Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:135

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là thiết kế bài giảng với chủ đề tổ hợp, xây dựng hệ thống lý thuyết và bài tập từ cơ bản đến nâng cao, gắn liền với các bài toán thực tế nhằm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học nội dung này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ TUẤN VŨ DẠY HỌC CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ TUẤN VŨ DẠY HỌC CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Anh Vinh HÀ NỘI - 2019
LỜI CẢM ƠN Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo cùng toàn thể cán bộ công nhân viên chức trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS. Lê Anh Vinh, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình, chu đáo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài. Em xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp cơ quan, gia đình, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành nhiệm vụ học tập và giảng dạy của mình. Trong quá trình hoàn thiện luận văn, mặc dù đã rất cố gắng nhƣng không thể tránh khỏi có những thiếu sót và hạn chế nhất định trong luận văn. Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn của em đƣợc hoàn chỉnh và có nhiều đóng góp cho nền giáo dục nƣớc nhà. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019 Tác giả Vũ Tuấn Vũ i
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i MỤC LỤC .................................................................................................................. ii MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................2 4. Câu hỏi nghiên cứu .................................................................................................3 5. Khách thể nghiên cứu ..............................................................................................3 6. Đối tƣợng nghiên cứu..............................................................................................3 7. Giả thuyết nghiên cứu .............................................................................................3 8. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu .............................................................................3 9. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................4 10. Cấu trúc của luận văn ............................................................................................4 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................5 1.1. Một số quan niệm về tƣ duy .................................................................................5 1.1.1. Khái niệm tƣ duy ...............................................................................................5 1.1.2. Các giai đoạn của tƣ duy ...................................................................................7 1.1.3. Các thao tác của tƣ duy .....................................................................................8 1.1.4. Phân loại tƣ duy ..............................................................................................11 1.2. Tƣ duy sáng tạo ..................................................................................................12 1.2.1. Tƣ duy sáng tạo ...............................................................................................12 1.2.2. Các đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo ..................................................................14 1.2.3. Tƣ duy sáng tạo trong môn toán .....................................................................17 1.3. Yêu cầu nội dung của phƣơng pháp dạy học chủ đề tổ hợp ..............................18 1.3.1. Yêu cầu về kiến thức .......................................................................................18 1.3.2. Yêu cầu về kĩ năng ..........................................................................................18 1.3.3. Yêu cầu về tƣ duy sáng tạo cần hình thành trong bài học ..............................19 1.4. Mục tiêu, nội dung chƣơng trình của chủ đề tổ hợp dành cho học sinh chuyên toán ...............................................................................................................19 1.4.1. Mục tiêu chƣơng trình .....................................................................................19 ii
1.4.2. Nội dung chƣơng trình ....................................................................................19 1.5. Tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán ở Trƣờng trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên ..................................................19 Kết luận chƣơng 1 .....................................................................................................20 CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG CHỦ ĐỀ TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN ...................................................22 2.1. Một số kiến thức về chủ đề tổ hợp rời rạc học sinh cần nắm vững ...................22 2.1.1. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và công thức nhị thức Niuton ..............................22 2.1.2. Các định lý số học cơ bản ...............................................................................24 2.2. Các dạng toán tổ hợp thƣờng gặp ......................................................................25 2.2.1. Các bài toán rời rạc và đại số tổ hợp ...............................................................25 2.2.2. Các bài toán về hình học tổ hợp ......................................................................49 2.2.3. Các bài toán về đồ thị và tô màu .....................................................................68 Kết luận chƣơng 2 .....................................................................................................83 CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................84 3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm .........................................................................84 3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm .........................................................................84 3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................................84 3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ...................................................................................84 3.3.2. Thời gian thực nghiệm ....................................................................................85 3.3.3. Hình thức thực nghiệm ....................................................................................85 3.3.4. Tiến trình thực nghiệm ....................................................................................85 3.4. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm..........................................................................125 Kết luận chƣơng 3 ...................................................................................................126 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .........................................................................127 1. Kết luận ...............................................................................................................127 2. Khuyến nghị ........................................................................................................128 iii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, chúng ta đang sống trong thời kì bùng nổ về công nghệ, khoa học - kĩ thuật. Gần đây, cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 đã bùng nổ và có tác động đến nhiều quốc gia trên toàn thế giới. Với môi trƣờng nhƣ hiện nay, mỗi ngƣời có thể thỏa sức tìm tòi, nghiên cứu và sáng tạo để đạt những những thành tựu nhất định, góp phần làm giàu cho xã hội về vật chất và tinh thần. Cùng với sự phát triển toàn diện về kinh tế, xã hội và trí tuệ của nhiều nƣớc trên thế giới. Đất nƣớc chúng ta cần có sự thay đổi và bƣớc tiến mới để có thể rút ngắn khoảng cách và bắt kịp với các nƣớc trên thế giới. Để làm đƣợc điều đó, chúng ta phải hiểu rõ gốc rễ của vấn đề, một đất nƣớc có phát triển đƣợc bền vững và lâu dài phụ thuộc rất nhiều vào nền giáo dục của nƣớc đó. Chính vì vậy, nền giáo dục của nƣớc ta cần có sự thay đổi về nội dung và phƣơng pháp để tạo ra những con ngƣời tài đức vẹn toàn, năng động, sáng tạo, có tƣ duy khoa học, trở thành nguồn nhân lực chất lƣợng cao phục vụ cho đất nƣớc. Khoa học cơ bản là nền tảng của sự phát triển trên thế giới, trong đó toán học đóng một vai trò rất to lớn. Toán học đi sâu vào đời sống xã hội, vào mọi khoa học, là công cụ giúp giải quyết nhiều vấn đề, vƣớng mắc trong cuộc sống hàng ngày nói chung và trong các ngành khoa học nói riêng, trong đó có cả khoa học xã hội. Do đó, toán học rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Tuy vậy, cách dạy và học hiện nay đang sa đà, quá nặng về lý thuyết và thƣờng dập khuôn máy móc mà không chú trọng vào thực hành, thực tế cho học sinh để phát triển khả năng tƣ duy sáng tạo khiến cho học sinh cảm thấy nhàm chán và mất hứng thú trong việc học môn toán, nhất là đối với những học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán các cấp. Các thầy cô luôn cố gắng cho học sinh của mình làm thật nhiều dạng bài, đi học bồi dƣỡng các nơi để mong rằng khi bƣớc vào cuộc thi các em có thể gặp đƣợc những dạng bài đã đƣợc học. Nhƣng nhiều thầy cô lại quên rằng, đối với học sinh giỏi thì phát triển tƣ duy sáng tạo lại rất cần thiết. Khi mà các em đã đƣợc trang bị một nền tảng kiến thức vững vàng và khả năng tƣ duy sáng tạo tốt thì các em luôn 1
tự tin bƣớc vào mỗi cuộc thi để đột phá bản thân và dành đƣợc những kết quả tốt. Khả năng tƣ duy sáng tạo không những giúp ích cho các em học sinh trong môn toán mà còn giúp các em có thể giải quyết đƣợc nhiều vấn đề trong cuộc sống, trở thành những ngƣời có ích cho gia đình nói riêng và cho xã hội nói chung. Chính vì vậy dạy học theo định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo đang là xu hƣớng của giáo dục Việt Nam và thế giới, đòi hỏi giáo viên cần phải thay đổi cách dạy học phù hợp với xu thế đó. Trong chƣơng trình toán phổ thông dành cho học sinh chuyên, chủ đề tổ hợp là một phần rất quan trọng mà ở đó, học sinh có thể tự do suy nghĩ, tự do sáng tạo và tìm hƣớng đi riêng cho mỗi bài toán. Do đây là một phần rất khó trong toán học, đòi hỏi học sinh phải có tƣ duy rất tốt, nên nhiều thầy cô ở các trƣờng chuyên thƣờng bỏ qua hoặc dạy cho học sinh rất ít, không đủ để các em trang bị cho mình một nền tảng kiến thức tốt ở phần này. Nhƣng nếu chúng ta có thể xây dựng đƣợc hệ thống các dạng toán tổ hợp lý thuyết và bài tập từ cơ bản đến nâng cao và gắn liền với thực tế thì sẽ giúp cho các em học sinh lĩnh hội đƣợc kiến thức, từ đó sẽ dần dần hình thành khả năng tƣ duy sáng tạo của bản thân. Từ những lý do trên mà tác giả đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn: “Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp” 2. Mục đích nghiên cứu Thiết kế bài giảng với chủ đề tổ hợp, xây dựng hệ thống lý thuyết và bài tập từ cơ bản đến nâng cao, gắn liền với các bài toán thực tế nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học nội dung này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo, dạy học phát huy tính sáng tạo của học sinh.  Khảo sát thực trạng giảng dạy chủ đề tổ hợp trong khối chuyên toán của trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên.  Thiết kế một số kế hoạch dạy học theo chủ đề tổ hợp.  Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 2
4. Câu hỏi nghiên cứu - Thế nào là tƣ duy, tƣ duy sáng tạo và dạy học theo định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo? - Vận dụng phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo trong chủ đề tổ hợp nhƣ thế nào để đạt đƣợc hiệu quả tối ƣu đồng thời phát huy hết đƣợc tính chủ động, sáng tạo của học sinh? - Thiết kế một kế hoạch dạy học chủ đề tổ hợp nhƣ thế nào để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh? 5. Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán. 6. Đối tƣợng nghiên cứu Dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo đƣợc áp dụng trong quá trình dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh chuyên toán nhằm phát triển tích tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh. 7. Giả thuyết nghiên cứu Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh chuyên toán qua các bài toán tổ hợp hình thành cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ đó học sinh sẽ nắm vững và hiểu sâu về các dạng toán tổ hợp, tự tin bƣớc vào kì thi học sinh giỏi các cấp. Đồng thời góp phần đổi mới phƣơng pháp dạy học trong các trƣờng Trung học phổ thông nói chung và các trƣờng chuyên nói riêng. 8. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 8.1. Giới hạn về phạm vi và nội dung Đề tài này nghiên cứu về dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh chuyên toán Trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp. 8.2. Giới hạn và phạm vi về thời gian Các nghiên cứu và số liệu của đề tài đƣợc tiến hành trong học kì I năm học 2019 - 2020. 8.3. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Học sinh đội tuyển toán trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên. 3
9. Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận : Tổng hợp, nghiên cứu và phân tích các tài liệu về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo, các dạng toán tổ hợp dành cho học sinh chuyên toán và phƣơng pháp giải.  Phƣơng pháp điều tra, quan sát, khảo sát thực tiễn: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi của môn toán và các môn khác có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề tổ hợp, tham khảo một số bài giảng trực tuyến trên mạng internet.  Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: thực nghiệm giảng dạy một số kế hoạch dạy học soạn theo hƣớng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 10. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chƣơng 2: Phát triển tƣ duy sáng tạo trong chủ đề tổ hợp dành cho học sinh chuyên toán Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm 4
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số quan niệm về tƣ duy 1.1.1. Khái niệm tư duy 1.1.1.1. Định nghĩa Thế giới xung quanh ta rất rộng lớn, còn rất nhiều điều mà con ngƣời chƣa khám phá ra đƣợc. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn đòi hỏi mỗi chúng ta không ngừng tìm tòi để hiểu về những thứ chƣa biết một cách triệt để, sâu sắc và chính xác hơn, phải tìm ra những cái thuộc về bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó đƣợc gọi là tƣ duy. Theo tác giả Nguyễn Quang Uẩn thì “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.” [19]. Còn theo tác giả Sacđacov M.N: “ Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [17]. Tƣ duy đƣợc thể hiện ở trình độ cao và phức tạp của sự phản ánh, trong đó tạo ra sản phẩm tinh thần một cách gián tiếp bằng những phƣơng thức trừu tƣợng hóa, khái quát hóa trong tổng hợp, phân tích và so sánh… Đó là quá trình vận dụng các khái niệm, tri thức theo quy luật lôgic, và đôi khi bằng cả trực giác để đạt đƣợc chân lý. Đó là quá trình không ngừng bổ sung, tìm tòi, “cải biến” thế giới hiện thực của tƣ duy trong óc con ngƣời và sử dụng những kết quả đó làm cơ sở để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra. Tƣ duy toán học đƣợc hiểu: - Thứ nhất là hình thức biểu lộ của tƣ duy trong quá trình con ngƣời nhận thức khoa học, toán học hay trong quá trình áp dụng các kiến thức của toán học vào các khoa học khác nhƣ: vật lý, hóa học, sinh học, tin học, kỹ thuật, thiên văn, vũ trụ… 5
- Thứ hai tƣ duy toán học có các tính chất đặc trƣng riêng đƣợc quy định bởi bản chất, tính chất của toán học, bởi sự áp dụng các phƣơng pháp, đƣờng lối trong toán học để nhận thức các sự vật, hiện tƣợng của thế giới cũng nhƣ chính các phƣơng thức, phƣơng pháp chung của tƣ duy mà nó sử dụng. Trong học tập và phát triển tƣ duy, năng lực toán học thƣờng có các loại hình tƣ duy sau: Tƣ duy thuật toán, tƣ duy biện chứng, tƣ duy lôgic, tƣ duy hàm, tƣ duy trừu tƣợng và tƣ duy sáng tạo. 1.1.1.2. Đặc điểm  Tính có vấn đề của tƣ duy Tình huống có vấn đề là tình huống luôn đƣa ra một nội dung cần xác định, một câu hỏi cần có câu trả lời cho nó, một nhiệm vụ, yêu cầu cần đƣợc giải quyết, một thắc mắc cần gỡ bỏ mà chủ thể con ngƣời bằng vốn tri thức hiện tại của mình không thể giải quyết đƣợc. Để nhận thức, tìm hiểu những sự vật, hiện tƣợng mới con ngƣời cần vƣợt qua khỏi phạm vi những tri thức cũ đã biết và đi tìm hiểu cái mới, đạt mục đích mới đã đề ra. Từ đó, ta rút ra đƣợc các điều kiện cần thiết để quá trình tƣ duy sinh ra và hoạt động: - Phải xuất phát từ một tình huống, giả thiết hay câu hỏi có vấn đề. - Cá nhân mỗi ngƣời cần phải có nhu cầu giải quyết, tìm ra câu trả lời cho vấn đề đó. - Cá nhân phải có những tri thức, hiểu biết cần thiết liên quan tới vấn đề để có thể tìm ra cách giải quyết vấn đề đó.  Tính gián tiếp của tƣ duy Tƣ duy luôn phản ánh gián tiếp sự vật, hiện tƣợng trong thế giới khách quan. Quá trình tƣ duy diễn ra thông qua ngôn ngữ, các phƣơng tiện, công cụ, kinh nghiệm.  Tính trừu tƣợng và tính khái quát của tƣ duy Tính trừu tượng Tƣ duy có khả năng trừu xuất những cái cụ thể, cá biệt. Chỉ giữ lại những 6
đặc điểm và thuộc tính chung của sự vật, hiện tƣợng. Tính khái quát Tƣ duy có khả năng đi sâu vào nhiều sự vật, hiện tƣợng nhằm vạch ra những thuộc tính chung, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật chung giữa chúng.  Mối liên hệ giữa tƣ duy và ngôn ngữ  Mối liên hệ giữa tƣ duy và nhận thức cảm tính 1.1.1.3. Vai trò của tư duy  Mở rộng phạm vi nhận thức của con ngƣời.  Có khả năng giải quyết trƣớc những vấn đề của tƣơng lai.  Cải tạo lại thông tin của nhận thức chủ thể, làm cho chúng có ý nghĩa hơn đối với đời sống con ngƣời. 1.1.2. Các giai đoạn của tư duy Quá trình tƣ duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau:  Giai đoạn xác định đƣợc vấn đề, diễn đạt, thể hiện vấn đề đó thành nhiệm vụ của tƣ duy cần đƣợc giải quyết. Khi gặp một tình huống có vấn đề, chủ thể tƣ duy phải có ý thức đƣợc đó là tình huống có vấn đề đối với bản thân mình, tức là đặt ra vấn đề cần giải quyết; phát hiện ra mâu thuẫn chứa đựng trong tình huống có vấn đề - mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái phải tìm, phải tạo ra nhu cầu giải quyết và tìm thấy những tri thức đã có trong vốn kinh nghiệm cá nhân có liên quan tới vấn đề và sử dụng các tri thức đó vào giải quyết vấn đề, trên cơ sở đó đề ra nhiệm vụ tƣ duy.  Tập trung, tổng hợp các tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan tới vấn đề cần đƣợc giải quyết, làm xuất hiện trong đầu chủ thể mỗi ngƣời tƣ duy những mối liên hệ xung quanh vấn đề cần đƣợc giải quyết.  So sánh, chắt lọc các liên hệ, loại bỏ những liên hệ không cần thiết, từ đó hình thành giả thuyết về các cách giải quyết vấn đề có thể có đối với nhiệm vụ đang cần giải quyết.  Kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, để từ đó ta khẳng định giả thuyết hoặc phủ định nó. Nếu giả thuyết đúng thì tiến hành giải 7
quyết vấn đề. Nếu giả thuyết sai thì ta loại bỏ nó rồi tiếp tục hình thành giả thuyết mới về cách giải quyết vấn đề.  Giải quyết vấn đề để đi đến kết quả, đƣa ra đƣợc câu trả lời chính xác cho vấn đề tƣ duy, và cuối cùng là kiểm tra lại kết quả. 1.1.3. Các thao tác của tư duy 1.1.3.1. Phân tích và tổng hợp. Phân tích là quá trình dùng trí tuệ để để phân tách, phân chia đối tƣợng thành các thành phần, bộ phận khác nhau, mỗi thành phần có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Tổng hợp là quá trình dùng bộ óc để giải quyết vấn đề của từng thành phần, bộ phận rồi kết hợp các thành phần, bộ phận đó lại với nhau theo thứ tự một cách hợp lý để thành một chỉnh thể hoàn chỉnh, đầy đủ. Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ chặt chẽ, khăng khít, mật thiết với nhau và không thể tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập của của một quá trình thống nhất: Sự phân tích đƣợc tiến hành theo hƣớng tổng hợp, còn sự tổng hợp đƣợc hình thành theo kết quả của phân tích trƣớc đó (quá trình phân tích diễn ra trƣớc quá trình tổng hợp). Trong học tập và rèn luyện tƣ duy môn toán thì khả năng phân tích và tổng hợp rất quan trọng, nó đƣợc tiến hành trong mọi hoạt động trí tuệ và cũng là thao tác tƣ duy quan trọng nhất để giải quyết các bài toán hay các vấn đề đƣợc đặt ra. Ví dụ 1.1: Trong một cái bánh hình vuông cạnh 8cm có 32 hạt vừng. Chứng minh tồn tại hai hạt vừng có khoảng cách tới nhau nhỏ hơn 2cm. Đây là một dạng toán mà đòi hỏi học sinh cần biết phân tích và tổng hợp để tìm ra hƣớng đi và lời giải cho bài toán. Khi phân tích dạng bài này, các em học sinh chuyên toán thƣờng nghĩ đến phƣơng pháp Dirichlet. Ta có một kết quả quen thuộc sau: Với hai đƣờng tròn có bán kính bằng 1cm giao nhau thì khoảng cách giữa hai tâm sẽ nhỏ hơn 2cm . Với phân tích trên các em học sinh đã có thể đƣa ra đƣợc hƣớng đi cho bài toán nhƣ sau: Xét 32 đƣờng tròn có tâm là 32 hạt vừng có bán kính bằng 1cm . Sau đó ta đi chứng minh tồn tại hai hình tròn giao nhau (tức có phần diện tích chung). Vậy làm thế nào để chứng minh có hai hình tròn có phần diện tích chung. Ta lại đi phân tích tiếp. Ta có một kết quả khá đơn giản sau: Nếu một hình chứa toàn 8
bộ 32 hình tròn này có diện tích nhỏ hơn tổng diện tích của 32 hình tròn bị chứa thì chắc chắn phải có ít nhất hai hình tròn giao nhau hay có phần diện tích chung. Vấn đề bây giờ đặt ra cho học sinh là tìm đƣợc hình chứa toàn bộ 32 hình tròn đã dựng (rõ ràng hình vuông cạnh 8cm ban đầu chỉ chứa 32 hạt vừng chứ không chứa cả 32 hình tròn bên trong). Bây giờ về mỗi phía của hình vuông cạnh 8cm ta kéo dài ra thêm 1cm nữa thành hình vuông có cạnh 10cm . Khi đó toàn bộ 32 hình tròn bán kính 1cm nằm hoàn toàn trong hình vuông đó. Đến đây bài toán đã đƣợc giải quyết, học sinh chỉ cần chỉ ra tổng diện tích 32 hình tròn bán kính 1cm hớn hơn diện tích hình vuông 10cm  64  100 . 1.1.3.2 So sánh và tương tự So sánh là quá trình con ngƣời dùng đến trí tuệ và trí tƣởng tƣợng để so sánh sự giống và khác nhau, đồng nhất hay không đồng nhất, bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tƣợng nhận thức. So sánh có mối liên hệ mật thiết với phân tích và tổng hợp. Tƣơng tự là một dạng so sánh từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số điểm chung hay dấu hiệu. Từ dấu hiệu của đối tƣợng này ta rút ra đƣợc dấu hiệu tƣơng ứng của đối tƣợng kia. Ví dụ 1.2: Xét đa thức Pn ( x)  Cn2  Cn5 x  Cn8 x2  ...  Cn3k 2 xk với n  2 là n  2 một số tự nhiên và k   . Chứng minh rằng:  3  Pn3 ( x)  3Pn2 ( x)  3Pn1 ( x)  ( x  1) Pn ( x) Quan sát hai vế của đẳng thức cần chứng minh, học sinh có thể thấy đƣợc hai vế bản chất là hai đa thức với các hệ số nguyên dƣơng. Từ đó, các em học sinh có thể đƣa ra nhận xét sau: Để chứng minh hai đa thức bằng nhau, ta cần chỉ ra các hệ số của lũy thừa tƣơng ứng (các lũy thừa có cùng số mũ) bằng nhau. Đến đây, một câu hỏi nữa dành cho các em học sinh đƣợc đặt ra: Liệu chúng ta có phải chỉ ra từng lũy thừa tƣơng ứng có hệ số bằng nhau hay không? Hay hệ số của từng lũy thừa có cách tính tƣơng tự giống nhau nên ta chỉ cần tính hệ số của một lũy thừa đại diện tƣơng ứng bằng nhau rồi từ đó suy ra đƣợc hệ số của các lũy thừa tƣơng ứng khác cũng bằng nhau. 9
 n  1 Từ đó, học sinh sẽ đƣa ra so sánh hệ số của x k với 0  k   . Khi đó ta  3  cần chứng minh hệ số của x k trong hai vế bằng nhau tức: Cn3k32  3Cn3k22  3Cn3k12  Cn3k 2  Cn3k 1   Cn3k32  Cn3k22   2  Cn3k22  Cn3k12    Cn3k12  Cn3k 2   Cn3k 1  Cn3k21  2Cn3k11  Cn3k 1  Cn3k 1  Cn3k1  Cn3k  Cn3k 1  0 Vậy ta có đƣợc hệ số của x k trong hai vế bằng nhau, tƣơng tự khi k thay đổi từ 1, 2, 3… thì hệ số của các lũy thừa tƣơng ứng vẫn bằng nhau. Từ đó, học sinh đã hoàn toàn chứng minh xong bài toán trên. 1.1.3.3. Khái quát hóa và đặc biệt hóa Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng này sang một tập hợp đối tượng khác lớn hơn chứa đối tượng ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [8]. Từ đó ta thấy rằng khái quát hóa là quá trình tƣ duy đi từ nhiều cái riêng, cái nhỏ hơn đến cái chung, cái lớn hơn một cách tổng quát hơn. Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hóa Ví dụ 1.3: Trong mặt phẳng cho 5 điểm bất kì trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tứ giác lồi đƣợc tạo bởi 4 trong 5 điểm đã cho. Với bài toán này, điều đầu tiên học sinh sẽ nghĩ đến là sử dụng bao lồi của 5 điểm A, B, C, D, E đã cho. Do đó, ta sẽ tạo ra một bao lồi từ 5 điểm đã cho. - Nếu bao lồi là một tứ giác thì hiển nhiên có ít nhất 1 tứ giác lồi đƣợc tạo thành từ 5 điểm đã cho - Nếu bao lồi là một tam giác, giả sử là tam giác ABC thì hai điểm D, E nằm trong tam giác. Khi đó, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai trong số ba điểm A, B, C nằm cùng 1 phía với bờ là đƣờng thẳng DE và hai điểm đó cùng D, E sẽ tạo thành một tứ giác lồi. 10
Nhận xét: Từ bài toán này, một câu hỏi tổng quát sẽ đƣợc đƣa ra là: Vậy với n điểm bất kì trong mặt phẳng ( n  4 ) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số tứ giác lồi tạo thành ít nhất sẽ là bao nhiêu? Từ nhận xét trên, giáo viên đƣa ra cho học sinh bài toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát (IMO 1969): Chứng minh rằng trong mặt phẳng cho n điểm (n  4) và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, có ít nhất  n  3 n  4 2 tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số n đỉnh đã cho. 1.1.4. Phân loại tư duy Xét theo phương diện chủng loại và cá thể  Tƣ duy trực quan - hành động  Tƣ duy trực quan - hình ảnh  Tƣ duy trừu tƣợng (Tƣ duy ngôn ngữ - lôgic) Xét theo mức độ sáng tạo  Tƣ duy An-gô-rít: Là loại tƣ duy diễn ra theo một chƣơng trình, một cấu trúc lôgic có sẵn theo khuôn mẫu nhất định.  Tƣ duy Orrixtic: Là loại tƣ duy sáng tạo, có tính chất cơ động, linh hoạt, không theo một khuôn mẫu cứng nhắc nào và có liên quan tới trực giác và khả năng sáng tạo của con ngƣời. 11
1.2. Tƣ duy sáng tạo 1.2.1. Tư duy sáng tạo Theo từ điển Tiếng Việt: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần, hay tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có” [13]. Từ điều đó, chúng ta nhận thấy rằng nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính đó là có tính mới và có lợi ích, hiệu quả, giá trị hơn cái cũ, cái đã biết. Do đó, sự sáng tạo là rất cần thiết cho xã hội nhân loại. Sự sáng tạo thƣờng đƣợc nghiên cứu trên nhiều phƣơng diện nhƣ một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng, cấu trúc, bộ khung của những cái cũ, những thứ đã biết. Sáng tạo là một hình thức của tƣ duy, là một năng lực của con ngƣời. Các nhà nghiên cứu, các học giả, hay các nhà khoa học đã đƣa ra nhiều khái niệm, định nghĩa, quan điểm khác nhau về tƣ duy sáng tạo. Theo tác giả G. Polya cho rằng: “ Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể. Ta có thể coi nó là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương hướng, phương pháp giải các bài toán khác từ bài toán đã cho. Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương pháp này càng nhiều, số lượng càng lớn, có tính đa dạng, muôn hình, muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao” [16]. Trong cuốn “Phương pháp dạy học bộ môn toán” tác giả Nguyễn Bá Kim có nói: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là cách nhìn cái cũ như thế nào” [8]. Từ đó ta rút ra đƣợc đặc điểm của quá trình sáng tạo:  Là tiền đề, điều kiện kiên quyết để đƣa tri thức, vốn hiểu biết và kĩ năng vào hoàn cảnh mới.  Nhận ra vấn đề mới, cần đƣợc giải quyết trong những hoàn cảnh quen thuộc.  Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất, ngắn gọn và đẹp mắt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm đƣợc nhiều phƣơng pháp, phƣơng hƣớng trên nhiều 12
góc độ, khía cạnh và hoàn cảnh khác nhau.  Khả năng tìm hiểu, tìm tòi và quyết định phƣơng pháp, đƣờng lối để giải quyết vấn đề một cách độc đáo, mới lạ trong khi đã biết đƣợc nhiều phƣơng pháp giải quyết truyền thống. Còn theo tác giả Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị” [14]. Nhƣ vậy, từ các quan điểm nêu trên, ta có thể rút ra nhận xét tƣ duy sáng tạo là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với trí thông minh. Cái mới là tiêu chí rõ nhất của tƣ duy sáng tạo. Không chỉ sản phẩm là mới mà quá trình tƣ duy cũng mới, thay đổi quan điểm chƣa hoàn thiện, khắc phục những thứ chƣa phù hợp trong phƣơng thức tƣ duy. Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa tƣ duy sáng tạo với ngƣời học toán nhƣ sau: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết” [18]. Do đó, một bài toán cụ thể nào đó cũng đƣợc xem nhƣ là một yếu tố mang tính sáng tạo nếu các thao tác để giải quyết bài toán không bị mệnh lệnh hay ràng buộc nào chi phối, điều khiển. Tức là nếu ngƣời giải chƣa biết trƣớc thuật toán để giải bài toán và phải tiến hành phân tính, đánh giá và đi tìm những bƣớc đi chƣa biết. Các trƣờng học phổ thông có thể chuẩn bị cho các em học sinh sẵn sang tìm hiểu các hoạt động sáng tạo theo nội dung đã trình bày ở trên. Theo định nghĩa thông thƣờng và phổ biến nhất của tƣ duy sáng tạo đó là tƣ duy tìm ra cái mới trong quá trình đi tới chân lý và khắc phục những sai sót. Đó là quá trình tìm ra tính chất mới, hình thức mới, phƣơng pháp mới và kiến thức mới nhƣng không vì thế coi nhẹ cái cũ mà nó bổ sung những thiếu sót cho cái cũ. Sáng tạo là phẩm chất cao nhất của năng lực tƣ duy có tính bẩm sinh. Tƣ duy sáng tạo có vai trò then chốt đối với ngƣời học toán nói riêng và các môn học khác nói chung. 13
1.2.2. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo Rubinstein tƣ duy sáng tạo bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề. Tƣ duy sáng tạo đƣợc thể hiện khi học sinh tự tìm tòi, khám phá và sáng tạo ra những chứng minh hay cách giải quyết một bài toán hay, độc đáo mà học sinh đó chƣa biết đến hay khác biệt với lời giải, hƣớng dẫn có sẵn. Bắt đầu từ tình huống gợi mở vấn đề, tƣ duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao nhất, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và đôi khi là cả về đẹp của giải pháp đó. Nói chung tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng, phƣơng pháp mới độc đáo, mới lạ và có tính hiệu quả, khả thi cao. Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý vào giáo dục học, thì cấu trúc của tƣ duy sáng tạo có 5 thành phần đặc trƣng cơ bản sau. 1.2.2.1. Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng con ngƣời biến đổi thông tin, kiến thức và tri thức đã tiếp thu đƣợc trong quá trình học tập, học hỏi một cách dễ dàng, nhanh chóng từ góc độ quan điểm này sang góc độ quan điểm khác, chuyển đổi sơ đồ tƣ duy có sẵn trong trí óc sang hệ thống tƣ duy mới, thay đổi từ hành động đã thành thói quen sang hành động mới, gạt bỏ sự bảo thủ, cứng nhắc mà con ngƣời đã có thể thay đổi nhận thức dƣới một góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cũ, không còn phù hợp trong hoạt động tinh thần, trí tuệ. Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo có các đặc trƣng nổi bật sau:  Có thể chuyển đổi dễ dàng, linh hoạt từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và các phƣơng pháp suy luận nhƣ quy nạp, diễn giải, suy diễn, tƣơng tự, dễ dàng chuyển từ phƣơng pháp này sang phƣơng pháp khác, điều chỉnh kịp thời, phù hợp hƣớng suy nghĩ, tƣ duy khi gặp khó khăn, trở ngại…  Suy nghĩ không máy móc, dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc, áp đặt những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong khi đã có những yếu tố thay đổi, có thể đã thoát khỏi sự ảnh hƣởng của những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng và những phƣơng pháp đã có từ trƣớc 14
 Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của các đối tƣợng đã biết Vậy nên, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tƣ duy sáng tạo. Do đó, để rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh, ta có thể hƣớng dẫn cho các em làm và giải các bài toán với hƣớng suy nghĩ đơn giản, không nên phức tạp hóa những vấn đề mà bản thân nó đã đơn giản, rõ ràng và dễ hiểu, linh hoạt trong lối tƣ duy, suy nghĩ và thành thạo trong các bƣớc biến đổi, chuyển đổi để rèn luyện đƣợc tính mềm dẻo của tƣ duy. 1.2.2.2. Tính nhuần nhuyễn Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện ở khả năng tạo ra một cách nhanh chóng, bài bản và có hệ thống sự kết hợp giữa các yếu tố mang tính riêng lẻ của các tình huống có vấn đề, hoàn cảnh đƣa ra giả thiết mới. Các nhà khoa học, nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lƣợng của ý tƣởng mới đƣợc tạo ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sự sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số lƣợng nhất định các ý tƣởng, giải pháp. Số ý tƣởng, giải pháp nghĩ ra càng nhiều thì khả năng xuất hiện ý tƣởng, giải pháp độc đáo mới lạ càng lớn. Trong trƣờng hợp này thì số lƣợng làm nảy sinh ra chất lƣợng. Tính nhuần nhuyễn thể hiện cụ thể ở hai đặc trƣng sau:  Sự đa dạng của các cách xử lý tình huống khi giải một bài toán, khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và giả thiết khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề phải giải quyết, ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất đƣợc nhiều giải pháp khác nhau và từ đó có thể dễ dàng tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu trong đó một cách nhanh chóng, hiệu quả nhất.  Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau và có cái nhìn khách quan, sinh động từ nhiều phía đối với sự vật, hiện tƣợng chứ không phải cái nhìn bất biến, cứng nhắc, chủ quan. 1.2.2.3. Tính độc đáo Tính độc đáo đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng sau đây:  Khả năng tìm ra những liên tƣởng phong phú và có những sự kết hợp mới 15