TrÇn v¨n minh _nguyÔn cao nh¹c
NguyÔn huy hoµng_PhÝ thÞ v©n anh
®Æng thÞ mai
.
PhÐp tÝnh
gi¶i tÝch HµM
mét biÕn sè thùc
(Tµi liÖu to¸n A2 dïng cho c¸n bé,
sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ )
nhµ xuÊt b¶n giao th«ng vËn t¶i
hµ néi- 2003
Ch¬ng I
TËp hîp-¸nh x¹- tËp sè thùc
1.1 TËp hîp
1. Kh¸i niÖm vÒ tËp hîp
TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n kh«ng ®îc ®Þnh nghÜa. Ta hiÓu tËp hîp lµ c¸c vËt
hay c¸c ®èi tîng cã thÓ liÖt kª ra ®îc hoÆc cã cïng mét tÝnh chÊt chung nµo ®ã.
C¸c ®èi tîng lËp nªn mét tËp gäi lµ phÇn tö cña tËp hîp.
Mét tËp hîp thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ c¸i in hoa: A,B,C...Cßn c¸c phÇn tö cña tËp hîp
thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ in thêng: a,b,..,x,y,z....NÕu x lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu
x∈X, cßn x kh«ng lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu x∉X.
TËp A gåm c¸c phÇn tö x cã tÝnh chÊt p ký hiÖu
A={x| p(x)} hay A={x:p(x)}
VÝ dô 1.1:
a. N lµ tËp c¸c sè tù nhiªn: N={0,1,2,...,n,...}.
b. Z lµ tËp c¸c sè nguyªn: Z={0,+1,-1,+2,-2,...}.
c. Q lµ tËp c¸c sè h÷u tØ: Q={p/q| p,q ∈Z;q≠0}.
d. Pn(t)={x(t)=a0+a1t+...+antn| ai∈R} lµ tËp c¸c ®a thøc bËc kh«ng lín h¬n n víi c¸c hÖ sè
thùc.
e. C[0,1]={x(t)| x(t) liªn tôc trªn [0,1]}.
2. TËp con cña mét tËp hîp
NÕu mäi phÇn tö cña tËp A ®Òu lµ phÇn tö cña tËp X th× ta nãi A lµ tËp con cña X vµ ký
hiÖu: A⊂X. Hai tËp X, Y ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu X⊂Y vµ Y⊂X, ký hiÖu X=Y. Mét tËp hîp
kh«ng cã phÇn tö nµo ta gäi lµ tËp hîp rçng, ký hiÖu ∅.
Ta thÊy: N ⊂Z ⊂Q vµ Pn(t) ⊂ C[0,1].
VÝ dô 1.2: A={x| x2+1=0,x∈R}=∅.
3. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp
a. PhÐp hîp: Ta gäi hîp cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∪B, gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt
nhÊt mét trong hai tËp A hoÆc B.
A∪B ={x| x∈A hoÆc x∈B}
b. PhÐp giao: Giao cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∩B, gåm c¸c phÇn tö thuéc ®ång
thêi c¶ A vµ B.
1
A∩B ={x| x∈A vµ x∈B}
c. HiÖu cña hai tËp hîp: HiÖu cña A vµ B lµ tËp hîp, ký hiÖu A\B, gåm c¸c phÇn tö thuéc A
nhng kh«ng thuéc B.
A\B ={x| x∈A, x∉B}
d. PhÇn bï: NÕu A⊂X th× X\A gäi lµ phÇn bï cña A trong X, ký hiÖu CxA.
Chó ý: C¸c phÐp to¸n hîp vµ giao cã thÓ suy cho mét sè tuú ý c¸c tËp hîp.
e. C¸c tÝnh chÊt: C¸c phÐp to¸n cña tËp hîp cã c¸c tÝnh chÊt sau:
1. Giao ho¸n A∪B = B∪A , A∩B = B∩A
2. KÕt hîp (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
3. Ph©n phèi A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
4. C«ng thøc De Morgan
X\ (A∪B) = (X\A) ∩(X\B)
X\ (A∩B) = (X\A)∪(X\B)
c«ng thøc De Morgan ®óng cho mét hä tuú ý c¸c tËp hîp.
f. TÝch §Ò c¸c cña c¸c tËp hîp
§Þnh nghÜa 1: Cho hai tËp X,Y ta gäi tÝch §Ò c¸c cña X vµ Y lµ tËp hîp, ký hiÖu X×Y gåm
c¸c phÇn tö s¾p thø tù (x,y) sao cho x∈X, y∈Y. Nh vËy:
X×Y ={(x,y) | x∈X, y∈Y}
Më réng cho tÝch §Ò c¸c cña n tËp hîp ta cã:
X1× X2×...×Xn ={(x1,x2,...,xn) | xi∈Xi (i=
n,1
)}
Khi X1= X2=...= Xn= X ký hiÖu X1× X2×...×Xn =Xn
Hai phÇn tö b»ng nhau:
Cho (x1,x2,...,xn), (x’1,x’2,...,x’n)∈ X1× X2×...×Xn
ta ®Þnh nghÜa: (x1,x2,...,xn)= (x’1,x’2,...,x’n)⇔ xi=x’i (i=
n,1
)
VÝ dô 1.3:
a. Cho X={0,1}, khi ®ã: X2=X×X={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
b. Rn={(x1,x2,...,xn)|xi∈R, i=
n,1
}
1.2 ¸nh x¹
1. C¸c ®Þnh nghÜa
§Þnh nghÜa 2: Cho hai tËp X,Y, mét ¸nh x¹ f tõ X vµo Y lµ mét quy t¾c cho øng mçi phÇn tö
x∈X víi mét phÇn tö y=f(x) ∈Y x¸c ®Þnh trªn Y. Ký hiÖu:
f: X→Y, x
y=f(x)
X gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh cña f. Víi A⊂X tËp f(A)={f(x)∈Y| x∈A}gäi lµ ¶nh cña tËp
A qua ¸nh x¹ f. Khi ®ã tËp f(X) gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña f.
Víi B⊂Y tËp f -1(B)={x∈X| f(x)∈B} gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp B.
TËp {(x,f(x))|x∈X}⊂ X×Y gäi lµ ®å thÞ cña f.
2. §¬n ¸nh, Toµn ¸nh, Song ¸nh
§Þnh nghÜa 3: ¸nh x¹ f: X→Y
- Gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu tõ f(x1)=f(x2) suy ra x1=x2.
- Gäi lµ toµn ¸nh nÕu f(X)=Y.
- Gäi lµ song ¸nh nÕu f võa lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh.
VÝ dô 1.4:
(i) f: N→N : f(n)=2n+1 lµ mét ®¬n ¸nh.
(ii) f: R→R+ : f(x)=x2 lµ toµn ¸nh nhng kh«ng lµ ®¬n ¸nh.
(iii) Ix: X→X Ix (x)=x lµ mét song ¸nh trªn X vµ gäi lµ ¸nh x¹
®ång nhÊt.
3. TÝch c¸c ¸nh x¹
2
§Þnh nghÜa 4: Cho f: X→Y vµ g: Y→Z lµ hai ¸nh x¹, khi ®ã
h: X→Z ®îc x¸c ®Þnh bëi h(x)=g(f(x)) ®îc gäi lµ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g vµ viÕt h=gof.
HÖ qu¶ 1: Cho hai ¸nh x¹: f: X→Y vµ g: Y→Z, khi ®ã:
a. NÕu h=gof lµ ®¬n ¸nh th× f lµ ®¬n ¸nh.
b. NÕu h=gof lµ toµn ¸nh th× g lµ toµn ¸nh.
Chøng minh:
a. f(x1)=f(x2)⇒ g(f(x1))=g(f(x2)) ⇒h(x1)=h(x2), nhng do h lµ ®¬n ¸nh nªn x1=x2 , do ®ã f lµ ®¬n
¸nh.
b. Ta cã f(X)⊆Y, do h lµ toµn ¸nh nªn:
Z=h(X)=g(f(X)) ⊆g(Y) ⊆Z
VËy g(Y)=Z hay g lµ toµn ¸nh.
4. ¸nh x¹ ngîc vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i
§Þnh nghÜa 5: Cho f: X→Y . NÕu ∃g: Y→X sao cho:
fog = Iy vµ gof = Ix
th× g ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña f, ký hiÖu g=f-1. HiÓn nhiªn f còng lµ ¸nh x¹ ngîc cña g.
§Þnh lý 1: NÕu f: X→Y lµ mét song ¸nh th× lu«n tån t¹i ¸nh x¹ ngîc vµ ¸nh x¹ ngîc lµ duy nhÊt.
Chøng minh: V× f lµ toµn ¸nh nªn víi mçi y∈Y tån t¹i x∈X sao cho y=f(x), do f lµ ®¬n ¸nh nªn x
øng víi y trªn lµ duy nhÊt. Do vËy ta x¸c ®Þnh ®îc duy nhÊt ¸nh x¹ g: Y→X mµ g(y)=x sao cho
f(x)=y. HiÓn nhiªn f(g(y))=f(x)=y= Iy vµ g(f(x))=g(y)=x= Ix.
5. Lùc lîng cña tËp hîp
Ta nãi hai tËp X, Y cïng lùc lîng hay t¬ng ®¬ng nÕu cã song ¸nh f:X→Y.
Cho tËp I={1,2,…,n} mäi tËp X t¬ng ®¬ng I gäi lµ tËp h÷u h¹n vµ viÕt cardX=n.
TËp hîp cã cïng lùc lîng víi tËp sè tù nhiªn N gäi lµ tËp v« h¹n ®Õm ®îc.
TËp c¸c sè nguyªn Z vµ tËp c¸c sè h÷u tû Q lµ c¸c tËp v« h¹n ®Õm ®îc.
TËp cã lùc lîng lín h¬n N lµ tËp v« h¹n kh«ng ®Õm ®îc, tËp c¸c sè v« tû
Q
vµ tËp c¸c sè thùc
R lµ c¸c tËp v« h¹n kh«ng ®Õm ®îc.
1.3 S¬ lîc vÒ logic mÖnh ®Ò
1. MÖnh ®Ò
MÖnh ®Ò lµ mét c©u ph¶n ¸nh mét ®iÒu ®óng hoÆc sai, nhng kh«ng ®ång thêi võa ®óng
võa sai.
VÝ dô 1.5: a= C¸c ®iÓm trªn ®êng trßn c¸ch ®Òu t©m.
b= C¸c ®iÓm trªn Elip c¸ch ®Òu gèc to¹ ®é.
Ta thÊy a lµ mÖnh ®Ò ®óng, cßn b lµ mÖnh ®Ò sai.
Ta thêng dïng c¸c ch÷ c¸i p,q,r... ®Ó chØ c¸c mÖnh ®Ò. NÕu p lµ mÖnh ®Ò ®óng ta nãi p cã
gi¸ trÞ ®óng, nÕu q lµ mÖnh ®Ò sai ta nãi q cã gi¸ trÞ sai. Thay cho ®óng vµ sai ta quy íc gi¸
trÞ cña mÖnh ®Ò ®óng b»ng 1, gi¸ trÞ cña mÖnh ®Ò sai b»ng 0.
C¸c mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ thay ®æi gäi lµ c¸c biÕn mÖnh ®Ò. Nh vËy mét biÕn mÖnh ®Ò chØ
nhËn mét trong hai gi¸ trÞ hoÆc 1 hoÆc 0.
VÝ dô 1.6: p= Tam gi¸c ABC cã hai gãc b»ng nhau. Khi ®ã:
1 nÕu ABC lµ tam gi¸c c©n
p=
0 nÕu ABC kh«ng lµ tam gi¸c c©n.
2. C¸c phÐp to¸n logic
a. PhÐp phñ ®Þnh: Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu ┐p, víi:
┐p=
1 0
0 1
khi p
khi p
=
=
b. PhÐp tuyÓn: TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p,q lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p
∨
q, víi:
0 nÕu p=0 vµ q=0
pvq=
3
1 víi c¸c trêng hîp cßn l¹i
c. PhÐp héi: Héi cña hai mÖnh ®Ò p,q lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p∧q, víi:
1 nÕu p=1 vµ q=1
p∧q =
0 víi c¸c trêng hîp cßn l¹i.
d. PhÐp kÐo theo: MÖnh ®Ò “p kÐo theo q” lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p⇒ q, víi:
0 nÕu p=1 vµ q=0
p⇒q=
1 víi c¸c trêng hîp cßn l¹i.
e. PhÐp t¬ng ®¬ng: MÖnh ®Ò “p t¬ng ®¬ng q”, ký hiÖu p⇔q, cã nghÜa: p⇒q ∧ q⇒p
3. C¸c lîng tõ víi mäi vµ tån t¹i
a. Hµm mÖnh ®Ò: Cho mét tËp X, mét ¸nh x¹ P:X→{0,1} ®îc gäi lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c
®Þnh trªn tËp X. Ký hiÖu :p=p(x).
Nh vËy øng víi mçi x∈X x¸c ®Þnh mét mÖnh ®Ò p(x).
VÝ dô 1.7: P :R →{0,1}: x2-2x+1=0 . Khi ®ã:
p=
≠
=
10
11
xkhi
xkhi
VÝ dô 1.8: C¸c phÐp to¸n l«gÝc lµ c¸c hµm mÖnh ®Ò sau:
PhÐp phñ ®Þnh lµ hµm: P:{0,1}→{0,1} víi P(0)=1, P(1)=0
C¸c phÐp tuyÓn, héi, kÐo theo, t¬ng ®¬ng, t¬ng øng lµ c¸c ¸nh x¹ tõ X2={0,1}2→{0,1} ®îc cho
bëi b¶ng sau:
x y x∨y x∧y x⇒y x⇔y
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
b. MiÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò
Ta gäi tËp Ep(x)={x∈X| p(x)=1} lµ miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò p(x). Hai hµm mÖnh ®Ò
p(x) vµ q (x) cïng x¸c ®Þnh trªn X ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu Ep(x)=Eq(x) , ký hiÖu: p(x)≡q(x).
VÝ dô 1.9:
P(x)= x2- 3x+2≤0 khi ®ã Ep(x)=[1,2]
c. Lîng tõ
Cho T(x) lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. Khi ®ã:
(i) MÖnh ®Ò (∀x∈X) T(x) (®äc lµ víi mäi x thuéc X, T(x)) lµ mét mÖnh ®Ò chØ ®óng nÕu
ET(x)=X vµ ®îc gäi lµ lîng tõ phæ biÕn.
(ii) MÖnh ®Ò (∃x∈X) T(x) (®äc lµ tån t¹i x thuéc X, T(x)) lµ mét mÖnh ®Ò chØ ®óng nÕu
ET(x)≠∅ vµ gäi lµ lîng tõ tån t¹i.
VÝ dô 1.10:
a=∀x∈[1,2] : x2- 3x+2≤0
b=∃x∈ R: x2- 3x+2≥0
lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng.
d. Phñ ®Þnh cña c¸c lîng tõ
┐(∀x∈X) T(x)= (∃x∈X) ┐T(x)
┐(∃ x∈X) T(x)=(∀x∈X) ┐T(x)
1.4 Quan hÖ
1. Quan hÖ
4
§Þnh nghÜa 6: Cho tËp X, ta nãi R lµ mét quan hÖ hai ng«i trªn X nÕu R⊂ X×X. Víi x,y∈X
ta nãi x cã quan hÖ víi y nÕu (x,y)∈R vµ viÕt xRy.
§Þnh nghÜa 7: Ta nãi quan hÖ hai ng«i R trªn X:
(i) Cã tÝnh ph¶n x¹ nÕu ∀x∈X, ta ®Òu cã xRx.
(ii) Cã tÝnh ®èi xøng nÕu x,y∈X mµ xRy th× yRx.
(iii) Cã tÝnh b¾c cÇu nÕu xRy vµ yRz th× xRz.
(iv) Cã tÝnh ph¶n ®èi xøng nÕu víi x,y mµ ®ång thêi cã
xRy vµ yRx th× x=y
VÝ dô 1.11: Trªn tËp c¸c sè nguyªn d¬ng Z+, xÐt quan hÖ R nh sau:
xRy ⇔x
y
Ta thÊy R lµ quan hÖ cã c¸c tÝnh chÊt: ph¶n x¹, b¾c cÇu vµ ph¶n ®èi xøng nhng kh«ng cã
tÝnh ®èi xøng.
3. Quan hÖ t¬ng ®¬ng
§Þnh nghÜa 8: Mét quan hÖ hai ng«i R trªn X ®îc gäi lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng nÕu R cã tÝnh
ph¶n x¹ ,®èi xøng vµ b¾c cÇu. NÕu R lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng th× xRy ký hiÖu x∼y. Nh vËy
mét quan hÖ lµ t¬ng ®¬ng th×:
+ x∼x ∀x∈X
+ x∼y ⇔ y∼x
+ x∼y, y∼z ⇒x∼z
VÝ dô 1.12: Trªn tËp Z c¸c sè nguyªn, n lµ mét sè nguyªn d¬ng xÐt quan hÖ: xRy⇔x-y chia
hÕt cho n. Ta thÊy quan hÖ nµy lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ gäi lµ quan hÖ ®ång d modulo n trªn
Z vµ ký hiÖu x≡y(mod n).
4. Quan hÖ thø tù
a. §Þnh nghÜa
Mét quan hÖ hai ng«i trªn X ®îc gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu R cã tÝnh ph¶n x¹, ph¶n xøng vµ
b¾c cÇu. NÕu R lµ quan hÖ thø tù th× xRy ký hiÖu x≤y, nh vËy mét quan hÖ lµ quan hÖ thø
tù th×:
+ x≤x ∀x∈X
+ NÕu x≤y, y≤x th× x=y
+ x≤y, y≤z ⇒ x≤z
NÕu quan hÖ thø tù tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: ∀x,y∈X hoÆc x≤y hoÆc y≤x th× ta gäi nã lµ quan
hÖ thø tù toµn phÇn.
TËp X cïng víi mét quan hÖ thø tù “≤” trªn nã ®îc gäi lµ tËp ®îc s¾p thø tù vµ ký hiÖu (X, ≤),
nÕu “≤” lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn th× (X, ≤) ®îc gäi lµ ®îc s¾p thø tù toµn phÇn.
VÝ dô 1.13: C¸c tËp (N, ≤), (Z, ≤) vµ (Q, ≤) víi quan hÖ ≤ lµ c¸c tËp ®îc s¾p thø tù toµn
phÇn.
b. CËn trªn vµ cËn díi cña mét tËp hîp s¾p thø tù
§Þnh nghÜa 9: Cho (X, ≤) lµ mét tËp s¾p thø tù, A⊆X, A ®îc gäi lµ bÞ chÆn trªn nÕu:
∃q∈X, a≤q, ∀a∈A . Khi ®ã q ®îc gäi lµ mét phÇn tö chÆn trªn cña A.
NÕu q lµ phÇn tö chÆn trªn cña A vµ víi mäi phÇn tö chÆn trªn q’ cña A ta ®Òu cã q≤q’ th×
q gäi lµ cËn trªn cña A vµ ký hiÖu:
q= supA
NÕu q∈A khi ®ã q ®îc gäi lµ phÇn tö lín nhÊt cña A, ký hiÖu:
q=maxA
§Þnh nghÜa 10: Cho (X, ≤) lµ mét tËp s¾p thø tù, A⊆X, A ®îc gäi lµ bÞ chÆn díi nÕu:
∃p∈X, p≤a, ∀a∈A . Khi ®ã p ®îc gäi lµ mét phÇn tö chÆn díi cña A.
5