Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự được biên soạn với các nội dung: Các bài toán mở đầu, tâm tỷ cự là gì, các ví dụ áp dụng, các bài toán tương tự. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập nâng cao kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự

Tr n Xuân Bang - Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình M TS BÀI TOÁN ÁP D NG TÂM T C 1. Các bài toán m ñ u. Bài toán 1. Cho hình vuông ABCD. Tìm ñi m M tho mãn : MA + 4MB + MC + 4MD = 5. AD . Gi i. Cách 1. G i G là tâm c a hình vuông ABCD. MA + 4MB + MC + 4MD = 5. AD ⇔ MA + MC + 4MB + 4MD = 5. AD ⇔ 2MG + 8MG = 5. AD ⇔ GM = − 1 AD 2 Cách 2. G i G là ñi m sao cho GA + 4GB + GC + 4GD = 0 (1) Khi ñó MA + 4MB + MC + 4MD = 5. AD ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ GA − GM + 4 GB − GM + GC − GM + 4 GD − GM = 5. AD 1 AD . 2 C n ph i xác ñ nh G t (1): GA + 4GB + GC + 4GD = 0 ⇔ −10.GM = 5. AD ⇔ GM = − D C V i m i O ta có: (OA − OG ) + 4 (OB − OG ) + (OC − OG ) + 4 (OD − OG ) = 0 G 1 2 1 2 OA + OB + OC + OD . 10 5 10 5 A B 2 1 2 M Ch n O ≡ A: AG = AB + AC + AD . 5 10 5 1 M t khác AB + AD = AC . Suy ra AG = AC . 2 Bình lu n: M t l i gi i ng n g n như cách 1 là nh vào các h s ñ c bi t ñ có th áp d ng ngay tính ch t " M trung ñi m c a AB ⇔ OA + OB = 2OM , ∀O ", nhưng r t khó áp d ng cho Bài toán 2 dư i ñây, trong khi cách 2 l i có hi u qu . OG = Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD. Tìm ñi m M tho mãn : MA + 2MB + 3MC + 4 MD = 5. AD . Gi i. G i G là ñi m tho mãn: GA + 2GB + 3GC + 4GD = 0 (1). Khi ñó: MA + 2MB + 3MC + 4 MD = 5. AD ⇔ GA − GM + 2 GB − GM + 3 GC − GM + 4 GD − GM = 5. AD ( ) ( ) ( ⇔ −10.GM = 5. AD ⇔ GM = − M t s bài toán áp d ng tâm t c 10/2008 1 1 AD . 2 ) ( ) Tr n Xuân Bang - Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình V i m i O, ta có: (1) ⇔ ( OA − OG ) + 2 ( OA − OG ) + 3 ( OA − OG ) + 4 ( OA − OG ) = 0 ⇔ OG = 1 1 3 2 OA + OB + OC + OD . 10 5 10 5 D C O ≡ A: 1 3 2 AB + AC + AD 5 10 5 M t khác AB + AD = AC 1 1 nên AG = AC + AD 2 5 Bình lu n: ði m G ñư c xác ñ nh như th là tâm t c c a h ñi m A, B, C, D cùng b s th c 1, 2, 3, 4. G AG = M 2. Tâm t c là gì ? A Cho h ñi m { Ai }i =1,n cùng v i b s th c {ki }i =1,n sao cho B n ∑k ≠ 0 , bao gi i i =1 n cũng t n t i và duy nh t ñi m G sao cho ∑ k GA = 0 i (1). i i =1 Th t v y, v i m t ñi m O tuỳ ý: n n n n n ∑ k GA = 0 ⇔ ∑ k ( OA − OG ) = 0 ⇔ ∑ k OG = ∑ k OA ⇔ OG = i i i i =1 i i i =1 i i =1 i i =1 ∑ k OA i i i =1 (2). n ∑k i i =1 n N u còn có G' sao cho ∑k G'A = 0 i (3), tr t ng v (1) và (3) ta có i i =1 n n n ∑ k ( GA − G ' A ) = 0 ⇔ ∑ k ( GA + AG ') = 0 ⇔ ∑ k GG ' = 0 ⇔ GG ' = 0 ; i i i =1 i i i i i =1 i i =1 n ∑ k OA i ho c là, tương t G, ta có OG ' = i (4), khi ñó t (2) và (4) suy ra i =1 n ∑k i i =1 OG = OG ' . C hai cách ñ u d n ñ n G' ≡ G. ði m G ñư c g i là tâm t c c a h ñi m { Ai }i =1,n cùng v i b s th c {ki }i =1,n , vi t t t { Ai ( ki )}i =1,n . Khi k1 = k2 = ... kn ≠ 0 thì G ñư c g i là tr ng tâm c a h ñi m { Ai }i =1,n . • Sau ñây là m t s k t qu ñ c bi t. M t s bài toán áp d ng tâm t c 10/2008 2 Tr n Xuân Bang - Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình KQU 1. Cho hai ñi m A, B phân bi t và các s th c α , β không ñ ng th i b ng không. Vì α MA + β MB = (α + β ) MA + β AB nên: 1) N u α + β = 0 thì không t n t i M sao cho α MA + β MB = 0 . 2) N u α + β ≠ 0 thì t n t i duy nh t M sao cho α MA + β MB = 0 . α OA + β OB β , ch ng h n AM = AB α +β α +β KQU 2. Cho tam giác ABC và các s th c α , β , γ không ñ ng th i b ng không. Vì α MA + β MB + γ MC = (α + β + γ ) MA + β AB + γ AC nên: 1) N u α + β + γ = 0 thì không t n t i M sao cho α MA + β MB + γ MC = 0 . 2) N u α + β + γ ≠ 0 thì t n t i duy nh t M sao cho α MA + β MB + γ MC = 0 . Khi ñó, v i m i ñi m O, ta có: OM = Khi ñó, v i m i ñi m O, ta có: OM = α OA + β OB + γ OC β γ , ch ng h n AM = AB + AC α + β +γ α + β +γ α + β +γ 3. Các ví d áp d ng. VD1. Cho tam giác ABC . Tìm ñi m M sao cho a) MA + 2MB + 3MC = 0 b) MA + 2MB − 3MC = 0 HD. a) Theo KQU 2. v i α = 1, β = 2, γ = 3 , suy ra v i m i O: B A P N I E M J 1 1 1 MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ OM = OA + MB + OC 6 3 2 2 3 1 1 Cách 1: Ch n O ≡ A, ta có AM = AB + AC = AB + AC 6 6 3 2 Khi ñó ñi m M là d nh c a hình bình hành APMN, tromg ñó: 1 1 AB, AN = AC 3 2 1 2 1 1 Cách 2. Ch n O ≡ C, ta có CM = CA + CB = CA + CB 6 6 6 3 1 3 1 1 Cách 3. Ch n O ≡ B, ta có BM = BA + BC = BA + BC 6 6 6 2 Theo KQU 1. Cách 4. T n t i E sao cho EA + 2 EB = 0 Khi ñó MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ 3ME + 3MC = 0 ⇔ ME = − MC Cách 5. Tt n t i I sao cho IA + 3IC = 0 AP = M t s bài toán áp d ng tâm t c 10/2008 3 C Tr n Xuân Bang - Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 1 Khi ñó MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ 4MI = −2MB ⇔ MI = − MB 2 Cách 6. T n t i J sao cho 2 JB + 3JC = 0 1 Khi ñó MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ 5MJ = − MA ⇔ MJ = − MA 2 b) Theo KQU 2. v i α = 1, β = 2, γ = −3 ⇒ α + β + γ = 0 suy ra không có ñi m M nào như h . VD2. Cho tam giác ABC và ñư ng th ng d. Tìm ñi m M trên d sao cho A MA + MB + 3.MC nh nh t. HD. V i G là ñi m sao cho GA + GB + 3.GC = 0 (1). Khi ñó: MA + MB + 3.MC = 6.MG = 6MG E G C B MA + MB + 3.MC nh nh t ⇔ MG nh nh t ⇔ M là hình chi u c a G trên d. M d Theo KQU 2. v i α = 1, β = 1, γ = 3 : 1 1 1 2 (1) ⇔ CG = CA + CB = CA + CB = CE (E là trung ñi m c a c nh AB) 5 5 5 5 ( ) VD3. Cho tam giác ABC. Tìm t p h p nh ng ñi m M sao cho 2 MA + MB + MC = MA + 2.MB + 3.MC HD. V i G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có: MA + MB + MC = 3.MG . G i I là ñi m sao cho IA + 2.IB + 3.IC = 0 (I ñư c xác ñ nh như M trong VD1.a) Khi ñó: 2 MA + MB + MC =2 3.MG = 6MG, A d •G A M A • I B C MA + 2.MB + 3.MC = 6.MI = 6MI T gi thi t, suy ra: MG = MI ⇔ M thu c trung tr c d c a ño n GI. VD4. Cho tam giác ABC, hai ñi m M, N thay ñ i sao cho: MN = 4.MA + MB − 2.MC Ch ng minh r ng ñư ng th ng MN luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh. HD. G i I là ñi m sao cho 4.IA + IB − 2.IC = 0 (1) MN = 4.MA + MB − 2.MC ⇔ IM = −2.IN . Suy ra (MN) ñi qua I là ñi m c ñ nh, hoàn toàn ñư c xác ñ nh b i (1). I Th t v y, Theo KQU 2. v i α = 4, β = 1, γ = −2 , A 1 2 3 3 Cách 2. Theo Theo KQU 1. t n t i F sao cho 4.FA + FB = 0 suy ra: AI = AB − AC . E• • B M t s bài toán áp d ng tâm t c 10/2008 4 •F • • C Tr n Xuân Bang - Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình 2 (1) ⇔ −5.FI = 2.IC ⇔ FI = − FC 3 Cách 3. Ta có th có cách tìm I theo cách sau: 4.IA + IB − 2.IC = 0 ⇔ 2.IA − 2.IC + 2.IA + IB = 0 ⇔ 2.CA + 3.IE + 2.EA + EB = 0 2 Ch n E sao cho 2.EA + EB = 0 . Khi ñó EI = CA 3 VD5. Cho tam giác ABC nh n n i ti p trong ñư ng tròn (O). Tìm ñi m M thu c (O) sao cho MA + MB − MC nh nh t, l n nh t. I• A E HD. G i I là ñi m sao cho IA + IB − IC = 0 (1) Khi ñó MA + MB − MC = IM = IM • O B (1) ⇔ IA = BC . C Tam giác ABC nh n nên I ngoài (O). Như th IM l n nh t, nh nh t khi ñư ng th ng IM ñi qua tâm (O). C th là: MA + MB − MC l n nh t ⇔ M ≡ F, MA + MB − MC nh nh t ⇔ M ≡ E. F VD6. Cho t giác ABCD. Tìm t p h p nh ng ñi m M sao cho MA + MB + MC + MD = MA + MB − 2MC HD. G i G là ñi m sao cho GA + GB + GC + GD = 0 (G là tr ng tâm c a t giác) MA + MB + MC + MD = MA + MB − 2MC ⇔ 4.GM = CA + CB 1 ⇔ M thu c ñư ng tròn tâm G bán kính R = CA + CB 4 VD7. Cho hình vuông ABCD c nh a. M t ñi m M di ñ ng tho mãn: T = 4MA − MB − MC − MD Tìm t p h p M sao cho T = a. M HD. G i I là ñi m sao cho 4 IA − IB − IC − ID = 0 . Khi ñó T = - IM ⇒ a = T = IM. Suy ra M thu c ñư ng tròn (I, a). Ta ch c n xác ñ nh I: Theo Theo KQU 2. v i α = 4, β = −1, γ = −1, δ = −1 suy ra: AI = − ( AB + AC + AD ) = −2 AC = − AE 4. Các bài toán tương t . 4.1. Cho tam giác ABC. Tìm ñi m M tho : M t s bài toán áp d ng tâm t c 10/2008 5 E D A I C B