Tích phân hàm một biến

Chia sẻ: Phi Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

173
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ. * Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân hàm một biến

Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng §4. Ứng dụng tích phân xác định
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b).Nếu tồn tại hàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b), thì F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu có thêm F’( a + 0 ) = f(a), F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nói F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b].
Ví dụ : * F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx, ∀x ∈ R. Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx. 2. Các định lí về nguyên hàm: Định lí 1: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên [a, b]. Định lí 2: * Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì F(x) + C, với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm f(x) trên [a, b].
* Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó của f(x) trên [a, b] thì ∃ C ∈ R sao cho: G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ [a, b]. Hay nói cách khác mọi nguyên hàmcủa f(x) đều có dạng F(x) + C với F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x).
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b] thì biểu thức thức F(x) + C, C là hằng số tuỳ ,ýđược gọi là tích phân bất định của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b]. Kí hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C * Dấu ∫được gọi là dấu tích phân. * f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân. * f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. * x gọi là biến số tích phân.
III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH (Giáo trình) IV. BẢNG TÍCH PHÂN CÁC HS THƯỜNG GẶP: (Giáo trình) V. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phương pháp đổi biến số: a) Đổi biến dạng u = u(x): Định lí: Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với x ∈( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b) ta có : ∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du xdx Ví dụ: Tính các tích phân sau đây: ∫ ∫ e − 1dx x , x +3 2
b) Biến đổi dạng x = ϕ(t) Định lí: Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b] và x = ϕ(t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t trên [α, β] và lấy giá trị trên [a, Khi đó ta có : b]. ∫ f ( x)dx = ∫ f ([ϕ (t )]ϕ ' (t ))dt Ví dụ: Tính ∫ 1 − x 2 dx π π Hướng dẫn: Đặt x = sint với − ≤t≤ 2 2
2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí: Giả sử u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục đối với x ∈(a, b). Khi đó trong (a, b) ta có: ∫ u( x).v' ( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x).u' ( x)dx Viết gọn: ∫ udv = uv − ∫ vdu Ví dụ: Tính các tích phân sau đây: ∫ x cos xdx
Chú ý: Khi tính những tích phân dạng ∫ f ( x) g ( x)dx với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng phương pháp tích phân từng phần. ụ thể như sau: C a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x); dv = g(x)dx. b) Nếu f(x) là hàm đa thức & g(x) là những hàm nhưhàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt u = g(x), dv = f(x)dx.
VI. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP: 1.Tích phân hàm hữu tỉ: a) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản: dx 1 (i) ∫ = ln ax + b + C , a ≠ 0 ax + b a ( ii ) dx 1 1 ∫ (ax + b) k = 1 − k . a(ax + b)k −1 + C , k ≠ 0 2 Adx  b  b 2 − 4c ( iii ) ∫ 2 :Biến đổi x + bx + c =  x +  − 2 x + bx + c  2 4 Ab B− ( Ax + B )dx Ax + B A 2x + b ( iv ) ∫ 2 : ến đổi Bi = ( 2 )+ 2 2 x + bx + c x 2 + bx + c 2 x + bx + c x + bx + c
Sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: du ∫u và tích phân dạng ( iii ). 2x + 1 Ví dụ : Tính ∫ x 2 + x + 1dx b) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát: Pn ( x) ∫ Qm ( x)dx i) Bậ c P n(x)
* Phân tích Pn ( x) M1 Mα N = α + ... + + ... + + Qm ( x) (a1 x + b1 ) (a1 x + b1 ) a2 x + b2 E 1x + F1 Eβ x + Fβ Gx + H β + ... + + ... + ( A1 x + B1 x + C1 ) 2 A1 x + B1 x + C1 2 A2 x 2 + B2 x + C2 ( P h ương p h á p nà y g ọ i là h ệ s ố b ấ t đ ịnh ) . xdx Ví dụ: Tính ∫ x3 − 1 ii) Bậ c P n(x) ≥ Q m (x) (n ≥ m ) Pn ( x) Ta chia Pn(x) cho Qm(x), phân tích Qm ( x) đưa về dạng b.i)
x 4 + 2x Ví dụ: Tính ∫ x +1 3 dx x 4 + 2x x x 4 + 2x x Ta có: = x+ 3 ⇒∫ 3 dx = ∫ xdx + ∫ 3 dx x +1 3 x +1 x +1 x +1
2. Tích phân các hàm lượng giác: a) Dạng ∫ R(cos x, sin x)dx (với R(*,*) là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx) x Phương pháp: Đặt t = tg 2 2t 1− t2 2dt Khi đó sin x = , cos x = và dx = 1+ t 2 1+ t 2 1+ t2 , Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ. dx Ví dụ : Tính ∫ sin x + 1 x 2dt 2t Đặt t = tg ⇒ dx = , sin x = 2 1+ t 2 1+ t2
dx Tính ∫ 3 + 5 sin x + 3 cos x cos 5 x Tính ∫ dx sin x b) Dạng ∫ cos ax cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, ∫ cos ax sin bxdx , Ví dụ: Tính ∫ cos 3x sin 5xdx x x Tính ∫ sin x sin sin dx 2 3 c) Dạng ∫ sin xdx , ∫ cos xdx n n Phương pháp: dùng công thức hạ bậc (n chẵn ) Ví dụ : Tính : ∫ cos 4 xdx
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG y B f (ξ2) f(x f (ξ1) ) f (ξi ) A x 0 a =x 0 ξ1 x1 ξ2 x2 xi-1 ξi xi xn=b Cho hình thanh cong aABb giới hạn bởi tục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x), trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ( hình vẽ ). Hãy xác định diện tích hình thanh cong aABb ?
Giả sử f(x) > 0 trong [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: a = x0 < x1 < x2 < …< xn = b Từ các điểm đó, ta dựng đường thẳng song song với trục Oy. Khi đó hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ. Trong mỗi đoạn [ xi-1, xi ] ( i = 1, 2, 3, …, n ) ta lấy tuỳ ý một điểm ξi,, khi đó tung độ tương ứng là Dự). hình chữ nhật có một cạnh là ∆xi = xi – xi-1 và f(ξi ng một cạnh là f(ξi). Thì diện tích của nó là f(ξi).∆xi Do đó diện tích của tổng n hình chữ nhật đó là : n S n = ∑ f (ξ i ) ∆xi (1) i =1
Sn chính là diện tích hình bậc thang ( hình vẽ ) Ta nhận thấy: khi ∆xi càng nhỏ và n càng lớn thì diện tích hình bậc thang sẽ xấp xỉ diện tích hình thang cong. Do đó người ta định nghĩa diện tích hình thang cong như sau: Nếu tổng (1) dần tới một giới hạn xác định S khi n → ∞ sao cho Max∆xi → 0 thì S được gọi là diện tích hình thang cong aABb. n S = lim ∑ f (ξi )∆xi n →∞ i =1
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa Giả sử f(x) là hàm xác định trên [a, b]. Chia [a, b] thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia a = x0 < x1 < … < xn = b. Trên từng phân đoạn [ xi-1, xi ] ta chọn điểm ξi tuỳ ý, i = 1, n n Lập tổng I n = ∑ f (ξ i )∆ xi với ∆xi = xi − xi −1 I =1 . Nếu lim I n ( n → ∞ sao cho max ∆xi → 0 ) tồn tại n →∞ hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia đoạn [ a, b ] và cách chọn ξi thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [ a, b ]. Khi đó ta gọi f(x) là hàm khả tích trên [ a, b ].