Phương trình- bất phương trình chứa Mũ loga - BĐT - Phạm Thành Luân

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

281
lượt xem 114
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Phương trình- bất phương trình chứa Mũ loga - BĐT - Phạm Thành Luân " nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào trong các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình- bất phương trình chứa Mũ loga - BĐT - Phạm Thành Luân

CHÖÔNG 5 B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ LOGARIT Ta coù theå duøng caùc phöông phaùp bieán ñoåi nhö phöông trình muõ vaø caùc BAÁT ÑAÚNG THÖÙC. coâng thöùc sau: . Neáu a > 1 thì: af (x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) BAØI 1 af (x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) . Neáu 0 < a < 1 thì: af (x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ af (x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) ↓ Toång quaùt ta coù: I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎧a > 0 ⎪ af (x) > ag(x) ⇔ ⎨ A. Phöông trình muõ: ⎪(a − 1) [ f(x) − g(x)] > 0 ⎩ ⎧b > 0 ⎪ 1. Daïng cô baûn: vôùi 0 < a ≠ 1: af (x) = b ⇔ ⎨ ⎧a > 0 ⎪ b ⎪ f(x) = loga af (x) ≥ ag(x) ⇔ ⎨ ⎩ ⎪(a − 1) [ f(x) − g(x)] ≥ 0 ⎩ 2. Ñöa veà cuøng cô soá: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng: af (x) = ag(x) (1) II. CAÙC VÍ DUÏ: . Neáu a laø moät soá döông vaø khaùc 1 thì : (1) ⇔ f(x) = g(x) Ví duï 1: ⎧a > 0 ⎪ Giaûi phöông trình: (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x . Neáu cô soá a thay ñoåi thì : (1) ⇔ ⎨ (2) ⎪(a − 1) [ f(x) − g(x)] = 0 ⎩ (Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1998) Löu yù khi giaûi (2) phaûi coù ñieàu kieän ñeå f(x) vaø g(x) xaùc ñònh. Giaûi 3. Logarit hoaù hai veá: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng: x ⎛2− 3 ⎞ ⎛2+ 3 ⎞ x x x x af (x) = bg(x) (*) vôùi 0 < a, b ≠ 1 (2 − 3) + (2 + 3) = 4 ⇔ ⎜ + = 1 (1) ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta coù: (*) ⇔ f(x).log a = g(x).log b vôùi 0 < c ≠ 1 . 2− 3 2+ 3 4. Ñaët aån phuï: Coù theå ñaët t = a2 ,t > 0 vôùi a thích hôïp ñeå ñöa phöông Vì 0 < < 1, vaø 0 <
1 ⎡t = 3 + 2 2 Ví duï 2: (2) ⇔ t + = 6 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 ⇔ ⎢ t ⎢t = 3 − 2 2 ⎣ x −2 x −2 Giaûi phöông trình: 4 + 16 = 10.2 (*) π (ÑH Haøng Haûi naêm 1998). . t = 3 +2 2 : (3 + 2 2 )tgx = 3 + 2 2 ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ z) 4 Giaûi 1 Ñieàu kieän: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 . t = 3 −2 2 : (3 + 2 2 )tgx = 3 − 2 2 = = (3 + 2 2 )−1 x −2 3+2 2 Ñaët t = 2 (t > 0) (*) ⇔ t 2 − 10t + 16 = 0 ⇔ t = 8 ∨ t = 2 π . t = 8: 2 x −2 = 8 = 23 ⇔ x − 2 = 3 ⇔ x = 11 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + k ' π (k ' ∈ z) 4 . t = 2: 2 x −2 = 2 ⇔ x − 2 = 1 ⇔ x = 3 Vaäy nghieäm phöông trình: x = 11 ∨ x = 3 2. (3 + 2 2 )tgx + (3 − 2 2 )tgx = m (1) 1 Ví duï 3: Theo caâu 1: Ta coù: t + = m ⇔ t 2 − mt + 1 = 0 (3) (t > 0) t Giaûi phöông trình: ( 3 − 2 )2 + ( 3 + 2 )x = ( 5)x ⎛ π π⎞ vì x ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ tgx ∈ R ⇒ t = (3 + 2 2 )tgx > 0 (ÑH Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1997) ⎝ 2 2⎠ Giaûi ⎛ π π⎞ Ta coù: ( 3 − 2 )2 + ( 3 + 2 )x = ( 5)x (1) coù ñuùng 2 nghieäm x ∈ ⎜ − , ⎟ ⇔ (3) coù ñuùng 2 nghieäm phaân bieät ⎝ 2 2⎠ * Xeùt x < 0: Veá traùi = ( 3 − 2 )2 + ( 3 + 2 )x > 1 > veá phaûi döông. * Xeùt x ≥ 0 : veá traùi > veá phaûi ⎧∆ > 0 ⎧m 2 − 4 > 0 ⇒ Phöông trình voâ nghieäm. ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ p > 0 ⇔ ⎨1 > 0(hieån nhieân) ⇔ m > 2 Ví duï 4: ⎪s > 0 ⎪m > 0 Cho phöông trình: (3 + 2 2 )tgx + (3 − 2 2 )tgx = m(1) ⎩ ⎪ ⎩ 1. Giaûi phöông trình khi m = 6 ⎛ π π⎞ Vaäy m > 2 thì (1) coù 2 nghieäm ∈ ⎜ − , ⎟ 2. Xaùc ñònh m ñeå phöông trình (1) coù ñuùng 2 nghieäm trong khoaûng ⎝ 2 2⎠ ⎛ π π⎞ Ví duï 5: ⎜− 2 , 2 ⎟ . x ⎝ ⎠ x Giaûi baát phöông trình: 2 < 32 + 1 (1) (ÑH Quoác Gia TPHCM (Luaät) naêm 1996) (ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1995) Giaûi Giaûi 1. m = 6: (1) ⇔ (3 + 2 2 )tgx + (3 − 2 2 )tgx = 6 (2) x x x ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞x Nhaän xeùt: (3 + 2 2 )(3 − 2 2 ) = 1 (1) ⇔ 2 < 3 + 1 ⇔ 1 < ⎜ + (2) ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠ Ñaët t = (3 + 2 2 )tgx (t > 0) ⇒ (3 − 2 2 )tgx = t 188 189
x ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞x III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. Ñaët f(x) = ⎜ + laø haøm soá giaûm vì cô soá a < 1 (a > 0) vaø ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ 3 5⎤ 1.1. Tìm taát caû caùc nghieäm thuoäc ñoaïn ⎢ − , ⎥ cuûa phöông trình: f(2) = 1. ⎣ 4 2⎦ (2) ⇔ f(2) < f(x) ⇔ x < 2 2 4 cos 2x + 4 cos x =3 Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø x < 2 (ÑH Kieán Truùc Haø Noäi naêm 1998). Ví duï 6: x Giaûi baát phöông trình: 25 + 5 < 5 x +1 + 5 x 1.2. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå baát phöông trình sau ñaây nghieäm (ÑH DAÂN LAÄP NN - TH naêm 1998). ñuùng vôùi moïi x > 0. Giaûi x x +1 x (3m + 1).12 x + (2 − m).6 x + 3x < 0 Ta coù: 25 +5 0) 1.3. Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa m ñeå baát phöông trình sau ñaây coù nghieäm: (1) ⇔ t 2 − 6t + 5 < 0 ⇔ 1 < t < 5 4 x − m.2 x + m + 3 ≤ 0 (ÑH Y DÖÔÏC TPHCM naêm 1999). ⇔1< 5 x < 5 ⇔ 0 < x 0) 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1) ⇔ t + − 9 ≤ 0 ⇔ t 2 − 9t + 8 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 8 b. Ñinh m ñeå moïi nghieäm cuûa (*) ñeàu laø nghieäm cuûa: t ⇔ 2 ≤ 2 ≤ 23 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3 0 x 2x 2 + (m + 2)x + 2 − 3m < 0 190 191
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT BBT: 2 ⎡ 3 5⎤ 1.1. 4 cos 2x + 4 cos x = 3(1) vôùi x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 2⎦ Ta coù: cos2x = 2 cos2 x − 1 2 2 2 2 (1) ⇔ 42 cos x −1 + 4 cos x = 3 ⇔ 42 cos x .4 −1 + 4 cos x − 3 = 0 (1) 2 ⇒ m < min f(t) = −2 ⇔ m < −2 Ñaët t = 4 cos x (t > 0) t2 ⎡ t = 2(nhaän ) (1) ⇔ + t − 3 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ ⎢ 1.3. 4 x − m.2 x + m + 3 ≤ 0 (1) 4 ⎣ t = −6 < 0(loaïi) 2 2 Ñaët t = 2 x (t > 0) t = 2: 4 cos x = 2 ⇔ (2 cos2 x)2 = 2 ⇔ 22 cos x =2 (1) ⇔ t 2 − mt + m + 3 ≤ 0 1 2 π 3π ⎡ 3 5 ⎤ ⇔ 2 cos2 x = 1 ⇔ cos2 x = ⇔ cos x = ± ⇔x= ∨x= ∈ − , ⎡ t2 + 3 2 2 4 4 ⎢ 4 2⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ≤ m (khi t > 1) ⇔ t 2 + 3 ≤ m(t − 1) (t ≠ 1) ⇔ ⎢ t − 1 ⎢ t2 + 3 1.2. (3m + 1).12 x + (2 − m).6 x + 3x < 0 (1) ⎢ ≥ m (khi 0 < t < 1) ⎣ t −1 ⇔ (3m + 1).4 x + (2 − m).2 x + 1 < 0 (*) t2 + 3 t 2 − 2t − 3 x Ñaët f(t) = ⇒ f '(t) = Ñaët t = 2 (t > 0) vì x > 0 ⇒ t > 1 t −1 (t − 1)2 (*) ⇔ (3m + 1)t 2 + (2 − m)t + 1 < 0 (**) ⎡ t = −1 f '(t) = 0 ⇔ t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔ ⎢ (1) ñuùng ∀x > 0 ⇔ (**) ñuùng ∀t > 1 . ⎣t = 3 (**) ⇔ (3t 2 − t)m < −t 2 − 2t − 1 BBT: −(t 2 + 2t + 1) ⇔m< (3t 2 − t > 0) 3t 2 − t (t 2 + 2t + 1) Ñaët f(t) = − (t > 1) 3t 2 − t 7t 2 + 6t − 1 f '(t) = 2 2 > 0 (vì t > 1 ⇒ 7t 2 + 6t − 1 > 0) ⎡ m ≤ −3 (3t − t) Töø BBT ⇒ (1) coù nghieäm ⇔ ⎢ ⎣m ≥ 6 192 193
1.4. 2 x +1 − 4 x = x − 1 ⇔ 4 x − 2.2 x = − x + 1 ⇔ 2 x (2 x − 2) = − x + 1 (*) Nhaän thaáy x = 1 laø nghieäm cuûa (*). Ta chöùng minh x = 1 duy nhaát trong phöông trình (*): Veá traùi laø haøm soá taêng. Veá phaûi laø haøm soá giaûm ⇒ x = 1 duy nhaát. 2 1 1 ⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞x 1.5. a. (*) ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 12 > 0 . Ñaët t = ⎜ ⎟ > 0 ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⇔ t 2 + t − 12 > 0 ⇔ t < −4 ∨ t > 3 (loaïi). 1 1 ⎛ 1 ⎞x − 1 1 vôùi t > 3 ⇔ ⎜ ⎟ > 3 ⇔ 3 x > 3 ⇔ − > 1 ⇔ + 1 < 0 ⎝ 3⎠ x x ⇔ x(x + 1) < 0 ⇔ −1 < x < 0 . b. Ñaët f(x) = 2x 2 + (m + 2)x + 2 − 3m BBT: f(x) < 0, ∀x ∈ (−1,0) ⎧ 1 ⎧ f(−1) ≤ 0 ⎧ 2 − 4m ≤ 0 ⎪m ≥ 2 ⇒ x1 ≤ −1 < 0 ≤ x 2 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ f(0) ≤ 0 ⎩ 2 − 3m ≤ 0 ⎪m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2 ⎪ ⎩ 3 3 194