 = 0. 2 (k ∈ Z)  ¤  √ 3+3 x = arctan + kπ 2 −π √ √  x= + kπ k) tan2 x + (1 − 3) tan x − 3 = 0. ¤  π 4 (k ∈ Z) x= + kπ 3 √ −π l) 3 cot2 x + 2 3 cot x + 1 = 0. ¤x= 3 + kπ (k ∈ Z) √ √ π  x= + kπ m) 3 cot2 x − (1 + 3) cot x + 1 = 0. ¤  4 π (k ∈ Z) x= + kπ 3 √ √ π  x= + kπ n) 3 cot2 x + (1 − 3) cot x − 1 = 0. ¤  4 −π (k ∈ Z) x= + kπ 3 Ê Lời giải. a) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: −1  2 t= 2t − t − 1 = 0 ⇔ (2t + 1)(t − 1) = 0 ⇔  2 t = 1. −π  + k2π x=  −1  6 t = sin x =  7π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  2 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z).  t = sin x = 1   6 π x = + k2π 2 b) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: −7  t= 4t2 + 12t − 7 = 0 ⇔ (2t + 7)(2t − 1) = 0 ⇔   2 1 t= . 2  π x = + k2π 1 6 Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔  (k ∈ Z).  2 5π x= + k2π 6 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 92 c) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  √ √ √ t= 2√ 2 2t2 − 2t − 2t + 1 = 0 ⇔ (2t − 1)( 2t − 1) = 0 ⇔    2 t= . 2  π x = + k2π  4 1   3π t = sin x = 2 x = + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên   √ ⇔  4 (k ∈ Z). 2 x = π + k2π t = sin x =  6 2   5π x= + kπ 6 d) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t=1  −2t3 + t2 + 2t − 1 = 0 ⇔ (−t + 1)(t + 1)(2t − 1) = 0 ⇔   t = −1 1  t= . 2  −π  t = sin x = 1 x= + kπ  2 t = sin x = −1  π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  ⇔ x = + k2π (k ∈ Z).   1  6 t = sin x =  5π 2 x= + k2π 6 e) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2 2t − 3t + 1 = 0 ⇔ (t − 1)(2t − 1) = 0 ⇔  1 t= . 2 x = k2π   t = cos x = 1 x = −π + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  1 ⇔  3 (k ∈ Z). t = cos x =  π 2 x = + k2π 3 f) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t = −2 2t2 + 3t − 2 = 0 ⇔ (t + 2)(2t − 1) = 0 ⇔  1 t= . 2 −π  1 + k2π x= Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = ⇔   3 (k ∈ Z). 2 π x = + k2π 3 g) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t=1  2 √ √ √ √ 2t + 2t − 2t − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(2t + 2) = 0 ⇔  − 2 t= . 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 93 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  x = k2π t = cos x = 1  x = −3π + k2π  √ Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  − 2 ⇔  4 (k ∈ Z). t = cos x =  2  3π x= + k2π 4 h) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  √ − 2 √ √ √ √ √ t = 2 4t2 − 2 3t + 2 2t − 6 = 0 ⇔ (2t + 2)(2t − 3) = 0 ⇔  √ 3  t= . 2 −3π  x= + k2π  √  4 − 2  3π t = cos x =  x = + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên   √ 2 ⇔  4 (k ∈ Z). −π  3   t = cos x =  x = + k2π 2   6 π x = + k2π 6 π i) Đặt t = tan x (x 6= + kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: 2 √ √ √ t2 + 2 3t + 3 = 0 ⇔ (t + 3)2 = 0 ⇔ t = − 3 π √ −π Với x 6= + kπ, k ∈ Z, ta có t = tan x = − 3 ⇔ x = + kπ(k ∈ Z). 2 3 π j) Đặt t = tan x (x 6= + kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: 2  √ √ å2 3−3 √ Ç 3 9 t= 2t2 − 2 3t − 3 = 0 ⇔ t − √ 2  = ⇔ 2 4  3+3 t= . 2  √  √ 3−3 3−3 π t = tan x = 2 x = arctan 2 + kπ Với x 6= + kπ, k ∈ Z, ta có  (k ∈ Z).  √ ⇔  √ 2  3+3  3+3 t = tan x x = arctan + kπ 2 2 π k) Đặt t = tan x (x 6= + kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: 2 √ √ √ t = −1 ñ 2 √ t + t − 3t − 3 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 3) = 0 ⇔ t = 3. −π  t = tan x = −1 x= + kπ ñ π 4 Với x 6= + kπ, k ∈ Z, ta có √ ⇔ (k ∈ Z).  2 t = tan x = 3 π x = + kπ 3 l) Đặt t = cot x (x 6= kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ − 3 3t2 + 2 3t + 1 = 0 ⇔ ( 3t + 1)2 = 0 ⇔ t = . 3 √ − 3 −π Với x 6= kπ, k ∈ Z, ta có t = cot x = ⇔x= + kπ(k ∈ Z). 3 3 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 94 m) Đặt t = cot x (x 6= kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: t=1  √ 2 √ √ √ 3t − t − 3t + 1 = 0 ⇔ (t − 1)( 3t − 1) = 0 ⇔  3 t= . 3 π  t = cot x = 1  + kπ x= √ 4 Với x 6= kπ, k ∈ Z, ta có ⇔ (k ∈ Z).  3   π t = cot x = x = + kπ 3 3 n) Đặt t = cot x (x 6= kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: t=1  √ 2 √ √ √ 3t + t − 3t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(t 3 + 1) = 0 ⇔  − 3 t= . 3 π  t = cot x = 1  x = + kπ 4 √ Với x 6= kπ, k ∈ Z, ta có  − 3 ⇔ (k ∈ Z).  t = cot x = − π x= + kπ 3 3 Bài 2 Giải các phương trình lượng giác sau  −π x= + k2π a) 6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0. ¤  6 7π (k ∈ Z) x= + k2π 6  π x= + k2π b) 2 cos2 x + 5 sin x − 4 = 0. ¤  π 6 (k ∈ Z) x= + k2π 6  π x= + k2π  2 −5π c) 3 − 4 cos2 x = sin x(2 sin x + 1).  ¤ x = + k2π (k ∈ Z)   6 −π  x= + k2π 6 d) − sin2 x − 3 cos x + 3 = 0. ¤ x = k2π (k ∈ Z) x = k2π  x = π + k2π 2 e) −2 sin x − 3 cos x + 3 = 0. ¤  3 (k ∈ Z) −π  x= + k2π 3  −5π x= + kπ f) 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0. ¤  12 −π (k ∈ Z) x= + kπ 12 x = k2π  −π g) 3 sin2 x + 2 cos4 x − 2 = 0. x = + kπ (k ∈ Z)  ¤ 4  π x= + kπ 4  π x= + kπ h) 4 sin4 x + 2 cos2 x = 7. ¤  4 −π (k ∈ Z) x= + kπ 4 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 95 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  −3π x= + kπ 2 i) 4 cos4 x = 4 sin x − 1 ¤  3π 4 (k ∈ Z) x= + kπ 4  −π x= + k2π 6 j) 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0.  ¤ (k ∈ Z)  π x = + k2π 6 x = k2π Ê Lời giải. a) Ta có: 6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0 ⇔ −6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0. Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành  4 t= −6t2 + 5t + 4 = 0 ⇔   3 −1 t= . 2  −π −1 x = + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔  6 (k ∈ Z). 2 7π x= + k2π 6 b) Ta có: 2 cos2 x + 5 sin x − 4 = 0 ⇔ 2 − 2 sin2 x + 5 sin x − 4 = 0 ⇔ 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0. Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành  t=2 2t2 − 5t + 2 = 0 ⇔  1 t= . 2  π 1 x = + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔   6 (k ∈ Z). 2 π x = + k2π 6 c) Ta có: 3 − 4 cos2 x = sin x(2 sin x + 1) ⇔ 3 − 4(1 − sin2 x) − 2 sin2 x − sin x = 0 ⇔ 2 sin2 x − sin x − 1 = 0. Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2 2t − t − 1 = 0 ⇔  −1 t= . 2  π x = + k2π  t = sin x1  2  − 5π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  −1 ⇔  x= + k2π (k ∈ Z).  t = sin x =  6 2  −π x= + k2π 6 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 96 d) Ta có: ¯ sin2 x − 3 cos x + 3 = 0 ⇔ cos2 x − 3 cos x + 2 = 0. Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: ñ 2 t=2 t − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1. Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = k2π(k ∈ Z). e) Ta có: −2 sin2 x − 3 cos x + 3 = 0 ⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0. Đặt t = cos x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔  1 t= . 2 x = k2π   t = cos x = 1  π x = + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  1 ⇔ 3 (k ∈ Z). t = cos x =  − π 2 x= + k2π 3 f) Ta có: 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0 ⇔ −2 sin2 2x + 5 sin 2x + 3 = 0. Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=3 2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔  −1 t= . 2 −5π  −1 x= + kπ Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin 2x = ⇔  12 (k ∈ Z). 2 −π x= + kπ 12 g) Ta có: 3 sin2 x + 2 cos4 x − 2 = 0 ⇔ 2 cos4 x − 3 cos2 x + 1 = 0. Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔  1 t= . 2 x= k2π  t = cos2 x = 1 cos x = 1   √  x = −π Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên  1 ⇔ + kπ (k ∈ Z). 2 2 ⇔ 4 t = cos x = cos x = ±  π 2 2 x= + kπ 4 h) Ta có: 4 sin4 x + 12 cos2 x = 7 ⇔ 4 sin4 x − 12 sin2 x + 5 = 0. TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 97 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Đặt t = sin2 x(0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  t= 2 2 4t − 12t + 5 = 0 ⇔   5 . t= 2  π √ x = + kπ 1 2 4 Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = sin2 x = ⇔ sin x = ± ⇔ (k ∈ Z).  2 2 −π x= + kπ 4 i) Ta có: 4 cos4 x = 4 sin2 x − 1 ⇔ 4 cos4 x + 4 cos2 x − 3 = 0. Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  t= 4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔   2 −3 t= . 2 √  −3π 1 2 x = + kπ 2 Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = ⇔ cos x = ± ⇔  4 (k ∈ Z). 2 2 3π x= + kπ 4 j) Ta có: 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0. Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1  2 t= 4t − 5t + 1 = 0 ⇔  4 t = 1.  −π  1  1 x= + k2π t = sin2 x = t = sin x =  6 = + k2π (k ∈ Z). Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên  4 ⇔  2 ⇔ x  π t = sin2 x = 1 t = sin x = 1 6  x = k2π Bài 3 Giải các phương trình lượng giác sau:  −π x= + k2π a) 2 cos 2x − 8 cos x + 5 = 0. ¤  3 (k ∈ Z) π x= + k2π 3 x = k2π " b) 1 + cos 2x = 2 cos x. ¤ x= −π + kπ (k ∈ Z) 2 π c) 9 sin x + cos 2x = 8. ¤x= 2 + k2π (k ∈ Z)  −π x= + k2π 6 d) 2 + cos 2x + 5 sin x = 0. ¤  −5π (k ∈ Z) x= + k2π 6 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 98 x = k2π 3 x = arcsin + k2π  e) 3 sin x + 2 cos 2x = 2. ¤  4 (k ∈ Z) 3 x = − arcsin + π + k2π 4  π x= + k2π 6 f) 2 cos 2x + 8 sin x − 5 = 0. ¤  5π (k ∈ Z) x= + k2π 6  −5π x= + kπ g) 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0. ¤  12 −π (k ∈ Z) x= + kπ 12 x h) 5 cos x − 2 sin + 7 = 0. ¤ x = π + 4kπ (k ∈ Z) 2 i) sin2 x + cos 2x + cos x = 2. ¤ x = k2π (k ∈ Z) j) cos 2x + cos2 x − sin x + 2 = 0. ¤x= π 2 + k2π (k ∈ Z) Ê Lời giải. a) Ta có: 2 cos 2x − 8 cos x + 5 = 0 ⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0. Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  3 t= 4t2 − 8t + 3 = 0 ⇔   2 1 t= . 2 −π  1 x= + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = ⇔   3 (k ∈ Z). 2 π x = + k2π 3 b) Ta có: 1 + cos 2x = 2 cos x ⇔ 2 cos2 x − 2 cos x = 0. Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: ñ 2 t=0 2t − 2t = 0 ⇔ t = 1.  ñ t = cos x = 0 x = k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔  −π (k ∈ Z). t = cos x = 1 x= + kπ 2 c) Ta có: 9 sin x + cos 2x = 8 ⇔ −2 sin2 x + 9 sin x − 7 = 0. Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2 2t − 9t + 7 = 0 ⇔  7 t= . 2 π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 99 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP d) Ta có: 2 + cos 2x + 5 sin x = 0 ⇔ −2 sin2 x + 5 sin x + 3 = 0. Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=3 2 2t − 5t − 3 = 0 ⇔  −1 t= . 2  −π −1 x= + k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔  6 (k ∈ Z). 2 −5π x= + k2π 6 e) Ta có: 3 sin x + 2 cos 2x = 2 ⇔ −4 sin2 x + 3 sin x = 0. Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=0 2 −4t + 3t = 0 ⇔  3 t= . 4   x = k2π t = sin x = 0 x = arcsin 3 + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  3 ⇔  4 (k ∈ Z). t = sin x =  4  3 x = − arcsin + π + k2π 4 f) Ta có: 2 cos 2x + 8 sin x − 5 = 0 ⇔ −4 sin2 x + 8 sin x − 3 = 0. Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 3  t= 4t2 − 8t + 3 = 0 ⇔   2 1 t= . 2  π x = + k2π 1 6 Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔  (k ∈ Z).  2 5π x= + k2π 6 g) Ta có: 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0 ⇔ −2 sin2 2x + 5 sin 2x + 3 = 0. Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=3 2 2t − 5t − 3 = 0 ⇔  −1 t= . 2 −5π  −1 x= + kπ Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin 2x = ⇔  12 (k ∈ Z). 2 −π x= + kπ 12 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 100 x h) Đặt y = . Khi đó, phương trình trở thành: 2 5 cos 2y − 2 sin y + 7 = 0 ⇔ −10 sin2 y − 2 sin y + 12 = 0. Đặt t = sin y (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 10t2 + 2t − 12 = 0 ⇔  −6 t= . 5 x x Vì −1 ≤ t ≤ 1, y = nên t = sin = 1 ⇔ x = π + 4kπ (k ∈ Z). 2 2 i) Ta có: sin2 x + cos 2x + cos x = 2 ⇔ 1 − cos2 x + 2 cos2 x − 1 + cos x − 2 = 0 ⇔ cos2 x + cos x − 2 = 0. Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: ñ t = −2 t2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1. Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z). j) Ta có: cos 2x + cos2 x − sin x + 2 = 0 ⇔ 1 − 2 sin2 x + 1 − sin2 x − sin x + 2 = 0 ⇔ 3 sin2 x + sin x − 4 = 0. Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: −4  2 t = 3t + t − 4 = 0 ⇔  3 t = 1. π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 2 4. Bài tập tự luyện Bài tập 1 Giải các phương trình lượng giác sau: a) 3 cos2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1. ¤x= π 2 + k2π (k ∈ Z) b) cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0. ¤ x = kπ (k ∈ Z) x = kπ −2π c) cos 4x − 2 cos2 x + 1 = 0. x = + kπ  ¤ 3 (k ∈ Z) −4π  x= + kπ 3 x d) 16 sin2 − cos 2x = 15. ¤ x = π + 2kπ (k ∈ Z) 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 101 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  −5π x + k2π e) cos 2x + 2 cos x = 2 sin2 . ¤ 3  −π (k ∈ Z) 2 x= + k2π 3  −4π x x= + k2π f) cos 2x − 3 cos x = 4 cos2 . ¤  3 −2π (k ∈ Z) 2 x= + k2π 3  π x= + kπ  2 −π g) 1 + cos 4x − 2 sin2 x = 0.  ¤ x = + kπ (k ∈ Z)    6 π x= + kπ 6  » √ x = ±2 arctan 2 3 − 3 + k2π h) 8 cos2 x − cos 4x = 1. ¤  … 1 √ (k ∈ Z) x = ±2 arctan (3 + 2 3) + k2π 3 −7π  kπ x = 12 + 12 i) 6 sin2 3x − cos 12x = 4. ¤ −π kπ x= + 12 12  −2π x= + k2π 4 j) 5(1 + cos x) = 2 + sin x − cos4 x. ¤  2π 3 (k ∈ Z) x= + k2π 3  −π x= + kπ  2 k) cos4 x − sin4 x + cos 4x = 0. −π  ¤ x = + kπ (k ∈ Z)    6 π x= + kπ 6 −π l) 4(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = 0. ¤x= 4 + kπ (k ∈ Z) Ê Lời giải. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. Bài tập 2 Giải các phương trình lượng giác sau: Å ã 2π π −5π a) cos 2x + + 3 cos x + + 1 = 0. ¤x= + kπ (k ∈ Z) 3 3 6 π π b) cos 2 + x + 4 cos − x = 4. ¤x= π + k2π (k ∈ Z) 3 6 6  π 1 kπ x = 18 + 3 + 3 c) 4 cos2 (6x − 2) + 16 cos2 (1 − 3x) = 13. ¤  −π 1 kπ (k ∈ Z) x= + + 18 3 3 Å ã π 5π d) 5 cos 2x + = 4 sin − x − 9. ¤x= π + k2π (k ∈ Z) 3 6 3 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 102 x = kπ Å ã Å ã 5π 7π x = π + k2π e) sin 2x + − 3 cos x − = 1 + 2 sin x. ¤  6 (k ∈ Z) 2 2  5π x= + k2π 6 √ √ f) cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x + 4 = cos x. ¤x= π 3 + k2π (k ∈ Z)  −5π √ √ x= + kπ 6 3 sin x + cos 2x − cos x = 2.  g) 3 sin 2x + ¤ x = π + k2π (k ∈ Z)   π x= + k2π 3 x = kπ Å ã Å ã 4 2 −2π h) 2 cos2 x + − cos x = 1. x = + kπ  2 +9 ¤ 3 (k ∈ Z) cos x cos x  2π x= + kπ 3 Å ã Å ã  −π 1 1 x= + k2π i) 4 sin2 x + + 4 sin x + = 7. ¤  6 (k ∈ Z) sin2 x sin x x= 7π + k2π 6 Å ã 1 1 j) cos2 x+ + 2 = 2 cos x + . ¤ x = k2π (k ∈ Z) cos2 x cos x Ê Lời giải. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. Bài tập 3 Giải các phương trình lượng giác sau: 3 a) = 3 + 2 tan2 x. ¤ x = kπ (k ∈ Z) cos2 x  −3π x = + kπ  4 −π  1  x = + kπ b) + 3 cot2 x = 5. 4 (k ∈ Z)  ¤ cos2 x  x = −2π + kπ 3   −4π  x = + kπ 3 √ −π √  3 x= 2 + kπ c) = 3 cot x + 3. ¤  (k ∈ Z) sin2 x x= −5π + kπ 6 4 d) 9 − 13 cos x + = 0. ¤ x = k2π (k ∈ Z) 1 + tan2 x 3 e) 2 tan2 x + 3 = . ¤ x = k2π (k ∈ Z) cos x  −π 1 2 5 x= + k2π f) − tan2 x + − = 0. ¤  3 (k ∈ Z) 2 cos x 2 x= π + k2π 3 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 103 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP √ 1 " x = kπ g) 3 sin x + cos x = . ¤ −2π (k ∈ Z) cos x x= 3 + kπ  −3π x= + kπ 2 h) 2 sin x + tan2 x = 2. ¤  4 −π (k ∈ Z) x= + kπ 4 Ê Lời giải. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. Bài tập 4 Giải các phương trình lượng giác sau: −π a) 8 sin x cos x − cos 4x + 3 = 0. ¤x= 4 + kπ (k ∈ Z) kπ b) 2 sin2 8x + 6 sin 4x cos 4x = 5. ¤x= π 16 + 4 (k ∈ Z) cos x " x = k2π c) = 1 − sin x. ¤ x= π + k2π (k ∈ Z) 1 + sin x 2 √  −π 1 − cos x(2 cos x + 1) − 2 sin x x= 4 + k2π d) = 1. ¤  (k ∈ Z) 1 − cos x x= −3π + k2π 4 x = k2π  3 sin 2x − 2 sin x x =  −π + k2π (k ∈ Z) e) = 2. ¤ 3 sin 2x cos x  π x= + k2π 3 √ 2 sin2 x + 3 2 sin x − sin 2x + 1 −3π f) = −1. ¤x= + k2π (k ∈ Z) (sin x + cos x)2 4 x = k2π  1 x = −π + k2π g) 2 cos 2x − 8 cos x + 7 =  . ¤ 3 cos x  π x= + k2π 3 √ −π √  34 + 2 sin 2x x= 3 + kπ h) + − 2 3 = 2(cot x + 1). ¤  (k ∈ Z) cos2 x sin 2x x= −5π + kπ 6 x = kπ  π i) 3 cos 4x + 2 cos2 x + 3 = 8 cos6 x. x = + kπ  ¤ 4 (k ∈ Z) −π  x= + kπ 4  −π x= + k2π  3 x = π + k2π  j) 3 cos x − 2 = −3(1 − cos x) cot2 x. ¤ 3 (k ∈ Z) √   x = −2 arctan 5 + k2π √ x = 2 arctan 5 + k2π x = kπ x = π + k2π k) sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sin x cos 2x. ¤  6 (k ∈ Z) 5π  x= + k2π 6 LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 104  π x= + k2π  2  −5π l) 2 cos 5x cos 3x + sin x = cos 8x. ¤ x =   6 + k2π (k ∈ Z) −π  x= + k2π 6 1 √ √ ãã Å Å 3  » x = −2 arctan 2 + 2 15 ± 2(4 + 15) + k2π m) 4(sin6 x + cos6 x) = 4 sin 2x. ¤   Ç 3 √ 15 … 1 √ å (k ∈ Z) x = −2 arctan − ± (4 − 15) + k2π 2 2 2 x = k2π x = π + k2π n) sin 4x + 2 = cos 3x + 4 sin x + cos x. ¤  6 (k ∈ Z) 5π  x= + k2π 6 Ê Lời giải. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. Bài tập 5 Giải các phương trình lượng giác sau:  2π x= + k2π cos2 x + cos3 x−1 3 a) cos 2x − tan2 x =  . ¤  −2π (k ∈ Z) cos2 x x = 3 + k2π x = k2π 3 2 tan x − 2 −π kπ b) 3 tan 2x − − + 4 cos2 x = 2. ¤x= + (k ∈ Z) cos 2x 1 + tan x 12 3 x = π + k2π  −π (2 tan2 x − 1) cos x = 2 − cos 2x. x = + k2π (k ∈ Z)  c) ¤  3 π x= + k2π 3  −π x= + kπ  2 −2π d) 2 cos2 x + 3 cos x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x.  ¤ x = + k2π (k ∈ Z)    3 2π x= + k2π 3  −5π x= + k2π e) 4 sin x + 3 = 2(1 − sin x) tan2 x. ¤  −π 6 (k ∈ Z) x= + k2π 6  −2π x= + k2π 3 2 3 f) 2 sin x − 3 = (3 sin x + 2 sin x − 3) tan x. ¤  2π (k ∈ Z) x= + k2π 3  −π x= + k2π π g) 5 sin − x − 3(1 − cos x) cot2 x = 2. ¤  3 (k ∈ Z) 2 x= π + k2π 3 −2π 3 sin2 x + 2 sin x − 3  x= + k2π h) + 3 = 2 sin3 x. ¤  3 (k ∈ Z) cot x x= 2π + k2π 3 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH
Trang 105 3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  3 cos 3x + sin 3x x = − arcsin 4 + π + k2π i) 5 sin x + = 3 + cos x. ¤  (k ∈ Z) 1 + 2 sin 2x x = arcsin 3 + k2π 4 √ −2π √  3 x x= 3 + kπ j) − tan x − 2 3 = sin x 1 + tan x tan . ¤  (k ∈ Z) cos2 x 2 x= −π + kπ 6 Ê Lời giải. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. 5. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Dạng tổng quát: a sin x + b cos x = c, a, b ∈ R \ {0} . (1) Phương pháp giải: ○ a2 + b2 < c2 , phương trình vô nghiệm. ○ a2 + b2 ≥ c2 , ta làm như sau: √ a b c Chia hai vế của (1) cho a2 + b2 , (1) ⇔ √ sin x + √ cos x = √ . (2) a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a b Đặt cos α = √ , sin α = √ , α ∈ [0; 2π]. Ta có a2 + b2 a2 + b2 c c (2) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = √ ⇔ sin(x + α) = √ , đây là phương trình a2 + b2 a2 + b2 ở dạng cơ bản. Lưu ý Hai công thức hay sử dụng là ○ sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b); ○ cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b). Các dạng có cách giải tương tự ○ a sin mx + b cos mx = c; ○ a sin mx + b cos mx = c sin nx + d cos nx, a2 + b2 = c2 + d2 . LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 106 6. Ví dụ Ví dụ 1 Giải phương trình √ √ 5π a) sin x − 3 cos x = − 3; ¤ x = k2π, x = 3 + k2π, k ∈ Z √ √ 5π b) 3 cos x − sin x = 2. ¤x= π 12 + k2π, x = − 12 + k2π, k ∈ Z Ê Lời giải. a) √ √ sin x − 3 cos x = − 3 √ √ 1 3 3 ⇔ sin x − cos x = − 2 2 2 √ π π 3 ⇔ cos sin x − sin cos x = − 3 π 3 π 2 ⇔ sin x − = sin −  3 3 π π x − = − + k2π ⇔  3 3  π π x − = π + + k2π  3 3 x = k2π ⇔  5π , k ∈ Z. x= + k2π 3 b) √ √ 3 cos x − sin x = 2 √ √ 3 1 2 ⇔ cos x − sin x = 2 2 2 √ π π 2 ⇔ sin cos x − cos sin x = 3π 3 π 2 ⇔ sin − x = sin π 3 4 π − x = + k2π 3 4 ⇔ π π − x = π − + k2π 3 4  π x= + k2π 12 ⇔ , k ∈ Z.   5π x=− + k2π 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH