ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 ĐIỆN BIÊN 2018-2019
Câu 1: (6,0 điểm)
1. Cho hàm số
2 3
( )
1
−
=
−
x
y C
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1 0
− − =
d x y
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a
đồ
th
ị
( )
C
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó song song v
ớ
i d.
2.
Tìm
để
hàm s
ố
(
)
3 2 2
3 3 1 2
= − + − + +
y x mx m x m
đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
2;
+∞
.
Câu 2: (4,0 điểm)
1.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
4 4
2sin
sin cos
2 2
=
+
x
f x
x x
.
2.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
( )
3 3 2 2
3 2 2 15 10 0 ;
2 3 2 2
− − − + + − =
∈
− + − = −
ℝ
x y x y y x x y
y x x
.
Câu 3: (4,0 điểm)
1.
G
ọ
i
S
là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các s
ố
t
ự
nhiên có 5 ch
ữ
s
ố
khác nhau
đượ
c ch
ọ
n t
ừ
các s
ố
0;1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8;9
. Xác
đị
nh s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
S
. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t s
ố
t
ừ
S
,
tính xác su
ấ
t
để
s
ố
đượ
c ch
ọ
n là s
ố
ch
ẵ
n.
2.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
cho hai
đ
i
ể
m
(
)
(
)
0;9 , 3;6
A B
. G
ọ
i
D
là mi
ề
n nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 0
6 3 5 0
− + ≤
+ + ≥
x y a
x y a . Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a
a
để
⊂
AB D
.
Câu 4: (4,0 điểm)
1.
Cho hình chóp
SABC
. Trên các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
, ,
SA SB SC
l
ầ
n l
ượ
t l
ấ
y các
đ
i
ể
m
', ', '
A B C
khác
v
ớ
i
đ
i
ể
m
S
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
.
. ' ' '
. .
' ' '
=
S ABC
S A B C
V
SA SB SC
V SA SB SC
2.
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u
.
S ABCD
, có
, 3
= =
AB a SA a
. G
ọ
i
O
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AC
và
BD
,
G
là tr
ọ
ng tâm tam giác
SCD
.
a) Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
. .
S OGC
b) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
G
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
SBC
.
c) Tính cosin góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
SA
và
BG
.
Câu 5: (2,0 điểm)
1.
Cho ph
ươ
ng trình
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2 1 6 1 0 1
+ + − + − − =m x x x m x
. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ph
ươ
ng trình
(
)
1
có nghi
ệ
m th
ự
c.
2.
Cho
đ
a th
ứ
c
(
)
4 3 2
1
= + + + +
f x x ax bx ax
có nghi
ệ
m th
ự
c. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2
4 1 0
+ − + >
a b b
.
HDG
Câu 1: (6,0 điểm)
1.
Cho hàm s
ố
2 3
( )
1
−
=
−
x
y C
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1 0
− − =
d x y
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a
đồ
th
ị
( )
C
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó song song v
ớ
i d.
2.
Tìm
để
hàm s
ố
(
)
3 2 2
3 3 1 2
= − + − + +
y x mx m x m
đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
2;
+∞
.
T
ậ
p xác
đị
nh:
.
ℝ
Lời giải
1.
: 1 0 : 1
− − = ⇒ = − ⇒
d x y d y x
d có h
ệ
s
ố
góc
1.
=
d
k
Xét hàm s
ố
2 3
( )
1
−
= =
−
x
y f x
x
:
+ T
ậ
p xác
đị
nh
{
}
\ 1 .
=
ℝ
D
+
(
)
/
2
1
( ) , x 1.
1
= ∀ ≠
−
f x
x
G
ọ
i
∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
( )
C
t
ạ
i
0
0
0
2 3
x ;
1
−
−
x
Mx thì
∆
:
/0
0 0
0
2 3
( )( )
1
−
= − +
−
x
y f x x x x
+ Gi
ả
s
ử
/ /
∆
d
ta
đượ
c
(
)
0
/
02
0
0
0
1
( ) 1
2
1
=
= ⇔ = ⇔
=
−
d
x
f x k x
x
.
+ Th
ử
l
ạ
i:
0
0 : 3
= ⇒ ∆ = +
i
x y x th
ỏ
a mãn
/ /
∆
d
.
0
2 : 1
= ⇒ ∆ = − ⇒
i
x y x
.
∆ ≡
d
Tr
ườ
ng h
ợ
p này không th
ỏ
a mãn.
V
ậ
y có
đ
úng m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
( )
C
th
ỏ
a
đề
,
đ
ó là
: 3.
∆ = +
y x
2.
2/ 2
3 6 3( 1), x
= − + − ∀ ∈
ℝ
y x mx m
/
1
0
1
= −
= ⇔
= −
x m
yx m : Hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t v
ớ
i m
ọ
i
.
m
B
ả
ng bi
ế
n thiên
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên
(
)
(
)
(
)
2; 2; 1; 1 2 1.
+∞ ⇔ +∞ ⊂ + +∞ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
m m m
V
ậ
y m c
ầ
n tìm là
1.
≤
m
Câu 2: (4,0 điểm)
1.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
4 4
2sin
sin cos
2 2
=
+
x
f x
x x
.
2.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
( )
3 3 2 2
3 2 2 15 10 0 ;
2 3 2 2
− − − + + − =
∈
− + − = −
ℝ
x y x y y x x y
y x x
.
Lời giải
1.
Ta có
2
4 4 2 2 2
1 2 sin
sin cos 1 2sin cos 1 sin 0, .
2 2 2 2 2 2
−
+ = − = − = ≠ ∀
x x x x x
x x
Cách 1:
Khi
đ
ó
( )
2
2 2
4sin 8
4
2 sin 2 sin
= = −
− −
x
f x
x x
.
Vì
2 2
0 sin 1 1 2 sin 2
≤ ≤ ⇒ ≤ − ≤
x x
nên
2
8
4 8
2 sin
≤ ≤
−
x
. Do
đ
ó
(
)
0 4
≤ ≤
f x
.
Ta có
(
)
(
)
2
0 sin 0 sin 0
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
ℤ
f x x x x k k
π
,
( ) ( )
2
4 sin 1 sin 1 2
2
= ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈
ℤ
f x x x x k k
π
π
.
V
ậ
y giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
(
)
f x
là 0
đạ
t
đượ
c khi
(
)
= ∈
ℤ
x k k
π
,
giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
(
)
f x
là 4
đạ
t
đượ
c khi
( )
2
2
= ± + ∈
ℤ
x k k
π
π
.
Cách 2: Đặ
t
2
sin
=
x t
,
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
[
]
0;1
∈
t
2.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
3
2
≤
≤
x
y.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3
2 3 2 1 3 1 1
− + − = − + −x x y y
y
2
y
1
+∞
-∞
++
_
0
0
+∞
-∞m+1
m-1
y
y'
x
Xét hàm s
ố
(
)
3
3 ,
= + ∈
ℝ
f t t t t
.
Khi
đ
ó ta có
(
)
' 2
3 3 0,
= + > ∀ ∈
ℝ
f t t t
. Do
đ
ó
(
)
f t
là hàm
đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
.
Nên ph
ươ
ng trình
(
)
1
tr
ở
thành
(
)
(
)
2 1
− = −
f x f y
2 1 1
⇔ − = − ⇔ = −
x y y x
.
Thay
1
= −
y x
vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai ta
đượ
c:
2 3 2 2 3 1
− = − ⇔ − = −
x x x x
2
1
3 2 1
≥
⇔
− = − +
x
x x x
1
2
2
1
≥
⇔ ⇔ =
=
= −
x
x
x
x
V
ớ
i
2
=
x
thì
1
=
y
(th
ỏ
a mãn).
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
(
)
(
)
; 2;1
=
x y
.
Câu 3: (4,0 điểm)
1.
G
ọ
i
S
là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các s
ố
t
ự
nhiên có 5 ch
ữ
s
ố
khác nhau
đượ
c ch
ọ
n t
ừ
các s
ố
0;1; 2; 3; 4;5;6; 7;8;9
. Xác
đị
nh s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
S
. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t s
ố
t
ừ
S
, tính xác su
ấ
t
để
s
ố
đượ
c ch
ọ
n là s
ố
ch
ẵ
n.
2.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
cho hai
đ
i
ể
m
(
)
(
)
0;9 , 3;6
A B
. G
ọ
i
D
là mi
ề
n nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 0
6 3 5 0
− + ≤
+ + ≥
x y a
x y a . Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a
a
để
⊂
AB D
.
Lời giải
1.
S
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p
S
là
(
)
9.9.8.7.6 27216.
= =
n S
G
ọ
i s
ố
ch
ẵ
n thu
ộ
c t
ậ
p
S
có d
ạ
ng
(
)
0
≠
abcde a .
N
ế
u
{
}
2;4; 6;8
∈
e
, tr
ườ
ng h
ợ
p này ta có:
8.8.7.6.4 10752
=
s
ố
.
N
ế
u
0
=
e
, tr
ườ
ng h
ợ
p này ta có:
9.8.7.6 3024
=
s
ố
.
V
ậ
y xác su
ấ
t c
ầ
n tìm là:
10752 3024 13776 41
.
27216 27216 81
+
= = =P
2.
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
: 9 0.
+ − =
AB x y
Trường hợp 1:
N
ế
u
AB
là
đườ
ng th
ẳ
ng.
Xét h
ệ
2
5 6 3
≤− +
≥− −
a x y
a x y
.
D
ễ
th
ấ
y
đ
i
ể
m
(
)
2;7
∈
C AB
nh
ư
ng
∉
C D
vì
1212
.
3333
5102
≤−
≤−
⇔ ⇔ ∈
≥−≥−
aa
a
aa
φ
Trường hợp 2:
N
ế
u
AB
là
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng. Ta thay
[
]
(
)
9 0;3
= − ∈
y x x
vào h
ệ
2
5 6 3
≤− +
≥− −
a x y
a x y
ta được
( )
9 3 3 27 9 3 *
3 27 5
5
≤ −
− −
⇒ ≤ ≤ −
− −
≥
a x xa x
x
a
( )
*
đ
úng v
ớ
i
[ ]
0;3∀ ∈x
27 0
5
⇔ − ≤ ≤a
.
V
ậ
y
27 0
5
− ≤ ≤a
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Câu 4: (4,0 điểm)
1.
Cho hình chóp
SABC
. Trên các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
, ,SA SB SC
l
ầ
n l
ượ
t l
ấ
y các
đ
i
ể
m
', ', 'A B C
khác
v
ớ
i
đ
i
ể
m
S
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
.
. ' ' '
. .
' ' '
=
S ABC
S A B C
VSA SB SC
V SA SB SC
2.
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u
.S ABCD
, có
, 3= =AB a SA a
. G
ọ
i
O
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
AC
và
BD
,
G
là tr
ọ
ng tâm tam giác
SCD
.
a) Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
. .S OGC
b) Tính kho
ả
ng cách t
ừ
G
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
SBC
.
c) Tính cosin góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
SA
và
BG
.
Lời giải
1.
G
ọ
i
, 'H H
l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
, 'A A
trên
( )SBC
.
Ta có
' '
=
AH SA
AH SA
1. .sin
2
=
SBC
S SB SC BSC
;
' '
1'. '.sin
2
=
SB C
S SB SC BSC
Khi
đ
ó
. .
1 1
. . . .sin
3 6
= = =
S ABC A SBC SBC
V V AH S AH SB SC BSC
. ' ' ' '. ' ' ' '
1 1
' '. ' '. '. '.sin
3 6
= = =
S A B C A SB C SB C
V V A H S A H SB SC BSC