Một cách khai thác bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai

Chia sẻ: Nguyen Thanh Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

687
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo cho các bạn ôn thi toán

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một cách khai thác bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai

MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘ T SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA TAM THỨ C BẬC HAI Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái Bài toán so sánh một số α với các nghiệm của tam thức b ậc hai hay gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đ ẳng hiện nay và cũng gây không ít khó khăn cho các thí sinh. Hơn n ữa từ khi áp dụng chương trình phân ban THPT, trong chương trình Đại số 10 không còn giới thiệu nội dung định lí đảo về đấu của tam thức bậc hai. Do vậy, học sinh càng khó khăn hơn trong việc giải các bài toán này. Trong bài viết này chúng tôi trao đổ i với các bạn một kỹ thuật nhỏ đ ể giải quyết tố t các bài toán liên quan đ ến bài toán trên. Giả sử cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt −b c x1 , x2 ( x1 < x2 ) . Đ ặt S = x1 + x2 = ; P = x1.x2 = . So sánh một số α với các a a nghiệm của tam thức bậc hai. Ta xét các bài toán sau: 1. Bài toán 1.Tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm thoả mãn x1 < α < x2 . Cách giải: Đ iều kiện của bài toán tương đương với x1 − α < 0 < x2 − α . Đ ặt x − α = y , sau đó biến đổ i f ( x) = ax 2 + bx + c về tam thức b ậc hai ẩn là y . V ậy để b ài toán thoả m ãn điều kiện đã cho thì tam thức bậc hai f ( y ) phải có hai nghiệm trái d ấu. * Thí dụ 1. Tìm m để phương trình (2m − 1) x 2 + ( m2 − 1) x + m + 2 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 < 1 < x2 . Lời giải. Đặt f ( x) = (2m − 1) x 2 + ( m2 − 1) x + m + 2 , từ giả thiết x1 < 1 < x2 ⇔ x1 − 1 < 0 < x2 − 1 Đ ặt x − 1 = y ⇒ x = y + 1 . V ậy f ( y ) = (2m − 1)( y + 1) 2 + ( m2 − 1)( y + 1) + m + 2 = (2m − 1) y 2 + ( m2 + 4m − 3) y + m 2 + 3m Đ ể bài toán được thoả mãn thì tam thức bậc hai f ( y ) có hai nghiệm phân biệt 1 trái dấu ⇔ (2m − 1)(m 2 + 3m) < 0 ⇔ m < −3 hoặc 0 < m < . 2 2x − 1 * Thí dụ 2. Cho hàm số y = (1) x +1 V ới giá trị nào của m , đường thẳng d m đi qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai đ iểm thuộc hai nhánh. Lời giải. Phương trình của đ ường thẳng d m : y = m( x + 2) + 2 X ét phương trình hoành độ giao điểm của d m và đồ thị hàm số (1): 1
2x − 1 = m( x + 2) + 2 x +1 ⇔ mx 2 + 3mx + 2m + 3 = 0 ( x ≠ −1) Đ ể d m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏ a mãn x1 < −1 < x2 . Đ ặt x + 1 = y , phương trình trên trở thành my 2 + my + 3 = 0 , pt này phải có hai nghiệm trái d ấu ⇔ 3.m < 0 ⇔ m < 0. 2. Bài toán 2. Tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm tho ả mãn α < x1 < x2 . Cách giải: Đ iều kiện α < x1 < x2 ⇔ 0 < x1 − α < x2 − α . Đ ặt x − α = y , dẫn đến m ột tam thức bậc hai ẩn y là f ( y ) có hai nghiệm dương phân biệt. * Thí dụ 3 . Tìm m để phương trình x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 1 < x1 < x2 . Lời giải. Điều kiện 1 < x1 < x2 ⇔ 0 < x1 − 1 < x2 − 1 . Đ ặt x − 1 = y , phương trình đã cho trở thành y 2 − y + 2m − 3 = 0 . Để bài toán thỏa mãn thì phương trình m ới phải có hai nghiệm phân biệt đều dương  ∆ = −8m + 13 > 0  2 13 ⇔ S = 1 > 0 ⇔ 0  mx 2 − x + m + 1 * Thí dụ 4. Cho hàm số y = (1) ( m là tham số) x −1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt và có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải. Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 ⇔ phương trình f ( x) = mx 2 − x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 đều lớn hơn 1, tức là 1 < x1 < x2 . Tương tự thí d ụ 3, đặt x − 1 = y , ta được phương trình my 2 + (2m − 1) y + 2m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt đều dương  m ≠ 0 m ≠ 0   ∆ = −4m − 4m + 1 > 0  2  −1 − 2 −1 + 2 −1 + 2  ⇔ ⇔ 0 2 2 2 m   1 0 < m < 2 P = 2 > 0   3. Bài toán 3. Tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm tho ả mãn x1 < x2 < α . Cách giải: Tương tự như bài toán 2. 2
2 x 2 − 3x + m * Thí dụ 5. Cho hàm số y = (1) ( m là tham số) x −1 Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên kho ảng ( 3; + ∞ ) . Lời giải. TX Đ: R \ {1} . Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 3; + ∞ ) 2 x2 − 4 x + 3 − m g ( x) ⇔ y'= = ≥ 0 ∀x > 3 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 X ét g ( x) = 2 x 2 − 4 x + 3 − m có ∆ ' = 2m − 2 . N ếu ∆ ' ≤ 0 ⇔ m ≤ 1 , thì g ( x) ≥ 0 ∀x , suy ra y ' ≥ 0 ∀x ≠ 1 , vậy hàm số (1) đồng biến trên toàn MXĐ, suy ra nó đồng biến trên khoảng ( 3; + ∞) . N ếu ∆ ' > 0 ⇔ m > 1 thì y ' ≥ 0 ∀x > 3 ⇔ g ( x ) ≥ 0 ∀x > 3 khi và chỉ khi g ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 ≤ 3 ⇔ g ( y) = 2 y 2 + 8 y + 9 − m ( với y = x − 3 ) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn ho ặc bằng 0.  m > 1 m > 1  ⇔  S = −4 < 0 ⇔ ⇔ 1< m ≤ 9 m≤9   9−m P = ≥0  2 Đ áp số: m ≤ 9 1 * Thí dụ 6. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + mx − 2 (1) ( m là tham số) 3 Tìm m để hàm số đồ ng biến trên khoảng ( −∞;1) . Lời giải. TX Đ: R Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( −∞;1) khi và chỉ khi y ' = x2 − 4 x + m ≥ 0 ∀x < 1 X ét g ( x) = x 2 − 4 x + m có ∆ ' = 4 − m . N ếu ∆ ' ≤ 0 ⇔ m ≥ 4 thì y ' ≥ 0 ∀x . Do vậy, hàm số (1) đồng biến trên toàn R, vậy nó đồng biến trên kho ảng ( −∞;1) . N ếu ∆ ' > 0 ⇔ m < 4 thì y ' ≥ 0 ∀x < 1 khi và chỉ khi g ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 ≤ x1 < x2 ⇔ g ( y) = ( y + 1) 2 − 4( y + 1) + m = y 2 − 2 y + m − 3 có hai nghiệm phân biệt không âm m < 4 m < 4  ⇔ S = 2 > 0 ⇔ ⇔ 3≤ m< 4 m≥3  P = m − 3 ≥ 0  Đ áp số: m ≥ 3 . 3
* Bài tập tự luyện. Bài 1. Tìm m để p hương trình ( m + 4) x 2 + (m 2 − m) x + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < −1 < x2 . Bài 2. Tìm m để phương trình ( m + 1) x 2 − (2m − 1) x + m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn −2 ≤ x1 < x2 . x+2 Bài 3. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ). 2x + 1 Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d m : y = mx + m − 1 cắt ( C ) tại hai điểm thuộc cùng mộ t nhánh của ( C). x2 − 2 x + 4 Bài 4. Cho hàm số y = có đồ thị ( C). x−2 Tìm m để đường thẳng d m : y = mx + 2 cắt đ ồ thị ( C) tại hai đ iểm phân biệt có hoành độ đ ều nhỏ hơn 2. −1 3 Bài 5. Cho hàm số y = x + ( m − 1) x 2 + (m + 3) x − 4 ( m là tham số) 3 Tìm m để hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; 3). 4