LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - ĐỀ 28

Chia sẻ: Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'luyện thi đại học môn toán - đề 28', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - ĐỀ 28

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010-2011 Môn: Toán A. Thời gian: 180 phút ( Không kể giao đề). I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm). 2x + 4 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = . 1− x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số trên. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và MN = 3 10 . Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − 2 = 0 . x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y 2) Giải hệ phương trình: . y( x + y)2 = 2 x 2 + 7 y + 2 π Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 3sin x − 2 cos x dx 2 (sin x + cos x)3 0 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300 . Câu V (1 điểm): Cho các số dương a, b, c : ab + bc + ca = 3. 1 1 1 1 + + . Chứng minh rằng: 1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) abc 2 2 2 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Câu VII.a (1 điểm): Khai triển đa thức: (1 − 3 x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a20 x . Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20 . 20 2 20 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) . xyz == 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) : và 112 x +1 y z −1 == (d 2 ) : . −2 1 1 Tìm tọa độ các điểm M thuộc (d1 ) và N thuộc (d 2 ) sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( P) : x – y + z + 2010 = 0 độ dài đoạn MN bằng 2. 2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2 + y ( x 2 − 2 x + 1) = 6 Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) =1
………………………………….....................HẾT…………………………………………………… Câu Phần Nội dung Điể m Làm đúng, đủ các bước theo Sơ đồ khảo sát hàm số cho điểm tối đa. I 1,0 (2,0) 1(1,0) 2(1,0) Từ giả thiết ta có: (d ) : y = k ( x − 1) + 1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình 0,25 sau có hai nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt sao cho ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 90(*) 2 2 2x + 4 = k ( x − 1) + 1 kx 2 − (2k − 3) x + k + 3 = 0 −x +1 ( I ) . Ta có: ( I ) y = k ( x − 1) + 1 y = k ( x − 1) + 1 Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 3 0, k < . kx 2 − (2k − 3) x + k + 3 = 0(**) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó dễ có được k 8 Ta biến đổi (*) trở thành: (1 + k 2 ) ( x2 − x1 ) = 90� (1 + k )[( x2 + x1 ) − 4 x2 x1 ] = 90(***) 2 2 2 2k − 3 k +3 Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 + x2 = , x1 x2 = , thế vào (***) ta có 0,5 k k phương trình: 8k 3 + 27k 2 + 8k − 3 = 0 � (k + 3)(8k 2 + 3k − 1) = 0 −3 + 41 −3 − 41 k = −3, k = , k= . 16 16 0,25 KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. Phần Nội dung Điể Câu m sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − 2 = 0 II (sin 3 x + sin x) + 2sin x − 3sin 2 x − (cos 2 x + 2 − 3cos x) = 0 (2,0) 1(1,0) 0,25 � 2sin 2 x.cos x + 2sin x − 6.sin .cos x − (2 cos 2 x − 3cos x + 1) = 0 � 2sin x.cos 2 x + 2sin x − 6.sin .cos x − (2 cos 2 x − 3cos x + 1) = 0 1 sin x = 2 0,25 � (2sin x − 1)(2 cos x − 3cos x + 1) = 0 � cos x = 1 2 1 cos x = 2 π x = + k 2π 1 6 +) sin x = , (k Z ). 5π 2 + k 2π x= 6 π x = + k 2π 1 3 +) cos x = , (k Z ). π 2 x = − + k 2π 3 0,25 +) cos x = 1 x = k 2π , (k Z ). KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên. 0,25
2(1,0) x2 + 1 +x+ y = 4 x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y y 0,25 Dễ thấy y 0 , ta có: � . � y( x + y)2 = 2 x 2 + 7 y + 2 x2 + 1 ( x + y) − 2 =7 2 y �u + v = 4 � u = 4−v � = 3, u = 1 v x2 + 1 0,25 Đặ t u = , v = x + y ta có hệ: � �2 � �2 � − 2u = 7 � + 2v − 15 = 0 � = −5, u = 9 v v v y +) Với v = 3, u = 1 ta có hệ: x = 1, y = 2 �2 + 1 = y �2 + 1 = y �2 + x − 2 = 0 x x x �� 0,25 . � x = −2, y = 5 � + y =3 � = 3− x � y = 3− x x y �2 + 1 = 9 y �2 + 1 = 9 y � 2 + 9 x + 46 = 0 x x x +) Với v = −5, u = 9 ta có hệ: � �� , hệ � + y = −5 � = −5 − x � y = −5 − x x y này vô nghiệm. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( x; y ) = {(1; 2), (−2; 5)}. 0,25 Câu Phần Nội dung Điể m π π π III 0,25 Đặ t x = − t � dx = −dt , x = 0 � t = , x = � t = 0. (1,0) 2 2 2 π π π Suy ra: I = 3sin x − 2 cos x dx = 3cos t − 2sin t dt = 3cos x − 2sin x dx (Do tích phân 2 2 2 � x + cos x)3 � t + sin t )3 � x + sin x)3 0,25 (sin (cos (cos 0 0 0 không phụ thuộc vào kí hiệu cảu biến số). π π π Suy ra: 2 I = I + I = 3sin x − 2 cos x dx + 3cos x − 2sin x dx = 2 2 2 1 � x + cos x)3 � x + sin x)3 � x + cos x) 2 dx = (sin (cos (sin 0 0 0 π π π � π�1 � π� 2 2 1 1 1 d � − � tan � − �2 = 1 . KL: Vậy I = 1 . 0,5 =� dx = � = x x π� � π� 0 2 cos 2 � − 20 4� 2 � 4� cos 2 � − � � 2 x x 0 � � � 4� � 4� Câu Phần Nội dung Điể m + Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N. IV + Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có (1,0) S SG 2 = suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD. SO 3 0,25 Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. N 1 1 + Dễ có: VS . ABD = VS . BCD = VS . ABCD = V . 2 2 Theo công thức tỷ số thể tích ta có: M G VS . ABN SA SB SN 11 1 D = = 1.1. = � VS . ABN = V .. A VS . ABD SA SB SD 22 4 VS . BMN SB SM SN 11 1 1 = = 1. . = � VS . ABN = V . . O VS . BCD SB SC SD 22 4 8 Từ đó suy ra: C B 0,25
3 VS . ABMN = VS . ABN + VS . BMN = V . 8 1 + Ta có: V = SA.dt ( ABCD ) ; mà theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD) nên góc hợp bởi AN với 3 ﾷ mp(ABCD) chính là góc NAD , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại SA N, suy ra NAD = NDA = 300. Suy ra: AD = =a 3. ﾷﾷ tan 300 1 1 33 Suy ra: V = SA.dt ( ABCD ) = a.a.a 3 = a. 3 3 3 5 3a 3 3 5 0,5 Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD = VS . ABCD − VS . ABMN = V − V = V = . 8 8 24 Câu Phần Nội dung Điể m V 0,25 Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3 � + + = ca 3 3 (abc) 2 abc 1 . ab bc (1,0) 1 1 Suy ra: 1 + a (b + c ) abc + a (b + c) = a( ab + bc + ca ) = 3a 2 2 (1). 1 + a (b + c) 3a 2 1 1 1 1 0,25 (2), (3). Tương tự ta có: 1 + b (c + a ) 3b 1 + c (a + b) 3c 2 2 Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 1 ab + bc + ca 1 1 1 1 + + ( + + )= = W. 1 + a (b + c) 1 + b (c + a) 1 + c (a + b) 3 c b c 2 2 2 3abc abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc = 1, ab + bc + ca = 3 � a = b = c = 1, (a, b, c > 0). 0,5 Câu Phần Nội dung Điể m + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R = 1, R ' = 3 , đường VI a 1(1,0) thẳng (d) qua M có phương trình a ( x − 1) + b( y − 0) = 0 � ax + by − a = 0, ( a 2 + b 2 � 0,25 0)(*) (2,0) . + Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM. Khi đó ta có: MA = 2MB � IA2 − IH 2 = 2 I ' A2 − I ' H '2 0,25 � 1 − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ] , 2 2 IA > IH . 9a 2 b2 � 4 ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 � 4. 2 2 −2 = 35 a 2 + b2 a + b2 0,25 36a − b 2 2 = 35 � a 2 = 36b 2 � a +b 2 2 a = −6 0 nên chọn b = 1 Dễ thấy b 0,25 . a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn. uuur uuu r 2(1,0) + Ta có: AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của 0,25 AB, AC là: x + y − z − 1 = 0, y + z − 3 = 0. r uuu uuu rr + Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là n = � , AC � (8; −4; 4). Suy ra (ABC): = AB � � 0,25 2x − y + z +1 = 0 .
�x + y − z − 1 = 0 �=0 x � � + Giải hệ: � y + z − 3 = 0 � � = 2 . Suy ra tâm đường tròn là I (0; 2;1). y 0,5 �x − y + z + 1 = 0 � = 1 2 z � � Bán kính là R = IA = (−1 − 0) 2 + (0 − 2) 2 + (1 − 1) 2 = 5. Phần Nội dung Điể Câu m VII 0,25 + Ta có: ( x (1 − 3x ) 20 ) = a0 + 2a1 x + 3a2 x 2 + ... + 21a20 x 20 . .a � (1 − 3x ) 20 − 60 x(1 − 3 x)19 = a0 + 2a1 x + 3a2 x 2 + ... + 21a20 x 20 (*). (1,0) 0,25 0,25 Nhận thấy: ak x = ak (− x) do đó thay x = −1 vào cả hai vế của (*) ta có: k k S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20 = 422 . 0,25 Câu Phần Nội dung Điể m + Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận VI A uuur b 1(1,0) HK = (−1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên (2,0) ( AC ) : x − 2 y + 4 = 0. Ta cũng dễ có: 0,25 ( BK ) : 2 x + y − 2 = 0 . + Do A �AC , B �BK nên giả sử M A(2a − 4; a ), B (b; 2 − 2b). Mặt khác M (3;1) là K H trung điểm của AB nên ta có hệ: �a − 4 + b = 6 �a + b = 10 �=4 2 2 a �� . � � + 2 − 2b = 2 � − 2b = 0 �=2 a a b 0,5 Suy ra: A(4; 4), B(2; − 2). B C uuu r ( AB ) : 3x − y − 8 = 0 . + Suy ra: AB = (−2; − 6) , suy ra: uuu r + Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA = (3; 4) , suy ra: ( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0. KL: Vậy : ( AC ) : x − 2 y + 4 = 0, ( AB ) : 3 x − y − 8 = 0 , ( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0. 0,25 2(1,0) + M , N (d1 ), (d 2 ) nên ta giả sử uuuu r 0,25 M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N (−1 − 2t2 ; t2 ;1 + t2 ) � NM = (t1 + 2t2 + 1; t1 − t2 ; 2t1 − t 2 − 1) . uu uuuu rr + MN song song mp(P) nên: nP .NM = 0 � 1.(t1 + 2t2 + 1) − 1.(t1 − t2 ) + 1(2t1 − t2 − 1) = 0 uuuur 0,25 � t2 = −t1 � NM = (−t1 + 1; 2t1;3t1 − 1) . t1 = 0 + Ta có: MN = 2 � (−t1 + 1) + (2t1 ) + (3t1 − 1) = 2 � 7t − 4t1 = 0 � 2 2 2 2 4. 1 t1 = 0,25 7 448 1 43 + Suy ra: M (0; 0; 0), N (−1; 0;1) hoặc M ( ; ; ), N ( ; − ; ) . 777 7 77 + Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M ( P ). 0,25 KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn. Phần Nội dung Điể Câu m
VII. 0,25 − xy − 2 x + y + 2 > 0, x 2 − 2 x + 1 > 0, y + 5 > 0, x + 4 > 0 (I ) . + Điều kiện: b 0 < 1 − x 1, 0 < 2 + y 1 (1,0) 2 log1− x [(1 − x)( y + 2)] + 2 log 2+ y (1 − x) = 6 + Ta có: ( I ) log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) =1 log1− x ( y + 2) + log 2+ y (1 − x) − 2 = 0 (1) 0,25 log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1 (2). 1 + Đặt log 2+ y (1 − x ) = t thì (1) trở thành: t + − 2 = 0 � (t − 1) = 0 � t = 1. 2 t Với t = 1 ta có: 1 − x = y + 2 � y = − x − 1 (3). Thế vào (2) ta có: −x + 4 −x + 4 log1− x (− x + 4) − log1− x ( x + 4) =1� = 1 − x � x2 + 2 x = 0 = 1 � log1− x x+4 x+4 x=0 y = −1 . Suy ra: . x = −2 y =1 0,25 + Kiểm tra thấy chỉ có x = −2, y = 1 thoả mãn điều kiện trên. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = −2, y = 1 . 0,25