COÂNG THÖÙC TÍCH PHAÂN
COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN COÂNG THÖÙC MÔÛ ROÄNG
∫
+=
Cxdx
C
x
dxx
+
+
=
∫
+
1
1
α
α
α
∫
+=
Cx
x
dx ln
( )
C
n
bax
a
dxbax
n
n
+
+
+
=+
+
∫
1
1
)(
1
∫
+=
Cedxe
xx
∫
+=
C
a
a
dxa
x
x
ln
∫+=
Cxdxx sin.cos
;
∫
+=
Cnx
n
dxnx sin
1
).(cos
;
∫
+−=
Cnx
n
dxnx cos
1
.sin
∫ ∫
+=+=
Ctgxxtgdx
x)1(
cos
1
2
2
∫ ∫
+−=+=
Cgxgxdx
xcot)cot1(
sin
1
2
2
∫
+=
Cudu
C
u
duu
+
+
=
∫
+
1
1
α
α
α
∫++=
+
Cbax
a
dx
bax ln
1
)(
1
C
un
dxudx
u
n
n
n
+
−
−==
−
−
∫ ∫
1
).1(
11
∫
+=
++
Ce
a
dxe
baxbax
1
;
C
u
a
dua
u
u
+=
∫
ln
∫
++−=+
Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(
∫
++=+
Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(
∫ ∫
+==
Cu
u
du
dx
u
uln
'
;
∫
+=
Cudx
u
u2
'
;
∫
+−=
C
u
dx
u
u1'
2
CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I/ COÂNG THÖÙC NEWTON –LEPNIC:
)()()()( aFbFxFxf
b
a
b
a
−==
∫
II/ PP ÑOÅI BIEÁN :
DAÏNG I :
∫ ∫
=
b
a
dxxxfdxxf
β
α
ϕϕ
).(')).(().(
; Vôùi
βϕαϕ
==
)(;)( ba
* Caùch laøm : Ñaët t =
)(x
ϕ
. Ñoåi caän .
+ Laáy vi phaân 2 veá ñeå tính dx theo t & tính dt .
+ Bieåu thò : f(x).dx theo t & dt .(f(x)dx= g(t) dt )
DAÏNG II : Ñaët x =
)(t
ϕ
. (Töông töï treân ).
III/ PP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN :
* Caùch laøm :bieåu dieãn f(x)dx veà daïng tích u.dv = u.v’dx.
+ choïn u sao cho du deã tính .
+ chon dv sao cho deã tính v =
∫
dv
.
+ aùp duïng ct .
I =
∫∫
=
β
α
dttgdxxf
b
a
).().(
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duvvudvu ...
DAÏNG I :
∫
b
a
ax
dx
e
tgax
ax
ax
xp cos
sin
).(
;Thì ñaët u = p(x) : ña thöùc ; dv =
ax
e
tgax
ax
ax
cos
sin
dx suy ra v .
DAÏNG II :
∫
b
a
dxxxp .ln).(
; Thì ñaët u = lnx ; dv = p(x).dx
MOÄT SOÁ DAÏNG TÍCH PHAÂN THÖÔØNG GAËP
I/ Tích Phaân haøm Höõu Tæ :
I =
∫
b
a
dx
xQ
xP
)(
)(
; * Caùch laøm :
Löu yù CT:
∫+=
+
bax
a
dx
bax ln
1
)(
1
Neáu baäc töû nhoû hoûn baäc maãu :
1
).1(
11
−
−
−=
∫
nn
un
dx
u
+ Phaân tích:
cbxax
DCx
x
B
x
A
xQ
xP
++
+
+
−
+
−
=
22
)(
)(
)(
β
α
+ Ñoàng nhaát 2 veá ñaúng thöùc tìm A,B,C,D vaø ñöa veà t/phaân cô baûn
Neáu baäc töû lôùn hôn maãu thì chia ña thöùc vaø ñöa veà daïng treân .
II/ Tích Phaân Haøm Löôïng Giaùc :
1.
∫
b
a
xdxxf cos).(sin
; Ñoåi bieán t = sinx . 2.
∫
b
a
xdxxf sin).(cos
; Ñoåi bieán t = cosx .
3.
∫
b
a
dxtgxf )(
; Ñoåi bieán t = tgx .
4.
∫
b
a
nn
dxxxf )cos,(sin
22
;Duøng CT haï baäc :
−
=
+
=
2
2cos1
sin
2
2cos1
cos
2
2
x
x
x
x
5.
∫
b
a
dxbxax .cos.sin
; Duøng CT :
( ) ( )
[ ]
BABABA
−++=
sinsin
2
1
cos.sin
∫
b
a
dxbxax .sin.sin
;
( ) ( )
[ ]
BABABA
+−−=
coscos
2
1
sin.sin
∫
b
a
dxbxax .cos.cos
;
( ) ( )
[ ]
BABABA
−++=
coscos
2
1
cos.cos
6.
∫
+
b
a
xbxa
dx
sincos
; Ñoåi bieán t =
2
x
tg
. Thì sinx =
2
1
2
t
t
+
; cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
.
III/ Tích Phaân Haøm Voâ Tæ :
Daïng 1.
∫
+
+
b
a
n
dx
dcx
bax
xf ).,(
;Ñoåi bieán t =
n
dcx
bax
+
+
giaûi tìm x =
)(t
ϕ
.Tính dx theo dt
Daïng 2.
∫
−
b
a
dxxaxf ).,(
22
; Ñoåi bieán x= asint ; Tính dx theo dt .
Daïng 3.
∫
−
b
a
dxaxxf ).,(
22
; Ñoåi bieán x =
t
a
sin
; Tính dx theo dt .
Daïng 4.
∫
+
b
a
ax
dx
22
; Hoaëc :
∫
+
b
a
ax
dx
22
; Ñoåi bieán x = atgt ; Tính dx theo dt .
IV/ Tích Phaân Truy Hoài : ( 1 + tg2x =
x
2
cos
1
)
Cho In =
∫
b
a
dxxnf );(
.Vôùi n∈N.Tính I1; I2.Laäp coâng thöùc lieân heä giöõa In & In + 1 . Suy ra
In