zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Khoa học tự nhiên

Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chia sẻ: Tran Khanh Nhat | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Báo xấu

792
lượt xem 112
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Hệ phương trình vi phân tuyến tính tập hợp các bài tập về hệ phương trình vi phân tuyến tính có hướng dẫn giải và đáp số chi tiết, thuận tiện cho sinh viên theo dõi, tự kiểm tra kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Tiểu luận phương pháp toán lý HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH x ' = 4x − 4 y Bài tập1: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau   y ' = 3x − 3 y Lời giải: Phương trình đặc trưng là: 4− λ −4 det( A − λ I ) = = (4 − λ )( − 3 − λ ) + 12 = λ (λ − 1) = 0 ⇒ λ = 0 ∨ λ = 1 3 −3 − λ • Với λ = 0 , ta có phương trình vectơ riêng là:  4 − 4  b1   0   4b1 − 4b2   0   m ( A − λ I )b = 0 ⇔  = ⇔  3b − 3b  =  0  ⇒ b =  m  với m là hằng số.  3 − 3  b2   0       1 2     1 Chọn vectơ riêng là b=   1  • Với λ = 1 , ta có phương trình vectơ riêng là:  3 − 4  b1   0   3b1 − 4b2   0  4m  ( A − λ I )b = 0 ⇔  = ⇔  3b − 4b  =  0 ⇒ b =  3m  với m là hằng số.  3 − 4  b2   0       1 2     4 Chọn vectơ riêng là b=   3   1  4 Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: v (t ) = c1   e + c2   e 0t 1t 1  3 x = c1 + 4c2et Hay:  y = c1 +3c2e t Học viên: Đỗ Viết Ơn 1
Tiểu luận phương pháp toán lý  x ' = 2x − 4 y Bài tập2: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau   y ' = 3x − 2 y Với x(0) = 1 và y(0) = 0. Lời giải: Phương trình đặc trưng là: 2 − λ −4  det( A − λ I ) =   = (2 − λ )( − 2 − λ ) + 12 = λ − 16 = 0 ⇒ λ = 4 ∨ λ = − 4 2  3 −2 − λ  • Với λ = 4 , ta có phương trình vectơ riêng là:  − 2 − 4   b1   0   − 2b1 − 4b2   0   2m  ( A − λ I )b = 0 ⇔    =   ⇔  3b − 6b  0 =   ⇒ b =   với m là hằng số.  3 − 6   b2   0   1 2    m   2 Chọn vectơ riêng là b =   1  • Với λ = − 4 , ta có phương trình vectơ riêng là:  − 6 − 4   b1   0   − 6b1 − 4b2   0   2m  ( A − λ I )b = 0 ⇔   =   ⇔  3b + 2b  0 =  ⇒b=   với m là hằng  3 2   b2   0   1 2     − 3m  s ố. 2 Chọn vectơ riêng là b =   −3  2  2  −4 t Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là v(t) = c1   e + c2  4t e 1 − 3    x = 2c1e 4t + 2c2 e −4 t Hay  −4 t  y = c1e − 3c2 e 4t Điều kiện: x(0) = 1 và y(0) = 0, ta có: Học viên: Đỗ Viết Ơn 2
Tiểu luận phương pháp toán lý  1  3 c1 = − c2  c1 =  x(0) = 2c1 + 2c2 = 1  2  8  ⇒ ⇒  y (0) = c1 − 3c2 = 0  1 − c − 3c = 0 c = 1 2 2  2  2 8   3 1  x = e 4 t + e −4 t  4 4 Vậy nghiệm tổng quát của hệ là:   y = 3 e 4 t − 3 e −4 t   8 8 Bài tập3: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau  x1  =  2 3  x1  '  '     x2   − 3 2  x2  Lời giải: Phương trình đặc trưng là: 2 − λ 3  det( A − λ I ) =   = (2 − λ ) + 9 = 0 ⇔ (2 − λ ) = i 9 ⇒ λ = 2 + 3i ∨ λ = 2 − 3i 2 2 2  −3 2 − λ  • Với λ = 2 + 3i , ta có phương trình vectơ riêng là  − 3i 3   b1   0   − 3ib1 + 3b2   0  m  ( A − λ I )b = 0 ⇔  = ⇔  − 3b − 3ib  =  0  ⇒ b =  im  với m là hằng số.  − 3 − 3i   b2   0       1 2     1 Chọn vectơ riêng là b =   i  Ta có λt 1  e2t cos3t + ie 2t sin 3t   e 2t cos3t   e 2t sin 3t  e b =   e(2+ 3i )t =  2t =  +i  i  − e sin 3t + ie 2t cos3t   − e 2t sin 3t   e 2t cos3t  Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:  e2t cos3t   e2t sin 3t  V (t ) = c1  2t  + c2  2t   − e sin 3t   e cos3t  Học viên: Đỗ Viết Ơn 3
Tiểu luận phương pháp toán lý Bài tập4: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau '  x1   1 2 0   x1        x2  =  − 1 − 1 0   x2   x   1 0 − 1  x   3   3 Lời giải: Phương trình đặc trưng là: 1 − λ 2 0  det( A − λ I ) =  −1 − 1 − λ  0  = (1 − λ 2 )(1 + λ ) + 2(1 + λ ) = 0 ⇔ (1 + λ )(λ 2 − 1) = 0   1  0 −1 − λ   ⇒ λ = i ∨ λ = −i ∨ λ = −1 • Với λ = i , ta có phương trình vectơ riêng là 1 − i 2 0   b1   0  (1 − i )b1 + 2b2 + 0b3   0   (1 − i)m  ( A − λ I )b = 0 ⇔  − 1 − 1 − i  0   b2  =  0  ⇔      − 1b + ( − 1 − i)b + 0b  =  0  ⇒ b =  − m   1 2 3      1  0 − 1 − i   b3   0      1b1 + 0b2 + (− 1 − i)b3   0       m    với m là hằng số. (1 − i)    Chọn vectơ riêng là b =  −1   1    Ta có  (1 − i )   cos t + i sin t − i cos t + sin t   cos t + sin t   sin t − cos t  eλ t b =  − 1  eit =     − cos t − i sin t  =  − cos t  + i  − sin t        1      cos t + i sin t   cos t   sin t       • Với λ = − 1 , ta có phương trình vectơ riêng là: Học viên: Đỗ Viết Ơn 4
Tiểu luận phương pháp toán lý  2 2 0  b1   0  2b1 + 2b2 + 0b3   0  0m  ( A − λ I )b = 0 ⇔  − 1 0 0   b2  =  0  ⇔       −1b + 0b + 0b  =  0  ⇒ b =  0m   1 2 3      1 0 0  b3   0       1b1 + 0b2 + 0b3   0      1m    với m là hằng số. 0    Chọn vectơ riêng là b = 0  1    Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:  cos t + sin t  sin t − cos t  0  − cos t  + c  − sin t  + c  0  V (t ) = c1   2  3   cos t     sin t    1    Bài tập5: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau '  x   3 2  x   e2t   y  = 1 2  y  +  2t         2e  Lời giải: '  x  3 2   x  Hệ phương trình thuần nhất có dạng:   =     y  1 2   y  Phương trình đặc trưng là: 3 − λ 2  det( A − λ I ) =   = (3 − λ )(2 − λ ) − 2 = λ − 5λ + 4 = 0 ⇒ λ = 4 ∨ λ = 1 2  1 2− λ • Với λ = 4 , ta có phương trình vectơ riêng là Học viên: Đỗ Viết Ơn 5
Tiểu luận phương pháp toán lý  − 1 2   b1   0   − 1b1 + 2b2   0  2m  ( A − λ I )b = 0 ⇔    b  =  0  ⇔  b − 2b  =  0  ⇒ b =  m  với m là hằng  1 − 2  2     1 2      số.  2 Chọn vectơ riêng là b =   1  • Với λ = 1 , ta có phương trình vectơ riêng là  2 2   b1   0   2b1 + 2b2   0  m  ( A − λ I )b = 0 ⇔    b  =  0  ⇔  b + b  =  0  ⇒ b =  − m  với m là hằng số.  1 1  2     1 2      1  Chọn vectơ riêng là b=    − 1 Ta tìm được các nghiệm riêng của hệ phương trình thuần nhất là: 2  1  V1 (t ) =   e 4t V2 (t ) =   et 1  , −1 Do đó ma trận cơ sở là 2e 4t et  Φ =  4t  e −et   u1   2e4t et   u1'   e 2t   2e 4t u1' + et u2   e 2t  ' Đặt U =   ⇒ Φ U = F ⇔  ' =   ⇔  4t ' t '  =  2 t  '  4t  u2   e − e t   u 2   2e 2 t   e u1 − e u2   2e   1 −2 t u1 = e −2 t ' u1 = − e Giải hệ ta có:  ' ⇒ 2 u2 = −et  u2 =−et  Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: Học viên: Đỗ Viết Ơn 6
Tiểu luận phương pháp toán lý  1   2e 4t c1 + et c2 − 2e 2t   2e 4t e  t c1   2e4t et   − e−2t    V (t ) = cΦ + Φ U =  4t t  +  4t t 2 = e − e   c2   e −e    e4t c1 − et c2 + 1 e 2t   −e   t  2   Bài tập6: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau '  x   1 1  x   −3e 2t   y  =  −2 3  y  +  2t        e  Với x(0) = 0 và y(0) = 0. Lời giải: '  x   1 1  x  Hệ phương trình thuần nhất có dạng:   =     y  −2 3  y  Phương trình đặc trưng là: 1 − λ 1   = (1 − λ )(3 − λ ) + 2 = λ − 4λ + 5 = ( λ − 2 ) + 1 = 0 ⇔ ( λ − 2 ) = i 2 2 det( A − λ I ) =  2 2  −2 3 − λ   λ−2=i λ = 2 + i ⇒ ⇒ λ − 2 = −i λ = 2 − i • Với λ = 2 + i , ta có phương trình vectơ riêng là Học viên: Đỗ Viết Ơn 7
Tiểu luận phương pháp toán lý  − 1 − i 1   b1   0   (− 1 − i )b1 + 1b2   0  m  ( A − λ I )b = 0 ⇔    =   ⇔  − 2b + (1 − i )b  0= ⇒b=   − 2 1 − i   b2   0   1 2    (1 + i )m  với m là hằng số. 1  Chọn vectơ riêng là b =   1 + i  Ta có λt 1   e2t (cos t + i sin t )   e2t cos t + ie2t sin t  e b =   e(2+ i )t =  2t  =  2t  1 + i   e (cos t + i sin t ) + ie (cos t + i sin t )   e (cos t − sin t ) + ie (sin t + cos t )  2t 2t  e2t cos t   e2t sin t  =  2t  + i   e (cos t − sin t )   e2t (sin t + cos t )  Do đó ma trận cơ sở là:  e 2t cos t e 2t sin t  Φ =  2t   e (cos t − sin t ) e (sin t + cos t )  2t  1 u Đặt U =   ⇒ U = F Φ ' u  2  e2t cos t e2t sin t   u1'   − 3e2t   e2t cos tu1' + e2t sin tu2'   − 3e2t  ⇔  2t   '  =  2t  ⇔  2t =   e (cos t − sin t ) e (sin t + cos t )   u2   e  2t  e (cos t − sin t )u1' + e2t (sin t + cos t )u2'   e 2t   u1' = − 4sin t − 3cos t  u1 = 4cos t − 3sin t Giải hệ ta có:  ' ⇒  u2 = 4 cos t − 3sin t  u2 = 4sin t + 3cos t Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: Học viên: Đỗ Viết Ơn 8
Tiểu luận phương pháp toán lý  e 2t cos t e2t sin t   c1   e 2t cos t e 2t sin t   4cos t − 3sin t  V (t ) = cΦ + Φ U =  2t    +  2t    e (cos t − sin t ) e (sin t + cos t )   c2   e (cos t − sin t ) e (sin t + cos t )   4sin t + 3cos t  2t 2t  e2t cos tc1 + e2t sin tc2 + 4e2t  =  2t 2t   e (cos t − sin t )c1 + e (cos t + sin t )c2 + 7e  2t Hay  x = e 2t cos tc1 + e 2t sin tc2 + 4e 2t   y = e (cos t − sin t )c1 + e (cos t + sin t )c2 + 7e 2t 2t 2t Với x(0) = 0 và y(0) = 0 ta có:  x = c1 + 0c2 + 4 = 0  c1 = −4  ⇒  y = c1 + c2 + 7 = 0 c2 = −3  x = − 4e2t cos t − 3e 2t sin t + 4e 2t Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:   y = − 7e cos t + e sin t + 7e 2t 2t 2t Bài tập7: Hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau  x1'' − 2 x1 − 3x2 = 0    x1 + x2 + 2 x2 = 0 ''  Lời giải: u = x1' u ' = x1'' Đặt  ⇒ ' thì hệ đã cho viết thành: v = x2 ' v = x2 '' '  x1   0 0 1 0   x1  x   0 0 0 1   x2   2 =    u   2 3 0 0  u        v  −1 −2 0 0  v  Học viên: Đỗ Viết Ơn 9
Tiểu luận phương pháp toán lý Phương trình đặc trưng là: −λ 0 1 0   0 −λ 0 1  det( A − λ I ) =   = λ 4 − 1 = 0 ⇒  λ = ±1   2 3 −λ 0   λ = ±i    −1 −2 0 − λ  • Với λ = 1 , ta có phương trình vectơ riêng là: −1 0 1 0   b1   0  − 1b1 + 0b2 + 1b3 + 0b4   0  − 3m 0 −1 0 1   b2   0   =  ⇔  0b − 1b + 0b + 1b   0  1 2 4     ⇒ b =  1m   ( A − λ I )b = 0 ⇔  3 = 2 3 −1 0   b3   0  2b1 + 3b2 − 1b3 + 0b4   0  − 3m            −1 −2 0 − 1  b4   0  − 1b1 − 2b2 + 0b3 − 1b4   0  1m  với m là hằng số. −3 1 Chọn vectơ riêng là b =   −3   1 • Với , ta có phương trình vectơ riêng là: λ = −1 1 0 1 0   b1   0   1b1 + 0b2 + 1b3 + 0b4   0   3m  0 1 0 1   b2   0    =   ⇔  0b + 1b + 0b + 1b   0   1 2 4      ⇒ b =  − 1m  ( A − λ I )b = 0 ⇔  3 = 2 3 1 0   b3   0  2b1 + 3b2 + 1b3 + 0b4   0   − 3m             −1 −2 0 1   b4   0   − 1b1 − 2b2 + 0b3 + 1b4   0   1m  với m là hằng số. 3  −1 Chọn vectơ riêng là b=   −3   1 • Với λ = i , ta có phương trình vectơ riêng là: Học viên: Đỗ Viết Ơn 10
Tiểu luận phương pháp toán lý  − i 0 1 0   b1   0  − ib1 + 0b2 + 1b3 + 0b4   0  − im   0 − i 0 1   b   0  0b − ib + 0b + 1b   0   ( A − λ I )b = 0 ⇔    2 =   ⇔  1 2 3 4  =   ⇒ b =  im   2 3 − i 0   b3   0   2b1 + 3b2 − ib3 + 0b4   0  1m              − 1 − 2 0 − i   b4   0   − 1b1 − 2b2 + 0b3 − ib4   0  − 1m  với m là hằng số.  −i  i  Chọn vectơ riêng là b =   1    −1 Ta có  −i   sin t − i cos t   sin t   − cos t  i       λt e b=   eit =  − sin t + i cos t  =  − sin t  + i  cos t  1  cos t + i sin t   cos t   sin t           − 1  − cos t − i sin t   − cos t   − sin t  Do đó ta có ma trân cơ sở là: −3et 3e −t sin t − cos t   t −t  e −e − sin t cos t  Φ( t ) =  −3et −3e −t cos t sin t   t −t   e e − cos t − sin t  Ta có nghiệm tổng quát là:  −3et 3e− t sin t − cos t   c1   t   e − e− t − sin t cos t   c2  X ( t) =  t  −3e −3e − t cos t sin t   c3   t    e e−t − cos t − sin t   c4  Từ đây giải theo x1, x2 ta được: Học viên: Đỗ Viết Ơn 11
Tiểu luận phương pháp toán lý  x1 = − 3c1et + 3c2e − t + c3 sin t − c4cost  −t  x2 = c1e − c2e − c3 sin t + c4 cost t Học viên: Đỗ Viết Ơn 12

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học

207 tài liệu

1474 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.