MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
+
z
3 18 26 i
3
= 2
x
xy
3
18
3
3
2
=
+
) 3 =
)
(
)
3 18 26 i
z
( + x
yi
2 x y
= y
x
xy
+ i 18 26
( 18 3
26
3
= 3
3
26
2 x y
y
= ⇒ =
= . Vậy z=3+i
Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược
t
x
3,
y
1
=
+
=
;
3
I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức = Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn Giải: - (cid:219) (cid:219) (cid:219) - - -
1 3 z
z
z-
2;z z thoả mãn
2
z 1
z 1
2
z 1
2
Tính
2 b 1
a 1
b i z ; 1
2
a 2
b i 2
2
2
2 a 2 +
2 b 2 +
2
+
2 +
Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 Giải: + = = + = + Đặt 1 z + = = ) + ( 1 ) 3 a a 1 b 1 b 2
(
)
(
)
(
⇒
2
1
1
a
z
a b 1 1
a b 2 2
= ⇒ - a 1
b 2
b 1
2
= 2
=
- 2 a 1 . Từ giả thiết ta có ( ) 2 = ⇒ - 1 z 1
- - -
Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1
2
D =
0 )2
z = - i (63 16 )
+ ) i z = - i 63 16
63 16 i ( i 1 8
' 16(1
i
)
Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là
= -
5 12 ,
i z
i 3 4
z 1
= + 2
2
+
- - - - Giải: Ta có
i z )
= 5 3 i
0
i z )
2(1
4(2
’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
- - - -
i
4(
)
i
=
=
=
i
z1 =
+
i i
1(2
4 1
- - - - -
2(2
(
i
i
) -=
=
=
i
z2 =
i + i
1(2
1
- - - - - -
3 2 1 2 14
1)( 2 1)( 2 3 z
+ 29 z
2
-
)
. Từ ñó ta suy ra
= 5
0
z
+ 4 z
=
;
z
= - 2
i z ;
i
phương trình có 3 nghiệm là 1 z
2
= + 2 3
1 2
3
+ 2
- - Ví dụ 2) Giải phương trình sau: Giải: Ta có D + 4) i 2(2 5 + i ) 2 4) i 1 + ) i 2 - = Ví dụ 3) Giải phương trình 5 0 z )( Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( 1 2 z
2
z
5
z
+ + z
3 (2
+ z
3
= i 1)
0
- biết phương trình có
3
+ 2
2
3 0
3
z
+ = z
thoả mãn cả
⇒ = z
5 z + =
1 2
2
z
1 0
2
+
Ví dụ 4) Giải phương trình: nghiệm thực - - Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên
= -
hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với (
)( 1
3
0
2
z
= - 2 z
;
= + ; i z 1
i
. Giải phương trình ta tìm ñược
) + + = 3 z
z
z
i
1 2
-
1
3
3
+ -
= + - - biết phương trình có i z (1 2 ) i z ) i 2 0 z + - 2 (1
)
)
( i bi
(1 2 )
2 + - (1
= (cid:219) ) 2 i
i bi )(
+ - 3 b
= 2 b 2
i 2)
bi
0
0
b
)
(
= 2
- - Ví dụ 5) Giải phương trình: nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( + - + 2 ( b b
là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương
b
z
i
⇒ = ⇒ = 1
(cid:219)
0 + - = 2 b )(
)
. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm
- b b - + 3 2 b b ñương với (
2 0 + - 2 (1
= 2
0
z
z
i
+ ) i z
2z
z= .
= +
)2
+ a bi
a bi
-
2
= 2
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có (
a
a
. Vậy phương
Giải hệ trên ta tìm ñược
a b = ( , )
(0; 0), (1; 0),(
)
;
b = -
1 2
3 2
ab
b
2
=
=
= -
- (cid:219) - –
z
z
z
i
0;
1;
trình có 4 nghiệm là
1 2
3 2
+ -
–
= i 1 2
- + z 2
i
- = i
z
và
Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: z 5 Giải:
y
x
y i )
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có
- = - + - i x 2) 2 (1
2
2
+ - x y ( = 1) | i 5 + + 1 (
3
(cid:219) = x
= 1, y
2
2
2 =
) 1 (
( + x
= -
. Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện.
x
= - y
,
2 5
6 5
= 2 + - - 2) ( x + - 2 2) (1 y ) 3 x (cid:219) (cid:219) hoặc - 6 4 0 + - x - = x = y 10 x y y ( ) 1 5
=
z
m R
;
1
i m ( 2 ) m m i
- ˛ Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn - -
1 z z = . 2
a) Tìm m ñể
z
i
1 4
- £ b)Tìm m ñể
2
2
2
2
(
2
mi
m
(1
) 2
+ (1
m
2
m
)
=
=
=
z
2
2
2
c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có - - - - - -
i m + 2
)
mi
1
i m + 2 m 2
2 +
m
m
mi
( 1
)( 1 mi 2
m )( 1
) 2
+ - m )
m
m
+ m ( 1
4
- - - - -
2
2
2
+
+
+
m
(1
m
)
i
=
=
+
⇒ = z
i
i
2
2
2
2
2
m + m
1 + m
m + m
1 + m
1
1
1
1
) +
(1 ) 2
m ( 1
m
2
+
m
-
= – 1 2
1
⇒ = . z z
+ = (cid:219) 2 m
m
2
1 2
1 2
+
(
m
1 = ) 2 1
2
(cid:219) (cid:219)
z
i
i
i
1
b) Ta có
2
2
2
2
m +
1 4
1
1
1 4
1
1
1 4
m + + m
1 + m
m + m
m
2
4
2
2
2
- £ (cid:219) - £ (cid:219) - £ (cid:219)
m
m
m
16
1
2
m +
m + m
m
+ 2 2 )
(1
(1
2 2 )
1 16
1
1 £ + 6
1 15
1 15
2
m + m +
(cid:219) £ (cid:219) £ (cid:219) (cid:219) - £ £
c) Ta có
0
| max
2
1 2
2
(
1
1 ) 1
m = = £ ⇒ 1 | = (cid:219) 1 z z = m + + m m
5
2 +
- - z Tìm số phức z có = 2 4 i
)
(
2
) 2 = 4
x
y
Suy ra tập hợp
5 R =
5
+
+
. Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ
M
(2
- - Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (
)
2
2
2
a 5 sin ; 4 a 5 cos
+
=
+
=
+
+
+
5 sin )
(2
)
OM
2
2
) £ +
+
(4 a
a a
25 4 5(sin ( + a (1 4) sin
(sin
)
a cos
5
a 2 cos ) = 2 ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính Dễ dàng có ñược OM. Ta có |z|2= Theo BDT Bunhiacopxki ta có a 5 cos a 2 cos
z
3 5
. Vậy
5
5
£ £ £ ⇒ - ⇒ £ 5 a + sin a 2 cos
+
= -
a
|
z
= ⇒ 5
sin
a 2 cos
5
= a sin
= a ; cos
= x
1,
y
2
⇒ = + z
i 1 2
| min
=
=
- - (cid:219)
+ a
|
z
3 5
sin
a 2 cos
5
= a sin
= a ; cos
= x
3,
y
6
⇒ = + z
i 3 6
| max
1 5 1 5
2 (cid:219) = 5 2 (cid:219) = 5
(cid:219) (cid:219)
- -
.Tìm số phức z có
z
= - i 2 4
z
i 2
2
2 +
)
(
(
)
2
(cid:219) + - = 2 x
+ 2 x
y
x
y
y
Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn
2
2
2
2
- - -
Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ) ( 2 = 4 0 4 số phức z là ñường thẳng y=-x+4 +
= 2
=
=
+
2
(4
)
= 16
2(
+ ‡ 2 2)
8
2 2
z
x
y
x
+ 8 x
x
. Từ ñó suy
Ta có
=
x x (cid:219) = ⇒ = ⇒ = + y
2
x
2
2 2
i 2 2
min
- - -
z z Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:
z
=
- +
=
z
z
i 3 4
- + + = z i
i
z
4
b)
c)
a)
3
z
i
-
3
2
2
2
2
=
Giải: Gọi z=x+yi
z
3
z
i
+ x
= y
+ 9( x
(
y
+ 2 1) )
x
= (
y
29 ) 8
9 64
Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm
I
(0;
),
2
2
2
+
=
+
=
- (cid:219) - (cid:219) - a) Từ giả thiết ta có
)2 +
3
(4
)
8
25
x
y
9 8 y
3 R = 8 6 x
y
. Vậy tập hợp các ñiểm
( b) Từ giả thiết ta có x M là ñường thẳng 6x+8y-25=0
2
2
- - (cid:219)
( +
(
- + + = i z
i
z
4
c) Giả sử z =x+yi thì
) + 1
) 2 = (cid:219) 1
4
+ 2 x
y
+ x
y
2
2
2
2
(cid:219) -
(
(
) 1
16
) 1
4
2
2
2
(
2 =
) 1
4
2
2 = + y
(
( + y
( + y
) 1
16 8
) 2 + 1
2
+ + £ + + £ x y x y (cid:219) (cid:219) + - + - - x y x y + 2 x + 2 x
) 1 (
2
2
(
) 1
2
2
+ + £ )2 1 16(1) y x + + £ x y 16
= (cid:219) (cid:219) 4 4 16 1(2) + 2 x + 2 y + = 8 4 y + 2 y + 8 y ‡ - 4 y ‡ - y 4 4(3) x 3 y +
2
2
Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip)
luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt = . 1 x 3 y+ 4
£
)
1z -
i
z
2
3
= +
2. Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức
)
˛
( w = + 1 Giải: Đặt
+ biết rằng số phức z thoả mãn: ( a bi a b R
,
2
(
)2 + 1
4
2
a
b
(1)
z 1z -
Ta có Từ
= -
x
a b
+ 3 2
- = - + x a 3
1
b
3
£ (cid:219) - £
w
)
+ ⇒ +
)(
)
( = + 1
i
3
2
x
z
yi
( = + 1
i
3
+ a bi
+ (cid:219) 2
=
y
+ a b 3
= 3
3(
- + 1) a
b
y
2
2
2
2 +
(cid:219) -
(
)
(
)
) 1
Từ ñó (
- - £ - £ 4 3 3 16 x y + a b
- - £
(
)
)2
) 23 +
do (1) ( , bán ; tâm 3; 3 16 3 I x y
p
Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số -
.
có acgumen bằng
phức z sao cho số
+ z z 3 2 2
Giải:
4
(
x
yi
) + 2
=
=
2
+
+
( (
yi +
) + 2 (
( + x )2 +
z z
x x
yi yi
2 2
) + 2 ) 2
x
y
2
2
2
2
+ 2
+ )
+
- - - Giả sử z=x+yi, thì
- + 4
2
x
+ - + 2 x
x
=
=
+
(1)
i
2
4 2
2
+
-
y (
( yi x ) 2 +
(
y ) 2 +
(
x
y
x
y
x
y
2
2
4 y ) 2 + 2
p
- -
, nên ta có:
có acgumen bằng
Vì số phức
+
3
z z
2 2
2
2
p
+
-
x
=
t
+
+
với
t > 0
cos
p sin
i
i
2
4 2
-
(
(
y ) 2 +
3
3
4 y ) 2 + 2
y
x
x
2
y
2
2
+
- -
t
x
=
4 2
-
2
(
y ) 2 +
2
x
y
t
3
=
2
-
(
4 y ) 2 +
2
x
2
y
⇒
Từ ñó suy ra y>0 (1) và
2
2
4
2
=
+
-
.Từ (1) và (2) suy ra
3
4
(2)
+ 2 x
- = 2 y
x
2
4
4 y + 2 y
= y
y 3
2 3
4 3
(cid:219) (cid:219) - -
x tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:
z £
1
1
z +
2 2
1 iz
2
2
2
2
=
+
- £ Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu thì
1
1
z
a
b
+ a
b
. Ta có
2
2
+
£ (cid:219) £ Giải: Giả sử z =a+bi (a, b ˛ R) thì
4
1)
a
=
=
2
z +
(2 b + 2
1 iz
i 1) ai
2 2
+ a 2 (2
b (2 + b )
b
a
(2
)
2
2
+
- - - .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương - -
a
4
1)
2
2
2
2
2
2
+
⇒
b
a
a
b
dpcm
1
+ a 4
b (2
1)
+ (2
)
1
với
2
b (2 + 2
(2
)
b
a
3
+
- £ (cid:219) - £ - (cid:219) £ -
2
z
1 3 z
+
£ . Chứng minh Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện
2
z
1 z
+
£ rằng:
,z z bất kỳ ta có
£ z z
Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức 1
2
2
+ z 1
2
3
3
3
z 1
Ta có
+ = + + + 3 £ + ⇒ + z z 3 z z 3 + z + 2 3 z z 1 3 z 1 z 1 z 1 + 3 z 1 £ + z 1 z
(
⇒
Đặt
a
+ a
a
dpcm
3 3 a
2 0
2
0
)2 1
- - £ (cid:219) - £ + 1 z )( =a ta có z 1 z
5
)
+
j +
)
(
j + 1 cos
sin
j sin
cos
j i
i
1
j + j
+
i i
( 1 cos + 1 cos
j sin j sin
- - a) b) II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: ) (
)
a)
( j 1 cos ( j + 1 cos
- - - = j + j + + i i j i j i sin sin
) ) j
j
2
2sin
j cos
sin
i
cos
j
2
2
2
=
=
= -
tan
j tan
i
2 j
2 j
2
2
2
+
+
i
2 cos
j i 2 sin
j cos
j sin
cos
2
2
2
Giải: ( 1 cos + 1 cos j - - j sin j sin j 2 sin i
2 j
cos
sin
> dạng lượng giác là: tan
- Khi tan
0
2
2
2 j
p j - - i + p
tan
cos
- Khi tan
0
2 p + 2
2
2
2
2 j
j - p sin i < dạng lượng giác là:
0
+ j
+
= thì không có dạng lượng giác.
- Khi tan (
)
b
2 cos
j sin
i
+ j 1 cos
j i
sin
) 1
) (
j
j
=
-
2sin
j sin
j cos
j .cos
i
i
sin
cos
j + 2
2
2
2
p
2 p
=
j
-
j isin
2sin
+
2
2
j cos 0
- -
p
p
j
- Khi sin
j sin
i
j > thì dạng lượng giác là: 2sin
0
- Khi sin
2 j = thì dạng lượng giác không xác ñịnh. j cos
2
2
+ p
p
j
+
+
- -
j sin
i
- Khi sin
0
j j < thì dạng lượng giác là: ( 2sin ) cos
+
2
2
-
)
j
j
j +
+
]
1 (cos
sin
i
j i
j + j
+
i i
( cos 1 + 1 cos
j sin j sin
- - Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: ][ b) [ + sin ) 1 cos a)
j
Giải:
sin
j cos
i
)
j
j sin
2
=
= -
=
a)
j tan
tan
j i
1 cos j
i j
j
2 j
+
j + j
2
2
2
( 1 cos + 1 cos
j sin j sin
i i
+
- - - -
i
cos
2 cos
j sin
2
2
p
i 2 sin .cos 2 j
j
-
cos
i
sin
>0 thì dạng lượng giác là tan
Khi tan
2
+
2 p
2
2
2
- -
2 TEL:0988844088
6
j
j
cos
sin
2
2
2
2 j
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác.
j
j
j +
+
p + <0 thì dạng lượng giác là - tan i Khi tan p
][ + sin ) 1 cos
sin
Khi tan b) [
i
j i
2 1 (cos j
j
=
-
2sin
j sin
j cos
j .2 cos
cos
sin
i
i
2
2
2
] j + 2
2
2 p
p
j
=
-
j sin
2sin
i
2
2
- - +
p
p
j
j cos 0
i
j > thì dạng lượng giác là: 2sin
- Khi sin
0
j sin
2
- - j = thì dạng lượng giác không xác ñịnh - Khi sin j cos
2 p
j
+
+
)
j < thì dạng lượng giác là: (
i
- Khi sin
0
2sin
j sin
2
2
2
= - +
z
2 2 3 i
p
2
2
+ p - j cos +
+
z
= - + 2
2 3
i
4 co s
i
s in
= z
2 3
p 2 3
2
2
= - +
Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết Giải: Ta có: (cid:219)
Do ñó:
z
i 2 2 3
= z
i
sin
4 cos
p 2 + 3
p 2 3
=
+
sin
z
i
1
3
i
2 cos
p 2 3
(cid:219)
p 2 3 p
= -
1
z
i
3
= + z
= -
z
p sin
i
2 cos
+ 3
3
(cid:219) (cid:219) -
3
Từ ñó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và
-
)
biết một acgumen của z
Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức:
( - + 1
3
z
i
p
bằng
3
p
=
nên
Giải: z có một acgumen bằng
i
z
z
3 2
3
1 + 2
-
)
=
Do ñó:
(
2)
z
i
3
( - + 1
z
i
1 + 2
p
)
2
- Khi
z > , một aacgumen của
3 2 ( - + 1
3
z
i
3
là )
là
< , một acgumen của
z
3
( - + 1
i
z<
- Khi 0
2
p 4 3
TEL:0988844088
7
)
( - + 1
z
3
i
=0 nên acgumen không xác ñịnh.
z = thì 2
- Khi Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là j , tìm một acgumen của:
2z
z+
z+ d)
22z b)
1 2z
=
j
+
cos
z
i
2
2
j
=
+
- a) c) z
j sin )
)
j cos 2
j sin 2
( j 2 cos
sin
z
i
⇒ = 2 z
i
j
j
+
=
- Giải: z = , z có một acgumen là j . Do ñó 1 ( j j 2 cos 2 sin 2
)
⇒ = z
j cos
cos
sin
j i
z
i
⇒ = 2 z
( j 2 cos
i
sin
⇒ = + 2 i z a) Vậy 2z2 có một acgumen là 2j j sin b)
- -
)
(
(
)
( j
)
)
(
j = - - - cos sin sin j + cos i j i 1 2 1 2
)
( +
)
)
(
)
(
( j p + cos
j + - - ⇒ - cos j = sin i j j p sin i 1 2 1 2 1 ⇒ = 2 z 1 = z 2
- có một acgumen là j p+ Vậy
j 2 cos
j sin 2 ,
j cos 2
j cos
j i
+ = z 0 0 0 1 2z c) Ta có: Nếu cos Nếu cos Nếu cos 2 + = - d) z z j > thì có một acgumen là 0 j < thì có một acgumen làp j = thì acgumen không xác ñịnh. + = z i j + + j + - z ( sin ) = ⇒ + = 2 j cos 2 j cos j sin 2 sin 2 cos j cos sin z z i j .2 cos i j 3 2 2 3 2 2
j
p+ nếu
2z
j 3 2
j 3 2
cos
= + 2 cos j cos j sin i j 3 2 2 2 j < và không xác ñịnh nếu Vậy acgumen cos 0 cos > , là 0 z+ là 2 2
= 0
j 3 2
p
= -
nếu
-
. Tính môñun, acgumen và viết z dưới
Ví dụ 4) Cho số phức
1 cos
p sin
7
7
z i
dạng lượng giác. Giải:
p
p
p
p 2
=
2 +
Ta có:
1 cos
sin
2 1 cos
p 2 cos
+ 2 1 cos
=
7
= 7
8 7
4 7
= 7 p
- - z
sin
sin
p
j
=
=
=
=
j =
tan
cot
tan
Đặt
( ) arg z
thì
7 p
2
-
p 4 7
14
-
1 cos
2sin
7
p 8 7 p 4 7
-
8
p
= -
j
p k
k
z
,
+ 14
p
p
p
˛ Suy ra:
nên chọn một acgumen là
, phần ảo
sin
0
Vì phần thực 1 cos
0
14
> 7
- - -
2 cos
cos
i sin
Vậy
14
14
< 7
p = - - z + p p 4 7
1 3
Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho z = và một
1
- là acgumen của p 3 4 z i+ Giải:
(
)
Theo giả thiết
cos
1 3
1 z = thì 3
j
j = + j sin z i
)
(
)
(
) =
(
)
cos
j sin
( j cos
j sin
⇒ = z
1 3
1 3
p
=
+
+
p sin
1
2
i
+ = i
i
Vì
2 cos
2 2
4
4
1 2
p
j
=
j
+ - - - i i
sin
os c
i
Nên
z +
p + 4
4
1
i
p
p
+
=
+
- - - -
j
p
j
vậy
Do ñó:
p sin
.
2
,
.
z
os c
i
(cid:219) = p 2 k
k
k
1 3
2
1 3 2 p = - 4
p 3 + 4
2 p
=
- - ˛ Z
-
và z+1 có một ácgumen là
Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho:
1
6
2 + 3 i + i
z z
2
2
2
2
+
+
+
=
+
(
)
(
3
) 1
= + (cid:219) + x i
z
+ ( y
= + 3) x i
+ ( y
1) i
x
y
x
y
=
1
+ 3 i + i
z z
(cid:219)
Giải: Từ giả thiết ⇒ + 3 i z ⇒ = - y
2
p
p
p
t
- - - -
(
)
với r>0.
tức là
z+1 có 1 acgumen bằng
z
i
i
+ = 1
c [ os
sin
t ]
3
+
=
6
6
2
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
6 - = - 2
t 3 + = 1 x 4 2 (cid:219) - - ⇒ = z i 2 3 1 2 t - x 2 3 1 = t =
C
C
C
C
+ 1
+ 1
= 0 S C 2 n = S C
2 2 n C
4 2 n C
+ ....... + .......
n 2 2 + 2 1 n C
1 2
+ 1
n
3 n 2
+ + 1 + + 1
5 n 2
+ 1
2 n 1 + 1 n 2
n 2 + n 1 2 + n 2 1 + n 2 1
- - - - 2 Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1 a) - - - - C
b) Giải:
9
n
+ 1
+
+
+
=
=
+
)2
.....
..
)
+ 1 2 n i C
C
C
C
( i C
C
i
C
1 iC 2
+ 1
+ 1
+ 1
+ - ... + 1
1 2
+ 1
+ 1
n
2 2 i C 2 n
+ 1 2 n + 1 2 n
0 2 n
2 2 n
+ 2 n + 1 2 n
n
+ - 3 C + 2 1 n
+ 1 2 n + 1 2 n
0 2 n
p
p +
+
2
n
+ 1
2
n
+ 1
(2
1)
(2
p 1)
n
n
=
+
+
)
i
i
+ = i
i
( ⇒ + 1
2
cos
sin
1
p sin
- -
4
+
(2
n
p 1)
(8
k
k (8
4 p + 3)
4 p + 3)
4 + n
(2
p 1)
n
n
+
=
+
=
i
i
sin
2
sin
2
2 cos
4
4
4
4
n
n
+
=
i
sin
2
= - + n 2
i
2
2 cos 2 cos
p 3 4
p 3 4
Xét ( + 1 Mặt khác ta lại có: 2 cos
-
Từ ñó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: a)
..........
= - 1
S
C
+ 2 n
4 n
=
..........
+ 6 C C n + + 7 3 S C C C C n n
5 n
1 n
n
2
+
=
+
+
+
+
+
- -
)
.....
= - 1
....)
i
n i C
C
1 n
2 n
n n
3 ( i C C C C n
5 n
1 n
7 n
0 C n p
n
n
+
=
+
)
1
+ = i
+ iC i C p sin
i
( ⇒ + 1
i
2
+ 2 C n p cos
- + 4 ... n p sin
i
4
4
n 4
n 4
=
=
b)
a)
S
n 2 sin
2 cos Từ ñó ta có kết quả n 2 cos
S
p n 4
p n 4
n
+
+
- - b) Giải: Xét ( 1
1
+ = ...
2
2 cos
+ 3 C C n
6 n
1 3
p n 3
n
=
+
+
C
C
....
C
(1)
0 n
2 n
3 n
n n
3
=
+
e
e
Xét
cos
sin
⇒ = 1
i
Ví dụ 3) Chứng minh rằng:
+ + 1 C C n p 2 3
n
2
2
=
+ e
+ e
+
=
+
+
+ e
+
+
e ......
.....
C
C
C
C
e C
e C
C
C
C
(2)
0 n
1 n
2 n
n n
0 n
1 n
2 n
3 n
4 n
n
n
2
2
2
4
=
+
+
+ e
+
+
+
e
=
+ e
+ e
+
.....(3)
Ta có ) ( n + e 1 )2 ( 1
C
e C
C
C
C
C
C
0 n
3 C n
4 n
0 n
1 n
2 n
e ...... p
2
2
+ + e e
=
=
Giải: Ta có 2 p 2 3
Ta có
n n p sin
+ = e ;1
1
+ e 0;1
i
e 1 2 C n p os c
2 n p sin i
os c
3
3
+ 3
3
n
n
n
2
+
+
=
-
e
)
(
)
)
(
)
...
+ n 2
2 cos
3
...
Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có ( + + e 1
( + + 1
2
3
C
0 n
+ 3 C C n
6 n
+ 0 C n
+ + 6 3 C C n n
p n = 3
n
(cid:219) + 1
2 cos
+ = + 6 3 ... C C n n
+ 2
1 3
p n 3
(cid:219)
TEL:0988844088
10
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
+
2) c z
2) d z
z
+ - = 1 i
0
2
-
-
i 3 4 + +
+
2(
2 + = ) 4 0
i 2 11
i z )
)(1
f
4 3 i 2) g z
z
b z + = 5 0
+ z z= ) z+ 4
+
2
1 2 i
x
1
7
x
)1 log
0
c
)
log
1
b
x
a
+ i ) 1 4
2
5
2
2
i 4
2 1
+ +
=
1) Giải phương trình sau trên tập số phức: ( )2 = + = + 3)a z z z = 2) 0 e z 2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình: - - - ‡ - £ - £ -
A
(
z
2)(
+ z
i
)
=
- 3) Tìm số phức z sao cho
z
5;
z z
là số thực 4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện là số thực + i 7 + 1
2
=
(
+ ‡ + z
e z
i
9
+ = + - z z
i 3
z
i
i+ - = 4
3
d z )
2
1
) a z
z
4
)
b
+
z z
2 i 2 i
- - 5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñiều kiện )2 = )3 c )
=
+ -
>
h
)2
- = - + z
z
i
z
i 2
f
)
z
z
i 4 3
)
1
g
+
z z
i 2 i 2
- - + 2 2 z > ) 1 k - - z 4 2 1 ) log ( 1 3
- +
. Tìm số phức z có modun lớn
6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
= i 2 3 z 3 2
)
)( 1
- + z z i 2
là số thực và z nhỏ nhất.
+
=
z i
z
2
nhất,nhỏ nhất. 7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện ( 8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z = 2
9) Tìm số phức z thoả mãn
= và 2
z+
z
10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
=
z
= - 3
2
z
- = - + z
z
i
i 2
1 0
z
5 3
12 8 i
i +
)
d
b
a
)
c
)
3
i
2
2
=
= 2
-
z
z
4
1 0
2 z 1 z
2
+ = 2 - + = z 1
=
1
5
2 1 z
+ z 1 ) 1 + z 1
2
4 8
- z - z - z - z
2
+
+ =
1 0
e
)
2010
2011
2 z +
2 z + =
1 0
z
z
+ 3 z
3
+ 2
-
i (9
1)
2
z
+ 1) z
= 5 i
+ (2 i
0
- -
có nghiệm
11) Cho phương trình z thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
2011
+
+
biết
12) Tìm phần thực phần ảo của
= w 1
w
z =
1 2011
1 w
w
n
n
n
3
6
d z )
a z )
c z )
) b z
=
- -
- -
13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo: + - +
+ i 7 4 = i 4 3
i 4 6 i 1 5
i 3 i 3 3
+ 2 i + i 3 3
=
=
11
n
2
2
14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
(
)
27
+ - .....
3
= C
n 2 cos
0 C n 2
+ 2 C 3 n 2
4 C 9 n 2
+ 6 C n 2
n 2 n 2
p n 3
z
2
z= -
- -
p
và một acgumen của z-2 bằng một acgumen 15) Tìm số phức z sao cho
2
của z+2 cộng với
2
0
2
0
=
+
+
16) Giải phương trình
=
+
+
z
2 cot 12
i 6
7
z
2 tan 10
i 4
2
0
0
z 2 sin12
z 2 c os10
- - b) a)
Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088
12
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
