intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học môn Toán: Mở đầu về Nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST
Báo xấu
181
lượt xem 27
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Mở đầu về Nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Mở đầu về Nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ:  d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau 1  d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) 2 1  d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 3 x  1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1  xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2  2  2 2 2    x3  1  3  3 ( ) 1  x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3 3 ( 1 3 ) ( )   1 d ( ax + b ) 1 = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) dx dx  = ax + b a ax + b a x  sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  1 1 1 → sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ... a a 2  cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  1 1 1 → cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ... a a 2 1 1  eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  a a ( ) 1 → e2 x dx = d e 2 x ... 2 ( ) dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1  = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan 2 x ) ... cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a 2 2 2 cos 2 x 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1  = = − d cot ( ax + b )   → 2 = − d ( cot 2 x ) ... sin 2 ( ax + b ) a sin ( ax + b ) 2 a sin 2 x 2 II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho. Ví dụ:  Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x  Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm. b) Tính chất 2: ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Chứng minh: Theo tính chất 1 ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x). Từ đó ta có( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0 Chứng minh: ′ ( ) Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)  → ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm. d) Tính chất 4: ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du.. Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM  Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C x n +1  Công thức 2: ∫ x n dx = +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 Thật vậy, do  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C  n +1  n +1 Chú ý: u n +1 +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du = +C n +1 1 dx dx du +) Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = 2 x + C ← →∫ =2 u +C 2 x 2 x u dx 1 du 1 +) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← →∫ 2 = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x 2 dx = + C 3 x5 b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C 5 1 1 3 x − x2 x3 − 2 x2 x 3 x2 x2 c) ∫ x dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − = x 2 1 − + C = 33 x − + C 2 2 3 ( 2 x + 1) + C 5 1 d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)  u n du →I = 4 4 2 5 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 (1 − 3x ) + C 2011 1 e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )  u n du →I = − 2010 2010 3 2011 1 d ( 2 x + 1) u 2 du dx 1 1 1 f) I = ∫ = ∫ → I = − . +C =− +C ( 2 x + 1) 2 2 ( 2 x + 1) 2 2 2x + 1 2 ( 2 x + 1) 3 3 1 1 2 3 g) I = ∫ 4 x + 5dx = ( ) ( ) ( ) 4∫ 4 x + 5 d 4 x + 5 ⇒ I = . 4 x + 5 2 +C = 4 x + 5 2 +C 4 3 8 dx  Công thức 3: ∫ = ln x + C x Chứng minh: Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C 1 dx x x Chú ý: du + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫u = ln u + C  dx 1  ∫ 2x + k 2 = ln 2 x + k + C dx 1 d ( ax + b ) 1 + ∫ ax + b a ∫ ax + b = = ln ax + b + C  → a  dx = − 1 ln k − 2 x + C  ∫ k − 2 x 2 Ví dụ:  1 1 1 dx x 4 a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + 2 x + ln x + C  x x x x 4 1 d ( 3x + 2 ) u du dx 1 b) I = ∫ = ∫ → I = ln 3x + 2 + C 3x + 2 3 3x + 2 3 2x2 + x + 3  3  dx 3 d ( 2 x + 1) 3 c) ∫ dx = ∫  2 x +  dx = ∫ 2 xdx + 3∫ = x2 + ∫ = x 2 + ln 2 x + 1 + C 2x + 1  2x + 1  2x + 1 2 2x + 1 2  Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C 1 1 1 + ∫ sin ( ax + b ) dx = ∫ sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  → ∫ sin 2 xdx = − cos2 x + C a a 2 Ví dụ:  1  dx 3 1 d ( 2 x − 1) a) ∫  x x + s inx +  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ = ∫ x 2 dx − cos x + ∫ =  2x −1  2x −1 2 2x −1 5 2x 2 1 = − cos x + ln 2 x − 1 + C 5 2  3  dx 1 3 d ( 4 x − 3) 1 3 b) ∫  sin 2 x +  dx = ∫ sin 2 xdx +3∫ = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫ = − cos2 x + ln 4 x − 3 + C  4x − 3  4x − 3 2 4 4x − 3 2 4  x  c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx  2   x 1 x 1 1 Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 2 2 3 T ừ đó :  x  x x  x 1 1 ∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x 1 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 2 3  Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C 1 1 1 + ∫ cos ( ax + b ) dx = ∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C a a 2 Ví dụ:  4x − 1   5  a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −  dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C  x +1   x +1 1 x2 b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C 2 2 1 − cos2 x 1 1  1 1 1 1 c) ∫ sin 2 xdx = ∫ dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C 2 2 2  2 4 2 4 dx  Công thức 6: ∫ = tan x + C cos 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( tan x + C )′ = 1 dx 2 ⇒∫ = tan x + C cos x cos 2 x Chú ý: du +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cos u = tan u + C 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 +) ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 2 2 = tan 2 x + C 2x 2 Ví dụ:  1  dx 1 a) ∫  2 + cos x − sin 2 x  dx = ∫ 2 + ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C  cos x  cos x 2  1 2  dx dx 1 d ( 2 x − 1) 2 d (5 − 4x) b) I = ∫  +  dx = ∫ + 2∫ = ∫ − ∫  cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x  cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4 5 − 4x 2 2 2 du 1 1  →= cos2 u tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C 2 2 1 d (3 − 2x ) du dx 1 c) I = ∫ =− ∫  cos 2 u → I = − tan ( 3 − 2 x ) + C cos ( 3 − 2 x ) 2 2 cos ( 3 − 2 x ) 2 2 dx  Công thức 7: ∫ = − cot x + C sin 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( − cot x + C )′ = 1 dx ⇒ ∫ 2 = − cot x + C sin 2 x sin x Chú ý: du +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sin u = − cot u + C 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 +) ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 2 2 2x = − cot 2 x + C 2 Ví dụ: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  5. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  1  dx 1 x6 a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C  sin x  sin x 2 3 1 d (1 − 3 x ) du dx 1 1 b) I = ∫ 2 =− ∫ 2 sin 2 u → I = − − cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C sin (1 − 3x ) 3 sin (1 − 3 x ) 3 3  x d  du  x = 2 ∫    dx 2 c) I = ∫ sin 2 u → I = −2 cot   + C  x   x  2 sin 2   sin 2   2 2  Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C  2 x+ k 1  ∫ e dx = e 2 x + k + C 1 1  +) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C  2 → a a  e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C  ∫ 2 Ví dụ:  1 4  dx 4 1 1 d ( 3x ) a) ∫  e −2 x +1 − 2 +  dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x  sin 3x x sin 3 x x 2 3 sin 3 x 1 1 = − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C 2 3 ∫ ( 4e + cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx = 4 3x+2 1 b) 3 x+2 ∫ e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 3 3 4 1 = e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C 3 3 ax  Công thức 9: ∫ a x dx = +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy, do  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C  ln a  ln a ln a Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C 1 kx + m 1 +) ∫ a kx + m dx = ∫ a d ( kx + m ) = a kx + m + C k k Ví dụ: 23 x 32 x a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = 1 3x 1 2x ( ) ∫ ( ) 3∫ 2 d 3 x + 3 d 2 x a u du → I = + +C 2 3ln 2 2ln 3 21− 2 x 3 4 x + 3 ∫ (2 − e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = − 1− 2 x 1 3 b) + e +C 2 4 2ln 2 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  6. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C ax • ∫ a x dx = + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ dx = x + C • ∫ cos xdx = sin x + C α +1 x • ∫ xα dx = + C, (α ≠ −1) • ∫ sin xdx = − cos x + C α +1 1 1 • ∫ x dx = ln x + C • ∫ dx = tan x + C cos2 x • ∫ e x dx = e x + C 1 • ∫ dx = − cot x + C sin2 x 1 1 ax + b • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) • ∫ eax + b dx = e + C , (a ≠ 0) a a 1 1 1 • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) • ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C a LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng  F ( x) = (4 x − 5)e x  F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5 a)  b)   f ( x) = (4 x − 1)e  f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3 x 5 3   x2 + 4   x2 − x 2 + 1  F ( x) = ln  2   F ( x) = ln   x +3  x2 + x 2 + 1 c)  d)   f ( x) = −2 x  f ( x) = 2 2( x 2 − 1)  ( x + 4)( x 2 + 3) 2  x4 + 1 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các nguyên hàm sau  1 1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = ..........................................................................  x 2 x4 + 3 2) ∫ dx = .................................................................................. x2 x −1 3) ∫ x2 dx = ................................................................................... ( x 2 − 1)2 4) ∫ dx = .............................................................................. x2 5) ∫ ( ) x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................  1 2  6) ∫  − 3  dx = ...............................................................................  x x x 7) ∫ 2sin 2 dx = ............................................................. 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  7. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................ 9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................ 1 10) ∫ dx = ......................................................................................... sin x.cos 2 x 2 cos 2 x 11) ∫ dx = .................................................................................................................................... sin 2 x.cos 2 x 12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................ 13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................  e− x  14) ∫ e x  2 +  dx =.......................................................................................  cos 2 x   2x  15) ∫  e3 x +1 +  dx = ......................................................................................................................  x −1  Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5; F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 − 5 cos x; F (π) = 2 3 − 5x 2 x2 + 1 3 c) f ( x ) = ; F ( e) = 1 d) f ( x ) = ; F (1) = x x 2 x3 − 1 1 e) f ( x ) = ; F (−2) = 0 f) f ( x ) = x x + ; F (1) = −2 x2 x π 3x 4 − 2 x 3 + 5 g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; F '  = 0 h) f ( x ) = ; F (1) = 2 3 x2 x3 + 3x3 + 3x − 7 x π π i) f ( x ) = ; F (0) = 8 k) f ( x) = sin 2 ; F   = ( x + 1)2 2 2 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: π a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; F  =3 2 b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (π) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F (2) = −2 Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):  F ( x ) = ln x 2 − mx + 5  F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3  a)  2 . Tìm m. b)  2x + 3 . Tìm m.  f ( x ) = 3 x + 10 x − 4  f (x) = 2  x + 3x + 5 Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  8. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x  F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x a)  . Tìm a, b, c. b)  . Tìm a, b, c.  f ( x ) = ( x − 3)e x  f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):  F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x  F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x a)  2 −2 x . Tìm a, b, c. b)  2 −x . Tìm a, b, c.  f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e  f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):  b c a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.   f ( x ) = cos x  F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3  b)  20 x 2 − 30 x + 7 . Tìm a, b, c.  f ( x ) =  2x − 3 Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 1) I1 = ∫(x 5 + 2 x dx ) ∫  1  2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx x  3) I 3 = ∫( 5 x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx )  1 2 x  1  2 x4 + 3 4) I 4 = ∫  5  x − 4 x 3 + 2  dx x  5) I 5 = ∫  x +  dx x 6) I 6 = ∫ x2 dx Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: ( ) (x + 4) 2 2 x −1 2 8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx 2 7) I 7 = ∫ dx 3 9) I 9 = ∫ dx x x2 3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1 x2 − x x − x  1 1  10) I10 = ∫ dx 11) I11 = ∫ dx 12) I12 = ∫  − 3  dx x2 x  x x Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: ( ) 2  1  3  1  2 2 x − 3 3x 13) I13 = ∫  x −   dx x 14) I14 = ∫  x + 3  dx  x 15) I15 = ∫ x dx x +1 16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx 17) I17 = ∫ 1 (2 x − 3)5 dx 18) I18 = ∫ ( x − 3) 4 dx Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:  x π  x  x  ∫ 19) I19 = sin  +  dx 2 7  3 ∫ 20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx 21) I 21 = ∫  sin + x  dx  2    π x +1 2 x x   ∫ 22) I 22 =  sin  3x +  − sin 4  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 2  2 24) I 24 = ∫ sin 2 dx 2 Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx dx dx 26) I 26 = ∫ 27) I 27 = ∫ cos 2 4 x cos ( 2 x − 1) 2 dx 29) I 29 = ∫ tan 4 x dx 30) I 30 = ∫ cot 2 x dx 31) I 31 = ∫ sin ( 2 x + 3) 2 Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx  1   1  32) I 32 = ∫ 33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx 34) I 34 = ∫  x 2 +  dx 1 − cos 6 x  x   3x + 2   1  x+2 2x −1 35) I 35 = ∫  sin 2 x −  dx 36) I 36 = ∫ dx 37) I 37 = ∫ dx  2 − 5x  x−3 4x + 3 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  9. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: x x 2 + x + 11 2x2 − x + 5 38) I 38 = ∫ dx 39) I 39 = ∫ dx 40) I 40 = ∫ dx 6 − 5x x+3 x −1 3x 3 + 2 x 2 + x + 1 4 x3 + 4 x 2 − 1 4 x2 + 6x + 1 41) I 41 = ∫ dx 42) I 42 = ∫ dx 43) I 43 = ∫ dx x+2 2x + 1 2x + 1 Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 44) I 44 = ∫ e −2 x + 3 dx 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx 2    e− x  49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx 2 47) I 47 = ∫  e− x + 2  dx 48) I 48 = ∫ e x  2 +  dx  sin (3 x + 1)   cos 2 x  Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 1 2x 50) I 50 = ∫ 2x dx 51) I 51 = ∫ 7x dx ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2