PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ CON LẮC ĐƠN

Chia sẻ: Nguyen Dinh Manh Linh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

756
lượt xem 154
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m, kích thước nhỏ, treo bằng một sợi dây mảnh không co giãn ( kích thước của vật rất nhỏ so với độ dài của dây, khối lượng của dây rất nhỏ so với m). 2. Lúc chưa dao động, con lắc đứng yên ở vị trí cân bằng, dây treo có phương thẳng đứng. Trong quá trình vật dao động, hợp lực tác dụng lên vật theo phương chuyển động là...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ CON LẮC ĐƠN

Ph−¬ng ph¸p gi¶I bμi to¸n vÒ CON LẮC ĐƠN I.CƠ SỞ LÍ THUYẾT: 1. Con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m, kích thước nhỏ, treo bằng một sợi dây mảnh không co giãn ( kích thước của vật rất nhỏ so với độ dài của dây, khối lượng của dây rất nhỏ so với m). 2. Lúc chưa dao động, con lắc đứng yên ở vị trí cân bằng, dây treo có phương thẳng đứng. Trong quá trình vật dao động, hợp lực tác dụng lên vật theo phương chuyển động là F = −mg sin α ( α là góc lệch khỏi vị trí cân bằng ) S Với dao dộng nhỏ F = −mg l Phương trình dao động S = S 0 sin(ωt + ϕ ) α Hay α =α 0 sin (ωt + ϕ ) g Tần số góc ω = l l 1 l Chu kì dao động T = 2π ( f: tần số dao động ) m = g f α2 3. Thế năng: Et = mgl (1 − cos α ) = mgl s 2 mv 2 mω 2 s 0 2 cos 2 (ωt + ϕ ) Động năng: E d = = 2 2 mω 2 s 0 mglα 0 2 2 Cơ năng toàn phần E = E d + Et = = 2 2 4. Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào độ cao ( hoặc độ sâu ). Ở độ cao h, gia tốc trọng trường 2 ⎛ Rd ⎞ gh = g0 ⎜ ⎜R +h⎟ ⎟ ⎝d ⎠ ( Rđ là bán kính trái đất, h là độ cao của vật ( con lắc ) so với mặt đất, Rđ = 6400km, g0 là gia tốc trọng trường ở mặt đất ). 1
2 ⎛R ⎞ Ở độ sâu d so với mặt đất g d = g 0 ⎜ d ⎟ ⎜R −d ⎟ ⎝d ⎠ Chu kì con lắc đơn phụ thuộc vào nhiệt độ: l = l 0 (1 + λt 0 ) λ là hệ số nở dài của dây treo con lắc, l0 là độ dài ở 00C, còn l là độ dài ở nhiệt độ t0C ). r r 5. Nếu ngoài lực căng T của dây treo và trọng lực P của vật, con lắc còn chịu them r tác dụng của ngoại lực F không đổi ( lực điện…) thì coi như con lắc chịu tác dụng r r r r của trọng lực “hiệu dụng” Ph = P + F ( ngoài lực căng T ) r r Ph Gia tốc g h = gọi là gia tốc “hiệu dụng” m r r rF g h = g + . Khi đó chu kì dao động của con lắc là: m l T = 2π gh II. CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG 1: Xác định chu kì ( hoặc độ dài ) của con lắc đơn và sự phụ thuộc chu kì con lắc đơn vào độ cao và nhiệt độ. BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Con lắc của một chiếc đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn có chu kì dao động là 2s ở nhiệt độ 00C và tại nơi có g = 9,81m/s2. a) Tính chiều dài của thanh treo quả lắc. b) Thanh treo quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài λ = 1,80.10 −5 K −1 .Hỏi nhiệt độ tăng lên đến 200C thì đồng hồ đó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong một tuần lễ nó chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? c) Đưa đồng hồ lên cao 1km, tại đó nhiệt độ là 00C thì nó chạy nhanh lên hay chạy chậm đi? Trong một ngày nó chạy nhanh chậm bao nhiêu? GIẢI: a) Áp dụng công thức tính chu kì l0 T = 2π (1) g T2 Ta được: l0 = = 0,994m 4π 2 2
b) Gọi T’ là chu kì con lắc ở 200C và áp dụng công thức về sự dãn nở dài ( ) l = l 0 1 + λt 0 ta có ( ) l 1 + λt 0 l T ' = 2π (2) =0 g g λt 0 T' = 1 + λt 0 ≈ 1 + ≈ 1 + 10λ Từ đ ó 2 T → T ' > T : đồng hồ chạy chậm đi. Số lần dao động n mà bây giờ con lắc thực hiện được trong 1 ngày là ( 1 ngày = 24.3600 = 86400s ) 86400 86400 86400 (1 − 10λ ) n= = = T (1 + 10λ ) ' T T Cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T’) kim đồng hồ của con lắc vẫn chỉ thời gian biểu kiến là T = 2s, vậy sau n lần dao động ( sau 1 ngày ) đồng hồ chỉ một thời gian biểu kiến là 86400 τ = nT = (1 − 10λ ).T = 86400(1 − 10λ ) T Nghĩa là đồng hồ ở nhiệt độ t = 200C mỗi ngày chậm là: θ = 86400 − τ = 86400.10λ , và trong một tuần lễ đồng hồ chạy chậm 7θ = 86400.10λ .7 ≈ 109 s d) Gọi T là chu kì con lắc ở độ cao h = 1km 2 ⎛R ⎞ l Ta có: T = 2π 0 ; g h = g ⎜ d ⎟ (3) '' ⎜R +h⎟ 0⎝ d ⎠ gh g 0 = g = 9,81m / s 2 , Rd = 6400km Từ 1, 2 ta được: R +h T '' g h = =d = 1+ T' gh Rd Rd Nghĩa là T’’ > T’ : ở trên cao đồng hồ đã chạy chậm đi. Lập luận tương tự như trên, ta tìm được số lần dao động n’ mà con lắc ở trên cao đã thực hiện được trong một ngày là: ⎛ h⎞ 86400 ≈ 86400⎜1 − ⎜ R⎟ n' = ⎟ '' ⎝ d⎠ T Và mỗi ngày đồng hồ chạy chậm 3
h θ = 86400. ≈ 13,5s Rd Bμi tËp vÝ dô 2: Hai con l¾c ®¬n cã chiÒu dμi lÇn l−ît lμ l1; l2vμ cã chu k× dao ®éng T1,T2 t¹i mét n¬i cã gia tèc träng tr−êng g = 9,81m/s2. BiÕt r»ng còng t¹i n¬I ®ã, con l¾c ®¬n cã chiÒu dμi l1+ l2 cã chu k× dao ®éng lμ 4,8s vμ con l¾c ®¬n cã chiÒu dμi l1+ l2 ë chu k× dao ®éng lμ 1,6s. H·y tÝnh T1,T2, l1vμ l2. Gi¶i: l ¸p dông c«ng thøc: T = 2π ta ®−îc g gT 2 l= 4π 2 2 2 gT gT l1 = 12 , l 2 = 22 4π 4π 2 2 gT gT l1 + l 2 = 32 ; l1 − l 2 = 42 4π 4π Theo ®Ò bμi → T 2 + T 2 = T 2 = 4,8 2 1 2 3 2 2 2 T1 − T2 = T4 = 1,6 2 2T1 = (4,8) + (1,6 ) → T1 = 1,6 5 ≈ 3,58s 2 2 2 2T2 = (4,8) − (1,6 ) → T2 = 3,2 s 2 2 2 ®é dμi cña con l¾c: 2 2 gT1 gT2 l 1= = 3,18m ; l2 = = 2,55m 4π 2 4π 2 Bμi tËp ¸p dông: Bμi tËp 1: Mét con l¾c ®ång hå ch¹y ®óng trªn mÆt ®Êt víi chu k× dao ®éng b»ng 2s. a) §−a ®ång hå xuèng giÕng s©u 100m th× trong mét ngμy ®ªm ®ång hå ch¹y nhanh chËm bao nhiªu? b) Khi ®−a ®ånh hå lªn cao, nã ch¹y chËm ®i 2,16s mçi ngμy ®ªm, tÝnh ®é cao cña ®ång hå so víi mÆt ®Êt. Bμi tËp 2: Mét ®ång hå qu¶ l¾c chØ giê ®óng ë møc mÆt biÓn vμ ë nhiÖt ®é 180C. Thanh treo con l¾c cã hÖ sè në dμi λ = 2.10 −5 K −1 . a) Khi nhiÖt ®é h¹ xuèng ®Õn 80C th× ®ång hå vÉn chØ giê ®óng. Gi¶i thÝch hiÖn t−îng vμ tÝnh ®é cao cña ®Ønh nói ®ã so víi møc mÆt biÓn. 4
PHƯƠNG PHÁP GIẢI: l 1. Áp dụng công thức T = 2π , khi biết chu kì dao động của con lắc, ta tính g được chiều dài con lắc, và ngược lại, khi biết l ta tính được T. cũng có trường hợp, nếu đo được T và l tại một nơi nào đó ta sẽ tính được giá trị của gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc. 2. Dựa vào công thức l = l 0 (1 + λt 0 ) ta tính được chiều dài con lắc ở một nhiệt độ nhất định, từ đó ta tính được chu kì dao động T’ của con lắc ở nhiệt độ đó. Từ đó nếu T’ > T thì chu kì dao động bây giờ lớn hơn trước , nghĩa là đồng hồ (quả lắc đồng hồ) chạy chậm đi. Còn nếu T’ < T thì đồng hồ chạy nhanh lên. 3. Cũng như vậy dựa vào công thức tính gia tốc trọng trường gh ở độ cao h so với mặt đất (hoặc gia tốc trọng trường gd ở độ sâu d so với mặt đất) ta tính được chu kì dao động T’’ của con lắc ở độ cao h (hoặc ở độ sâu d). Từ đó ta thấy ở độ cao h T’’ > T, nghĩa là ở độ cao h so với mặt đất đồng hồ chạy chậm lại ( và một cách tương tự, ở độ sâu d đồng hồ chạy nhanh hơn ). 4. Để xác định xem đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một khoảng thời gian nhất định ( trong một ngày, 1 tuần lễ, trong một tháng…), phải xác định số lần dao độngn mà can lắc đã thực hiện trong khoảng thời gian ( Δt Δt bằng cách tính thương của n và T’ (hoặc T’’): n = . T' Và lưu ý rằng cứ sau một dao động ( Sau một chu kì T’ hoặc T’’) kim đồng hồ của con lắc vẫn chỉ thời gian biểu kiến là T = 2s, từ đó tìm được là: sau n lần dao động đó đồng hồ đã chỉ một thời gian biểu kiến bằng nT. Từ đó xác định được rằng trong khoảng thời gian đồng hồ đã chạy chậm ( hoặc nhanh ) là Δt T Δt − nT = Δt 1 − T' 5. Khi giải các bài toán về con lắc đơn ta thường sử dụng các công thức gần đúng: (1 ± x )n = 1 ± nx 1 ≈ 1 ± nx (1 ± x )n Khi x
6. Khi tính toán bằng số cần chú ýđến đơn vị đo các đại lượng và phải đổi các dữ liệu cho trong đề về các đơn vị SI, trước khi thay chúng vào các công thức tính. DẠNG 2: Xác định chu kì dao động của con lắc bằng phương pháp trùng phùng BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho một con lắc đơn, có chu kì T chưa biết, dao động trước mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s. Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động cùng chiều và trùng với nhau tại vị trí cân bằng của chúng ( gọi là những lần trùng phùng ). Quan sát cho thấy khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng lien tiếp bằng 7 phút 30 giây. Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và độ dài của con lắc đơn. Cho biết g = 9,8m/s2. GIẢI: Vì con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ ( nghĩa là trong cùng một khoảng thời gian số dao động của nó nhỏ hơn số dao động của con lắc đồng hồ ), cho nên, trong khoảng thời gian θ = 7 phút 30 giây = 450 giây nếu con lắc đơn thực hiện được n dao động thì con lắc đồng hồ thực hiện được ( n + 1 ) dao động. ta có: θ = nT = (n + 1)T0 θθ n= = −1 T T0 111 Hay = − T T0 θ θT0 2.450 Suy ra: T = = ≈ 2.009 s θ − T0 448 l Từ công thức T = 2π tìm được độ dài của con lắc đơn g gT 2 l= ≈ 1.00m 4π 2 Bμi tËp vÝ dô 2: Cho mét con l¾c ®ång hå cã chu k× T0 = 2s vμ mét con l¾c ®¬n dμi 1m cã chu k× T ch−a biÕt. Con l¾c ®¬n dao ®éng nhanh h¬n con l¾c ®ång hå mét chót. Dïng ph−¬ng ph¸p trïng phïng ng−êi tag hi ®−îc kho¶ng thêi gian gi÷a hai lÇn trïng phïng liªn tiÕp b»ng 8 phót20 gi©y.H·y tÝnh chu k× T cña con l¾c ®¬n vμ gia tèc träng tr−êng t¹i n¬i quan s¸t. Gi¶i: 6
Ta cã: θ = nT0 (n + 1)T ,θ = 500s 111 → = + T T0 θ θT0 500.2 T= = 1,992 s θ + T0 500 + 2 Hay 4π 2 g= ≈ 9,939m / s 2 T2 Bμi tËp ¸p dông: Cho mét con l¾c ®¬n dao ®éng tr−íc mÆt mét con l¾c cña ®ång hå gâ gi©y ( cã chu k× dao ®éng lμ 2s ). Con l¾c ®¬n dao ®éng chËn h¬n con l¾c ®ång hå mét chót nªn cã nh÷ng lÇn hai con l¾c ®ã chuyÓn ®éng cïng chiÒu vμ ®i qua vÞ trÝ c©n b»ng cïng mét lóc ( gäi lμ nh÷ng lÇn trïng phïng). Quan s¸t cho th©ý hai lÇn trïng phïng kÕ tiÕp c¸ch nhau 9 phót 30gi©y. a) TÝnh chu k× dao ®éng cña con l¾c ®¬n. b) BiÕt ®é dμi cña con l¾c ®¬n lμ 1m, h·y x¸c ®Þnh gia tèc r¬i tù do g. PH¦¥NG PH¸P GI¶I: Đây là bài toán về phương pháp trùng phùng, nhờ đó có thể đo được chu chu kì dao động của con lắc ( hoặc gia tốc trọng trường ). Nội dung của bài toán là: cho hai con lắc ( Một con lắc có chu kì T0 đã biết và một con lắc có chu kì T cần các định )dao động trong hai mặt phẳng thẳng đứng, song song, trước mặt người quan sát. Chúng được bố trí sao cho người quan sát ghi được những lần chúng đi qua vị trí cân bằngcùng một lúc và cùng chiều ( những lần trùng phùng ). Gọi là khoảng thời θ gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp. Nếu T < T0 thì con lắc có chu kì T cần xác định sẽ thực hiện được nhiều lần dao động hơn con lắc có chu kì T0 một đơn vị, và ta có θ = nT0 = (n + 1)T Ngược lại, nếu chu kì T > T0 ta lại có θ = nT = (n + 1)T0 7
111 = + T T0 θ Từ đó suy ra: 111 = − T T0 θ l ) và áp dụng công thức T = 2π Từ đó ta xác định được T ( theo T0 và ta sẽ xác θ g định được độ dài l ( khi biết g ) hoặc gia tốc trọng trường g( khi biết l ). DẠNG 3: Xác định chu kì dao động của con lắc đơn chịu tác dụng của ngoại lực (ngoài trọng lực). BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g mang điện tích q= + 10-5C, được treo bằng một sợi dây có độ dài l. Đặt con lắc vào r trong một điện trường đều mà véc tơ cường độ điện trường E hướng thẳng đứng lên trên và có độ lớn E = 100V/cm. Hãy xác định chu kì dao động của con lắc, biết gia tốc trọng trường g = 9,80m/s2 và khi không có điện trường thì chu kì dao động của con lắc bằng 1,4s. gi¶i: Con lắc dao động trong trọng trường và điện trường; trường này tổng hợp có tính chất hoàn toàn giống như trọng trường nên được gọi là “trọng trường hiệu dụng” và ta có thể coi con lắc chịu tác dụng của “trọng trường hiệu dụng” r rr P ' = P + F với F = qE. r Gäi g ' lμ gia tèc träng tr−êng hiÖu dông ( gäi t¾t lμ gia tèc hiÖu dông ) r rr r r ' P' P + F r ' r qE Ta cã g = = hay g = g + (1) m m m Chän trôc xx h−íng th¼ng ®øng xuèng d−íi vμ chiÕu ®¼ng thøc vÐc t¬ (1) xuèng trôc xx ta ®−îc qE g' = g − m Do ®ã chu k× dao ®éng T cña con l¾c b©y giê b»ng l T ' = 2π g' l BiÕt T = 2π ta cã g 8
T' g g = = g' qE T g− m qE = 1m / s 2 víi E = 100V/cm = 104 V/m Thay sè ta ®−îc m T' 9,8 = ≈ 1.06 9,8 − 1 T T ' = 1,06T ≈ 1,48s Bμi tËp vÝ dô 2: Mét con l¾c ®¬n gåm mét qu¶ cÇu nhá b»ng kim lo¹i cã khèi l−îng m = 40g ®−îc treo vμo mét sîi d©y dμi 1,2m, t¹i n¬I mμ g = 9,8m/s2. a) tÝnh chu k× dao ®éng cña con l¾c. b) TÝch ®iÖn cho qu¶ cÇu mét ®iÖn tÝch q = + 104C råi cho nã dao ®éng trong ®iÖn tr−êng ®Òu cã c−êng ®é E = 10V/cm. H·y x¸c ®Þnh vÞo trÝ c©n b»ng vμ chu r k× dao ®éng cña con l¾c trong hai tr−êng hîp: vect¬ E h−íng th¼ng ®øng xuèng r d−íi, vect¬ E h−íng n»m ngang. Gi¶i: 1,2 l a) T = 2π = 6,28 ≈ 2,2 s 9,8 g b) E = 10V/cm = 1000 V/m qE 10 −4.10 3 = = 2,4m / s 2 0,04 m Tr−êng hîp 1: Con l¾c cã vÞ trÝ c©n b»ng theo ph−¬ng th¼ng ®øng vμ cã chu k× 1,2 l T1 = 2π = 6,28 ≈ 1,96 s 9,8 + 2,5 qE g+ m Tr−êng hîp 2: ë vÞ trÝ c©n b»ng d©y treo con l¾c cã ph−¬ng nghiªng mét gãc α so víi ph−¬ng th¼ng ®øng, víi F 10 −4.10 3 tgα = = ≈ 0,255 P 0,04.9,8 Chu k× cña con l¾c lμ: 9
T2 = 2π l g' 2 ⎛ qE ⎞ g' = g2 + ⎜ ⎟ ≈ 10,14 Víi ⎝m⎠ T2 ≈ 2,16s Suy ra Bμi tËp ¸p dông: Bμi tËp 1: Mét con l¾c ®¬n cã chu k× dao ®éng T = 1,5s t¹i n¬i cã gia tèc träng tr−êng g = 9,80m/s2. Treo con l¾c vμo trÇn mét thang m¸y. H·y tÝnh chu k× cña con l¾c trong c¸c tr−êng hîp: a) Thang m¸y ®i lªn nhanh dÇn ®Òu víi gia tèc 0,6m/s2. b) Thang m¸y ®i lªn chËm dÇn ®Òu víi gia tèc 0,6m/s2. c) Thang m¸y chuyÓn ®éng ®Òu. Bμi tËp 2: Mét con l¾c ®¬n cã chu k× dao ®éng T = 2s t¹i n¬i cã gia tèc träng tr−êng g = 10m/s2. Treo con l¾c vμo trÇn mét thang m¸y. a) T×m chu k× dao ®éng cña con l¾c trong tr−êng hîp thang m¸y ®i lªn: nhanh dÇn ®Òu víi gia tèc a = 0,2m/s2, chËm dÇn ®Òu víi gia tèc a = 0,2m/s2, ®Òu. b) Hái nh− c©u 1 trong tr−êng hîp thang m¸y ®i xuèng. c) §Ó chu chu k× dao ®éng cña con l¾c gi¶m 2% so víi lóc thang m¸y ®øng yªn th× thang m¸y ph¶i chuyÓn ®éng víi gia tèc b»ng bao nhiªu. H·y nãi râ tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña thang m¸y khi ®ã. Ph−¬ng ph¸p gi¶i: r r 1. NÕu ngoμi lùc c¨ng T vμ träng lùc P con l¾c cßn chÞu thªm t¸c dông cña mét r ngo¹i lùc F kh«ng ®æi th× coi nh− con l¾c chÞu t¸c dông cña träng lùc hiÖu r rr r P ' = P + F . Gäi g ' lμ gia tèc träng tr−êng hiÖu dông ( gäi t¾t lμ dông gia tèc hiÖu dông ) r rr r r ' P' P + F r ' r qE Ta cã g = = hay g = g + m m m Nh− vËy khi cã thªm ngo¹i lùc kh«ng ®æi t¸c dông th× chu k× dao ®éng cña con l¾c ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: 10
l T ' = 2π g' r 2. NÕu ngo¹i lùc F h−íng th¼ng ®øng lªn trªn ta cã: F P' = P − F → g ' = g − < g;T ' > T m r NÕu ngo¹i lùc F h−íng th¼ng ®øng xuèng d−íi F P' = P + F → g ' = g + < g;T ' < T m r Cßn nÕu F cã ph−¬ng n»m ngang th× ë vÞ trÝ c©n b»ng d©y treo cña con l¾c lÖch víi ph−¬ng th¼ng ®øng mét gãc α . Träng lùc hiÖu dông: P' = P2 + F 2 Suy ra: 2 P' ⎛F⎞ g= = g2 +⎜ ⎟ ' ⎝m⎠ m F Gãc lÖch α ®−îc x¸c ®Þnh bëi tgα = P r NÕu F cã ph−¬ng bÊt k× th× ë vÞ trÝ c©n b»ng d©y treo cña con l¾c lÖch theo r r r r r ph−¬ng cña hîp lùc F vμ P . BiÕt ph−¬ng cña lùc F ( biÕt gãc gi÷a F vμ g ), dùa r r vμo hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c t¹o bëi F vμ P , ta sÏ t×m ®−îc P vμ gãc gi÷a r r P ' vμ P , tõ ®ã suy ra g vμ vÞ trÝ c©n b»ng míi cña con l¾c, do ®ã tÝnh ®−îc chu k× T . r 3. C¸c ngo¹i lùc F th−êng gÆp lμ: r r r a) Lùc ®iÖn tr−êng F = qE , trong ®ã E ®−îc cho biÕt trong ®Ò bμi ( c¶ ®é lín vμ U h−íng ), hoÆc tÝnh tõ c«ng thøc E = trong tr−êng hîp ®iÖn tr−êng trong d kho¶ng kh«ng gian gi÷a hai b¶n tô ®iÖn. b) Lùc ®Èy Acsimet FA = DVg c) Lùc tõ. r d) Lùc qu¸n tÝnh: Khi con l¾c treo trong mét hÖ chuyÓn ®éng víi gia tèc a , nã r r r chÞu t¸c dông cña lùc F = −ma , cã h−íng ng−îc víi a vμ cã ®é lín ma. 4. Chó ý quy ®æi vÒ hÖ ®¬n vÞ SI vμ c¸c ®¹i l−îng ®· cho trong ®Ò. 11
d¹ng 4: Dùa vμo sù biÕn ®æi n¨ng l−îng cña con l¾c ®Ó x¸c ®Þnh vËn tèc cña con l¾c vμ lùc c¨ng cña d©y treo. Bμi tËp vÝ dô1: Mét con l¾c ®¬n gåm mét qu¶ cÇu cã khèi l−îng 200g treo vμo sîi d©y kh«ng d·n dμi 1m. KÐo con l¾c lÖch khái ph−¬ng th¼ng ®øng mét gãc α 0 = 45 0 råi bu«ng ra kh«ng cã vËn tèc ®Çu. a) TÝnh vËn tèc cña qu¶ cÇu vμ lùc c¨ng T cña d©y treo khi gãc lÖch cña con l¾c ( li ®é gãc ) b»ng α . VËn tèc cña qu¶ cÇu ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i vÞ trÝ nμo cña con l¾c ? H·y tÝnh vËn tèc cùc ®¹i ®ã. Lùc c¨ng T ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i vÞ trÝ nμo? TÝnh lùc c¨ng cùc ®¹i. b) B©y giê ng−êi ta ®ãng mét c¸I ®inh n»m ngang t¹i mét ®iÓm ë d−íi ®iÓm treo trªn ph−¬ng th¼ng ®øng vμ c¸ch ®iÓm treo mét ®o¹n b»ng 40cm, ®Ó cho d©y treo va vμo ®Êy. KÐo con l¾c lÖch khái ph−¬ng th¼ng ®øng mét gãc α 0 = 45 0 nh− trªn. H·y m« t¶ chuyÓn ®éng cña con l¾c khi ®ã vμ tÝnh gãc lÖch cùc ®¹i cña con l¾c khi treo va vμo ®inh. Bá qua mäi ma s¸t lÊy g = 9,8m/s2. Gi¶i: a) Theo ®Þnh luËt b¶o toμn c¬ n¨ng th× khi qu¶ cÇu ®i tõ vÞ trÝ M0 ®Õn vÞ trÝ M thÕ n¨ng cña nã gi¶m ®i bao nhiªu th× ®éng n¨ng cña nã t¨ng lªn ®óng bÊy nhiªu. Ta cã: mv 2 mgh = 2 OH0 = l(cos α - cos α 0) 45 0 Víi h = OH 0 Tõ ®ã suy ra: v = 2 gl (cos - cos α 0 ) ( 1 ) α Theo c«ng thøc (1) ta tÝnh vËn tèc cña qu¶ cÇu ®¹t l gi¸ trÞ cùc ®¹i khi α = 0, tøc lμ khi con l¾c ®i qua H0 M0 vÞ trÝ c©n b»ng. Khi ®ã ta cã h v max = 2 gl (1 − cos α 0 ) ≈ 1,61m / s H M 12
r r r Qu¶ cÇu chÞu t¸c dông cña träng lùc P vμ lùc c¨ng T . Ph©n tÝch P lμm hai r r thμnh phÇn: P1 theo ph−¬ng cña d©y P2 theo ph−¬ng vu«ng gãc víi d©y. V× qu¶ r r cÇu dao ®éng trªn mét cung trßn nªn hîp lùc T + P1 lμ lùc truyÒn cho nã gia tèc h−íng t©m, do ®ã ta cã: v2 T − P cos α = m l mv 2 Suy ra T = mg cos α + l Thay v tõ (1) vμo ta tÝnh ®−îc: T = 3mg cos α − 2mg cos α 0 = mg (3 cos α − 2 cos α 0 ) (2) Tõ c«ng thøc (2) ta tÝnh ®−îc lùc c¨ng T ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i khi α = 0 tøc lμ khi con l¾c ®i qua vÞ trÝ cËn b»ng. Khi ®ã T = mg (3 − 2 cos α 0 ) ≈ 3,12 N b) Tù vÞ trÝ α 0 = 45 0 , con l¾c ®i xuèng, tíi vÞ trÝ cËn b»ng d©y treo con l¾c gÆp ®inh. Sauk hi gÆp ®inh con l¾c tiÕp tôc chuyÓn ®éng lªn cao. Trong chuyÓn ®éng míi nμy con l¾c cã ®iÓm treo t¹i ®inh vμ d©y treo b©y giê cã ®é dμi l = 100 - 40 = 60cm. V× c¬ n¨ng cña qu¶ cÇu ®−îc b¶o toμn nªn thÕ n¨ng ë ®iÓm bªn tr¸i b»ng thÕ n¨ng ë ®iÓm bªn ph¶i, nghÜa lμ ta cã mgl (1 − cos 45 0 ) = mgl ' (1 − cos α m ) 2 ) = 0,6(1 − cos α m ) → cos α m ≈ 0,5 → α m = 60 0 1(1 − 2 VËy gãc lÖch cùc ®¹i míi cña con l¾c lμ α m = 600 . Bμi tËp vÝ dô 2: Mét con l¾c ®¬n gåm mét qu¶ cÇu cã khèi l−îng 40g (coi lμ chÊt ®iÓm) treo vμo mét sîi d©y kh«ng d·n dμi 2m. KÐo con l¾c lÖch ra khái vÞ trÝ c©n b»ng mét gãc 300 råi bu«ng kh«ng cã vËn tèc ®Çu. a) TÝnh vËn tèc cña qu¶ cÇu vμ lùc c¨ng cña d©y treo khi con l¾c ®i qua vÞ trÝ c©n b»ng. b) Khi con l¾c ®i qua vÞ trÝ c©n b»ng th× d©y treo bÞ ®øt. Hái qu¶ cÇu ch¹m ®Êt c¸ch vÞ trÝ c©n b»ng bao xa (tÝnh theo ph−¬ng ngang), biÕt r»ng vÞ trÝ c©n b»ng cña qu¶ cÇu ë c¸ch mÆt ®Êt 1m.Bá qua ma s¸t vμ lÊy g = 9,81m/s2. 13
Gi¶i: ( ) mv 2 = mgl 1 − cos 30 0 2 → v = 2,30m / s mv 2 T − mg = l ⎛ ⎞ v2 → T = m⎜ g + ⎟ ≈ 0,496 N ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ l Khi d©y treo bÞ ®øt, qu¶ cÇu chuyÓn ®éng d−íi t¸c dông cña träng lùc víi vËn tèc ban ®Çu h−íng theo ph−¬ng ngang cã ®é lín b»ng v (vËt ®−îc nÐm ngang) 2h Thêi gian ch¹m ®Êt t = ≈ 0,45s g' Qu¶ cÇu ch¹m ®Êt c¸ch vÞ trÝ c©n b»ng: s = v.t ≈ 1,03m Bμi tËp ¸p dông: Mét con l¾c ®¬n gåm mét qu¶ cÇu cã khèi l−îng 100g treo vμo mét sîi d©y kh«ng gi·n dμi 80cm. a) KÐo con l¾c ra khái vÞ trÝ c©n b»ng ®Õn vÞ trÝ cã li ®é gãc α 0 = 30 0 råi bu«ng ra kh«ng cã vËn tèc ®Çu. TÝnh ®éng n¨ng vμ vËn tèc cña qu¶ cÇu khi con l¾c qua vÞ trÝ c©n b»ng. b) Khi tíi vÞ trÝ c©n b»ng sîi d©y treo ®ông vμo mét c¸i ®inh n»m d−íi ®iÓm treo con l¾c trªn ph−¬ng th¶ng ®øng vμ c¸ch ®iÓm treo mét ®o¹n b»ng 40cm. H·y m« t¶ chuyÓn ®éng cña con l¾c ë hai bªn vÞ trÝ c©n b»ng. TÝnh tØ sè lùc c¨ng d©y treo còng víi vÞ trÝ biªn ë hai bªn vÞ trÝ c©n b»ng. c) TÝnh chu k× cña con l¾c trong chuyÓn ®éng nãi trªn khi biªn ®é gãc nhá. Bá qua ma s¸t vμ lÊy g = 9,80m/s2 Ph−¬ng ph¸p gi¶i: 1. Khi kh«ng cã ma s¸t (®Ò bμi nãi râ lμ bá qua ma s¸t) ta ¸p dông ®Þnh luËt b¶o toμn c¬ n¨ng cho chuyÓn ®éng cña qu¶ cÇu ( cÇn l−u ý r»ng, ë ®©y r ngoμi träng lùc qu¶ cÇu cßn chÞu t¸c dông cña lùc c¨ng T cña sîi d©y, nh−ng v× qu¶ cÇu chuyÓ ®éng trªn cung trßn nªn c«ng cña lùc c¨ng b»ng kh«ng). 2. §Ó tÝnh thÕ n¨ng cña qu¶ cÇu, ta lÊy mèc thÕ n¨ng t¹i vÞ trÝ c©n b»ng cña qu¶ cÇu (nghÜa lμ coi r»ng t¹i vÞ trÝ ®ã thÕ n¨ng cña qu¶ cÇu b»ng kh«ng). 14
Khi ®ã thÕ n¨ng cña qu¶ cÇu khi li ®é gãc cña con l¾c lμ α sÏ b»ng Wt = mgl (1 − cos α ). 3. B»ng c¸ch dùa vμo ®iÒu kiÖn: c¬ n¨ng t¹i mét vÞ trÝ bÊt k× = ®éng n¨ng cùc ®¹i (t¹i vÞ trÝ c©n b»ng) = thÕ n¨ng cùc ®¹i (t¹i vÞ trÝ øng víi li ®é gãc cùc ®¹i), ta sÏ tÝnh ®−îc vËn tèc cña qu¶ cÇu (khi biÕt li ®é gãc α ) hoÆc li ®é gãc α (khi biÕt vËn tèc gãc cña qu¶ cÇu) 4. §Ó tÝnh lùc c¨ng T ta dùa vμo lËp luËn: lùc h−íng t©m (v× qu¶ cÇu chuyÓn ®éng trßn) = hîp lùc t¸c dông lªn qu¶ cÇu däc theo ph−¬ng cña sîi d©y (lμ r r r hîp lùc cña lùc T vμ thμnh phÇn P1 cña träng lùc P däc theo d©y). Cßn r thμnh phÇn P2 cña träng lùc vu«ng gãc víi d©y treo th× cã t¸c dông g©y nªn chuyÓn ®éng cã gia tèc cña qu¶ cÇu trªn cung trßn, nã cã t¸c dông kÐo con l¾c trë vÒ vÞ trÝ c©n b»ng. 5. NÕu cã ma s¸t th× dao ®éng cña con l¾c sÏ t¾t dÇn (c¬ n¨ng cña con l¾c sÏ kh«ng cßn ®−îc b¶o toμn). 6. Khi tÝnh to¸n b»ng sè, cÇn chó ý quy ®æi ®¬n vÞ c¸c ®¹i l−îng cho trong ®Ò vÒ c¸c ®¬n vÞ SI. S«ng C«ng, th¸ng 3 n¨m 2011 Ng−êi viÕt Bïi ThÞ Thu H−êng 15