zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình Vật lý 2 - CƠ LƯỢNG TỬ

Chia sẻ: Kiep Tinh Sau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Báo xấu

237
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CƠ LƯỢNG TỬ Mục đích của chương này là khảo sát những tính chất và quy luật vận động của các hạt trong phạm vi kích thước của phân tử, nguyên tử. 10.1. TÍNH SÓNG HẠT CỦA VẬT CHẤT TRONG THẾ GIỚI VI MÔ 10.1.1. TÍNH SÓNG HẠT CỦA ÁNH SÁNG Trong phần quang học chúng ta đã nghiên cứu các hiện tượng chứng tỏ ánh sáng có bản chất sóng điện từ như hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phản cực v.v... Việc giải thích các hiện tượng này dựa trên cơ sở xem ánh có bản chất sóng....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Vật lý 2 - CƠ LƯỢNG TỬ

Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành CHƯƠNG X CƠ LƯỢNG TỬ Mục đích của chương này là khảo sát những tính chất và quy luật vận động của các hạt trong phạm vi kích thước của phân tử, nguyên tử. 10.1. TÍNH SÓNG HẠT CỦA VẬT CHẤT TRONG THẾ GIỚI VI MÔ 10.1.1. TÍNH SÓNG HẠT CỦA ÁNH SÁNG Trong phần quang học chúng ta đã nghiên cứu các hiện tượng chứng tỏ ánh sáng có bản chất sóng điện từ như hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phản cực v.v... Việc giải thích các hiện tượng này dựa trên cơ sở xem ánh có bản chất sóng. Chẳng hạn, sự truyền một chùm ánh sáng song song đơn sắc có thể coi là sự truyền những sóng phẳng đơn sắc, mặt sóng vuông với tia sóng . Giả sử biểu thức của dao động sóng ở O là: x = acos2πνt. Trong đó ν là tần số dao động sóng. Ta hãy tìm biểu thức của dao động sóng tại rr M’ O điểm M bất kỳ ( OM = r ). Mặt sóng đi d r n qua M cách mặt sóng đi qua O một đoạn α α r r d = rcos α = r n cosα r d: r Trong đó n là vector pháp tuyến đơn vị M nằm theo phương truyền của sóng ánh r r sáng, α là góc hợp bởi n và r . Như vậy rr ta có thể viết : d = r .n Hình X-1 Biểu thức của dao động sáng trên mặt sóng đi qua M (nghĩa là biểu thức của dao động sáng tại điểm M) có dạng: d d x = acos 2πν( t − ) = acos2π( vt − ) λ c rr rn x = acos 2π ( vt − ) (X-1). λ c Trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, λ = là bước sóng của ánh v sáng trong chân không. Trong cơ học lượng tử để thuận lợi cho việc tính toán người ta viết hàm sóng dưới dạng số phức (dựa vào công thức Euler) e − iα = cosα - isinα. Nghĩa là hàm sóng thực là phần r r ực của hàm phức: th rr rn rn ψ = ψ 0 cos 2π ( vt − + ψ 0 isin 2π ( vt − ) ) λ λ rr r .n − 2πi ( vt − ) ψ = ψ 0e (X-2). λ 101
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành Chú ý rằng do tiện ích của số phức mà ta dùng hàm sóng ψ nhưng hàm sóng thực chính là phần thực (x) của số phức này, nghĩa là trong ψ còn có sóng ảo. Đối với những hiện tượng khác như: hiện tượng quang điện, Compton, áp suất ánh sáng v.v..., ánh sáng biểu hiện rõ tính chất hạt. Việc giải thích các hiện tượng này phải dựa trên cơ sở xem ánh sáng cấu tạo bởi những hạt photon, mỗi hạt mang năng lượng E = hν và chuyển động với vận tốc bằng c. Theo thuyết tương đối, năng lượng E của photon bằng: E = mc 2 hv Do đó, khối lượng m của photon: m = , c2 E h và động lượng của nó : p = mc = = λ c Như vậy: ánh sáng vừa có tính sóng, vừa có tính hạt. Ta nói rằng ánh sáng có lưỡng tính sóng hạt. Trong một số hiện tượng thì ánh sáng biểu hiện rõ rệt tính chất sóng, ngược lại trong một số hiện tượng khác tính chất hạt thể hiện rõ rệt hơn. Những đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt của ánh sáng (E, r p ) và cho tính chất sóng (ν, λ) liên hệ với nhau bởi các công thức trên. 2π P E , 2πν = Mặt khác do: nên trên ta có thể viết hàm sóng ánh = λ h h −i rr ( Et − p .r ). sáng dưới dạng: x = ae h h với: = 1,05 . 10 −34 Js. h= 2π 10.1.2. GIẢ THUYẾT DE BRÖGLIE Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng De Bröglie đã mở rộng tính chất đó đối với điện tử và sau đó đối với mọi vật thể với hai nội dung sau: Mỗi hạt vi mô chuyển động tự do có năng lượng E và động lượng P xác định được gắn liền với một sóng phẳng đơn sắc có: E = hν - Năng lượng: (X-3). h - Động lượng p: (X-4). p= λ 10.1.3. THỰC NGHIỆM XÁC NHẬN LƯỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA HẠT VI MÔ Giả thuyết De Bröglie về lưỡng tính sóng hạt của mọi vi hạt đã được nhiều sự kiện thực nghiệm xác nhận. Ở đây chúng ta sẽ xét hai thí nghiệm cơ bản: 10.1.3.1. Thí nghiệm 1 Ta cho một chùm điện tử đi qua một khe hẹp. Hứng chùm điện tử trên màn huỳnh quang và dùng kính quan sát hay chụp ảnh, ta sẽ thu được các vân nhiễu xạ giống như các vân nhiễu xạ của ánh sáng qua một khe. Nếu cho từng điện tử riêng biệt đi qua khe thì trên màn huỳnh quang ta sẽ thu được những ảnh rời rạc của điện tử. Tuy nhiên nếu thời gian thí nghiệm khá lâu, để số điện 102
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành tử qua khe đủ lớn, thì mặc dù cho từng điện tử riêng biệt đi qua khe, ta vẫn thu được các vân nhiễu xạ trên màn huỳnh quang. Như vậy khi qua khe hẹp điện tử bị nhiễu xạ, tức là điện tử có tính chất sóng. 10.1.3.2. Thí nghiệm 2 (Davisson – Germer). Ta hãy cho một chùm điện tử đập thẳng góc vào mặt tinh thể Ni. Chùm điện tử sẽ tán xạ trên mặt tinh thể dưới những góc khác nhau. Hiện tượng tán xạ này xảy ra giống như hiện tượng nhiễu xạ của tia X trên mặt tinh thể Ni. Việc xác định vị trí các vân nhiễu xạ cho phép ta tìm được bước sóng λ của điện tử theo công thức thông thường tính các cực đại nhiễu xạ của một nhiều d sin ϕ = kλ khe: Trong đó d là khoảng cách giữa hai lớp ion liên tiếp của tinh thể, ϕ là góc tán xạ của hạt. Kết quả này phù hợp với phép tính λ theo công thức. Ngoài ra người ta còn làm được nhiều thí nghiệm về giao thoa; nhiễu xạ của các hạt vi mô khác. Tất cả các kết quả thực nghiệm đều xác nhận tính chất sóng của mọi hạt vi mô và do đó chứng minh sự đúng đắn của giả thuyết De Bröglie . 10.1.4. Ý NGHĨA THỐNG KÊ CỦA HÀM SÓNG Theo giả thuyết De BrÖglie, chuyển động của các hạt tự do (hạt không chịu tác dụng của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như sóng phẳng ánh sáng đơn sắc: i rr − ( Et − p .r ) ψ = ψ oe h (X-5). Biên độ của hàm số sóng ψ o được cho bởi: ψ 2 = ψψ * i rr ( Et − p . r ) * ψ là liên hợp phức của ψ, (ψ * = ψ 0 e ) (X-6). h Biểu thức (X-5) là hàm số sóng của các hạt tự do. Còn nói chung đối với các hạt vi mô chuyển động trong trường thế, hàm số sóng của nó là một r hàm phức tạp của r và t. r ψ = ψ (r , t ) = ψ (x,y,z,t) dV c Dưới đây, ta sẽ xét ý nghĩa của hàm số M sóng nói trên. Để cụ thể ta xét một chùm hạt photon truyền trong không gian và giả sử dV là một phần tử thể tích vô cùng nhor bất kỳ trong không gian bao quanh điểm M có hàm sóng ψ. Hình X-2 Theo quan điểm sóng cường độ sáng tại M tỉ lệ với bình phương biên độ dao động sóng ψ o2 tại M: ψ o2 càng lớn thì điểm M càng sáng. Theo quan điểm hạt, cường độ sáng tại M tỉ lệ với năng lượng của các hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích. Do đó, số hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M tỉ lệ với bình 103
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành phương biên độ sóng ánh sáng tại đó. Nghĩa là số hạt trong đơn vị thể tích tỷ 2 lệ với ψ o2 = ψ . Nếu số hạt trong đơn vị thể tích càng nhiều thì khả năng tìm thấy hạt trong đó càng lớn. Vì thế có thể nói, bình phương biên độ sóng ψ 2 tại M đặc trưng cho khả năng tìm thấy hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M. Ta gọi ψ 2 là mật độ xác suất (xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích). 2 ω=ψ . Như vậy xác suất tìm thấy hạt trong thể tích bất kỳ dV sẽ bằng: 2 dW = ψ dV , và xác suất tìm thấy hạt trong không gian V nào đó bằng: W = ∫∫∫ ψ dV . 2 V Nếu tìm hạt trong toàn không gian chứa hạt thì chắc chắn sẽ tìm thấy hạt, nghĩa là xác suất tìm hạt trong toàn không gian đó phải bằng 1: ∫∫∫ ψ 2 dV = 1 Điều kiện trên gọi là điều kiện chuẩn hoá hàm sóng. Tóm lại, ta có thể đưa ra một số kết luận sau: - Trạng thái của một hạt vi mô tại vị trí x, y, z và ở thời điểm t được xác định bởi hàm số sóng ψ (x, y, z, t). - ψ 2 biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt tại vị trí và thời điểm đó. Như vậy hàm số sóng ψ không mô tả một sóng thực nào trong không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý cổ điển, mà chỉ cho phép ta tính xác suất tìm hạt tại một vị trí và thời điểm nào đó. Do yêu cầu của các điều kiện vật lý và toán học hàm số này phải liên tục, đơn trị, hữu hạn và đạo hàm bậc nhất của nó cũng phải liên tục. 104
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành 10.2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 10.2.1. HỆ THỨC Để đi đến hệ thức bất định ta lại xét hiện tượng nhiễu xạ của một chùm hạt (photon, điện tử...) qua một khe có bề rộng b. Sau khi qua khe, hạt bị nhiễu xạ theo những phương khác nhau. Tuỳ theo trị số của góc nhiễu xạ ϕ, mật độ chùm hạt nhiễu xạ trên màn sẽ cực đại hoặc cực tiểu (bằng không). Ta hãy xét vị trí của hạt trong khe. Để đơn giản, ta xét toạ độ của hạt theo một phương x nằm trong mặt phẳng của khe và song song với chiều rộng của khe. Toạ độ x của hạt trong khe có những giá trị ở trong khoảng từ 0 đến b (b là bề rộng của khe). 0≤x≤b Như vậy nếu tìm hạt trong khe thì tọa độ của hạt có độ bất định lớn nhất là: ∆x ≈ b Mặt khác sau khi qua r khe, phương động hướng p của hạt thay đổi. Hình chiếu r r ϕ1 p p theo phương x sẽ có giá b trị thay đổi trong khoảng 0 ≤ Px ≤ psin ϕ Nghĩa là sau khi qua khe, các hạt có thể rơi vào cực đại chính hoặc các cực đại Hình X-3 phụ. Cho nên p x được xác định với độ bất định nào đó. Hình chiếu p x được xác định với độ bất định nhỏ nhất ∆p x tương ứng với hạt rơi vào cực đại chính là: ∆p x ≈ p sin ϕ1 ϕ1 là góc ứng với cực tiểu thứ nhất: λ λ sin ϕ1 = ⇒ ∆p x ≈ p b b ∆x.∆p x = pλ Như vậy: h Nhưng theo Theo giả thuyết De Bröglie thì p = , do đó ta có: λ (X-7). ∆x.∆p x ≈ h Đó là hệ thức bất định Heisenberg 10.2.2. VÍ DỤ Trong nguyên tử, điện tử chuyển động trong phạm vi 10-8 cm (cở kích thước nguyên tử). Hãy tìm độ chính xác của vận tốc khi ta xác định nó. Theo bài ra thì độ bất định lớn nhất về vị trí của điện tử là: ∆x ≈ 10 −10 m , do đó độ bất định về vận tốc bằng: 105
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành ∆p x 6,62.10 −34 h ≈ 7.10 6 m / s = 7.10 8 cm / s . ∆v x = = = me ∆x 9.10 −31.10 −10 me Trong đó me là khối lượng điện tử ( me = 9.10 −31 kg ). ∆v x mà ta tìm được có giá trị cở vận tốc của điện tử nên điện tử không có vận tốc xác định, nghĩa là điện tử không chuyển động theo một quỹ đạo xác định trong nguyên tử. Điều này chứng tỏ rằng, trong cơ học lượng tử khái niệm quỹ đạo của các hạt vi mô không có ý nghĩa nữa. Chú ý rằng, hệ thức bất định Heisenberg áp dụng cho các hạt vi mô thể hiện tính không xác định đồng thời của vị trí và động lượng, nhưng nếu áp dụng vào các hạt vĩ mô, hệ thức đó chứng tỏ vị trí và động lượng lại được xác định đồng thời. Quả vậy, xét một hạt vĩ mô m = 10-15kg, ∆x = 10-8m. Khi đó: 6,62.10 −34 h = −15 −8 = 6,62.10 −11 m / s = 6,62.10 −9 cm / s ∆v x = m∆x 10 .10 Như vậy, đối với hạt vĩ mô ∆x và ∆v x đều nhỏ, nghĩa là vị trí và vận tốc có thể xác định đồng thời. 10.2.3. Ý NGHĨA CỦA HỆ THỨC BẤT ĐỊNH - Hệ thức này chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt không được xác định chính xác đồng thời. Vị trí của hạt xác định càng chính xác thì động lượng của hạt càng mất chính xác. Về hệ thức Heisenberg, một số nhà triết học duy tâm cho rằng: đối với các hạt vi mô ta không đồng thời biết được vị trí và động lượng của chúng cho nên ta không thể nhận thức được qui luật vận động của thế giới vi mô. Quan điểm này dễ đưa chúng ta tới ý nghĩ cho rằng vận động của thế giới vi mô có tính huyền bí. Nó hoàn toàn trái với triết học duy vật biện chứng. Thực vậy, các nhà triết học duy tâm đã mắc sai lầm ở chổ họ đã xuất phát từ một sự kiện để đi tới một kết luận có tính chất về nguyên tắc. Họ đã tuyệt đối hoá tính đúng đắn của cơ học cổ điển, muốn dùng cơ học cổ điển để nghiên cứu dạng vận động của vật chất trong thế giới vi mô. Phép biện chứng duy vật không cho phép ta suy nghĩ như vậy. Đối với dạng vận động mới của vật chất, nếu các qui luật cũ không áp dụng được thì điều đó chỉ có nghĩa là dạng vận động mới này tuân theo những qui luật khác, mà ta cần phải đi tìm. Dạng vận động của các hạt vi mô chính là một dạng vận động mới của vật chất khác với những dạng vận động ta đã nghiên cứu trước đây. Các vi hạt mang lưỡng tính sóng hạt, cho nên cơ học cổ điển không thể ứng dụng để nghiên cứu chuyển động của chúng. - Hệ thức Heisenberg là một trong các biểu thức toán học thể hiện lưỡng tính sóng hạt của vi hạt. Ngoài ra có thể nói: 106
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành - Hệ thức bất định Heisenberg cho thấy cơ học cổ điển là giới hạn áp dụng của cơ học lượng tử khi v
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành 10.3. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 10.3.1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Như trên ta đã biết trạng thái của một hạt vi mô được biểu diễn bởi hàm rr số sóng Ψ (r , t ) . Bây giờ ta sẽ thiết lập phương trình cho phép tìm hàm số sóng của hạt tự do. Ta viết phương trình sóng dưới dạng dưới dạng: −i i rr i rr ( Et − p .r ). − Et Pr ψ = ψ 0e = ψ ( r )ψ (t ) = ψ 0 .e .e h h h r Trong đó phần phụ thuộc không gian ψ (r ) gọi là hàm sóng dừng và bằng: i r ( xp x + yp y + xp x ) ψ (r ) = ψ o e h r Sau khi lấy đạo hàm cấp hai của ψ (r ) đối với x, y, z ta được các ∂ 2ψ Px2 = − 2ψ phương trình: ∂x 2 h Py2 ∂ψ2 = − 2ψ ∂y 2 h ∂ 2ψ P2 = − z2 ψ ∂z 2 h Cộng từng vế các phương trình này ta đưåüc: p2 ∆ψ + ψ =0 (X-8). h2 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∆ψ = 2 + 2 + 2 Trong đó: ∂x ∂y ∂z phương trình (X-8) trên được nghiệm đúng đối với một hạt tự do. Ta có thể suy rộng phương trình trên đối với hạt chuyển động trong r trường thế U( r ) như sau, từ biểu thức của năng lượng toàn phần E: p2 r r + U (r ) . Suy ra P 2 = 2m ( E − U (r )) E= 2m r 2m r r ∆ψ (r ) + 2 [E − U (r )] (r ) = 0 . ψ Dẫn đến: (X-9). h Đó là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử hay còn gọi là phương r trình Schrödinger. Nó cho phép ta xác định phần không gian ψ (r ) của hàm số rr sóng ψ (r , t ) . 10.3.2. ỨNG DỤNG Bây giờ ta vận dụng phương trình Schrödinger và hệ thức Heisenberg vào một số trường hợp cụ thể. 10.3.2.1. Hạt trong giếng thế năng U Để đơn giản ta xét chuyển động của hạt ∞ theo một phương x (hình vẽ X-4). Giả sử hạt chuyển động trong một miền mà thế năng U 108 a O Hình X-4
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành ⎧0 khi 0 ≤ x ≤ a được xác định theo điều kiện. U ( x) = ⎨ ⎩∞ khi x > a , x < 0 Miền như vậy gọi là giếng thế năng. Rõ ràng là hạt chỉ có thể chuyển động tự do trong giếng và không thể vượt ra ngoài giếng. Ví dụ: chuyển động của điện tử tự do trong kim loại có thể xem như chuyển động trong một giếng thế năng. Ở trong kim loại thế năng của điện tử tự do bằng không. Muốn cho điện tử thoát ra ngoài kim loại (như ra khỏi giếng) ta cần cung cấp cho nó năng lượng để thắng công cản. Bây giờ ta giải bài toán trên, phương trình Schrödinger của hạt trong 2mE ∆ψ + ψ =0 giếng có dạng: h2 Vì hạt chuyển động trong hố thế một chiều (x) nên: d 2ψ 2mE + 2 ψ =0 dx 2 h 2mE Đặt: = k2, h2 d 2ψ + k 2ψ = 0 ta có: 2 dx Nghiệm của phương trình trên là: ψ ( x) = A sin(kx + ϕ ) (X-10). Trong đó A, ϕ là những hằng số tích phân, được xác định từ điều kiện của bài toán. Vì hạt chỉ ở trong giếng nên xác suất tìm thấy hạt ở ngoài giếng (x ≤ 0, x ≥ a) bằng không, nghĩa là hàm số sóng ở ngoài giếng phải bằng không nhưng do điều kiện liên tục nên hàm số sóng cũng phải bằng không tại thành giếng: ψ (0) = ψ (a) = 0 sin ϕ = 0 → ϕ = 0 Từ (13-12) ta rút ra: sin ka = 0 → ka = nπ . (trong đó n = 1, 2,...) Loại A = 0 vì A = 0 thì ψ = 0 với mọi giá trị của x điều này vô lý Loại n = 0 vì n = 0 thì ψ = 0 với mọi giá trị của x điều này cũng vô lý nπ Do đó: k = . Hàm sóng bây giờ gọn hơn: a nπx ψ ( x) = A sin a Để xác định A, ta áp dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng. Vì hạt chỉ ở trong giếng thế nên xác suất tìm hạt trong toàn hố phải là một xác suất chắc a ∫ ψ ( x) 2 chắn: dx = 1 0 109
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành nπ a 2 ∫A ⇒ A= xdx = 1 2 sin 2 a a 0 Như vậy ta đã hoàn toàn xác định đưåüc hàm sóng và năng lượng của nπx 2 ψ n ( x) = hạt trong hố thế: . sin a a nπ 2mE 2mE Từ biểu thức: = ( )2 , = k2 ⇒ 2 2 a h h πh 2 22 suy ra năng lượng của hạt: En = .n 2ma 2 Kết luận: - Mỗi trạng thái n có năng W lượng En của hạt ứng với một hàm số sóng ψ n ( x) - Năng lượng của hạt trong giếng thế năng tỉ lệ với bình E3 phương của số nguyên n, nghĩa là biến thiên một cách gián đoạn. Ta nói rằng: năng lượng bị lượng tử hoá. (Xem sơ đồ các mức năng lượng E2 của hạt trên hình vẽ). - Khoảng cách giữa hai mức kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n + 1 bằng: E1 π 2h2 [(n + 1) ] ∆E n = E n +1 − E n = −n 2 2 2ma 2 x x π 2h2 a ∆En = (2n + 1) Hçnh X- 2ma 2 ∆En càng lớn khi a càng nhỏ, nghĩa là khi hạt ở trong phạm vi kích thước nhỏ. nπx 2 - Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng:ψ a ( x) 2 = sin 2 biến thiên theo x a a được biểu thị trên hình vẽ. Ta nhận thấy rằng khi: a (*) Trên mức n = 1 xác suất tìm hạt lớn nhất ở x = , bé nhất ở giữa 2 trên thành hố x = 0 và x = a 3a a (*) Trên mức n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở x = và x = là lớn nhất, 4 4 bé nhất ở giữa trên thành hố và giữa hố x = 0 , x = a , x = a /2 110
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành ….v.v... 10.3.2.2. Hiệu ứng đường ngầm Giả sử có một vi hạt mang năng lượng E, chuyển động theo phương x từ trái sang phải (H. X-6). Đến điểm M hạt gặp một “hàng rào” thế năng U. Theo cơ học cổ điển muốn vượt qua M, hạt phải có năng lượng lớn hơn thế năng U, còn khi năng lượng E của hạt nhỏ hơn thế năng U, hạt không thể vượt qua hàng rào thế năng được. Vấn đề sẽ khác, nếu ta xét hiện tượng trên theo quan điểm cơ học lượng tử. Thực vậy, theo hệ thức bất định Heisenberg ta có: ∆x.∆p x ≈ h Px2 Ta có lại có: = Ed , 2m hay p x = 2mE d Trong đó m và E d là khối lượng và động năng của vi hạt. Từ phương trình trên ta có thể viết: ∆p x ≈ 2m∆E d . E Ở đây có thể coi: ∆E d ≈ U − E , U- do đó ta có: ∆p x ≈ 2m(U − E ) E Thay vào hệ thức bất định E U Heisenberg ta được: h h x ∆x ≈ ≈ ∆p x 2m(U − E ) x+d x Nếu ∆x lớn hơn bề dày d của hàng rào thế Hình X-6 năng thì hạt có thể vượt qua hàng rào thế năng. Cụ thể, điều kiện để cho vi hạt vượt qua được hàng rào thế năng U là: h > d. 2m(U − E ) d 2m(U − E ) < 1 Hay: h Với điều kiện đó, mặc dù hạt có năng lượng nhỏ hơn U, nhưng nó vẫn có khả năng vượt qua hàng rào thế năng. Đó là hiệu ứng đường ngầm. Ta xét một số ví dụ: - Nếu U - E = 10-18J m ≈ 10-31kg (khối lượng của hạt điện tử) d ≈ 10-10m (kích thước nguyên tử). Thì: d 2m(U − E ) ≈ 0,2 < 1 h hạt có thể vượt qua được hàng rào thế năng. Có hiệu ứng đường ngầm xảy ra. - Nhưng nếu: m = 1g, U - E = 3.10-4J 111
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành d = 2cm = 2.10-2m. Thì d 28 2m(U − E ) ≈ 2,5.10 > 1 h hạt không thể vượt qua được hàng rào thế năng. Không có hiệu ứng đường ngầm xảy ra. Vậy hiệu ứng đường ngầm chỉ xáøy ra trong phạm vi kích thước vi mô. Hiệu ứng này cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng gặp trong tự nhiên. Ví dụ như hiện tượng phát điện tử lạnh: muốn cho điện tử thoát ra khỏi kim loại, ta cần nung nóng kim loại để điện tử có đủ năng lượng thẳng công cản vượt qua hàng rào thế năng. Tuy nhiên, vì có hiệu ứng đường ngầm nên ngay ở nhiệt độ thường điện tử cũng có khả năng thoát ra ngoài kim loại (hiện tượng phát điện tử lạnh). Hiện tượng phân rã α cũng được giải E thích tương tự. Hạt nhân nguyên tử gồm có các proton (p) và neutron (n). Trong hạt nhân U các hạt p và n tương tác với nhau, cho nên có thể xem chúng như nằm trong hố, xung quanh có hàng rào thế năng (Hình vẽ X-7). Do hiệu Kích thước hn ứng đường ngầm nên hạt α (gồm có hai hạt p và hai hạt n kết hợp), mặc dầu có năng lượng Hình X-7 thấp hơn chiều cao của hàng rào, vẫn có thể bay ra khỏi hạt nhân (hiện tượng phân rã α). 112
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành Bài tập chương X CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Bài tập mẫu 1: Tìm khối lượng của các lượng tử sau: (λ = 7. 10-7cm) a) Ánh sáng đỏ (λ = 0,25 A0) b) Tia Roentgen (λ = 1,24. 10-2A0) c) Tia γ Giải: Năng lượng E của mỗi lượng tử được tính theo công thức: E = h.ν Trong đó h = 6,62.10-34Js, ν là tần số của lượng tử. Gọi m là khối lượng của lượng tử , theo hệ thức Einstein ta có: E = mc2 Trong đó c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng chân không. Từ hai hệ thức trên ta hv suy ra: m= c2 1cc nhưng: ν= = = T cT γ h Do đó: m= λc a) Đối với ánh sáng đỏ λ = 7.10-7m, 6,62 .10 − 34 = 3,2.10-36 kg ta có: m= −7 8 7 .10 . 3.10 b) Đối với tia Roentgen: λ = 0,25 A0 = 0,25.10-10 m 6,62 .10 − 34 = 8,8.10-32 kg. ta có: m= − 10 8 0,25.10 . 3 .10 c) Đối với tia γ: λ = 1,24 . 10- 2A0 = 1,24.10-12 m, 6,62 .10 − 34 = 1,8.10-30 kg ta có: m= 1,24.10 − 12 . 3 .10 8 Bài tập mẫu 2: Xác định năng lượng, khối lượng và động lượng của photon nếu bước sóng của photon đó bằng λ = 0,016A0 Giải: E=? 0 -10 Cho: λ = 0,016A = 0,016.10 m Hỏi: m=? p=? 113
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành 6,62 .10 − 34. 3.10 8 hc = 1,2.10-12 J Ta có: E = hν = = λ −10 0,016 .10 6,62 .10 −34 h = 1,38.10-30 kg m= = λc − 10 8 0,016 .10 . 3.10 6,62 .10 −34 kg . m h = 4,1.10-22 p= = λ − 10 s 0,016 .10 Bài tập tự giải: 1. Hỏi hạt điện tử phải có vận tốc bằng bao nhiêu để động năng của nó bằng năng lượng của photon có bước sóng λ = 5.200A0. Đáp số: v = 9,2.105m/s 2. Hỏi năng lượng của photon phải bằng bao nhiêu để khối lượng của nó bằng khối lượng nghỉ của điện tử (Cho biết m = 9,11.10-31 kg) Đáp số: E = 0,51Mev Hướng dẫn: chú ý 1eV = 1,6.10-19J, 1MeV = 10-6eV 3. Hỏi điện tử phải có vận tốc bằng bao nhiêu để động lượng của nó bằng động lượng của photon có bước sóng bằng λ = 5.200A0. Đáp số: v = 1.400 m/s 4. Tìm bước sóng của: a) Điện tử có vận tốc 108 cm/s b) Một quả cầu có khối lượng 1g, vận tốc 1cm /s a) 7,3 A0 Đáp số: b) 6,6 . 10-29 m 5. Tìm vận tốc của các hạt sau đây biết bước sóng Đe Bröglie của chúng bằng 10A0: a) Điện tử . b) Hạt có khối lượng 1g a)7,3.105 m/s Đáp số: b) 6,62.102 m/s 6. Tìm bước sóng của điện tử có năng lượng bằng 1eV. Đáp số: λ = 12,3.10-7 m 114
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 3. NXBĐH và THCN năm 1998. 2. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG tập 3. NXBGD1996. 3. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 4. Nguyễn Phúc Thuần VẬT LÍ NGUYÊN TỬ VÀ HẠT NHÂN NXBGD năm 1997. 5. Lê Chấn Hùng, Lê Trọng Tường VẬT LÍ NGUYÊN TỬ VÀ HẠT NHÂN. NXBGD năm 1999. 6. DAVID HALLIDAY và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 7. DAVID HALLIDAY và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 115
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành CHƯƠNG XI VẬT LÝ NGUYÊN TỬ Trong chương này chúng ta sẽ vận dụng những kết quả của chương X để khảo sát quang phổ và đặc tính của các nguyên tử. Chúng ta biết rằng một nguyên tử gồm có: Hạt nhân mang điện tích dương, xung quanh hạt nhân có các điện tử chuyển động. Số điện tử chuyển động quanh hạt nhân là Z (Z chính là số thứ tự trong bảng tuần hoàn Menđêlêev); mỗi điện tử mang điện tích -e, điện tích tổng cộng của Z điện tử là -Ze. Điện tích của hạt nhân là +Ze. Toàn bộ nguyên tử là một hệ trung hoà về điện. 11.1. NGUYÊN TỬ HYDROGEN 11.1.1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG NGUYÊN TỬ HYDROGEN Nguyên tử hydrogen gồm một hạt nhân mang điện tích e và một điện tử mang điện tích e . Ta chọn hạt nhân làm gốc O của hệ trục toạ độ vuông góc xyz và đặt khoảng cách từ điện tử đến hạt nhân là r (Hình vẽ). Hàm số sóng ψ của điện tử sẽ là nghiệm của phương trình Schrödinger với thế năng tương tác giữa hạt nhân và điện tử: e2 . U =− 4πε o r z - Như vậy phương trình Schrödinger có dạng: 2m ⎛ e2 ⎞ ∆ψ + ⎟ψ = 0 ⎜E + h2 ⎜ 4πε o r ⎟ θ ⎝ ⎠ x Trong đó me là khối lượng của điện tử. + y Vì bài toán có tính đối xứng cầu, nên ϕ thuận tiện nhất ta giải bài toán này trong toạ Hình XI-1 độ cầu. Khi đó, hàm số sóng ψ là hàm số của các biến số r ,θ , ϕ : ψ = ψ (r ,θ , ϕ ) . Giải phương trình trên ta tìm được: ψ nlm (r ,θ , ϕ ) = Rn (r )Ylm (θ , ϕ ) , trong đó n, l, m là các số nguyên lấy các giá trị: n = 1, 2, 3,... l = 0, 1, 2,..., n - 1 (l ≤ n - 1) m = 0, ±1, ±2, ..., ± l (-l ≤ m ≤ l) 116
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành Rn (r ) là một hàm số của bán kính r và có dạng xác định ứng với mỗi giá trị e −αr xác định của n (XI-1). Rn ( r ) = (a1 + a 2 r 2 + ... + a n r n ) r me e 2 2m E Trong đó hằng số α: α = − +e2 = (XI-2). 4πε 0 nh 2 h Ylm (θ , ϕ ) là hàm số của các góc θ, ϕ và có dạng xác định ứng với giá trị l, m xác định. Từ đó ta rút ra biểu thức năng lượng của điện tử: 1 me .e 4 Rh E=− =− 2 n 8ε o h 2 22 n me .e 4 Với R = = 3,27.1015 s −1 chính là hằng số Rydberg, đã được xác định trong 8ε o h 3 2 thực nghiệm. 11.1.2. CÁC KẾT LUẬN VỀ NGUYÊN TỬ E∞ HYDROGEN Kết luận 1 Năng lượng của điện tử trong nguyên tử hydrogen phụ thuộc vào số nguyên n, như vậy năng E3 lượng biến thiên gián đoạn. Ta nói năng lượng bị lượng tử hoá. Số n gọi là số lượng tử chính. E2 Năng lượng E luôn luôn âm (E < 0). Khi n → ∝, năng lượng E → 0, nghĩa là năng lượng tăng theo E1 số lượng tử chính n. Mức năng lượng thấp nhất Hình XI-2 E1 = − 13,53eV ứng với n = 1. Từ đấy, các mức năng lượng lần lượt tăng lên theo thứ tự E2 , E3 ,... ứng với các số lượng tử chính n = 2, 3,... Sơ đồ năng lượng điện tử trong nguyên tử hydrogen được biểu diễn trên hình. Trong vật lý nguyên tử, người ta thường gọi trạng thái năng lượng: - E1 (n = 1) là trạng thái K (lớp K), - E2 (n = 2) là trạng thái L (lớp L), - E3 (n = 3) là trạng thái M (lớp M), - E4 (n = 4) là trạng thái N (lớp N)... Kết luận 2 Bây giờ ta giải thích sự cấu tạo các vạch của quang phổ hydrogen. Khi không có kích thích bên ngoài, điện tử bao giờ cũng ở trạng thái ứng với mức năng lượng thấp nhất E1 . Dưới tác dụng của kích thích bên ngoài (ví dụ điện trường), điện tử được tăng năng lượng. Điện tử sẽ chuyển dời từ trạng thái ứng với mức năng lượng E1 sang trạng thái ứng với mức năng lượng E n cao hơn. Trạng thái ứng với mức En được gọi là trạng thái kích thích. Điện tử chỉ 117
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành ở trạng thái kích thích trong thời gian ngắn (≈ 10-9s), sau đó trở về trạng thái ứng với mức năng lượng thấp hơn En . Trong quá trình chuyển mức năng lượng, điện tử sẽ toả năng lượng dưới dạng bức xạ điện từ, nghĩa là phát ra một photon mang năng lượng hν. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: E n − E n ' = hv Thay vào biểu thức tần số ta rút ra được biểu thức: E − En' ⎛1 1⎞ υ = R⎜ (XI- − 2⎟ = n 2 h ⎝ n' n⎠ 3). Biểu thức này cho phép ta xác định tần số của các vạch quang phổ phù hợp với biểu thức đã được xác định từ thực nghiệm. Kết luận 3 Ta có thể tính được năng lượng ion hoá của hydrogen nghĩa là năng lượng cần thiết làm điện tử bật ra khỏi nguyên tử. Năng lượng này bằng năng lượng cần thiết để đưa điện tử chuyển dời từ mức E1 lên tới mức E∞ = 0 . me .e 4 = 2,185.10 −18 J = 13,5eV W = 0 − E1 = 8ε o h 2 2 giá trị này phù hợp với thực nghiệm. Kết luận 4 Ta hãy xét điện tử ở lớp K (n = 1). Ở lớp này chuyển động của điện tử có tính đối xứng cầu xung quanh hạt nhân, nghĩa là hàm số sóng Ψ(r, θ, ϕ) chỉ phụ thuộc vào phần Rn (r ) . Như vậy ta chỉ cần để ý tới phần Rn (r ) . Theo trên thì ứng với n = 1, R(r) có dạng: R (r ) = a1e −αr Xác suất tìm thấy điện tử trong một lớp cầu bán kính r và r + dr, có thể tích dV = 4πr2dr, được cho bởi hệ thức: 2 R dV = a12 e −2αr 4πr 2 dr = 4πa12 f (r )dr F(r) với: f(r) = r2e-2αr. FM Sự phụ thuộc của xác suất vào r được biểu thị trên hình vẽ. Để tìm bán kính r tương ứng với xác suất cực đại, ta tính đạo hàm f(r) theo r: df (r ) r = 2r (1 − αr )e −2αr dr a 1 Đạo hàm này triệt tiêu khi r = 0 và r = . Hình XI-3 α Nhưng nghiệm r = 0 không phù hợp với ý nghĩa vật lý, vì điện tử không thể rơi vào hạt nhân. Do đó, xác suất cực đại 1 ứng với bán kính r = a = , nghĩa là: α 118
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành 4πε o h 2 1 (XI-4). = 0,53.10 −10 m = 0,53 Ao a= = α 2 me .e Ta nhận thấy, ở bất kỳ khoảng cách nào cũng đều có khả năng gặp điện tử, nhưng ở khoảng cách cách hạt nhân 0,53.10-10m khả năng gặp điện tử là lớn nhất. Như vậy, khái niệm quĩ đạo của một vi hạt trong cơ lượng tử trở thành vô nghĩa. Về mặt hình thức, ta có thể hình dung điện tử bao quanh hạt nhân như một “đám mây”; “đám mây” này dày đặc nhất ở khoảng cách 0,53.10- 10 m đối với hạt nhân. Khoảng cách này đúng bằng bán kính quĩ đạo của điện tử theo quan niệm cổ điển. Kết luận 5 Chúng ta biết rằng trạng thái lượng tử được biểu thị bởi hàm số sóng ψ . Nhưng theo trên hàm số sóng ψ phụ thuộc vào các số n, l, m nghĩa là khi n, l, m lấy các giá trị khác nhau, hàm số sóng ψ sẽ có dạng khác nhau. Theo các điều kiện của n, l, m: ứng với mỗi trị số của n số nguyên l có n giá trị khác nhau, và với mỗi trị số của l lại có 2l + 1 giá trị khác nhau của m. Như vậy, với mỗi giá trị số của n ta có thể có: n −1 ∑ (XI-5). (2l + 1) = n 2 l =0 Mặt khác, năng lượng E chỉ phụ thuộc vào số lượng tử chính n. Do đó, ứng với mỗi mức năng lượng En có n2 trạng thái lượng tử. Ta nói rằng mức năng lượng En suy biến bậc n2. 11.1.3. QUANG PHỔ NGUYÊN TỬ HYDROGEN. Nếu ta làm cho khí hydrogen phát sáng (bằng cách phóng điện qua một ống đựng khí hydrogen ở áp suất thấp) rồi phân tích ánh sáng đó bằng một kính quang phổ (Hình vẽ XI-4), ta sẽ được một quang phổ vạch nghĩa là một hệ các vạch màu, những nét nổi bật trên nền đen. Trong quang phổ, người ta phân loại tập hợp các vạch này thành những dãy khác nhau. H2 Dãy Liman P1 Gồm những vạch có bước E L P sóng nằm trong vùng tử ngoại. Hình XI-4 Tần số của các vạch quang phổ trong dãy này tuân theo công thức: ⎛1 1⎞ − 2 ⎟ với n = 2, 3, 4,...,∞ υ = R⎜ 2 ⎝1 n ⎠ trong đó R = 3,27 . 1015 s-1 được gọi là hằng số Rydberg. Dãy Balmer 119
Giáo trình Vật lý 2 ThS. Trương Thành Gồm các vạch có bước sóng nằm trong vùng ánh sáng trông thấy. Tần số của các vạch quang phổ trong dãy này tuân theo công thức: ⎛1 1⎞ − 2 ⎟ với n = 3, 4, 5,...,∞ ν = R⎜ 2 ⎝2 n⎠ Dãy Paschen Gồm các vạch có tần số tuân theo công thức: ⎛1 1⎞ − 2 ⎟ với n = 4, 5, 6,...,∞ ν = R⎜ 2 ⎝3 n⎠ Dãy Bracket Gồm các vạch có tần số theo công thức: ⎛1 1⎞ − 2 ⎟ với n = 5, 6, 7,...,∞ ν = R⎜ 2 ⎝4 n⎠ Dãy Pfund E Gồm các vạch có tuần số tuân theo công thức: 0 E∞=0 ⎛1 1⎞ ν = R⎜ 2 − 2 ⎟ với n = 6, 7, ⎝5 n⎠ E5 8,...,∞ Các vạch trong dãy E4 Paschen, Bracket, Pfund nằm trong vùng hồng ngoại. Các công thức tính tần Bracke số các vạch trong các dãy ta t E3 viết ở trên có thể viết dưới Pasche dạng một công thức tổng quát: n ⎛1 1⎞ E2 ν = R⎜ (XI- 6). − 2⎟ 2 ⎝ n' n⎠ Balmer - Khi n’ = 1 ta có công thức tính tần số các vạch E1=1 trong dãy Liman Liman 3,53 - n’ = 2 ta có công thức Hình. XI-5 eV tính tần số các vạch trong dãy Balmer - v.v... Các kết quả thực nghiệm này có thể giải thích được bằng cơ học lượng tử . 120

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.