PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ THỰC

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không được định nghĩa. Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tượng có thể liệt kê ra được hoặc có cùng một tính chất chung nào đó. Các đối tượng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ THỰC

TrÇn v¨n minh _nguyÔn cao nh¹c NguyÔn huy hoµng_PhÝ thÞ v©n anh ®Æng thÞ mai . PhÐp tÝnh gi¶i tÝch HµM mét biÕn sè thùc (Tµi liÖu to¸n A2 dïng cho c¸n bé, sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ ) nhµ xuÊt b¶n giao th«ng vËn t¶i hµ néi- 2003 Ch¬ng I TËp hîp-¸nh x¹- tËp sè thùc 1.1 TËp hîp 1. Kh¸i niÖm vÒ tËp hîp TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n kh«ng ®îc ®Þnh nghÜa. Ta hiÓu tËp hîp lµ c¸c vËt hay c¸c ®èi tîng cã thÓ liÖt kª ra ®îc hoÆc cã cïng mét tÝnh chÊt chung nµo ®ã. C¸c ®èi tîng lËp nªn mét tËp gäi lµ phÇn tö cña tËp hîp. Mét tËp hîp thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ c¸i in hoa: A,B,C...Cßn c¸c phÇn tö cña tËp hîp thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ in thêng: a,b,..,x,y,z....NÕu x lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu x∈X, cßn x kh«ng lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu x∉X. TËp A gåm c¸c phÇn tö x cã tÝnh chÊt p ký hiÖu A={x| p(x)} hay A={x:p(x)} VÝ dô 1.1: a. N lµ tËp c¸c sè tù nhiªn: N={0,1,2,...,n,...}. b. Z lµ tËp c¸c sè nguyªn: Z={0,+1,-1,+2,-2,...}. c. Q lµ tËp c¸c sè h÷u tØ: Q={p/q| p,q ∈Z;q≠ 0}. d. Pn(t)={x(t)=a0+a1t+...+antn| ai∈R} lµ tËp c¸c ®a thøc bËc kh«ng lín h¬n n víi c¸c hÖ sè thùc. e. C[0,1]={x(t)| x(t) liªn tôc trªn [0,1]}. 2. TËp con cña mét tËp hîp NÕu mäi phÇn tö cña tËp A ®Òu lµ phÇn tö cña tËp X th× ta nãi A lµ tËp con cña X vµ ký hiÖu: A⊂X. Hai tËp X, Y ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu X⊂Y vµ Y⊂X, ký hiÖu X=Y. Mét tËp hîp kh«ng cã phÇn tö nµo ta gäi lµ tËp hîp rçng, ký hiÖu ∅. Ta thÊy: N ⊂Z ⊂Q vµ Pn(t) ⊂ C[0,1]. VÝ dô 1.2: A={x| x2+1=0,x∈R}=∅. 3. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp a. PhÐp hîp: Ta gäi hîp cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∪B, gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp A hoÆc B. A∪B ={x| x∈A hoÆc x∈B} b. PhÐp giao: Giao cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∩B, gåm c¸c phÇn tö thuéc ®ång thêi c¶ A vµ B. 1
A∩B ={x| x∈A vµ x∈B} c. HiÖu cña hai tËp hîp: HiÖu cña A vµ B lµ tËp hîp, ký hiÖu A\B, gåm c¸c phÇn tö thuéc A nhng kh«ng thuéc B. A\B ={x| x∈A, x∉B} d. PhÇn bï: NÕu A⊂X th× X\A gäi lµ phÇn bï cña A trong X, ký hiÖu CxA. Chó ý: C¸c phÐp to¸n hîp vµ giao cã thÓ suy cho mét sè tuú ý c¸c tËp hîp. e. C¸c tÝnh chÊt: C¸c phÐp to¸n cña tËp hîp cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. Giao ho¸n A∪B = B∪A , A∩B = B∩A 2. KÕt hîp (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 3. Ph©n phèi A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 4. C«ng thøc De Morgan X\ (A∪B) = (X\A) ∩(X\B) X\ (A∩B) = (X\A)∪(X\B) c«ng thøc De Morgan ®óng cho mét hä tuú ý c¸c tËp hîp. f. TÝch §Ò c¸c cña c¸c tËp hîp §Þnh nghÜa 1: Cho hai tËp X,Y ta gäi tÝch §Ò c¸c cña X vµ Y lµ tËp hîp, ký hiÖu X× Y gåm c¸c phÇn tö s¾p thø tù (x,y) sao cho x∈X, y∈Y. Nh vËy: X× Y ={(x,y) | x∈X, y∈Y} Më réng cho tÝch §Ò c¸c cña n tËp hîp ta cã: X1× X2× ...× Xn ={(x1,x2,...,xn) | xi∈Xi (i= 1, n )} Khi X1= X2=...= Xn= X ký hiÖu X1× X2× ...× Xn =Xn Hai phÇn tö b»ng nhau: Cho (x1,x2,...,xn), (x’1,x’2,...,x’n)∈ X1× X2× ...× Xn ta ®Þnh nghÜa: (x1,x2,...,xn)= (x’1,x’2,...,x’n)⇔ xi=x’i (i= 1, n ) VÝ dô 1.3: a. Cho X={0,1}, khi ®ã: X2=X× X={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} b. Rn={(x1,x2,...,xn)| xi∈R, i= 1, n } 1.2 ¸nh x¹ 1. C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2: Cho hai tËp X,Y, mét ¸nh x¹ f tõ X vµo Y lµ mét quy t¾c cho øng mçi phÇn tö x∈X víi mét phÇn tö y=f(x) ∈Y x¸c ®Þnh trªn Y. Ký hiÖu: f: X→Y, x  y=f(x) X gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh cña f. Víi A⊂X tËp f(A)={f(x)∈Y| x∈A}gäi lµ ¶nh cña tËp A qua ¸nh x¹ f. Khi ®ã tËp f(X) gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña f. Víi B⊂Y tËp f -1(B)={x∈X| f(x)∈B} gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp B. TËp {(x,f(x))| x∈X}⊂ X× Y gäi lµ ®å thÞ cña f. 2. §¬n ¸nh, Toµn ¸nh, Song ¸nh §Þnh nghÜa 3: ¸nh x¹ f: X→Y - Gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu tõ f(x1)=f(x2) suy ra x1=x2. - Gäi lµ toµn ¸nh nÕu f(X)=Y. - Gäi lµ song ¸nh nÕu f võa lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh. VÝ dô 1.4: (i) f: N→N : f(n)=2n+1 lµ mét ®¬n ¸nh. (ii) f: R→R+ : f(x)=x2 lµ toµn ¸nh nhng kh«ng lµ ®¬n ¸nh. (iii) Ix: X→X Ix (x)=x lµ mét song ¸nh trªn X vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt. 3. TÝch c¸c ¸nh x¹ 2
§Þnh nghÜa 4: Cho f: X→Y vµ g: Y→Z lµ hai ¸nh x¹, khi ®ã h: X→Z ®îc x¸c ®Þnh bëi h(x)=g(f(x)) ®îc gäi lµ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g vµ viÕt h=gof. HÖ qu¶ 1: Cho hai ¸nh x¹: f: X→Y vµ g: Y→Z, khi ®ã: a. NÕu h=gof lµ ®¬n ¸nh th× f lµ ®¬n ¸nh. b. NÕu h=gof lµ toµn ¸nh th× g lµ toµn ¸nh. Chøng minh: a. f(x1)=f(x2)⇒ g(f(x1))=g(f(x2)) ⇒h(x1)=h(x2), nhng do h lµ ®¬n ¸nh nªn x 1=x2 , do ®ã f lµ ®¬n ¸nh. b. Ta cã f(X)⊆Y, do h lµ toµn ¸nh nªn: Z=h(X)=g(f(X)) ⊆g(Y) ⊆Z VËy g(Y)=Z hay g lµ toµn ¸nh. 4. ¸nh x¹ ngîc vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i §Þnh nghÜa 5: Cho f: X→Y . NÕu ∃ g: Y→X sao cho: fog = Iy vµ gof = Ix th× g ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña f, ký hiÖu g=f-1. HiÓn nhiªn f còng lµ ¸nh x¹ ngîc cña g. §Þnh lý 1: NÕu f: X→Y lµ mét song ¸nh th× lu«n tån t¹i ¸nh x¹ ngîc vµ ¸nh x¹ ngîc lµ duy nhÊt. Chøng minh: V× f lµ toµn ¸nh nªn víi mçi y∈Y tån t¹i x∈X sao cho y=f(x), do f lµ ®¬n ¸nh nªn x øng víi y trªn lµ duy nhÊt. Do vËy ta x¸c ®Þnh ®îc duy nhÊt ¸nh x¹ g: Y→X mµ g(y)=x sao cho f(x)=y. HiÓn nhiªn f(g(y))=f(x)=y= Iy vµ g(f(x))=g(y)=x= Ix. 5. Lùc lîng cña tËp hîp Ta nãi hai tËp X, Y cïng lùc lîng hay t¬ng ®¬ng nÕu cã song ¸nh f:X→Y. Cho tËp I={1,2,…,n} mäi tËp X t¬ng ®¬ng I gäi lµ tËp h÷u h¹n vµ viÕt cardX=n. TËp hîp cã cïng lùc lîng víi tËp sè tù nhiªn N gäi lµ tËp v« h¹n ®Õm ®îc. TËp c¸c sè nguyªn Z vµ tËp c¸c sè h÷u tû Q lµ c¸c tËp v« h¹n ®Õm ®îc. TËp cã lùc lîng lín h¬n N lµ tËp v« h¹n kh«ng ®Õm ®îc, tËp c¸c sè v« tû Q vµ tËp c¸c sè thùc R lµ c¸c tËp v« h¹n kh«ng ®Õm ®îc. 1.3 S¬ lîc vÒ logic mÖnh ®Ò 1. MÖnh ®Ò MÖnh ®Ò lµ mét c©u ph¶n ¸nh mét ®iÒu ®óng hoÆc sai, nhng kh«ng ®ång thêi võa ®óng võa sai. VÝ dô 1.5: a= C¸c ®iÓm trªn ®êng trßn c¸ch ®Òu t©m. b= C¸c ®iÓm trªn Elip c¸ch ®Òu gèc to¹ ®é. Ta thÊy a lµ mÖnh ®Ò ®óng, cßn b lµ mÖnh ®Ò sai. Ta thêng dïng c¸c ch÷ c¸i p,q,r... ®Ó chØ c¸c mÖnh ®Ò. NÕu p lµ mÖnh ®Ò ®óng ta nãi p cã gi¸ trÞ ®óng, nÕu q lµ mÖnh ®Ò sai ta nãi q cã gi¸ trÞ sai. Thay cho ®óng vµ sai ta quy íc gi¸ trÞ cña mÖnh ®Ò ®óng b»ng 1, gi¸ trÞ cña mÖnh ®Ò sai b»ng 0. C¸c mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ thay ®æi gäi lµ c¸c biÕn mÖnh ®Ò. Nh vËy mét biÕn mÖnh ®Ò chØ nhËn mét trong hai gi¸ trÞ hoÆc 1 hoÆc 0. VÝ dô 1.6: p= Tam gi¸c ABC cã hai gãc b»ng nhau. Khi ®ã:  1 nÕu ABC lµ tam gi¸c c©n p=  0 nÕu ABC kh«ng lµ tam gi¸c c©n. 2. C¸c phÐp to¸n logic a. PhÐp phñ ®Þnh: Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu ┐p, víi: 1 khi p = 0 ┐p=  0 khi p = 1 b. PhÐp tuyÓn: TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p,q lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p ∨ q, víi:  0 nÕu p=0 vµ q=0 pvq= 3
 1 víi c¸c trêng hîp cßn l¹i c. PhÐp héi: Héi cña hai mÖnh ®Ò p,q lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p∧ víi: q,  1 nÕu p=1 vµ q=1 p∧ = q  0 víi c¸c trêng hîp cßn l¹i. d. PhÐp kÐo theo: MÖnh ®Ò “p kÐo theo q” lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p⇒ q, víi:  0 nÕu p=1 vµ q=0 p⇒q=  1 víi c¸c trêng hîp cßn l¹i. e. PhÐp t¬ng ®¬ng: MÖnh ®Ò “p t¬ng ®¬ng q”, ký hiÖu p⇔q, cã nghÜa: p⇒q ∧q⇒p 3. C¸c lîng tõ víi mäi vµ tån t¹i a. Hµm mÖnh ®Ò: Cho mét tËp X, mét ¸nh x¹ P:X→{0,1} ®îc gäi lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. Ký hiÖu :p=p(x). Nh vËy øng víi mçi x∈X x¸c ®Þnh mét mÖnh ®Ò p(x). VÝ dô 1.7: P :R →{0,1}: x2-2x+1=0 . Khi ®ã: 1 khi x =1 p=   0 khi x ≠1 VÝ dô 1.8: C¸c phÐp to¸n l«gÝc lµ c¸c hµm mÖnh ®Ò sau: PhÐp phñ ®Þnh lµ hµm: P:{0,1}→{0,1} víi P(0)=1, P(1)=0 C¸c phÐp tuyÓn, héi, kÐo theo, t¬ng ®¬ng, t¬ng øng lµ c¸c ¸nh x¹ tõ X 2={0,1}2→{0,1} ®îc cho bëi b¶ng sau: x y x∨y x∧y x⇒y x⇔y 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b. MiÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò Ta gäi tËp Ep(x)={x∈X| p(x)=1} lµ miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò p(x). Hai hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ q (x) cïng x¸c ®Þnh trªn X ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu Ep(x)=Eq(x) , ký hiÖu: p(x)≡ q(x). VÝ dô 1.9: P(x)= x2- 3x+2≤ 0 khi ®ã Ep(x)=[1,2] c. Lîng tõ Cho T(x) lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. Khi ®ã: (i) MÖnh ®Ò (∀x∈X) T(x) (®äc lµ víi mäi x thuéc X, T(x)) lµ mét mÖnh ®Ò chØ ®óng nÕu ET(x)=X vµ ®îc gäi lµ lîng tõ phæ biÕn. (ii) MÖnh ®Ò (∃ x∈X) T(x) (®äc lµ tån t¹i x thuéc X, T(x)) lµ mét mÖnh ®Ò chØ ®óng nÕu ET(x)≠∅ vµ gäi lµ lîng tõ tån t¹i. VÝ dô 1.10: a=∀x∈[1,2] : x2- 3x+2≤ 0 b=∃ x∈ R: x2- 3x+2≥ 0 lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng. d. Phñ ®Þnh cña c¸c lîng tõ ┐(∀x∈X) T(x)= (∃ x∈X) ┐T(x) ┐(∃ x∈X) T(x)=(∀x∈X) ┐T(x) 1.4 Quan hÖ 1. Quan hÖ 4
§Þnh nghÜa 6: Cho tËp X, ta nãi R lµ mét quan hÖ hai ng«i trªn X nÕu R⊂ X× X. Víi x,y∈X ta nãi x cã quan hÖ víi y nÕu (x,y)∈R vµ viÕt xRy. §Þnh nghÜa 7: Ta nãi quan hÖ hai ng«i R trªn X: (i) Cã tÝnh ph¶n x¹ nÕu ∀x∈X, ta ®Òu cã xRx. (ii) Cã tÝnh ®èi xøng nÕu x,y∈X mµ xRy th× yRx. (iii) Cã tÝnh b¾c cÇu nÕu xRy vµ yRz th× xRz. (iv) Cã tÝnh ph¶n ®èi xøng nÕu víi x,y mµ ®ång thêi cã xRy vµ yRx th× x=y VÝ dô 1.11: Trªn tËp c¸c sè nguyªn d¬ng Z+, xÐt quan hÖ R nh sau: xRy ⇔xy Ta thÊy R lµ quan hÖ cã c¸c tÝnh chÊt: ph¶n x¹, b¾c cÇu vµ ph¶n ®èi xøng nhng kh«ng cã tÝnh ®èi xøng. 3. Quan hÖ t¬ng ®¬ng §Þnh nghÜa 8: Mét quan hÖ hai ng«i R trªn X ®îc gäi lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng nÕu R cã tÝnh ph¶n x¹ ,®èi xøng vµ b¾c cÇu. NÕu R lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng th× xRy ký hiÖu x∼ y. Nh vËy mét quan hÖ lµ t¬ng ®¬ng th×: + x∼ x ∀x∈X + x∼ y ⇔ y∼ x + x∼ y, y∼ z ⇒x∼ z VÝ dô 1.12: Trªn tËp Z c¸c sè nguyªn, n lµ mét sè nguyªn d¬ng xÐt quan hÖ: xRy⇔x-y chia hÕt cho n. Ta thÊy quan hÖ nµy lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ gäi lµ quan hÖ ®ång d modulo n trªn Z vµ ký hiÖu x≡ y(mod n). 4. Quan hÖ thø tù a. §Þnh nghÜa Mét quan hÖ hai ng«i trªn X ®îc gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu R cã tÝnh ph¶n x¹, ph¶n xøng vµ b¾c cÇu. NÕu R lµ quan hÖ thø tù th× xRy ký hiÖu x≤ y, nh vËy mét quan hÖ lµ quan hÖ thø tù th×: + x≤ x ∀x∈X + NÕu x≤ y, y≤ x th× x=y + x≤ y, y≤ z ⇒ x≤ z NÕu quan hÖ thø tù tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: ∀x,y∈X hoÆc x≤ y hoÆc y≤ x th× ta gäi nã lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. TËp X cïng víi mét quan hÖ thø tù “≤ ” trªn nã ®îc gäi lµ tËp ®îc s¾p thø tù vµ ký hiÖu (X, ≤ ), nÕu “≤ ” lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn th× (X, ≤ ) ®îc gäi lµ ®îc s¾p thø tù toµn phÇn. VÝ dô 1.13: C¸c tËp (N, ≤ ), (Z, ≤ ) vµ (Q, ≤ ) víi quan hÖ ≤ lµ c¸c tËp ®îc s¾p thø tù toµn phÇn. b. CËn trªn vµ cËn díi cña mét tËp hîp s¾p thø tù §Þnh nghÜa 9: Cho (X, ≤ ) lµ mét tËp s¾p thø tù, A⊆X, A ®îc gäi lµ bÞ chÆn trªn nÕu: ∃ q∈X, a≤ q, ∀a∈A . Khi ®ã q ®îc gäi lµ mét phÇn tö chÆn trªn cña A. NÕu q lµ phÇn tö chÆn trªn cña A vµ víi mäi phÇn tö chÆn trªn q’ cña A ta ®Òu cã q≤ q’ th× q gäi lµ cËn trªn cña A vµ ký hiÖu: q= supA NÕu q∈A khi ®ã q ®îc gäi lµ phÇn tö lín nhÊt cña A, ký hiÖu: q=maxA §Þnh nghÜa 10: Cho (X, ≤ ) lµ mét tËp s¾p thø tù, A⊆X, A ®îc gäi lµ bÞ chÆn díi nÕu: ∃ p∈X, p≤ a, ∀a∈A . Khi ®ã p ®îc gäi lµ mét phÇn tö chÆn díi cña A. 5
NÕu p lµ phÇn tö chÆn díi cña A vµ víi mäi phÇn tö chÆn díi p’ cña A ta ®Òu cã p’≤ p th× p gäi lµ cËn díi cña A vµ ký hiÖu: p= infA NÕu p∈A khi ®ã p ®îc gäi lµ phÇn tö nhá nhÊt cña A, ký hiÖu: p=minA TÝnh chÊt: NÕu A cã cËn trªn (hoÆc cËn díi) th× c©n trªn (cËn díi) lµ duy nhÊt. §Þnh nghÜa 11: TËp A ®îc gäi lµ bÞ chÆn nÕu nã võa bÞ chÆn trªn võa bÞ chÆn díi. 1.6 TËp sè thùc R 1. Sè thùc a. Sè h÷u tû Gäi N lµ d·y c¸c sè tù nhiªn: N={0,1,2,…,n,….} Z lµ tËp c¸c sè nguyªn, ta cã: Z={0,± 1,± 2,…,± n,…} Khi ®ã tËp Q c¸c sè h÷u tû lµ: p  Q=  : p, q ∈ Z , q ≠ 0 q  Mçi sè h÷u tû lµ sè thËp ph©n h÷u h¹n hay v« h¹n tuÇn hoµn. 1 1 VÝ dô 1.14: = 0,25 = 0,125 4 8 1 17 = 0,1666... = 1,545454... = 1, (54) 6 11 b. Sè v« tû p Mét sè kh«ng biÓu diÔn ®îc díi d¹ng , p, q ∈ Z gäi lµ sè v« tû. Nh vËy tËp c¸c sè v« tû lµ Q , q ®ã lµ tËp c¸c sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn. VÝ dô 1.15: 2 =1.414213562… π =3,141592… sin(20o)=0.342020143…cos(15o)= 0.965925826… c. Sè thùc Sè thùc lµ sè h÷u tû hoÆc v« tû, ký hiÖu tËp sè thùc lµ R. VËy: R=Q∪ Q 2. Mét sè tÝnh chÊt cña tËp sè thùc C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña tËp sè thùc R ®îc sö dông ®Ó chøng minh mét sè ®Þnh lý quan träng trong lý thuyÕt hµm mét biÕn sè thùc. a. R lµ tËp ®îc s¾p thø tù toµn phÇn XÐt quan hÖ hai ng«i R R trªn R nh sau: x y nÕu x≤ y. Ta thÊy R lµ quan hÖ thø tù trªn R. ThËt vËy: + TÝnh ph¶n x¹: ∀x∈R: x≤ x + TÝnh b¾c cÇu: nÕu x≤ y vµ y≤ z, ta cã x≤ z. + TÝnh ph¶n ®èi xøng: nÕu x≤ y vµ y≤ x ta cã x=y. MÆt kh¸c ∀x,y∈R: ta cã hoÆc x≤ y hoÆc y≤ x nªn R lµ tËp ®îc s¾p toµn phÇn. VËy (R, ≤ ) lµ mét trêng s¾p thø tù toµn phÇn. b. R lµ tËp cã tÝnh ®Çy NÕu A lµ tËp con kh«ng rçng cña R vµ bÞ chÆn trªn khi ®ã tån t¹i supA. NÕu A lµ tËp con kh«ng rçng cña R vµ bÞ chÆn díi khi ®ã tån t¹i infA. TÝnh chÊt trªn gäi lµ tÝnh ®Çy cña R. c. R lµ tËp trï mËt Cho a,b ∈R, vµ cã a
a+b ThËt vËy ta cã thÓ chän c= . V× a0, sao cho U(x0)⊇ Uε(x0). c. R lµ tËp t¸ch b−a Cho a≠ b, gi¶ sö a
(-∝,b)={ x∈R x0 a. T×m Ep(x). b. T×m tËp X ®Ó mÖnh ®Ò (∀x∈X, P(x)) lµ mÖnh ®Ò sai. c. T×m tËp X ®Ó mÖnh ®Ò (∃ x∈ X, P(x)) lµ mÖnh ®Ò ®óng. 10. Cho E={0,1}, t×m tËp E3. 11. Cho f:R→R x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc: f(x)= x 2+4x-5 ∀ x∈R. H·y t×m f(1), f(A), f -1(A) víi A={ x∈R: -2≤ x≤ 2} 12. Cho Z lµ tËp c¸c sè nguyªn vµ a,b,c,d∈Z mµ ad-bc=1. XÐt ¸nh x¹ f: Z2→Z2 víi f(x,y)=(ax+by,cx+dy). Chøng tá f lµ mét song ¸nh, h·y viÕt c«ng thøc cña f -1. 13. Cho biÕt 3 cã lµ mét sè v« tû kh«ng, t¹i sao? 14. a. Cho A={x∈2x+1∈Z, 5x+2∈Z}. Chøng ming r»ng A=Z. b. Cho B={x∈x3+x∈Q, 3x2+1∈Q}. Chøng ming r»ng B=Z. 8
9