intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi ĐH môn Toán: Tích phân các hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST
Báo xấu
124
lượt xem 19
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Tích phân các hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về tích phân các hàm lượng giác thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Tích phân các hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO và LỜI GIẢI CHI TIẾT CHỈ CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Link Khóa học: Luyện thi Đại học môn Toán 2015] π 2 sin 2 x.cos x Câu 1. I= ∫ dx 0 1 + cos x π 2 2 sin x.cos2 x (t − 1)2 Ta có: I = 2 ∫ dx . Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 ∫ dt = 2 ln 2 − 1 0 1 + cos x 1 t π 3 Câu 2. I = ∫ sin 2 x tan xdx 0 π π 3 sin x 3 (1 − cos2 x )sin x Ta có: I = ∫ sin 2 x. dx = ∫ dx . Đặt t = cos x 0 cos x 0 cos x 1 2 1 − u2 3 ⇒ I = −∫ du = ln 2 − 1 u 8 π Câu 3. I = ∫ sin2 x (2 − 1 + cos2 x )dx π 2 π π Ta có: I = ∫ 2sin2 xdx − ∫ sin2 x 1 + cos2 xdx = H + K π π 2 2 π π π π + Xét H = ∫ 2sin2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x )dx = π − = π π 2 2 2 2 π π π 2 + Xét K = ∫ sin2 x 2 cos2 x = − 2 ∫ sin2 x cos xdx = − 2 ∫ sin2 xd (sin x ) = π π π 3 2 2 2 π 2 ⇒I = − 2 3 π 3 dx Câu 4. I= ∫ sin2 x.cos4 x π 4 π 3 dx dx I = 4. ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = . 2 2 π sin 2 x.cos x cos2 x 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3 3 3 (1 + t 2 )2 dt 1 2  1 t3  8 3−4 I= ∫ = ∫  2 + 2 + t  dt =  − + 2 t +  = 1 t2 1 t   t 3 1 3 π 2 sin 2 x Câu 5. I=∫ dx ( 2 + sin x ) 2 0 π π 2 2 sin 2 x sin x cos x Ta có: I = ∫ (2 + sin x )2 dx = 2 ∫ dx . Đặt t = 2 + sin x . 2 0 0 (2 + sin x ) 3 3 3 t−2 1 2   2 3 2 ⇒ I = 2∫ dt = 2 ∫  −  dt = 2  ln t +  = 2 ln − 2 t2 2 t t2   t 2 2 3 π 6 sin x Câu 6. I= ∫ cos 2 x dx 0 π π 6 6 sin x sin x I= ∫ cos 2 x dx = ∫ 2 cos2 x − 1 dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0 0 π 3 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒t= 6 2 3 1 2 1 1 2t − 2 1 3−2 2 Ta được I = − ∫ dt = ln = ln 2 1 2t − 1 2 2 2t + 2 3 2 2 5−2 6 2 π 2 2 11 t 1 Câu 7. I = ∫ esin x .sin x.cos3 x. dx • Đặt t = sin 2 x ⇒ I = ∫ e (1 − t )dt = e − 1 . 0 20 2 π 2 1 3 Câu 8. I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + dx • Đặt t = cos x . I = (π + 2) π 2 16 6 π 4 sin 4 x Câu 9. I= ∫ dx 0 sin6 x + cos6 x π 1 4 4 1 sin 4 x 3 2 1  4 2 I= ∫ dx . Đặt t = 1 − sin 2 2 x ⇒ I = ∫  − dt = t = . 4 3 t 3 1 3 3 1  0 1 − sin 2 2 x 4 4 π 2 sin x Câu 10. I = ∫ dx 3 0 ( sin x + 3 cos x )  π Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos  x −  ;  6 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  π π 3  π 1  π sin x = sin   x −  +  = sin  x −  + cos  x −   6 6 2  6 2  6 π  π π 2 sin  x −  dx 3  6 1 2 dx 3 ⇒I= ∫ + ∫ = 16 0  π  16 0  π 6 cos3  x −  cos2  x −   6  6 π 4 sin x 1 − cos2 x Câu 11. I = ∫ dx π cos2 x − 3 π π π 4 4 0 4 sin x sin x sin x sin x I= ∫ 1 − cos2 x .dx = ∫ sin x dx = ∫ sin x dx + ∫ sin x dx π cos2 x π cos2 x π cos2 x 2 −0 cos x − − − 3 3 3 π 0 sin 2 x 4 sin 2 x 7π = − ∫ dx + ∫ dx = − 3 −1. π cos2 x 0 cos2 x 12 − 3 π 6 1 Câu 12. I = ∫ sin x + dx 0 3 cos x π π  π π 6 sin  x +  6 1 1 1 16  3  dx . I=∫ dx = ∫ dx = ∫ 0 sin x + 3 cos x 20  π 20  π sin  x +  1 − cos2  x +   3  3 1 π π 2   1 1 1 Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3  3  3 2 0 1− t 2 4 π 2 Câu 13. I = ∫ 1 − 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx 0 π π π 2 3 2 Ta có I = ∫ sin x − 3 cos x dx = I = ∫ sin x − 3 cos x dx + ∫ sin x − 3 cos x dx = 3 − 3 0 0 π 3 π 2 sin xdx Câu 14. I = ∫ (sin x + cos x )3 0 π π 2 2 π cos tdt cos xdx Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = = ∫ (sin t + cos t )3 ∫ (sin x + cos x )3 2 0 0 π π π 2 2 dx 1 dx 1 π 4 1 ⇒ 2I = ∫ (sin x + cos x )2 = 2 ∫ = − cot( x + ) = 1 ⇒ I = 0 π 0 sin 2 ( x + ) 2 4 0 2 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π 2 7sin x − 5cos x Câu 15. I = ∫ (sin x + cos x )3 dx 0 π π 2 2 sin xdx cos xdx Xét: I1 = ∫ ; I2 = ∫ . 3 3 0 ( sin x + cos x ) 0 ( sin x + cos x ) π Đặt x = − t . Ta chứng minh được I1 = I2 2 π π 2 dx 2 dx 1 π π Tính I1 + I2 = ∫ = ∫ = tan( x − ) 2 = 1 2 π 2 4 0 0 ( sin x + cos x ) 0 2 cos2 ( x − ) 4 1 ⇒ I1 = I 2 = ⇒ I = 7I1 – 5I 2 = 1 . 2 π 2 3sin x − 2 cos x Câu 16. I = ∫ (sin x + cos x )3 dx 0 π π 2 2 π 3cos t − 2sin t 3cos x − 2sin x Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ (cos t + sin t )3 dt = ∫ (cos x + sin x )3 dx 2 0 0 π π π 2 2 2 3sin x − 2 cos x 3cos x − 2sin x 1 1 ⇒ 2I = I + I = ∫ (sin x + cos x )3 dx + ∫ (cos x + sin x )3 dx = ∫ (sin x + cos x )2 dx = 1 ⇒ I= . 0 0 0 2 π x sin x Câu 17. I = ∫ 1 + cos2 x dx 0 π π (π − t )sin t sin t Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ dt = π ∫ dt − I 0 1 + cos2 t 2 0 1 + cos t π π sin t d (cos t ) π π  π2 ⇒ 2I = π ∫ dt = −π ∫ =π  + ⇒ I = 2 2 4 4 8 0 1 + cos t 0 1 + cos t π 2 cos4 x sin x Câu 18. I = ∫ cos3 x + sin3 x dx 0 π 0 4 π sin t cos t 2 sin 4 x cos x Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ dt = ∫ cos3 x + sin3 x dx 2 π cos3 t + sin3 t 0 2 π π π 2 4 4 2 3 3 cos x sin x + sin x cos x sin x cos x (sin x + cos x ) 12 1 1 ⇒ 2I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ sin 2 xdx = ⇒ I = . 0 sin3 x + cos3 x 0 sin3 x + cos3 x 20 2 4 π 2   1 2 Câu 19. I = ∫  cos2 (sin x ) − tan (cos x ) dx 0   Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  5. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt 2 π π  2  2  1 1 ⇒ I=∫ − tan 2 (sin t ) dt = ∫  − tan 2 (sin x ) dx  cos2 (cos t ) 0  0 2  cos (cos x )  π π  2  2 1 1 π Do đó: 2I = ∫  + − tan 2 (cos x ) − tan 2 (sin x ) dx = 2 ∫ dt = π ⇒ I = . 2 2 2 0 cos (sin x ) cos (cos x )  0 π 4 cos x − sin x Câu 20. I = ∫ dx 0 3 − sin 2 x π π 2 4 4 du 2 cos tdt π Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = ∫ . Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ = ∫ dt = . 1 4−u 2 π 4 − 4sin t 2 π 12 6 6 π 3 sin x Câu 21. I = ∫ dx 2 0 cos x 3 + sin x sin x cos x Đặt t = 3 + sin 2 x = 4 − cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 − t 2 và dt = dx . 2 3 + sin x π π 15 15 3 3 2 2  sin x sin x.cos x dt 1 1 1  I= ∫ .dx = ∫ dx = ∫ = ∫  − dt 0 cos x 3 + sin2 x 0 cos2 x 3 + sin2 x 4 − t2 4 t+2 t−2 3 3 15 1 3+2  1 ( = 1 t+2 ln 2 =  ln 15 + 4 − ln  = ( ln 15 + 4 ) − ln ( 3 + 2 ) . ) 4 t−2 4 15 − 4 3 − 2  2 3  2π 3 x + ( x + sin x )sin x Câu 22. I = ∫π dx sin3 x + sin2 x 3 2π 2π 3 x 3 dx Ta có I = ∫π dx + ∫π . sin 2 x 1 + sin x 3 3 2π u = x 3 x  du = dx π +) Tính I1 = ∫π dx . Đặt  dx ⇒  ⇒ I1 = sin 2 x  dv = v = − cot x 3 3 sin 2 x 2π 2π 2π 3 dx dx dx +) Tính I 2 =∫π = ∫π3 = ∫π3 =4 − 2 3 1 + sin x π  2π x 3 3 1 + cos  − x  3 2 cos  −  2   4 2 π Vậy: I = +4−2 3. 3 π 2 sin 2 x Câu 23. I=∫ dx 2 2 0 cos x + 4sin x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  6. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π 2 udu 2 2 2sin x cos x 3 22 2 2 I=∫ dx . Đặt u = 3sin x + 1 ⇒ I = ∫ = ∫ du = 0 3sin2 x + 1 1 u 31 3 π  π 6 tan  x −  Câu 24. I =  4 dx ∫ cos2 x 0 π  π π 6 tan  x −  6 2 I=  4 dx = − tan x + 1 dx . Đặt t = tan x ⇒ dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx ∫ cos 2 x ∫ 2 cos2 x 0 0 (tan x + 1) 1 1 3 dt 1 3 1− 3 ⇒ I =− ∫ = = . 0 (t + 1)2 t + 1 0 2 π 3 cot x Câu 25. I = ∫ dx π sin x.sin  x + π  6  4 π 3 cot x 1 I = 2∫ dx . Đặt 1 + cot x = t ⇒ dx = − dt π sin 2 x (1 + cot x ) sin 2 x 6 3 +1 t −1 3 +1  2  ⇒ I= 2 ∫ dt = 2 ( t − ln t ) 3 +1 = 2 − ln 3  3 +1 t 3  3  3 π 3 dx Câu 26. I = ∫ sin2 x.cos4 x π 4 π 3 dx dt Ta có: I = 4. ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dx = π sin 2 2 x.cos2 x 1 + t2 4 3 3 (1 + t 2 )2 dt 3 1 1 t3 8 3−4 ⇒ I = = ( + 2 + t 2 ) dt = ( − + 2 t + ) = ∫ ∫ 2 2 t 3 3 1 t 1 t 1 π sin x − cos x Câu 27. I = ∫π2 dx 1 + sin 2 x 4 π π  Ta có: 1 + sin 2 x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  ) 4 2 π sin x − cos x ⇒ I = ∫π2 dx . Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx sin x + cos x 4 21 2 1 ⇒I =∫ dt = ln t 1 = ln 2 1 t 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  7. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 6 Câu 28. I = 2 ∫ 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx 1 6 2t 5dt Đặt t = 1 − cos3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx = cos2 x sin x 1 1  t 7 t13  12 ⇒ I = 2 ∫ t 6 (1 − t 6 )dt = 2  −  = 0  7 13  0 91 π 4 tan xdx Câu 29. I = ∫ 0 cos x 1 + cos2 x π 4 tan xdx Ta có: I = ∫ . 2 2 0 cos x tan x + 2 tan x Đặt t = 2 + tan 2 x ⇒ t 2 = 2 + tan 2 x ⇒ tdt = dx cos 2 x 3 3 tdt ⇒ I= ∫ = ∫ dt = 3− 2 2 t 2 π 2 cos2 x Câu 30. I = ∫ (cos x − sin x + 3)3 dx 0 4 t −3 1 Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I = ∫ dt = − . 3 32 2 t π 4 sin 4 x Câu 31. I = ∫ dx 0 cos2 x. tan 4 x + 1 π 2 4 sin 4 x 2 Ta có: I = ∫ dx . Đặt t = sin 4 x + cos4 x ⇒ I = −2 ∫ dt = 2 − 2 . 4 4 0 sin x + cos x 1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP π π π 2 2 2 1) ∫ sin 3 x dx 2) ∫ sin 4 x dx 3) ∫ sin 5 x dx 0 0 0 π π π 2 2 3 4) ∫ cos3 x dx 5) ∫ sin 4 x dx ∫ tan 2 6) x dx 0 0 π 4 π π π 4 4 4 tan 3 x ∫ tan x dx ∫ tan x dx ∫0 cos2 x dx 3 4 7) 8) 9) 0 π 6 π π π 2 3 3 cot 2 x ∫ ( 2 cot ) 4 tan x ∫0 cos4 x dx x + 5 dx ∫π sin 2 x dx 2 10) 11) 12) π 6 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  8. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π π π 4 4 1 + sin 2 x 2 13) ∫ sin 2 x.cos x dx 14) ∫ dx 15) ∫ sin 2 x cos3 x dx 0 0 cos 2 x 0 π π π 3 2 2 dx 16) ∫π sin x.cos3 x 17) ∫ sin 2 x cos 4 x dx 18) ∫ sin 4 x cos5 x dx 0 0 4 π π π 2 2 4 sin x cos x cos 2 x 19) ∫ 1 + 3cos x dx 0 20) ∫ 5 − 2 sin x dx 0 21) ∫ 1 + 2sin 2 x dx 0 π π π 2 4 2 sin 3 x sin 4 x sin 2 x 22) ∫ 2 cos 3x + 1 dx 0 23) ∫ 1 + cos 0 2 x dx 24) ∫ 1 + cos x dx 0 π π 2 0 2 sin 2 x.cos x sin 2 x ∫ ( 2 + sin x ) 27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx 2 25) ∫ 1 + cos x dx 26) π 2 dx 0 0 − 2 π π π 28) ∫ cos 2 x ( sin 4 x + cos 4 x ) dx 2 3 3 4 sin x dx 0 29) ∫ sin 0 2 x+3 dx 30) ∫ cos 0 4 x π π π 3 4 3 sin x 2 4sin 3 x 31) ∫ sin x.tan x dx 32) ∫ cos2 x dx 33) ∫0 1 + cos x dx 0 0 π π π ∫ ( sin ) 2 3 2 3 2 cos x sin x 34) ∫ cos x + 1 dx 35) ∫ 1 + cos 2 x dx 36) 3 x + cos3 x dx 0 0 0 π π π ∫ ( cos ) 2 ∫ ( sin x + cos 6 x ) dx ∫ ( cos x − sin 4 x ) dx 6 4 2 37) 6 38) 4 39) x.sin 2 x dx 0 0 0 π π π 41) ∫ sin 2 x (1 + sin 2 x ) dx 3 2 3 dx 3 dx 40) ∫ 42) ∫π sin 4 x.cos x π sin 2 x x cos 2 0 4 2 2 6 π π π ( ) 3 3 2 dx dx 3 43) ∫ π 3 sin 5 x cos x 44) ∫π sin 3 x.cos3 x 45) ∫ 0 sin 2 x 1 + sin 2 x dx 4 4 π π π 1 − cos x 2 3 4 1 − 2sin 2 x 46) ∫ ∫ ( tan x − cot x ) ∫0 1 + sin 2 x dx 2 dx 47) dx 48) 0 1 + cos x π − 6 π π π 2 2 1 + sin 2 x + cos 2 x 2 sin 2 x 49) ∫ cos 2 x.cos 4 x dx 50) ∫ dx 51) ∫ dx 0 π sin x + cos x 0 cos x + 4 sin 2 x 2 6 π π π 4 cos x + sin x 2 sin x − cos x 2 ∫ ∫π ∫ 1 − cos 3 x sin x.cos5 xdx 6 52) dx 53) dx 54) 0 3 + sin 2 x 1 + sin 2 x 0 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
  9. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π π π 2 3 2 tan x cos x dx 55) ∫ 0 1 − cos 3 x sin x.cos5 x dx 56) ∫ cos x π 1 + cos x 2 dx 57) ∫ 0 7 + cos 2 x 4 π π π 2 2 cos x dx 2 sin 2 x + sin x 58) ∫ sin x cos x − cos 2 x dx 59) ∫ 60) ∫ dx 0 0 2 + cos 2 x 0 1 + 3cos x π π π 3 2 4 cos x dx dx dx 61) ∫ 62) ∫ 63) ∫ 2 + cos 2 x ( cos x + ) ( cos x − sin x ) 2 4 0 0 3 sin x 0 π π π 4 cos x − sinx 2 cos 2 x dx 2 cos 2 x dx 64) ∫ sinx + cos x dx 0 65) ∫ 1 + sin 2 x 0 66) ∫ ( sin x + cos x ) 0 3 π π π 2 sin x 2 sin x − cos x + 1 2 7 sin x − 5cos x 67) ∫ sin x + cos x dx 0 68) ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 69) ∫ ( 3sin x + 4 cos x ) 0 2 dx − 2 π π π 4 3 3 dx dx dx 70) ∫ 71) ∫ 72) ∫π  π  π  π 0 cos x.cos  x +  π sin x.cos  x +  sin x.sin  x +   4 4  4 6  6 π π e tan x + 2 2 3 4 tan 4 x 73) ∫ 74) ∫ esin x sin 2 x dx ∫ 2 75) dx 0 cos 2 x π 0 cos 2 x 4 π π 2 e ∫( ) 2 sin 2 x sin(ln x) ∫e esin x + cos x cos x dx ∫ 3 76) sin x cos xdx 77) 78) dx 0 0 1 x π π eπ 3 3 ln(sin x) 79) ∫ cos(ln x)dx 80) ∫ 2 dx 81) ∫ sin x.ln(cos x) dx 1 π cos x 0 6 π π π 6 dx 2 sin xdx 2 5 cos x − 4sin x 82) ∫ sin x + 83) ∫ 84) ∫ (cos x + sin x) dx ( ) 3 3 0 3 cos x 0 sin x + 3 cos x 0 π π π 1+ cos x 2 (1 + sin x) 6 sin xdx 2 6 cos 2 x 85) ∫ ln dx 86) ∫0 sin x + 3 cos x 87) ∫0 sin x + 3 cos x dx 0 1 + cos x π π π ∫ ( sin x + cos5 x ) dx 4 4 2 sin 4 x dx ∫0 sin 6 x + cos6 x dx ∫0 9 cos2 x + 4sin 2 x 5 88) 89) 90) 0 π π π 2 sin 2 x sin x − cos x + 1 4 sin x + cos x 91) ∫0 1 + sin 4 x dx 92) ∫0 sin x + 2 cos x + 3 dx 93) ∫ 0 3 + 2sin x dx π π 4 dx 4 sin 4 x 94) ∫ 2 95) ∫0 cos8 x dx 0 sin x + 2sin x cos x − 8 cos 2 x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT quốc gia 2015!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0