Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác, phát triển các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác, phát triển các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian" được hoàn thành với mục tiêu nhằm đề xuất một số cách khai thác và phát triển một số dạng bài tập về khoảng cách trong hình học không gian, nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác, phát triển các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: “PHÁT TRIỂN TƯ DUY, NĂNG LỰC HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” MÔN: TOÁN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ANH SƠN I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: “PHÁT TRIỂN TƯ DUY, NĂNG LỰC HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” MÔN: TOÁN Nhóm tác giả: 1. Lê Đăng Khoa 2. Nguyễn Công Trung Tổ: Toán Tin Đơn vị: Trường THPT Anh Sơn 1 Điện thoại: 0914 596 686 Anh Sơn, tháng 4 năm 2024
MỤC LỤC Phần 1. Đặt vấn đề Trang 1 1.1 Lí do chọn đề tài Trang 1 1.2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Trang 1 1.3 Mục đích sáng kiến Trang 1 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 1 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trang 2 1.6 Những đóng góp của đề tài Trang 2 Phần 2. Nội dung nghiên cứu Trang 3 I. Cơ sở lí luận của đề tài Trang 3 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Trang 3 2. Cơ sở lí luận của đề tài Trang 3 3. Cơ sở thực tiễn của đề tài Trang 5 II. Giải pháp hình thành khai thác và phát triển bài toán khoảng cách Trang 9 1. Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan Trang 9 2. Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động Trang 9 định hướng hình thành và phát triển các bài toán khoảng cách. 2.1 Định hướng xây dựng các bài toán mới về khoảng cách Trang 9 2.2 Thiết kế các hoạt động định hướng và phát triển các bài toán mới Trang 10 xuất phát từ bài toán gốc 2.2.1 Xây dựng bài toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và Trang 10 mặt phẳng 2.2.2 Xây dựng các bài toán khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng Trang 24 song song; giữa hai mặt phẳng song song 2.2.3 Xây dựng bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo Trang 30 nhau 2.3. Tổ chức thực hiện đề tài Trang 41 3. Áp dụng sáng kiến Trang 47 4. Ý nghĩa của đề tài Trang 48 PHẦN III. Kết luận và kiến nghị Trang 50 Tài liệu tham khảo Trang 51 Phụ lục
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục , năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh. Đặt mục tiêu làm sao để tri thức, trí thức của học sinh được rèn luyện, mài dũa, một cách tốt nhất phù hợp với mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông 2018. Tôi nhận thấy rằng rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, tạo các chủ đề hoạt động học tập tích cực làm việc là một việc cần thiết, quan trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người giáo viên khi giảng dạy. Qua kì thi TNTHPT, các đề thi thử và rất nhiều đề của các tỉnh thành thi học sinh giỏi trong các năm gần đây xuất hiện khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài toán đòi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thưc, năng lực ở mức độ cao. Một trong số các bài toán đó có bài toán khoảng cách trong không gian. Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán hình học không gian nói chung và đặc biệt là các bài toán về khoảng cách. Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để có thể giúp học sinh giải quyết được các bài toán này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư duy, nâng cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác, phát triển các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian”. 1.2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh ôn thi THPT. - Học sinh ôn thi học sinh giỏi. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 1.3 MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai thác và phát triển một số dạng bài tập về khoảng cách trong hình học không gian, nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh. Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. 1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu cơ sở lí thuyết và ứng dụng của hình không gian. Nghiên cứu một số phương pháp tính khoảng cách trong không gian. Nghiên cứu phương pháp dạy học thích hợp: Hoạt động nhóm, dạy học dự án. 1
Đề xuất biện pháp, thiết kế, tổ chức dạy học, tiến hành trong giờ học đối với môn toán ở trường THPT, tính khả thi và hiệu quả của đề tài. Xây dựng các tiêu chí, công cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh. Thực nghiệm sư phạm của để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp. 1.5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lí thuyết. Phương pháp thống kê. Phương pháp tham vấn. Phương pháp định hướng năng lực. Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm nhỏ cho học sinh thực hiện. 1.6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Lựa chọn và nghiên cứu được cơ sở lí luân, cơ sở thực tiễn của hoạt động sáng tạo khám phá bài toán mới. Rèn luyện các phẩm chất trung thực trách nhiệm chăm chỉ, các năng lực tự chủ, tự lực, tự học, giao tiếp hợp tác, giải quyết vấn đề sáng tạo, năng lực ngôn ngữ. Rút ra được một số kinh nghiệm dạy học, phát huy tính tự giác, sáng tạo, tạo hứng thú trong học tập cho học sinh. 2
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh mà bỏ qua hoạt động rèn luyện tư duy, kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển thì không những bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức, mà các em học sinh thường sẽ bị động trước một vấn đề tưởng chừng như mới mẻ của toán học, khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của học sinh sẽ bị hạn chế. I. Cơ sở khoa học của đề tài 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’. Toán học có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác. Chủ đề khoảng cách trong không gian nằm ở ‘’Bài 5 chương 3’’ trong hệ thống sách giáo khoa hình học lớp 11 cơ bản và trong chương trình 2018 trong chương trình toán 11 tập 2 bài 26 sách KNTT và CS; đây là phần kiến thức gây rất nhiều khó khăn cho hầu hết các học sinh bởi tính trừu tượng, kiến thức vận dụng kết hợp khá nhiều. Tuy nhiên cũng là phần có nhiểu nội dung và phương pháp có thể giúp cho học sinh phát triển các năng lực Toán học. Tuy nhiên trong thực tiễn giảng dạy, chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán hình học không gian đặc biệt là các bài toán về khoảng cách. 2. Cơ sở lí luận của đề tài 2.1. Cơ sở lí thuyết - Cơ sơ lí thuyết hình học không gian và các vấn đề liên quan. - Các định lí, tính chất, quy tắc về khoảng cách trong hình không gian. - Các phương pháp giải toán về: 3
+) Tính khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng. +) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. +) Tính khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. +) Bài toán cực trị hình học không gian. - Xây dựng các dạng bài tập: Tự luận, trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn, trắc nghiệm khách quan dạng đúng sai, trả lời ngắn, điền khuyết. 2.2. Vai trò của đề tài Trong dạy học nói chung và dạy học bộ môn Toán học nói riêng, để nâng cao chất lượng dạy học, chúng ta có thể sử dụng kết hợp nhiều hình thức tổ chức, nhiều phương pháp dạy học khác nhau. Trong đó, dạy học bằng phương pháp định hướng phương pháp giải các bài toán thông qua đó khai thác phát triển các bài toán mới một cách tương tự giúp học sinh phát triển tốt rất nhiều phẩm chất, năng lực. +) Về phẩm chất: Theo định hướng mới, chương trình giáo dục phổ thông hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu sau: yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm. Trong đó khi thông qua phương pháp này giúp học sinh chủ động, tự tìm tòi phát triển các bài toán, cụ thể có thể giúp học sinh: Yêu nước: Thông qua tìm hiểu các mô hình, hình ảnh về các công trình xây dựng trên thế giới như các kì quan, trong nước như quảng trường ba đình, chùa một cột, cố đô Huế..., bồi đắp thêm tình yêu thiên nhiên, bảo vệ cảnh quan, bảo vệ môi trường. Nhân ái: Thông qua hoạt động làm việc nhóm, học sinh học cách cảm thông, chia sẻ, tôn trọng sự khác biệt, biết lắng nghe và tôn trọng ý kiến của người khác. Chăm chỉ: Để hoàn thành nhiệm vụ được giao, yêu cầu HS phải tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, tìm giải pháp; từ đó có ý thức đánh giá điểm mạnh, điểm yếu của bản thân, thuận lợi, khó khăn trong học tập để xây dựng kế hoạch học tập; Tích cực tìm tòi và sáng tạo trong học tập; có ý chí vượt qua khó khăn để đạt kết quả tốt trong học tập. Trung thực: Học sinh học được tính trung thực trong quá trình làm việc và báo cáo kết quả, qua sự đánh giá khách quan của giáo viên và các học sinh khác. Trách nhiệm: Thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ được giao, học sinh thể hiện sự trách nhiệm đối với bản thân, với công việc và chịu trách nhiệm với tập thể (nhóm, lớp) Về năng lực: Khi sử dụng phương pháp phát triển các bài toán mới, giúp hình thành và phát triển ở học sinh các năng lực chung và các năng lực đặc thù bao gồm: 4
Năng lực tự chủ và tự học: Để hoàn thành nhiệm vụ học tập theo phương pháp này, HS cần tự lực xây dựng kế hoạch nhóm, kế hoạch cá nhân, tích cực tìm tòi; làm chủ cảm xúc khi làm việc chung, khi trình bày sản phẩm trước tập thể… Năng lực giao tiếp và hợp tác: Trong quá trình hoạt động nhóm, học sinh rèn luyện khả năng giao tiếp, thống nhất ý kiến, Biết sử dụng ngôn ngữ kết hợp với các loại phương tiện phi ngôn ngữ đa dạng để trình bày thông tin, ý tưởng của nhóm; Biết theo dõi, đánh giá được khả năng hoàn thành công việc của từng thành viên trong nhóm để đề xuất điều chỉnh phương án phân công công việc và tổ chức hoạt động hợp tác… Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo: Để khai thác, phát triển bài toán khoảng cách theo yêu cầu của giáo viên, học sinh cần năm vững phương pháp, cách thức và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các thành viên trong nhóm; mạnh dạn đưa ra các ý tưởng đôt phá; Biết xem xét, đánh giá lại các vấn đề. Năng lực tính toán: Thông qua thực hành các phép tính trong giải toán giúp học sinh có tính toán nhanh, chính xác. 2.3. Cơ sở khoa học -Khả năng vận dụng tổ chức dạy học Toán học thông qua hoạt động định hướng, khai thác và phát triển các bài toán. - Cơ sở của việc vận dụng tổ chức dạy học phát triển phẩm chất, năng lực học sinh. 3.Cơ sở thực tiễn của đề tài - Kiến thức của học sinh trong chủ đề hình học không gian và các kiến thức liên quan. - Các dạng bài toán khoảng cách trong các kì thi học sinh giỏi,thi thử THPTQG, thi TNPT trong các năm gần đây. - Thông qua các bài toán trong các đề thi THPTQG, đề thi thử của các sở, các trường, kỳ thi học sinh giỏi của nhiều trường, tỉnh và thành phố trong những năm gần đây. - Năng lực của giáo viên, học sinh trong việc phát hiện, khai thác, phát triển bài toán mới. - Phát triển được một lớp các bài toán khá mới mẻ, phát huy được tính tích cực chủ động học tập sáng tạo trong học sinh. - Hiệu quả tốt trong giáo dục rèn luyện tư duy và nâng cao năng lực, phẩm chất học sinh 3.1. Thực trạng dạy học định hướng phát triển phẩm chất, năng lực và dạy học chủ đề Toán ở trên địa bàn. Để tìm hiểu thực trạng tiếp cận phương pháp dạy học và đánh giá kết quả 5
học sinh định hướng phát triển năng lực theo tinh thần chỉ đạo của của Bộ GD&ĐT. Chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng hiểu biết và sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học mới trong giảng dạy ở các trường THPT: Anh Sơn 1, 2, 3 trên địa bàn Anh Sơn và vùng huyện lân cận. Hoạt động điều tra được tiến hành bằng cách xây dựng phiếu điều tra theo biểu mẫu trên Google Driver. Đường link khảo sát ( https://forms.gle/uRELqcqcFieVetDe9 ) Kết quả ( danh sách phần phụ lục) cụ thể như sau: Kết quả TT Nội dung trao đổi Số Tỷ lệ lượng Thầy (cô) đã từng áp dụng dạy khai thác và phát triển các bài toán khoảng cách trong hình học không gian? a. Tôi chưa từng áp dụng 12 48% 1 b. Đã từng áp dụng dạy khai thác và phát triển các 10 40% dạng toán? c. Đã từng áp dụng dạy khai thác và phát triển các 3 12% bài toán khoảng cách trong hình học không gian Thầy (cô) nhận xét về hứng thú học tập của học sinh khi học chủ đề ‘’khoảng cách’’ trong hình học không gian 11? 2 a. Không thích học 15 60% b. Bình thường 7 28% c. Hứng thú, tích cực 3 12% Nếu việc dạy học áp dụng dạy khai thác và phát triển các bài toán khoảng cách trong hình học không gian có hiệu quả không? 3 a. Không hiệu quả 0 0% b. Hiệu quả bình thường 0 0% c. Rất hiệu quả 25 100% Qua kết quả điều tra, có thể nhận thấy: - Kết quả điều tra về thực áp dụng dạy khai thác và phát triển các bài toán khoảng cách trong hình học không gian, hầu hết các giáo viên lên lớp chủ yếu dạy theo kiểu truyền thống là nêu bài tập, phương pháp rồi cho học sinh giải, rất ít giáo viên sử dụng phương pháp hướng dẫn định hướng khai thác và phát triển bài toán để tìm hiểu kiến thức đồng thời phát triển các năng lực và phẩm chất cho học sinh. 6
- Các giáo viên hầu hết cho rằng chủ đề “Khoảng cách” là một chủ đề hay khó và hấp dẫn, tuy nhiên học sinh chưa có nhiều hứng thú học tập ở phần kiến thức này, do một phần hình học không gian trừu tượng,đòi hỏi học sinh nắm vững và biết liên hệ các kiến thức lại với nhau, nhiều giáo viên chưa tìm ra phương pháp và cách thức tổ chức dạy học phù hợp. Vì vậy, hầu hết các giáo viên đồng ý rằng nếu vận dụng phương pháp định hướng và khai thác phát triển bài toán mới thành công thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán. 3.2. Hứng thú học tập của học sinh đối với phương pháp định hướng khai thác và phát triển bài toán ở các Trường THPT trên địa bàn. Trước khi tiến hành triển khai giải pháp của đề tài, chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng về hứng thú học tập của học sinh đối với bộ môn Toán và phương pháp dạy học khai thác phát triển mở rộng bài toán khoảng cách ở các trường THPT Anh Sơn 1,2,3 và các thông qua điều tra bằng phiếu thăm dò với học sinh. Hoạt động điều tra được tiến hành bằng cách xây dựng phiếu điều tra theo biểu mẫu trên Google Driver và phỏng vấn trực tiếp. Đường link khảo sát ( https://forms.gle/epoHeyTPpZxxwKNG7 ) Kết quả cụ thể như sau: Kết quả TT Nội dung trao đổi Số Tỷ lệ lượng 1 Em có thích học Toán không? a. Không thích. 19/132 14% b. Bình thường. 62/132 47% c. Rất thích. 51/132 39% (Nếu chọn a,b trả lời tiếp câu 2; nếu chọn c trả lời câu 3) 2 Tại sao em không thích môn Toán? a. Vì môn Toán khó, trừu tượng. 41/81 51% b. Vì giờ học kém thú vị. 27/81 33% c. Lí thuyết khó vận dụng vào thực tiễn. 13/81 16% 3 Tại sao em thích học môn Toán? a. Vì em có năng lực tự nhiên tốt và có nguyện vọng học 29/51 57% các ngành học sử dụng kết quả học và thi môn Toán để 7
Kết quả TT Nội dung trao đổi Số Tỷ lệ lượng xét tuyển. b. Vì môn Toán có nhiều vấn đề hấp dẫn. 14/51 27% c. Vì môn Toán gần gũi với thực tiễn cuộc sống. 8/40 16% Em đã từng được học các giờ học được định hướng phương pháp, khai thác 4 và phát triển bài toán ở trường THPT chưa? a. Chưa bao giờ. 26/132 20% b. Đã từng. 81/132 61% c. Rất nhiều 25/132 19% Em có thích học các giờ học trong đó GV tổ chức các hoạt động dạy học 5 tích cực không? a. Rất thích 105/132 80% b. Bình thường 27/132 20% c. Không thích 0/132 0% Em có mong muốn gì khi học tập môn Toán? 6. ………………………………………………………… Qua kết quả điều tra có thể nhận thấy: - Thực tế chưa có nhiều học sinh yêu thích môn Toán; chỉ có một số ít em cảm thấy yêu thích môn học này và chọn môn Toán trong tổ hợp môn xét tuyển trong các kì thi tuyển sinh vào các trường ĐH, Cao đẳng. - Hầu hết các em cho rằng môn Toán có nhiều kiến thức khó, trừu tượng. Đặc biệt là các kiến thức hình học không gian…; nhiều em thấy khó khăn trong vấn đề phát triển các năng lực nhận thức và tìm hiểu thế giới sống và vận dụng các kiến thức được học để giải quyết các vấn đề thực tiễn. - Theo điều tra, một số học sinh đã trải nghiệm phương pháp dạy học định hướng khai thác và phát triển bài toán, nhưng chưa từng tự cỏ thể làm. Các em rất hứng thú với các phương pháp dạy học mới vì mong muốn được tham gia nhiều hoạt động trong quá trình học thay vì tiếp thu kiến thức một chiều từ giáo viên. 8
- Hầu hết học sinh mong muốn được tham gia khám phá tìm tòi, tham gia nhiều hoạt động trong học tập môn Toán, mong muốn tiết học được diễn ra thú vị hứng khởi. Như vậy, thông qua điều tra thực trang dạy và học ở địa phương cho thấy tầm quan trọng của đổi mới phương pháp và hình thức tổ chức dạy học, trong đó đưa các PPDH mới và vận dụng vào thực tiễn công tác là việc làm cần thiết để nâng cao chất lượng. Đồng thời cho thấy phương pháp tổ chức định hướng khai thác và phát triển bài toán là phù hợp để phát triển năng lực người học thông qua các hoạt động tổ chức học tập được giáo viên xây dựng một cách khoa học, bài bản. II. GIẢI PHÁP HÌNH THÀNH KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH. 1. Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan Các định hướng xây dựng bài toán mới Bài toán gốc Khoảng cách Khoảng khoảng Khoảng cách giữa từ điểm đến cách giữa hai đường thẳng song đường thẳng, đường thẳng song mặt phẳng; mặt phẳng chéo nhau khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 2. Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động định hướng và hình thành, phát triển các bài toán khoảng cách, cực trị hình học. 2.1. Định hướng xây dựng bài toán mới xuất phát từ bài toán gốc - Phân tích lí thuyết và phương pháp giải toán hình học không gian . - Xây dựng phương pháp thực hiện. - Các định hướng cụ thể phát triển, xây dựng các bài toán mới Bài toán gốc Khoảng cách Khoảng Khoảng cách giữa từ điểm đến khoảng cách đường thẳng song đường thẳng, giữa hai song mặt phẳng; mặt phẳng đường thẳng khoảng cách giữa hai chéo nhau mặt phẳng song song 9
2.2. Thiết kế các hoạt động định hướng và phát triển các bài toán mới xuất phát từ bài toán gốc +) Định hướng phát triển bài toán tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. +) Định hướng phát triển bài toán tính khoảng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. +) Định hướng phát triển bài toán khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 2.2.1. Định hướng, xây dựng phát triển các bài toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. 2.2.1.1. Định nghĩa khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   : Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng   . Ta có d  M ;   MH . Nhận xét: + Ta có: d  M ;   MN ; N    . Dấu bằng xảy ra khi N  H . + Với ;     ta có d  M ;   d  M ;  . Dấu bằng xảy ra khi H     M ;      . 2.2.1.2. Một số phương phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Để tính được khoảng cách từ điểm M đến mp   ta có các định hướng sau: a) Phương pháp tính trực tiếp. + Dựng hình chiếu H của điểm M lên mp    d  M ;     MH . + Tính độ dài MH . Chú ý các kiến thức nền dùng để xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng. b) Phương pháp chuyển đổi khoảng cách: Để thực hiện việc chuyển đổi khoảng cách ta thường sử dụng các bài toán sau. 10
+ Chuyển đổi khoảng cách từ điểm qua điểm thông qua đại lượng trung gian là đường thẳng, cụ thể: Cho đường thẳng    qua A và song song với mặt phẳng   . Ta có: d  A;     d     ;     d  B;    ; B     . + Chuyển đổi khoảng cách từ điểm qua điểm thông qua đại lượng trung gian là mặt phẳng, cụ thể: Cho Mp    qua A và song song với mặt phẳng   . Ta có: d  A;     d     ;     d  B;    ; B     . + Chuyển đổi khoảng cách từ điểm qua điểm thông qua tỉ số đoạn thẳng, d  A;    AH cụ thể: Cho AB     H . Ta có:  . d  B ;    BH c) Phương pháp sử dụng thể tích (Áp dụng cho học sinh lớp 12). Để áp dụng phương pháp thể tích tính khoảng cách ta áp dụng các công thức sau: + Công thức tính thể tích khối chóp S . ABC là: 1 3V VS . ABC  d  S ;  SBC  .S ABC  d  S ;  ABC    S . ABC 3 S ABC + Công thức thể tích khối lăng trụ ABC . ABC  là: 1 V VABC . ABC   d  A;  ABC    .SABC  d  A;  ABC     ABC . ABC  . 3 S ABC d) Phương pháp tọa độ (Dành cho học sinh lớp 12). Quy trình giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ: + Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (Chọn gốc tọa độ, trục tung, trục hoành, trục cao và các véc tơ đơn vị trên các trục) + Bước 2: Tính tọa độ các điểm liên quan đến giả thiết và kết luận bài toán. + Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian. + Bước 4: Kết luận cho bài toán ban đầu. 2.2.1.3. Các bài tập minh họa. Bài 1. (Câu 31 - Đề minh họa 2024) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc 3a với mặt phẳng  ABCD  và SA  . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  bằng 3 a a 3 a 14 A. . B. a . C. . D. . 2 3 7 11
Giải. Chọn A Trong  SAD  , gọi H là hình chiếu của A đến đường thẳng SD . Khi đó AH  SD 1 . Mặt khác DC   SAD   DC  AH  2  . Từ 1 2   AH   SCD  SA. AD a  d  A,  SCD    AH   SA  SD 2 2 2 Chú ý: Đối với học sinh lớp 12, ta cũng có thể hướng dẫn học sinh giải bài tập trên bằng nhiều phương pháp khác nhau: Cách 2. (Sử dụng phưng pháp thể tích) 1 a3 3 - Khối chóp S . ACD có thể tích VS . ACD  SA.S ACD  3 18 2a 3 - Tam giác SCD vuông tại D có CD  a ; SD  SA2  AD 2  3 1 a2 3 3V a  S SCD  CD.SD   d  A;  SCD    A. SCD  2 3 S SCD 2 Cách 3. (Ứng dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian) Chuẩn hóa a  1 ; Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho A  O  0;0;0  , B 1;0;0  , D  0;1;0  ,  3 S  0;0;  .  C 1;1;0   3      3  DC  1;0;0  ; SD   0;1;    3      1    Mặt phẳng  SCD  có một véc tơ pháp tuyến n   DC , SD    0; ;1    3   Mặt phẳng  SCD  có phương trình: y  3z  1  0 1 1 1  d  A;  SCD      d  A;  SCD    a 2 2 2 12
Nhận xét: Bài toán này là bài toán cơ bản về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian (tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên không chứa đường cao), đã có rất nhiều bài toán rất hay trong các đề thi được khai thác và phát triển. Sau đây chúng tôi mở rộng, định hướng và phát triển bài toán bằng cách dạy cho học sinh thay đổi các dự kiện hoặc câu hỏi, hoặc là lồng hình chóp một cách khéo léo vào một lăng trụ. Với phương pháp như vậy chúng tôi tạo cho học sinh hứng thú, tìm tòi, nâng cao năng lực giải một số bài toán như sau. Bài 2. Cho hình chóp O. ABC có OA  a; OB  b; OC  c và đôi một vuông góc. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  OBC  bằng a . b) 1 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  OAC  bằng b. 2 c) 1 2 Khoảng cách giữa OA và BC bằng a  b2 . 2 d) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  bằng abc a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 . a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 Giải a) Chọn đúng. Ta có từ A đến mặt phẳng  OBC  bằng: OA  a . b) Chọn sai. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  OAC  bằng OB  b . c) Chọn sai. Khoảng cách giữa OA và BC ab là d  O; BC   OM  . a2  b2 d) Chọn đúng Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng  ABC  ; M  BC  AH . Ta có  BC   AOH   BC  OM . Trong các tam giác vuông AOM ; OBC ta có 13
1 1 1 1 1 1 1 1 a 2b 2  a 2 c 2  b 2 c 2      2 2 2 .  abc  2 d 2 OH 2 OA2 OB 2 OC 2 a b c abc a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  d  O;  ABC    OH  . a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 Nhận xét: Ta có thể khéo léo thay đổi giả thiết hình chóp thành hình lăng trụ, hình hộp. Sử dụng kỹ thuật thay đổi khoảng cách…để tạo ra các bài toán mới như sau. Bài 3. (Câu 44 – Mã 102 Đề chính thức 2020 lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A BC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA  2a . Gọi M là trung điểm của CC . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A BC ) bằng 5a 2 5a 2 57 a 57 a A. . B. . C. . D. . 5 5 19 19 Giải A' C' Chọn D B'  Trong mặt phẳng ( AAC C ) , gọi I  AM  AC . Khi đó K M I MI MC 1 1    d ( M ,( A BC ))  d ( A,( A BC )) . A AI AA 2 2 C H  Gọi H là trung điểm BC , kẻ AK  AH . Vì BC  ( A AH ) nên B BC  AK hay AK  ( A BC ) . AA AH 2a 57 1 a 57 Do đó d ( A,( A BC ))  AK    d ( M ,( A BC ))  AK  . A H 19 2 19 Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình chữ nhật với AB  1; AD  2 ; SA  1 và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến  SBD  ? Đáp án: Giải Gọi H là hình chiếu của A lên BD ; K là hình chiếu của A lên SH . 1 1 1 1 5 Ta có:  2   AH 2 SA AB 2 AD 2 2 10  AH  5 14
Bài 5. Cho hình chóp đều S . ABCD , có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính khoảng cách từ A đến  SCD  ? Giải Gọi O là tâm của đáy, ta có d  A; SCD    2d O ; SCD   2h Do OS ; OC ; OD đôi một vuông góc và a 2 OS  OC  OD  , nên ta có 2 1 1 1 1 6 a 6 a 6     2 h  d  A;  SCD    . h OC OD OS 2 2 2 2 a 6 3 Bài 6. Cho hình hộp ABCD. A B C  D  có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh    a , các góc BAA  BAD  DAA  600 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) d  C ;  ABD    d  A;  ABD   . b) d  C ;  ABD    d  A;  ABCD   c) 2 d  A;  ABCD    a 3 d) a 6 d  C ;  AADD    3 Giải. a) Chọn Sai. Gọi AC  BD  O  O là trung điểm của AC (Do ABCD là hình thoi).  d  C ;  ABD    d  A;  ABD   b) Chọn Đúng. Do ABCD. A B C  D  có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a và    BAA  BAD  DAA  60 nên các tam giác ABA , ABD, ADA đều là các tam giác đều cạnh a  A . ABD là tứ diện đều cạnh a . 15
 d  A;  ABCD    d  A;  BDA    d  C ;  BDA   . c) Chọn Đúng. Do A. ABD là tứ diện đều cạnh a nên gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD  AH   ABCD  . 2 a 3 2 Ta có: AH  AO   AH  AH 2  AH 2  a . 3 3 3 2 a 6 2a  d  A ,( ABCD)   A H  a   . 3 3 3 d) Chọn Đúng. Ta có  CC BB  //  AADD   d  C ;  AADD    d  B;  AADD   a 6 Mặt khác, A. ABD là tứ diện đều nên d  B;  AAD    d  A;  ABD    2 Bài 7. Cho hình ch óp S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a . Cạnh bên SA  2a và vuông góc với đáy. Gọi K là trung điểm SC ; Mặt phẳng   chứa AK và song song với BD cắt SB và SD lần lượt tại M , N . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  AMN  . Đáp án: Giải. Gọi I  SO  AK ; Trong Mp  SBD  , từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB; SD lần lượt tại M;N . Do ABCD là hình vuông nên a 2 AO  BD và AO  . 2 1 Ta có: KO // SA  KO   ABCD  và KO  SA  a 2 Mặt phẳng   cắt  ABCD  theo giao tuyến    là đường thẳng qua A song AO.KO 3 song với BD  d  O;      OA  d  O;      a AK 3 16
SI 2a 3 Ta có d  S ;  AMN    d  O;  AMN    2d  O;  AMN    OI 3 Chú ý: Đối với học sinh lớp 12, ôn thi đại học ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách như sau: Cách 2. Gọi I  SO  AK  I là trọng tâm SAC . Từ I kẻ đường thẳng SM SN 2 song song với BD cắt SB; SD lần lượt tại M ; N    . SB SD 3 VS . AMK SA SM SK 2 1 1 VS . ANK Ta có :  . .  .   VS . ABC SA SB SC 3 2 3 VS . ADC VS . AMKN 1 1 2    VS . AMKN  VSABCD  a 3 VSABCD 3 3 9  AM  AN Tứ giác AMKN có   AK  MN  KM  KN 2 2a 2 1 a 6 Tacó: MN  BD  ; AK  SC  3 3 2 2 1 a2 3 3V 2a 3  S AMKN  AK .MN   d  S ;  AMN    S . AMKN  2 3 S AMKN 3 Cách 3. Chuẩn hóa a  1 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho A  O  0;0;0  , B 1;0;0  , D  0;1;0  , S  0;0;2   C 1;1;0  .  1 1    1 1    K  ; ;1  AK   ; ;1 2 2  2 2   2   2  4 Ta có:SM  SB   ;0;   3 3 3  2 2    2 2   M  ;0;   AM   ;0;  3 3  3 3    Mặt phẳng  AMKN  có véc tơ pháp tuyến 3  AM , AK   1;1;  1 và đi qua   2 2 3 A  0;0;0  nên có phương trình: x  y  z  0  d  S ;  AMKN     3 3 2a 3  d  S ;  AMKN    3 17