Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp" nhằm nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, đề xuất một số cách khai thác và phát triển các dạng bài tập toán từ các kiến thức về hàm hợp, nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện các phẩm chất, năng lực của học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT ANH SƠN 1 ===***=== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đê tài: “Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp” MÔN TOÁN Ngƣời thực hiện: Nguyễn Công Trung Tổ: Toán Tin Năm thực hiện: 2021 – 2022 Điện thoại: 0948962426 ========== ==========
MỤC LỤC Phần 1. Đặt vấn đề Trang 1 1.1 Lí do chọn đề tài Trang 1 1.2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Trang 1 1.3 Mục đích sáng kiến Trang 1 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 1 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trang 2 1.6 Giả thuyết khoa học Trang 2 1.7 Những đóng góp, đổi mới của đề tài Trang 2 Phần 2. Nội dung nghiên cứu Trang 3 2.1 Cơ sở lí luận của đề tài Trang 3 2.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài Trang 3 2.3 Gải pháp khai thác các bài toán hàm hợp Trang 5 2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số Trang 5 2.3.2 Thiết kế các hoạt động định khai thác, phát triển các bài toán mới Trang 5 I. Dạng 1. Bài toán tổng quát 1 Trang 5 II. Dạng 2. Bài toán tổng quát 2 Trang 13 III. Dạng 3. Bài toán tổng quát 3 Trang 23 2.3.3 Tổ chức thực hiện đề tài Trang 33 2.3.4 Kết quả sản phẩm học sinh Trang 35 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trang 35 2.4.1 Đánh giá phẩm chất năng lực Trang 36 2.4.2 Sản phẩm của học sinh Trang 38 2.4.3 Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm Trang 38 Phần 3. Kết luận và kiến nghị Trang 39 Phụ lục + sản phẩm học sinh Trang 40 Tài liệu tham khảo Trang 41
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục , năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh. Đặt mục tiêu làm sao để tri thức, trí thức của học sinh được rèn luyện, mài dũa, một cách tốt nhất. Tôi nhận thấy rằng rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, tạo các chủ đề hoạt động học tập tích cực làm việc là một việc cần thiết, quan trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người giáo viên khi giảng dạy. Qua các kì thi THPT quốc gia, các đề thi thử và thi học sinh giỏi THPT trong các năm gần đây xuất hiện khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài toán đòi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thưc, năng lực ở mức độ cao. Một trong các bài toán đó có khá nhiều bài liên quan đên các hàm hợp. Đây là phần bài toán trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp,vận dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm số, bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay là các bài toán về phương trình … Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để có thể giúp học sinh giải quyết được các bài toán này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư duy, nâng cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm ‘’ Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp ’’. 1.2. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh ôn thi đại học, thi TN-THPT. - Học sinh ôn thi học sinh giỏi. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 1.3. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai thác và phát triển các dạng bài tập toán từ các kiến thức về hàm hợp , nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện các phẩm chất, năng lực của học sinh. 1.4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu cơ sở lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số. Nghiên cứu các phương pháp dạy học thích hợp: Hoạt động nhóm nhỏ, dạy học dự án. Xây dựng các tiêu chí, công cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh. 1
Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp. 1.5. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lí thuyết. Phương pháp thống kê. Phương pháp tham vấn. Phương pháp đặt câu hỏi theo 3 kiểu: câu hỏi tự luận, câu hỏi trắc nghiệm và câu hỏi điền khuyết Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm nhỏ cho học sinh thực hiện. 1.6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nghiên cứu cơ bản các cách khai thác bài toán mới; nghiên cứu các ứng dụng của đạo hàm của hàm số, nghiên cứu triển khai dạy học các chủ đề toán học. Từ thực tiễn các đề thi HSG, THPT các năm gần đây về các dạng bài toán hàm số hợp. Các bài toán hàm hợp ở mức độ VD-VDC chiếm một tỉ trọng khá lớn trong các đề thi, từ đó đưa ra các suy đoán, định hướng cho việc khai thác các bài toán mới. 1.7. NHỮNG ĐÓNG GÓP, ĐỔI MỚI CỦA ĐỀ TÀI Lựa chọn và nghiên cứu được cơ sở lí luân, cơ sở thực tiễn của hoạt động sáng tạo khám phá bài toán mới. Khai thác và khám phá các bài toán mới, đáp ứng yêu cầu ôn thi HSG, thi đại học, thi TNTHPT, thi đại học, một số dạng bài toán có cấu trúc tương tự các câu trong đề thi ĐGNL. Rèn luyện các phẩm chất trung thực, trách nhiệm, chăm chỉ, các năng lực tự chủ, tự lực, tự học, giao tiếp hợp tác, giải quyết vấn đề sáng tạo, năng lực ngôn ngữ. Rút ra được một số kinh nghiệm dạy học. Phát huy tính tự giác, sáng tạo, tạo hứng thú trong học tập cho học sinh. 2
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Một số lớn giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễn sao học sinh cỏ thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, nguyên nhân xuất phát của bài toán từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các yếu tố, kiến thức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lực bằng hình thức trắc nghiệm. Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh mà bỏ qua hoạt động rèn luyện tư duy,kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển thì không những bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức , mà các em học sinh sẽ bị động trước một vấn đề tưởng chừng như mới mẻ của toán học, khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của học sinh sẽ bị hạn chế. 2.1. Cơ sở lí luận của đề tài 2.1.1. Lí thuyết cần tìm hiểu : - Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp - Các ứng dụng của đạo hàm: + Tính đơn điệu hàm số. + Cực trị hàm số. + GTLN – NN của hàm số. + Tương giao giữa đồ thị các hàm số - Đồ thị, bảng biến thiên của hàm số. 2.1.2. Nghiên cứu phƣơng pháp phát triển bài toán mới. Các định hƣớng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc Ở đây chúng ta xây dựng các u( x), v(x) là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là biểu thức căn thức chứa x, biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác. 2.2. Cơ sở thực tiễn 3
Trong tất cả các đề thi THPTQG trước đây, đề thi TNTHPT, đề minh họa, tham khảo của bộ, các đề thi thử của các trường đều có khá nhiều bài tập dạng này ( Các bài vận dụng; vận dụng cao). Trong rất nhiều đề thi HSG khối 12 của các sở giáo dục trong các năm gần đây. Trong các đề thi ĐGNL của các trường gần đây. Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức trách nhiệm của học sinh. Dạy học giáo dục theo phương pháp đổi mới nhằm phát huy các phẩm chất, năng lực cho học sinh THPT. Tạo hứng thú học tập của học sinh trong, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá các bài tập mới. Số liệu điều tra thực trạng về học sinh thông qua hoạt động học tập phần ứng dụng đạo hàm của hàm số Thứ nhất: Áp dụng sáng kiến làm tăng mức độ hứng thú giúp học sinh tích cực trong học tập Khảo sát mức độ hứng thú các tiết học với nhóm lớp thực nghiệm là 44 HS ( lớp 12T2) và lớp đối chứng là 42 HS ( lớp 12A2) như sau: Không Đối Rất hứng thú Hứng thú Bình thƣờng Lớp SL hứng thú tƣợng SL (%) SL (%) SL (%) SL (% ) Thực 12T2 44 14 29.5 28 63.6 2 6.9 0 0 nghiệm Đối 12A2 42 4 9.5 15 35,7 17 39,5 6 14,3 chứng Thứ hai: Áp dụng sáng kiến làm tăng khả năng lĩnh hội, khả năng vận dụng kiến thức và độ bền kiến thức Đánh giá qua kết quả sản phẩm của bài tập học sinh lớp 12T2 Nhóm 1: Điểm chung của nhóm 8 điểm Nhóm 2: Điểm chung của nhóm 9 điểm Nhóm 3: Điểm chung của nhóm 9 điểm Nhóm 4: Điểm chung của nhóm 10 điểm Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Học sinh(44) 0 0 0 0 0 0 0 11 22 11 4
2.3. Giải pháp hình thành, khai thác, phát triển các bài toán hàm hợp. 2.3.1. Định hƣớng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số Chúng ta xây dựng bài toán hàm hợp bằng phương thức phát triển các bài toán mới dựa trên việc cho hàm số y  f  x  có công thức ( cũng có thể là cho đồ thị hoặc bảng biến thiên) cho trước. Ta phát triển các dạng toán liên quan như: tính đơn điệu, tìm cực trị, GTLN-NN, biện luận số nghiệm hay sự tương giao. Ở đây tôi xây dựng ba dạng hàm hợp là u  x 1) f  x   u  x  .v  x  ; f  x   . v x 2) g  x   f   x . 3) g  x   f   u  x  . u ( x), là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác, cũng cỏ thể là biểu thức chứa tham số m . 2.3.2. Thiết kế các hoạt động định khai thác, phát triển các bài toán hàm số hợp. u  x I. Dạng 1. Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số f  x   u  x  .v  x  ; f  x   . v x Xác định tính đồng biến, nghịch biến; cực trị, biện luận tương giao, GTLN_NN … của hàm số. Phương pháp giải cơ bản:  u  u v  uv ' ' ' Ta tính  u.v   u v  uv ;    ' ' ' .   2 v v Giải phương trình f '  x   0. Lập bảng biến thiên hàm số y  g  x  rồi kết luận 5
Bài toán phát triển mở rộng: Cho hàm số y  f  x  có công thức cho trước. Xác định tính đồng biến ( nghịch biến); cực trị, biện luận tương giao, … của hàm số hay đồ thị hàm số y  f  x . Hàm số dạng y  u  x .v  x  . Bài toán gốc 1. Cho hàm số y  1  e x    x  x  1 . Giá trị lớn nhất của hàm số có dạng a  be; a, b  . Khi đó tổng a  b bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Giải Tập xác định của hàm số là D  1;  . Với u  1  e x , ta có u  0, x  1 và u '  e x  0, x  1. Với v  x  x  1, ta có 1 1 v  0, x  1 và v '    0, x  1. 2 x 2 x 1 Ta có y  u.v  y '  u 'v  uv'  0, x  1. Vì u ' .v  0; u.v'  0. Bảng biến thiên của hàm số Vậy hàm số nghịch biến 1;   , nên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là y 1  1  e  a  1; b  1  a  b  0. Nhận xét: Qua bài toán trên nếu chúng ta giải bài toán theo các bước quen thuộc thì khi đến việc giải phương trình y '  0 sẽ gặp khá nhiều khó khăn, đẩy việc giải quyết bài toán phức tạp lên rất nhiều. 6
Ta có thể phát triển, mở rộng bằng bài toán tương tự bằng cách thay đổi một số dự kiện hoặc thay đổi câu hỏi cho bài toán, hoặc mở rộng theo định hướng cho hàm số dạng f  x   a[u  x .v  x  ]  b, ( a, b là hằng số), hoặc cũng cỏ thể mở rộng theo cấu trúc điền khuyết đáp án như trong các đề ĐGNL. Bằng phương pháp như vậy ta tạo ra một số bài toán như sau. Bài 1.1. Cho hàm số y  1  e x    x  x  1 . Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số   trên đoạn 1;9 bằng  a  bec  m  n n . với a, b, c, m, n là các số nguyên và a  0. Giá trị của biểu thức T  a  b  c  m  n là. A. T  10. B. T  12. C. T  14. D. T  16. Giải Tập xác định của hàm số là D  1;  . Với u  1  e x , ta có u  0, x  1 và u '  e x  0, x  1. 1 1 Với v  x  x  1, ta có v  0, x  1 và v '    0, x  1. 2 x 2 x 1 Ta có y  u.v  y '  u 'v  uv'  0, x  1. Vì u ' .v  0; u.v'  0. Bảng biến thiên trên đoạn 1;9 Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn 1;9 , nên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm  số trên đoạn 1;9 là y  9   1  e9  3  2 2 .  Vậy ta có a  1; b  1; c  9; m  3; n  2  T  14 Bài 1.2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên, m 2022;2022 để phương trình m ex   1 có nghiệm. x  x 1 7
A. 4045. B. 4044. C. 2022. D. 2021. Giải Giải Điều kiện xác định x  1, *. Với điều kiện * , ta có phương trình đã cho tương đương 1  e   x x  x 1  m  Xét hàm số y  1  e x    x  x  1 , ta có Với u  1  e x , ta có u  0; u '  e x  0, x  1 1 1 Với v  x  x  1, ta có v  0; v '    0, x  1. 2 x 2 x 1 Ta có y  u.v  y '  u 'v  uv'  0, x  1. Vì u ' .v  0; u.v'  0. Bảng biến thiên của hàm số Do m  ; m  2022;2022  có 2021 giá trị m thỏa mãn. Bài 1.3. Cho hàm số y  1  e x    x  x  4 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bao nhiêu? Đáp án: Hƣớng dẫn giải Ta có y '  u ' .v  u.v'  0, x  0 . Giá trị nhỏ nhất bằng y  0   4 Ta cũng có thể khai thác bài toán dạng này, nhưng sau khi cần biến đổi một 8
số bước, chẳng hạn các bài sau. 1  ex Bài 1.4. Cho hàm số y   2. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao x  x 1 nhiêu? Đáp án: Giải Tập xác định D  1;  . 1  e  x x  x 1   2  1  e  Trên D, ta có y  x   x  1 x   x  x  1  2. Xét hàm số y  1  e x    x  x  1  2, ta có Với u  1  e x , ta có u  0; u '  e x  0, x  1 1 1 Với v  x  x  1, ta có v  0; v '    0, x  1. 2 x 2 x 1 Ta có y  u.v  2  y '  u 'v  uv'  0, x  1. Vì u ' .v  0; u.v'  0. Vậy hàm số nghịch biến 1;   , nên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là y 1  1  e  2  3  e   0;2 . Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã dùng phép biến đổi là nhân biểu thức liên hợp để đưa về hàm số dạng bài toán gốc nhìn đơn giản và dễ giải quyết hơn rất nhiều. Bài 1.5. Có bao nhiêu giá trị m nguyên, m  10;10 để phương trình 2m  1 ex   log 1  x  có nghiệm. x  x 1 2 A. 9. B. 10. C. 11. D. 8. Hƣớng dẫn giải Ta có phương trình đã cho tương đương  e x  log 2 x    x  x  1  1  2m. Xét hàm số y   e x  log 2 x    x  x  1 ta có y '  0, x  1. 9
1 e Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  2m  e  m  . 2 Do m  ; 10  m  10, nên có 10 giá trị thỏa mãn Bài 1.6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 12  2e   ex  1  x  3  x 1  e x     m2  m    x  3  x  1 log 1 x có nghiệm. 2 A. 3. B. 4. C. 8. D. 12. Hƣớng dẫn giải Với x  1, phương trình đã cho tương đương e x  log 2 x    x  3  x  1  2e x  m2  m  12  2e 1 . Hàm số f  x    e  log x   x 2  x  3  x  1 đồng biến trên 1;  . Ta có f 1  2e, suy ra phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi m 2  m  12  2e  2e  m 2  m  12  0  3  m  4. Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn. u  x Bài toán gốc 2. Hàm số dạng y  . v x ex  2x Cho hàm số y  . Hàm số có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 4 x  3 x Đáp án: Giải. 10
Tập xác định D   ;3. Với u  e x  2x ta có u  0, x  3 và u '  e x  2x ln 2  0, x  3. Với v  4  x  3  x ta có 1 1 v  0, x  3 và v '     0, x  3. 2 4 x 2 3 x u u 'v  uv ' Ta có y   y  '  0 x  3. v v2 Bảng biến thiên Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là y  3  e3  8 Nhận xét: Qua bài toán trên nếu chúng ta giải bài toán theo các bước quen thuộc thì khi đến việc giải phương trình y '  0 sẽ gặp khá nhiều khó khăn, đẩy việc giải quyết bài toán phức tạp lên rất nhiều. Ta có thể phát triển, mở rộng bằng bài toán tương tự bằng cách thay đổi một số dự kiện hoặc thay đổi câu hỏi cho bài toán, hoặc mở rộng theo định hướng cho u  x hàm số dạng f  x   a  b, ( a, b là hằng số) . Bằng phương pháp như vậy ta v x tạo ra một số bài toán như sau. ex  2x Bài 2.1. Cho hàm số y  . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 4 x  3 x 0;2 là m  a  b c trong đó a, b, c là các số nguyên và c là số nguyên tố. Giá trị của biểu thức T  logb a c là. A. T  0. B. T  6. C. T  64. D. T  9. Giải. 11
Tập xác định D   ;1. Với u  e x  2x ta có u  0, x  3 và u '  e x  2x ln 2  0, x  3. Với v  4  x  3  x ta có 1 1 v  0, x  3 và v '     0, x  3. 2 4 x 2 3 x u u 'v  uv ' Ta có y   y  '  0 x  3. v v2 Bảng biến thiên Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  0;2 là   y  0   2 2  3  4  2 3. Do đó ta có a  4; b  2; c  3  T  log 2  4   6. 3 Bài 2.2. Cho phương trình e x  2 x  m   4  x  3  x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm? Đáp án: Giải. Tập xác định D   ;1. Với u  e x  2x ta có u  0, x  3 và u '  e x  2x ln 2  0, x  3. 1 1 Với v  4  x  3  x ta có v  0, x  3 và v '     0, 2 4 x 2 3 x x  3. 12
u u 'v  uv ' Ta có y   y'   0 x  3. v v2 Bảng biến thiên Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 0  m  e3  8, do m nguyên nên có 28 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ex  1 Bài 2.3. Cho hàm số y  . Biết giá trị lớn nhất của hàm số là 6 x  2 x a  eb M , với a, b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T  2022a  b. b A. T  2020. B. T  2021. C. T  1011. D. T  1010. ĐA. Chọn đáp án A. Bài 2.4. Cho phương trình ex  1  m   6  x  2  x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. A.1. B. 2. C. 3. D. 4. ĐA. Chọn đáp án D. II. Dạng 2. Bài toán tổng quát 2. Cho hàm số y  f  x  có công thức hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên cho trước. Xác định tính đồng biến, nghịch biến; cực trị, biện luận tương giao, GTLN_NN … của hàm số hay đồ thị hàm số g  x   f   x  . Phương pháp cơ bản: Ta tính g '  x     f  x  f '  x .  1 Giải phương trình g '  x   0. Lập bảng biến thiên hàm số y  g  x  rồi kết luận Bài toán phát triển mở rộng: Cho hàm số y  f  x  ( thỏa mãn một số điều kiện cho trước), có công thức hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên cho trước. 13
Xác định tính đồng biến ( nghịch biến); cực trị, biện luận tương giao, … của hàm số hay đồ thị hàm số g  x   f   x  ; g  x   a. f   x   b. Bài toán gốc. Hàm số y  f  x  đƣợc cho bởi đồ thị. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số g  x   f 4  x  là A.1. B. 3. C. 5. D. 7. Giải:  f  x  0 Theo bài ra ta có: g '  x   4 f 3  x  f '  x   0   '  f  x   0 Từ đồ thị hàm số đã cho ta có +) Phương trình f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3. ( x1 , x2 , x3 , là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành). +) Phương trình f '  x   0 có nghiệm phân biệt x4 , x5 ( là điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  ), và x1  x4  x2  x5  x3 . Bảng biến thiên của hàm số y  g  x  Bài toán khai thác, mở rộng: Ta có thể thay đổi một số dữ kiện giả thiết ban đầu để tạo ra lớp bài toán tương tự , chẳng hạn thay đổi đồ thị, bảng biến thiên 14
của hàm số ban đầu, hay là thay đổi sô mũ của hàm số f  x  , hay là kết hợp thêm các dạng trên khi cộng vào một hàm số chẳng hạn. Bài 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số g  x   f 2022  x  là bao nhiêu? Đáp án: Giải:  f  x  0 Theo bài ra ta có: g '  x   2022 f 2021  x  f '  x   0   '  f  x   0 Từ đồ thị hàm số đã cho ta có Phương trình f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3. ( x1 , x2 , x3. là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành). Phương trình f '  x   0 có nghiệm phân biệt x4 , x5 ( là điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  ), và x1  x4  x2  x5  x3 . Bảng biến thiên của hàm số y  g  x  Bài 2. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau 15
Số điểm cực trị của hàm số g  x   f 5  x   2022 là A.13. B. 5. C. 3. D. 2. Hƣớng dẫn giải:  f  x  0 Theo bài ra ta có: g '  x   5 f 4  x  f '  x   0   '  f  x   0 Từ đồ thị hàm số đã cho ta có + Phương trình f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3. và các nghiệm này là nghiệm bội chẵn. + Phương trình f '  x   0 có nghiệm phân biệt x4 , x5 ( là điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  ), và các nghiệm này là nghiệm đơn. Lập bảng biến thiên của hàm số y  g  x  và kết luận có hai cực trị. Nhận xét: Ta có thể khai thác bài toán bằng cách cho hàm số có đồ thị ở dạng khác, hoặc cho các hàm số có bảng biến thiên cho trước. ví dụ như các bài toán sau. Bài 3. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau 16
Số điểm cực trị của hàm số g  x   f 3  x  là A.1. B. 3. C. 5. D. 7. Hƣớng dẫn giải:  f  x   0 1 Ta có g '  x   3 f 2  x  f '  x   0   ' .  f  x   0  2  + Phương trình 1 có hai nghiệm 0 và x1 ( x1  0) và các nghiệm này là nghiệm bội chẵn. + Phương trình  2  có một nghiệm x2  x2  0; x2  x1  và nghiệm này là nghiệm đơn . Lập bảng biến thiên và kết luận. Đáp án C. Bài 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số g  x   f 2022  x   2023 là A.1. B. 3. C. 5. D. 7. Hƣớng dẫn giải: Ta có  f  x   0 1 g '  x   2022 f 2021  x  f '  x   0   ' .  f  x   0  2  Phương trình 1 có hai nghiệm 0 và x1 ( x1  0) và các nghiệm này là nghiệm bội lẻ. Phương trình  2  có hai nghiệm x2  x2  0; x2  x1  và nghiệm này là nghiệm đơn . 17
Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị. Đáp án C. Bài 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số g  x   f 5  x  là A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hƣớng dẫn giải  f  x   0 1 Ta có g '  x   5 f 4  x  f '  x   0   ' .  f  x   0  2  Phương trình 1 có hai nghiệm (bội chẵn). Phương trình  2  có ba nghiệm 0; x1; x2 và nghiệm này là nghiệm đơn. Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận hàm số đã cho có 3 cực trị. Bài 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số g  x   [f  x   1]4  2022 là 18