intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chia sẻ: Linh Ha | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST
Báo xấu
108
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

  1. Trường THPT Lai Vung 2 Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm Nguyên hàm của Nguyên hàm của những những hàm số hợp của những hàm hàm số sơ cấp số hợp đơn giản thường gặp 1
  2. Trường THPT Lai Vung 2  dx  x  C  du  u  C  kdx  kx  C  1 1 ax  b  x  1 u  1   C   1  ax  b dx   C   1  C   1 x  dx  u  du     1  1  1 a dx 1 du  ax  b  a ln ax  b  C x  0  ln u  C u  0  u dx  ln x  C x  0  x 1 ax b u du  e u  C e e axb dx   C e a x dx  e x  C e au  C 0  a  1 a u dx   ax ln a  C 0  a  1 x  a dx   cos udu  sin u  C ln a  sin udu   cos u  C 1 cos ax  b dx  sin ax  b   C  cos xdx  sin x  C  a 1  cos du  tan u  C 2 u  sin xdx   cos x  C 1 sin ax  b dx   cosax  b   C  a 1  sin du   cot u  C 1 2 u  dx  tan x  C 1 1 cos 2 x  cos ax  b dx  a tanax  b  C 2 1  sin dx   cot x  C 1 1 2 x  sin ax  b dx   a cot ax  b  C 2  tan xdx   ln cos x  c  cot xdx  ln sin x  c 2
  3. Trường THPT Lai Vung 2 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] a b a   f ( x)dx  0 ;  f ( x)dx    f ( x)dx a a b b b   k. f ( x)dx  k  f ( x)dx ( k là hằng số) a a b b b   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a 3
  4. Trường THPT Lai Vung 2 b c b   f ( x)dx   f (c)dx   f ( x)dx ( với a < c < b ) a a c 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: * sin2a = 1  cos 2a 2 * cos2a = 1  cos 2a 2 c) Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 * cos(a  b)  cos(a  b) cos a.cos b  2 1 * sin(a  b)  sin(a  b) sin a.cos b  2 1 * cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b   2 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : 1 m * và n am  a n n n a a 4
  5. Trường THPT Lai Vung 2 n a na * ; n a . n b  n a.b  n b b * a 0 = 1 ; a 1 = a ; a -n = 1 an a * a .a   a   ;  a    a  a a *  a.b  ;      a .b  b b  * a    a .  5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * 2  a 2  2ab  b 2 a  b * a3  b3  (a  b)(a 2 ma.b  b 2 ) * 3  a3  3a 2b  3ab 2  b3 a  b B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý 5
  6. Trường THPT Lai Vung 2 rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân 1 a) I1 =  (3x  1) dx 3 0 2 b) I2 =  e  x2 dx 0 0 3 c) I3 =  2 x  1dx 1 Giải: 1 1 1 (3 x  1)4 1 5 a) I1 =  (3x  1) dx = 4   3  1  (1)4   3 .  4 3 4 12 0 0 5 Vậy: I1 = 4 2 2 = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 1  x 2 b) I2 =  e =  x2 dx e 1 0 0 Vậy: I2 = e2 –1 0 3 1 =  3 (ln1  ln 3) c) I3 =  2 x  1dx = 0 ln 2 x  1 1 3. 2 2 1 3 Vậy: I3 = ln 3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân 6
  7. Trường THPT Lai Vung 2 2 a) J 1 =   x 2  1 dx 2 0 1 b) J2 =  22xx3dx 0 8 x  26 x c) J 3 =  dx 6 x 1 Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1 2 2 2  x5 x3  206 suy ra J1 =   x =  (x = = 2  1 dx 2 4 2  2 x  1)dx  2  x  5 3 15 0 0 0 206 Vậy: J1 = 15 2x  3 1 b) Ta có :  2  7. 2 x 2 x 1 1 suy ra J2 =  22xx3dx =  (2  7. 2  x )dx   2 x  7 ln 2  x  = (–2 –7ln1) – (0 – 1 1 0 0 0 7ln2) = 7ln2 – 2 Vậy: J2 = 7ln2 – 2 x  2 6 x x1/2  2 x1/6 c)  x1/ 21/6  2  x1/3  2  x1/6 6 x 8 8  3 4 /3 3  3 4/3 = 101 = 25,25  suy ra J3 = =   x  2  dx   4 x  2 x  1 1/3  8  2  8   (  2) 4 4 4   1 101 Vậy: J3 = 4 7
  8. Trường THPT Lai Vung 2 Ví dụ 3: Tính các tích phân  4 a) K1 =  s in3x.cos xdx 0  8 b) K2 =  cos 2 2 xdx 0 1 c) K3 =  e 2 x 1  1dx 0 Giải: 1 a) Ta có: sin3x.cosx =  s in4x  s in2x  2   4 1 1 1 1 1 4 suy ra K1 = =  (s in4x  s in2x)dx  2   4 cos 4 x  2 cos 2 x  0 2 2   0 1 Vậy: K1 = 2  8 b) K2 =  cos 2 2 xdx 0 Ta có: cos22x = 1  cos 4 x 2   8 = 1  1   1 4  1 1 1 1 8  suy ra K2 = =    0  (1  cos 4 x)dx  2  x  4 sin 4 x  0  8  4 sin 8   28 4 2 2        0 1  Vậy: K2 =   1 8 2  1 c) K 3 =  e 2 x 1  1dx 0 8
  9. Trường THPT Lai Vung 2 2x–1 2x–1 0 1 Ta có : e –1=0 e =1=e 2x – 1 = 0 x=   0;1    2 1 1 1 1 2  1 2 x 1 2 1  Suy ra K3 =  ( e = e  x    e 2 x 1  x  2 x 1 2 x 1  1)dx   (e  1)dx  2 0 2 1 1 0 2 2 1  1 0 1   1 1 1  1 0 1 1   = + = +  e 1  e     e  0  e  1   e    e  1 2 2 2  2 2  2 2 2   1 1 Vậy K3 = e  e 1  1 2 2  Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1 6 1) L =  ( x KQ: L = 4  3 x 2  2) dx 5 0  4 3 2) I =  1  sin x dx KQ: I = 3 2 2 2 sin x 2  6 1 3) J =  4x32xdx KQ: J =  3  10 ln 4 9 0 2 2 x 3  5x 2 4) K = KQ: K = – 2  x 2 dx 1  12 1 5) M =  sin 7 x. sin 5 xdx KQ: M = 8 0 9
  10. Trường THPT Lai Vung 2 4 5 6) N =  x  2 dx KQ: N = 2 1  3  7) P =  sin KQ: P = 2 3 xdx 6 0  4 KQ: 1   8) Q =  tan 2 xdx 4 0  /4 23 dx 9) R =  sin KQ: 2 x.cos 2 x 3  /6 b II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I =  f ( x)dx a 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ 4: Tính tích phân 2 a) I 1 =  4  x 2 dx 0 10
  11. Trường THPT Lai Vung 2 3 b) I2 =  9 1x dx 2 0 Giải: 2 a) I 1 =  4  x 2 dx 0 + Đặt x = 2sint , t    ;   (u(t) = 2sint) dx = 2costdt   2 2   + Cận mới: x= 0 2sint = 0 sint = 0 t=0     x=2 2sint = 2 sint = 1 t=    2   2 2 2 + I1 =  = = 4 = 4  4sin 2 t .2cot dt 1  sin 2 t .cot dt 4  x 2 dx 0 0 0   2 2 4 =4  cos cos 2 t .cost dt 2 tdt 0 0   2 1 2 I1 = 2  (1  cos 2t )dt = 2 =   t  s in2t  2 0 0 Vậy I1 =  Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số là 3,141592654.  11
  12. Trường THPT Lai Vung 2 + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK a Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính  , đặt a 2  x 2 dx 0 x = asint , t    ;   (u(t) = asint) dx = acostdt rồi thực hiện   2 2  các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ. 3 b) I2 =  9 1x dx 2 0 + Đặt x = 3tant, t     ;    dx = 3(1 +tan2t)dt   22   + Cận mới: x=0 3tant = 0 tant = 0 t=0     x=3 3tant = 3 tant = 1 t=    4    3 2 2 4 4 4 1 = 1 . =  3(1 9tan tt) dt =  9(1  tan 3(1 t) + I2 =  9 1x = 1  dt = dt dx t4 2 2 2 30 9  tan  tan t) 3 34 0 0 0 0  Vậy I2 = 12 Chú ý: 12
  13. Trường THPT Lai Vung 2 Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích a 1 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính  a , đặt x = a.tant , dx 2  x2 0 t     ;    dx = a(1 + tan2t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự.   22   2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì  =u(a)    = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân 2 x2 a) J1 =  xe dx 1 e 1  ln x b) J 2 =  dx x 1 1 c) J 3 =  x ( x 3 4  1)5 dx 0 13
  14. Trường THPT Lai Vung 2 2 d) J 4 =  4  x 2 .xdx 0  /2 e) J5 =  (1 cos xx) dx 4 sin 0 Giải: 2 x2 a) J1 =  xe dx 1 + Đặt u = x2 1 du = 2xdx xdx = du   2 u = 12 = 1; x = 2 u = 22 = 4 (  = 1, + Đổi cận: x = 1 =    4) 2 4 1u e 4 – e 1) = 1 ( e 4 – e ) 14 1 x2 + J1 =  xe dx =  2 e du = 2 eu 1 = 2 ( 2 1 1 + Vậy J1 = 1 ( e4 – e) 2 e 1  ln x b) J 2 =  dx x 1 u2 = 1 + lnx 2udu = 1 dx + Đặt u = 1  ln x   x + Đổi cận: x = 1 u= = 1; x = e u= = 1  ln e 1  ln1   2 2 e 1  ln x 2 32 2 2 + J2 =  =  u.2udu = = )= ( 2)3  13 (2 2  1) u dx 31 3 3 x 1 1 2 + Vậy J2 = (2 2  1) 3 14
  15. Trường THPT Lai Vung 2 Ghi nhớ:  Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx  du = 1 dx x  ln1 = 0 và lne = 1 1 c) J 3 =  x ( x 3 4  1)5 dx 0 + Đặt u = x4 – 1 du = 4x3dx x3dx = 1 du   4 u = 14 – 1 = 0 + Đổi cận: x = 0 u = 0 – 1 = –1; x = 1   1 0 0 1 6 du = 1 u 1 + J3 = = = 3 4 5 5  x ( x  1) dx u  4 46 24 1 0 1 1 + Vậy J3 =  24 2 d) J 4 =  4  x 2 .xdx 0 u2 = 4 – x 2 + Đặt u = 2udu = – 2xdx xdx = –udu 4  x2    + Đổi cận: x = 0 u= = 2; x = 2  u = =0 4  02 4  22  2 0 0 1 32 8 + J4 =  4  x .xdx =  u.(  u ) du =  u du = = 2 2 u 30 3 0 2 2 8 + Vậy J4 = 3 15
  16. Trường THPT Lai Vung 2  /2 e) J5 =  (1 cos xx) dx 4 sin 0 + Đặt u = 1 + sinx  du = cosxdx  u = 1 + sin  = 2 + Đổi cận: x = 0 u = 1 +sin0 = 1; x =   2 2 2  /2 du 2 cos x 1 3 2 7 + J5 =  dx =  4 = = = 4 u du u (1  sin x) 4 u 3 24 1 1 0 1 7 + Vậy J5 = 24  Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân:  6 3 3 1 a) I =  KQ: I = 1  4 sin x . cos xdx 6 0 2 b) J =  KQ: J = –4 3 x 3  8. x 2 dx 0 1 x2 e 1 c) K =  e .x.dx KQ: K = 2e 0 e d) L =  (3  ln x)dx 13 KQ: L = x 8 1 16
  17. Trường THPT Lai Vung 2 21  dx e) M =  KQ: M = 7  x2 37 0 1 e x dx KQ: N = ln 2  e g) N =  2 ex 3 0 1 1 h) P =  x( x  1) KQ: P = 2010 dx 4046132 0 2) Tính các tích phân:  2 a) I1 =  (2sin x  3) cos xdx KQ: 4 0 2 7 7 8 b) J 1 =  x KQ: x 2  3dx 3 1 1 c) P =  x 4  2 1 dx x KQ: 2ln3 2 x 0  2 4 d) Q=  5  tanx x dx KQ: 16/3 2 cos 0 e 1  3ln 2 x e) L1 =  KQ: 116/135 ln xdx x 1 2 x g) N1 =  e e 1 dx KQ: ln(e+1) x 1 III) Phương pháp tích phân từng phần: 17
  18. Trường THPT Lai Vung 2 b b b  Công thức:  udv  uv   vdu a a a b  Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I   P ( x ).Q ( x )dx a P(x): Đa P(x): Đa thức Dạng P(x): Đa thức P(x): Đa thức Q(x): sin1 x hay hàm thức 2 Q(x): sinkx Q(x):ln(ax+b) kx 1 Q(x):e cos 2 x hay coskx * u = P(x) * u = P(x) * u = ln(ax + * u = P(x) b) * dv là Phần * dv là * dv là Phần còn Phần còn * dv = P(x)dx còn lại của Cách lại của lại của biểu thức dưới đặt biểu thức biểu thức dấu tích phân dưới dấu dưới dấu tích phân tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân  /4 a) I1 =  2 x cos 2 xdx 0 1 b) I2 =  ( x  1)e 2x dx 0 18
  19. Trường THPT Lai Vung 2 3 c) I3 =  2 x ln( x  1)dx 2 Giải:  /4 a) I1 =  2 x cos 2 xdx 0  Đặt: u = 2x du = 2dx;  v = 1 sin2x dv = cos2xdx  2  /4  /4   1  I1 =  2 x cos 2 xdx = –  sin 2 xdx =  /4  /4 sin  0  cos 2 x 0 x.s in2x 0 4 2 2 0 0 1  1 = =  (cos  cos 0)  42 2 42 1 Vậy: I1 =  42 1 b) I2 =  ( x  1)e 2x dx 0  Đặt: u = x +1 du = dx;  dv = e2xdx e2x 1 v=  2 1 1 1 1 – 1 e 1 1  I2 =  ( x  1)e = = 1 2x ( x  1)e 2 x 2x [(1  1)e 2  (0  1)e 0 ]  e2 x dx dx 2 2 4 2 0 0 0 0 3e 2  1 = 1 (2e 1 = 2  1)  (e 2  1) 4 2 4 3e 2  1 Vậy: I2 = 4 19
  20. Trường THPT Lai Vung 2 3 c) I3 =  2 x ln( x  1)dx 2 1  Đặt: u = ln(x – 1) du = dx;  x 1 v = x2 dv = 2xdx  3 3 3 2 –  xx 1 dx = 9ln2 – 0 –  ( x  1  x 1 1)dx  I3 =  2 x ln( x  1)dx = 3 x 2 ln( x  1)  2 2 2 2 3 x2 7 = 9ln2 – = 8ln2 – (  x  ln x  1) 2 2 2 7 Vậy: I3 = 8ln2 – 2  Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu 1 Đặt: u = ln(x – 1) du = dx;  x 1 v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1) dv = 2xdx  Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như đã biết  2 xdx  x , trong đa số các trường 2 c hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn. Ví dụ 7: Tính các tích phân  4 a) J1 =  xdx 2 cos x0 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2