Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TÂM TỶ CỰ
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
4
4
5.
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
4 + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
1. Các bài toán mở ñầu. Bài toán 1. Cho hình vuông ABCD. Tìm ñiểm M thoả mãn : . + Giải. Cách 1. Gọi G là tâm của hình vuông ABCD. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD 4 5. + = + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MC MB MD 4
⇔
4
+
=
(1)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
4
5.
5. 5. 4 = + + = + = − 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MG MG 8 + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇔ (cid:2) 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GD GM −
+ + =
)
(
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD 4 + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) GA GM − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GM
+ ( 4 + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
5.
−
=
⇔
1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:2) 0
4
4
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD 2 ⇔ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA GB GC GD 4 + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) GC GM − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD = − D C
Cách 2. Gọi G là ñiểm sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Khi ñó 5. 4 = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇔ ( GB GM − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇔ 10. GM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA GB GC GD +
+
+
=
4
(cid:2) 0
4
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD OG −
G = +
)
(
( ) + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC OG − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
Cần phải xác ñịnh G từ (1): Với mỗi O ta có: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ( OA OG OB OG − + − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB OA OG
+ + = +
) .
1 10
A B M
( 2 5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
2 5 1 10
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
2 5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG
. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
= + +
=
+
.
. Suy ra
1 10 2 Chọn O ≡ A: 5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Mặt khác AB AD AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM O 2 ,
=
∀
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB ⇔ +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
5.
4
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD 3 +
+
=
+
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
5.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GD GM −
+
+
=
+
( 4
=
)
5.
⇔
−
=
= −
1 2 Bình luận: Một lời giải ngắn gọn như cách 1 là nhờ vào các hệ số ñặc biệt ñể có thể ", nhưng rất khó áp dụng ngay tính chất " M trung ñiểm của AB áp dụng cho Bài toán 2 dưới ñây, trong khi cách 2 lại có hiệu quả. Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD. Tìm ñiểm M thoả mãn : (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Giải. Gọi G là ñiểm thoả mãn: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ⇔ ( GA GM − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇔ 10. GM
.
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (1). Khi ñó: GA GB GC GD 0 3 4 = + + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD AD 5. 4 3 2 + + = + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ( ) ( GC GM GB GM 3 2 − − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 AD AD GM 2
1
Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
2
3
4
(cid:2) 0
+
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OG −
=
)
(
)
Với mỗi O, ta có: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ( ) (1) OA OG OA OG ⇔ − − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB OA OG
) + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OG − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD
⇔
.
= + + + 1 5 3 10 1 10
( 2 5
O ≡ A: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 AG 5
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD = + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD
nên
2 + 5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Mặt khác AB AD AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG = + 3 10 + 1 5 1 2
Bình luận: ðiểm G ñược xác ñịnh như thế là tâm tỷ cự của hệ ñiểm A, B, C, D cùng bộ số thực 1, 2, 3, 4. 2. Tâm tỷ cự là gì ?
C B
n
k
D A sao cho
, bao giờ
G M ≠∑ k 0 i
A i
i
i
n
i
n
Cho hệ ñiểm { } 1,
=
i
1 =
n
(cid:2) 0
=
cũng tồn tại và duy nhất ñiểm G sao cho
(1).
∑
= cùng với bộ số thực { } 1, (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k GA i i
i
1 =
Thật vậy, với một ñiểm O tuỳ ý:
n
∑
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k OA i i
n
n
n
n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
i
1 =
⇔
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG ⇔ =
(cid:2) 0
(cid:2) 0
=
⇔
−
=
(2).
∑
∑
∑
∑
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k OG i
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k OA i i
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k GA i i
n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( k OA OG i i
)
i
i
i
i
1 =
1 =
1 =
1 =
k
∑
i
i
1 =
n
(cid:2) 0
=
Nếu còn có G' sao cho
(3), trừ từng vế (1) và (3) ta có
∑
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k G A ' i i
i
1 =
n
n
n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GG
(cid:2) 0 = ⇔
+
(cid:2) 0 = ⇔
(cid:2) ' 0 = ⇔
(cid:2) ' 0 =
;
∑
∑
∑
i
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k GG i
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( k GA G A ' − i i i
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( k GA AG ' i i
)
i
i
i
1 =
1 =
1 =
n
∑
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) k OA i i
i
1 =
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG '
=
hoặc là, tương tự G, ta có
(4), khi ñó từ (2) và (4) suy ra
n
k
∑
i
i
1 =
.
A i
n
i
= cùng với bộ số thực
, viết tắt
( A k i i
i
{
n
i
=
n
i
} 1, )
=
.
A i
i
n
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OG OG= ' Cả hai cách ñều dẫn ñến G' ≡ G. ðiểm G ñược gọi là tâm tỷ cự của hệ ñiểm { } 1, { } 1, . k Khi k1 = k2 = ... kn ≠ 0 thì G ñược gọi là trọng tâm của hệ ñiểm { } 1, • Sau ñây là một số kết quả ñặc biệt.
2
Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
α
( ) + α β
=
+
nên:
(cid:2) 0
α
. =
KQUẢ1. Cho hai ñiểm A, B phân biệt và các số thực α, β không ñồng thời bằng không. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Vì MA MB + β
β 1) Nếu α+β= 0 thì không tồn tại M sao cho α 2) Nếu α+β ≠ 0 thì tồn tại duy nhất M sao cho
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
α
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) MA MB 0 β+ = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB β+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , chẳng hạn AM
Khi ñó, với mỗi ñiểm O, ta có:
β + α β +
β + α β
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
γ
γ
β
β
α
+
+
+
+
=
nên:
(cid:2) 0
α
β
γ
+
+
=
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
(cid:2) 0
α
β
γ
2) Nếu α+β +γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất M sao cho +
+
=
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA
α
γ
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
=
+
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , chẳng hạn AM
KQUẢ2. Cho tam giác ABC và các số thực α, β, γ không ñồng thời bằng không. Vì ( ) + + α β γ 1) Nếu α+β + γ = 0 thì không tồn tại M sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC Khi ñó, với mỗi ñiểm O, ta có: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB β + + α β γ + +
β + + α β γ
γ + + α β γ
A
P
2 2
+ −
a) b)
2,
1,
=
=
= , 3
N I E
C B M J
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC
3. Các ví dụ áp dụng. VD1. Cho tam giác ABC . Tìm ñiểm M sao cho (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 0 3 = + (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 0 3 = + HD. a) Theo KQUẢ2. với α β γ suy ra với mỗi O: (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 0 3
2
+
+
=
⇔
+ =
1 6 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 OA MB + 3 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC = + = +
Cách 1: Chọn O ≡ A, ta có
Khi ñó ñiểm M là dỉnh của hình bình hành APMN, tromg ñó: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
2 6 3 6 1 3 1 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AN (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AP , = =
1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB 1 3 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CM
Cách 2. Chọn O ≡ C, ta có
+ + = =
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BM
Cách 3. Chọn O ≡ B, ta có
+ + = = 1 3 1 2 2 6 3 6 1 6 1 6
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ME MC
(cid:2) 0
= ⇔ = −
+
1 6 1 6 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EB
Theo KQUẢ1. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Cách 4. Tồn tại E sao cho EA (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC Khi ñó 0 3 2 = + (cid:1)(cid:1)(cid:2) Cách 5. Ttồn tại I sao cho IA
2 + ⇔ 3 (cid:1)(cid:1)(cid:2) IC+ 3
(cid:2) 0 = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ME MC 3 + (cid:2) 0 =
3
Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Khi ñó
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 3
2
⇔
+
+
=
Cách 6. Tồn tại J sao cho 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MI 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MB MI ⇔ = − 1 2
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MJ
= − (cid:2) 0 4 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) JC+ 3
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 3
2
(cid:2) 0 (cid:1)(cid:1)(cid:2) JB (cid:2) 0
+
+
=
2,
1,
3
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA 5 Khi ñó ⇔ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MJ = − ⇔ = −
α β γ
1 2 α β γ
b) Theo KQUẢ2. với
= − ⇒ + + = suy ra không có 0
A + +
ñiểm M nào như hế. VD2. Cho tam giác ABC và ñường thẳng d. Tìm ñiểm M trên d sao cho
(cid:2) 0
3.
+
=
(1).
E
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 3. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA GB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MG
MG
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
= 6.
nhỏ nhất. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GC
G 6 3. = + C B
HD. Với G là ñiểm sao cho Khi ñó: + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất
3. + +
M
d
1, = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CE
(1) ⇔
(E là trung ñiểm của cạnh AB)
= + = =
)
= 1 5
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
⇔ M là hình chiếu của G trên d. Theo KQUẢ2. với = : 3 1, α β γ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 ( CA CB CG + 5 1 5 2 5
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
A 2. 3. + + +
VD3. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những ñiểm M sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2 MA MB MC +
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
+
A
. (cid:1)(cid:1)(cid:2) IB
3. (cid:1)(cid:1)(cid:2) IA
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC
3.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MG 2. +
+
d
•
A
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) =2 3.MG
= 6MG,
• I
G M
B C
HD. Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: = + (cid:2) Gọi I là ñiểm sao cho 0 = (I ñược xác ñịnh như M trong VD1.a) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Khi ñó: 2 MA MB MC + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = 6.MI
= 6MI
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
2.
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC
(cid:2) 0
=
(1)
− (cid:1)(cid:1)(cid:2) IN
4.
2.
2. 3. + +
=
+
2. . Suy ra (MN) ñi qua I là ñiểm cố ñịnh,
⇔
4,
1,
=
α β γ
= − , 2
I
A
Từ giả thiết, suy ra: MG = MI ⇔ M thuộc trung trực d của ñoạn GI. VD4. Cho tam giác ABC, hai ñiểm M, N thay ñổi sao cho: 4. + Chứng minh rằng ñường thẳng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) HD. Gọi I là ñiểm sao cho 4. IA IB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN IM MA MB MC 2. = − − hoàn toàn ñược xác ñịnh bởi (1). Thật vậy, Theo KQUẢ2. với = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:2) AI
suy ra:
.
•
•
= − F • E 1 3 2 3
Cách 2. Theo Theo KQUẢ1. tồn tại F sao cho 4.
(cid:2) 0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) FA FB+
=
•
•
4
Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008
B C
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
(cid:1)(cid:1)(cid:2) FI
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) FC
(cid:1)(cid:1)(cid:2) FI ⇔ = −
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) IA IB +
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC (cid:1)(cid:1)(cid:2) IE
2. 3.
+ +
5. 2. (1) ⇔ − = 2 3
− + (cid:2) 0
. Khi ñó Chọn E sao cho 2. =
Cách 3. Ta có thể có cách tìm I theo cách sau: (cid:2) 2. 4. ⇔ 2. 0 2. ⇔ 2. 2. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EA EB+
=
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) IA IB 0 = + (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EA EB 0 = + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) 2 CA EI 3
A
I •
− +
VD5. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong ñường tròn (O). Tìm ñiểm M thuộc (O) sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) nhỏ nhất, lớn nhất. MA MB MC
E
(cid:2) 0
=
(1)
• O
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) IA IB IC − + = IM
−
HD. Gọi I là ñiểm sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Khi ñó MA MB MC = IM
F
B
.
C
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) lớn nhất ⇔ M ≡ F, MA MB MC
nhỏ nhất ⇔ M ≡ E.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (1) ⇔ IA BC= Tam giác ABC nhọn nên I ở ngoài (O). Như thế IM lớn nhất, nhỏ nhất khi ñường thẳng IM ñi qua tâm (O). Cụ thể là: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC − + + −
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+
+
(G là trọng tâm của tứ giác)
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
+ + =
VD6. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp những ñiểm M sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA GB GC GD + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA CB+
2 − = +
E
D
2 − (cid:2) 0 ⇔ 4.GM = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA CB+
HD. Gọi G là ñiểm sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD + + + ⇔ M thuộc ñường tròn tâm G bán kính R = 1 4
C
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
B
A
−
−
−
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:2) 0
−
−
=
M .
I
γ
= − 1
1, = − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:2) AI
2 = − = − = − + +
VD7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một ñiểm M di ñộng thoả mãn: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) T = 4MA MB MC MD Tìm tập hợp M sao cho T = a. (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) HD. Gọi I là ñiểm sao cho 4 IA IB IC ID − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Khi ñó T = - IM ⇒ a = T = IM. Suy ra M thuộc ñường tròn (I, a). Ta chỉ cần xác ñịnh I: Theo Theo KQUẢ2. với suy ra:
1, δ = − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AE
4, α β = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) AB AC AD
( 4. Các bài toán tương tự. 4.1. Cho tam giác ABC. Tìm ñiểm M thoả:
5
Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
= = =
2. 4. −
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 4. + + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC AC − + (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC 0 +
a) b) c) 2.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
3.
2.
4 − = −
2. +
a) b) 2.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) . = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC
2.
+
−
ñạt giá trị bé
3. 5. 3. 4.2. Cho tứ giác ABCD. Tìm ñiểm M thoả: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC MD AB 3. + − (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MD − 4.3. Cho tam giác ABC. Tìm ñiểm M ñể 3.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EA
3.
2.
=
−
1 . Chứng minh rằng ñường thẳng EF
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EA
3.
2.
=
+
. Chứng minh rằng ñường thẳng EF
(cid:2) 0
2.
=
+
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
3.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC k MD −
=
+
nhất. 4.4. Cho tam giác ABC và số thực k ≠ . E, F thay ñổi sao cho: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EB k EC EF . + luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 4.5. Cho tam ABC và số thực k ≠ − . E, F thay ñổi sao cho: 5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EF EB k EC . + luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 4.6. Cho tam ABC và số thực k. Tìm tập hợp các ñiểm M thoả: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB k MC . + 4.7. Cho tứ giác ABCD và số thực k. Tìm tập hợp các ñiểm M thoả: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
6
Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008
