Phương trình – bất phương trình – mũ Lôgarit
lượt xem 21
download
Phương trình và bất phương trình mũ cơ b . so sánh hai lũy thừa a thì chúng ta phân biệt được hai lũy thừa a và cùng cơ số và so sánh hai s mũ của chúng.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Phương trình – bất phương trình – mũ Lôgarit
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ Công th c hàm s mũ và logarit 1. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n ð so sánh hai lũy th a thì chúng ta ph i chuy n hai lũy th a v cùng cơ s và so sánh hai s mũ c a chúng. Trong trư ng h p so sánh BðT (b t phương trình ) thì ta ph i chú ý ñ n s ñơn ñi u c a hàm s mũ ( t c là ph i so sánh cơ s v i 1). Ta xét các phương trình – b t phương trình cơ b n sau. 1. a f (x) = a g(x) ⇔ f (x) = g(x) . log a b 2. a f (x) = b = a ⇔ f (x) = log a b . =b ⇔ f (x) = g(x)log a b . f (x) g(x) 3. a 4. a f (x) > a g(x) (1) + N u a>1 thì (1) ⇔ f (x) > g(x) + N u 0 0 . .v n trình – b t phương trình cơ b n trên. 4 h ð gi i phương trình – b t phương trình mũ thì ta ph i tìm cách chuy n v các phương Ví d 1: Gi i các phương trình sau 2 + 3x − 4 = 4x −1 o c 2 2) (2 + 3)3x +1 = (2 − 3)5x + 8 ih 1) 2x u x = 36.32 − x 2 x +1 . 42x −1 .83− x = 2 2.0,125 3 3) 8x+2 4) Gi i: 1) pt ⇔ 2x 2 + 3x − 4 V = 22x − 2 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 2x − 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1;x = −2 2) Ta có: (2 + 3)(2 − 3) = 1 ⇒ (2 − 3) = (2 + 3) −1 . 9 ⇒ pt ⇔ (2 + 3)3x +1 = (2 + 3) −5x − 8 ⇔ 3x + 1 = −5x − 8 ⇔ x = − . 8 3) ðK: x ≠ −2 3x x −4 4− x x−4 Pt ⇔ 2x+2 = 2 .3 2 ⇔ 2x+2 = 34 − x ⇔ log 3 2 = 4 − x x+2 x = 4 ⇔ (x − 4)(x + 2 + log 3 2) = 0 ⇔ . x = −2 − log3 2 x +1 4x − 2 3 x +1 4x − 2 3 + + 9 − 3x −3 4) Pt ⇔ 2 2 .2 3 .29 − 3x = 2 2 .2−3 ⇔ 2 2 3 = 22 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 1
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 62 ⇔x= là nghi m c a phương trình . 7 Chú ý : N u trong bài toán có x thì ñi u ki n c a x là : x ≥ 1;x ∈ ℕ . Ví d 2: Gi i phương trình : 3 2 +x 2 −x 1) 2 x. 4 x .3x 0.125 = 4 3 2 2) 2 x − 4.2 x − 22x + 4 = 0 Gi i: 1 x ≥ 1) ðK : 3 . Vì các cơ s c a các lũy th a ñ u vi t ñư c dư i d ng lũy th a cơ s 2 3x ∈ ℕ nên ta bi n ñ i hai v c a phương trình v lũy th a cơ s 2 và so sánh hai s mũ. x 1 1 x x −1 7 2. 1 3x Phương trình ⇔ 2 .2 x 3 .( ) =2 2 .2 3 ⇔ 2 2 .2 3 2 2x = 23 8 ⇔ x x 1 + − 2 2 3 2x 7 x x 1 7 = 23 ⇔ + − = ⇔ 5x − 14x − 3 = 0 ⇔ 2 x = 3 1. .v n 2 3 2x 3 x = − K t h p v i ñi u ki n ta có x = 3 là nghi m c a phương trình . 5 4 h c 2 2) Các lũy th a tham gia trong phương trình ñ u cơ s 2. Ta ñi tìm quan h gi a các s mũ ta th y (x2 + x) − (x2 − x) = 2x ⇒ x2 + x = (x2 − x) + 2x . o ih 2 2 −x −x Ta có: PT ⇔ 2x .22x − 4.2x − 22x + 4 = 0 . ⇔ 2x 2 22x = 4 ⇔ 2 −x x = 1 ⇔ 2x − x = 1 x = 0 . V u (22x − 4) − (22x − 4) = 0 ⇔ (22x − 4)(2x 2 −x − 1) = 0 Ví d 3: Gi i các b t phương trình sau: 1) 2 x > 43x −1 x +1 x+2 x+2 x +1 3) 3 +5 ≥3 +5 1 2 1 2x 2 + x +1 2) ( ) 2x +1 ≤ (0,125)3x + 2 1 4) (x + )2 ≤ (x 2 + )1− x 2 2 2 Gi i: 2 1) BPT ⇔ 2 x > 26x − 2 ⇔ x > 6x − 2 ⇔ x < . 5 x 5 3 3 2) BPT ⇔ 25.5 − 5.5 > 9.3 − 3.3 ⇔ 20.5 > 6.3 ⇔ > ⇔ x > log 5 . x x x x x x 3 10 3 10 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 2
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2x 2 +1 3x + 2 9x + 6 1 1 1 3) BPT ⇔ ≤ = ⇔ 2x 2 + 1 ≥ 9x + 6 ⇔ 2x 2 − 9x − 5 ≥ 0 2 8 2 1 ⇔ x ∈ (−∞; − ] ∪ [5;+∞) . 2 1 4) Vì x 2 + > 0 nên ta có các trư ng h p sau 2 1 1 * x2 + = 1 ⇔ x = ± . 2 2 2 1 1 x ≤ −1 x + > 1 | x |> * 2 ⇔ 2 ⇔ 1 . x > 2 2x 2 + 2x ≥ 0 2x + x + 1 ≥ 1 − x 2 2 1 1 x +
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 1 Ví d 5: Gi i và bi n lu n phương trình : |x −1| = 2m − 1 . 2 Gi i: 1 * N u 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ thì phương trình vô nghi m. 2 1 1 * N u m > ⇒ PT ⇔ 2|x −1| = (2) . 2 2m − 1 1 +) V i = 1 ⇔ m = 1 ⇒ (2) ⇔ 2|x −1| = 1 ⇒ (2) có 1 nghi m x = 1. 2m − 1 +) V i m ≠ 1 ⇒ (2) có 2 nghi m phân bi t x = 1 ± log 2 (2m − 1) . Bài t p: Bài 1: Gi i các phương trình sau: 1) 2x + 2x +1 + 2x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2 + x +5 = 27 2x +1 2 2) 32x x −1 x 2 − 5x + 6 x −3 x 2 − 5x + 4 =2 x .5 x = 10 5) (x + 3) 2 = (x 2 + 3) x + 4 n 3) 5 4) 2 .v x +5 x +17 6) 32 x −7 = 0,25.128 x − 3 ( x=10). 7) x x = xx (x=1;x=4) 3 8) 2x − 2 = 9 x 9 . 4 h 9) 2x.x +1 27 x . 5x = 180 . 4 10) 4 x 2 −3x + 2 +4 16 16 =4 x 2 + 6x +5 2x 2 +3x + 7 o c 2 + 1. ih Bài 3: Gi i các b t phương trình sau: x −3 x +1 x 2 − 4x x−4 2 −x ≤2 2) 10 + 3) x −1 < ( 10 − 3) x +3 3) (4x 2 + 2x + 1) x ≤1 u 1) 3 2 2x 2 + x −1 −3 4) | x − 1| >1 5) (x 2 + x + 1) 2x < (x 2 − x + 1) x 6) 2.3x − 2 x + 2 3 −2 x x 2 ≤1V 2 7) 3 2 x − 2x 2 1 ≥ 3 x −|x −1| 8) 4x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8x + 12 Bài 4: Tìm m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t 3m − 1 = 2m + 1 . |x 2 − m + 2| 5 2 − 4x + 3| 1 |x 4 2 Bài 5: Tìm m ñ phương trình = m − m + 1 có b n nghi m phân bi t. 5 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 4
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2) Các phương pháp gi i PT – BPT mũ: 1. Phương pháp ñ t n ph Cũng như PT – BPT vô t và lư ng giác, ñ gi i PT – BPT mũ ta có th dùng phương pháp ñ t n ph . T c là ta thay th m t bi u th c ch a hàm s mũ b ng m t bi u th c ch a n ph mà ta ñ t và chuy n v nh ng phương trình – b t phương trình ma ta ñã bi t cách gi i. Phương pháp ñ t n ph r t phong phú và ña d ng, ñ có ñư c cách ñ t n ph phù h p thì ta ph i nh n xét ñư c quan h c u các cơ s có trong phương trình. Ví d 1: Gi i phương trình: 2 1) 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0 2) 4cos 2x + 4cos x − 3 = 0 . Gi i: 1) Nh n xét cơ s ta th y 16 chính là bình phương c a 4, t c là ta có: 16 x = (42 ) x = (4 x ) 2 Nên ta ñ t: t = 4x , t > 0 ⇒ 16 x = (4 x ) 2 = t 2 . 3 Phương trình tr thành: 2t 2 − 15t − 8 = 0 ⇔ t = 8 ⇔ 22x = 23 ⇔ x = . 2 .v n 4 h 2) Vì s mũ c a hai lũy th a trong phương trình là hai hàm s lư ng giác và hai hàm s này bi u th qua nhau b i h th c cos 2x = 2cos 2 x − 1 nên ta chuy n s mũ c a hai lũy th a ñó v m t hàm lư ng giác. Ta có phương trình ⇔ 42 cos 2 x c + 4.4cos o 2 2 x − 12 = 0 . ih cos 2 x ð t t=4 , t > 0 , ta có phương trình : t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ t = 2 π π u 2x ⇔ 22 cos = 2 ⇔ 2cos 2 x = 1 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k . 4 2 V Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a bài toán trên là: F(a f (x) ) = 0 .V i d ng này ta ñ t t = a f (x) , t > 0 và chuy n v phương trình F(t) = 0 , gi i tìm nghi m dương t c a phương trình, t ñó ta tìm ñư c x. Ta thư ng g p d ng: m.a 2f (x) + n.a f (x) + p = 0 . V i BPT ta cũng làm tương t . Ví d 2: Gi i các b t phương trình: 1) 2 x − 21− x < 1 2 2 2) 9 x − 2x − x − 7.3 x − 2x − x −1 ≤ 2 Gi i: 2 1) BPT ⇔ 2 x − < 1. ð t t = 2 x , t ≥ 1, ta có: x 2 2 t − < 1 ⇔ t2 − t − 2 < 0 ⇔ 1 ≤ t < 2 ⇔ 2 x < 2 ⇔ 0 ≤ x < 1. t Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 5
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit x 2 − 2x − x x 2 − 2x − x 2) BPT ⇔ 3.9 − 7.3 ≤ 6. x 2 − 2x − x ð t t =3 , t > 0 , ta có b t phương trình : 3t 2 − 7t − 6 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 ⇔ x 2 − 2x − x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1 x 2 − 2x ≥ 0 x ≤ 0 V x ≥ 2 1 ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 ⇔ − ≤ x ≤0 V x ≥ 2. 2 x ≥ −1/ 4 4 x − 2x ≤ (x + 1)2 Ví d 3: Gi i các b t phương trình : 1 4 x+ x +4 x 1) 2.3 +9 2 ≥9 x 2) 32x − 8.3x + x+4 − 9.9 x+4 >0. Gi i: 1) Trong b t phương trình 4x− x 4x− x + 3.9 ≥ 1. n x Chia hai v BPT cho 9 ta ñư c: 2.3 .v 4x− x 1 4 ð t t =3 ⇔ 3 x − x ≥ 3−1 , t > 0 , ta có BPT: 3t 2 + 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥ 3 ⇔ 4 x − x ≥ −1 ⇔ x − 4 x − 1 ≤ 0 ⇔ 4 x ≤ 1+ 5 ⇔0≤x≤ 4 h 7+3 5 . 2 c 2 2 2) Chia hai v BPT cho 9 x + 4 ta ñư c: 32(x- x+4) − 8.3x − x + 4 − 9 > 0 ð t t = 3x − x+4 o , t > 0 , ta có: t 2 − 8t − 9 > 0 ⇔ t > 9 ⇔ 3x − x + 4 > 32 x− x+4 >2⇔x+2> x+4 ⇔ uihx + 2 > 0 ⇔ 2 x > −2 (x + 2) > x + 4 x + 3x > 0 2 ⇔ x > 0. 1) 2 x 2 −x V Ví d 4: Gi i các phương trình sau: − 22 + x − x = 3 2 2) 2 3x − 6.2 − x 1 3(x −1) + 12 x = 1. 2 2 Gi i: 2 −x 4 2 − x) 2 −x 1) PT ⇔ 2 x − = 3 ⇔ 22(x − 3.2 x − 4 = 0. x2 − x 2 2 −x x = −1 ð t t = 2x , t > 0 . Ta có: t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ . x = 2 8 12 8 2 2) ð t t = 2 x , t > 0 ta có: t 3 − 6t − 3 + = 1 ⇔ (t 3 − 3 ) − 6(t − ) − 1 = 0 . t t t t 2 8 2 4 2 2 ð t y = t − ⇒ t 3 − 3 = t − t 2 + 2 + 2 = t − (t − ) 2 + 6 = y(y 2 + 6) t t t t t t Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 6
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2 Nên ta có phương trình : y3 − 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇔ t − = 1 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x = 1. t Ví d 5: Gi i phương trình : 1) (5 + 24) x + (5 − 24) x = 10 2) (7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0 . Gi i: Nh n xét hai cơ s ta th y: (5 + 24)(5 − 24) = 1 ⇒ (5 + 24) x (5 − 24) x = 1. Do v y 1 n u ñ t t = (5 + 24) x , t > 0 ⇒ (5 − 24) x = và phương trình ñã cho tr thành t 1 t + = 10 ⇔ t 2 − 10t + 1 = 0 ⇔ t = 5 ± 24 . t T ñây ta tìm ñư c x = ±1 . Nh n xét: Bài toán trên có d ng t ng quát như sau: 1 m.a f (x) + n.b f (x) + p = 0 , trong ñó a.b = 1 . ð t t = a f (x) , t > 0 ⇒ b f (x) = . t 3 .v n 2) Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 và (2 − 3)(2 + 3) = 1 nên ta ñ t t = (2 + 3) x , t > 0 ta có t ⇔ (2 + 3) = 1 ⇔ x = 0 . x h phương trình : t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t + 3) = 0 ⇔ t = 1 4 Ví d 6: Gi i các phương trình sau: o c 2 ih 2 2 2 1) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 2) 9 − x + 2x +1 − 34.15 2x − x + 252x − x +1 =0 Gi i: V u 1) Nh n xét các cơ s ta có: 9 = 32 ;4 = 22 ;6 = 3.2 , do ñó n u ñ t a = 3x ,b = 2 x , ta có: 6a 2 − 13ab + 6b2 = 0 ñây là phương trình ñ ng c p b c hai ñ i v i a,b. Chia hai v PT x 2 a 3 ta ñư c: 6t 2 − 13t + 6 = 0 ⇔ t = 3 , t = 2 . cho b và ñ t t = = b 2 2 3 T ñây ta có: x = ±1 . Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a phương trình trên là: m.a 2f (x) + n.(a.b) f (x) + p.b 2f (x) = 0 . Chia 2 v phương trình cho b 2f (x) và ñ t a t = ( ) f (x) , t > 0 . Ta có PT: mt 2 + nt + p = 0 . b 2 2 2 2) PT ⇔ 9.9 2x − x − 34.152x − x + 25.252x − x = 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 7
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2 2 2(2x − x ) 2x − x 2x − x 2 3 3 3 ⇔ 9 − 34 + 25 = 0 ⇔ 9t − 34t + 25 = 0 (V i t = , t > 0 ). 2 5 5 5 25 ⇔ t = 1; t = . 9 2x − x 2 3 * t =1⇔ = 1 ⇔ 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0;x = 2 . 5 2x − x 2 −2 25 3 3 * t= ⇔ = ⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 . 9 5 5 Ví d 7:Gi i phương trình: 1) 125x + 50x = 23x +1 2) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0 . Gi i: 3x 2x 5 5 1) PT ⇔ 5 3x + 5 .2 = 2.2 2x x 3x ⇔ + −2=0 5 x 2 2 .v n ð t t = , t > 0 ta ñư c: t 3 + t 2 − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + 2t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x = 0 . 2 V y phương trình có nghi m x = 0 . 4 h 2 2) PT ⇔ 3 3 3x 2 + 4. 3 2 3 2x x o 2 c 2 − − 2 = 0 . ð t t = , t > 0 ta ñư c: 3 x ih 2 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(3t 2 + t − 2) = 0 ⇔ t = ⇔ x = 1 . 3 1) 4 x + 5.2 x + m = 0 V u Ví d 8: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m 2) ( 7+3 5 x ) + m( 7−3 5 x ) = 8. 2 2 Gi i: 1) ð t t = 2x , t > 0. Phương trình tr thành: t 2 + 5t = − m (1). Suy ra phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (1) có nghi m t > 0 . V i t > 0 ta có hàm f (t) = t 2 + 5t > 0 và liên t c nên phương trình ñã cho có nghi m ⇔ −m > 0 ⇔ m < 0 . x 7+3 5 m 2) ð t : t = , t > 0 , ta có phương trình : t + = 8 ⇔ t − 8t = − m (2) 2 2 t Suy ra phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (1) có nghi m t > 0 . Xét hàm s f (t) = t 2 − 8t v i t > 0 , ta có: f (t) = (t − 4) 2 − 16 ≥ −16 nên phương trình ñã cho có nghi m −m ≥ −16 ⇔ m ≤ 16 . Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 8
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Ví d 9: Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m: 1) 9 x + m.3x + 1 ≤ 0 2) 32x − m.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 < 0 . Gi i: t2 + 1 1) ð t t = 3 , t > 0 . B t phương trình tr thành: t + mt + 1 ≤ 0 ⇔ x 2 ≤ − m (3). t B t phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (3) có nghi m t > 0 ⇔ Min f (t) ≤ − m (*). t >0 t2 + 1 t2 − 1 Xét hàm s f (t) = v i t > 0 . Ta có f '(t) = 2 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 1 . T ñây suy ra t t Min f (t) = f (1) = 2 ⇒ (*) ⇔ −m ≥ 2 ⇔ m ≤ −2 . t >0 Chú ý : BPT : f (x) ≤ k ( f(x) ≥ k ) có nghi m trên D ⇔ Min f (x) ≤ k ( Max ≥ k) D D 2) Chia hai v c a BPT cho 3x + x+4 ta ñư c: 9 3x − x + 4 − 9.3 x + 4 − x − m < 0 ⇔ f (t) = t − < m (**), trong ñó t = 3x − x + 4 n t Xét hàm s u(x) = x − x + 4 v i x ≥ −4 . Ta có u '(x) = 1 − 1 2 x+4 1 h 15 .v ⇒ u '(x) = 0 ⇔ x + 4 = ⇔ x = − ⇒ u(x) ≥ u(− ) = − 15 17 4 4 4 4 4 2 17 − Suy ra t ≥ 3 c 4 . Xét hàm s f(t) trên D = [ 1 ih 814 3 1 − 729 3 o ; +∞) , ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên u 1 Min f (t) = f ( 4 ) = ⇒ BPT ñã cho có nghi m ⇔ (**) có nghi m t ∈ D D 81 3 814 3 ⇔ m > Min f(t) = D V 1 − 729 3 814 3 . Chú ý : 1) bài toán trên chúng ta thư ng m c sai l m là khi ñ t t ta cho r ng ñi u ki n c a t là t > 0 ! D n ñ n ñi u này là do chúng ta không xác ñ nh t p giá tr c a u(x) và lúc ñó ta s cho l i gi i sai!. 2) BPT f (x) ≥ k (f (x) ≤ k) ∀x ∈ D ⇔ Min f (x) ≥ k (Max f (x) ≤ k) . D D Ví d 10: Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho b t phương trình sau ñư c nghi m ñúng v i m i x ≤ 0 : a.2 x +1 + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 . Gi i: BPT ⇔ 2a.2 x + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 9
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit x x 3+ 5 3− 5 ⇔ + (2a + 1) + 2a < 0 2 2 x x 3+ 5 1 3− 5 ð t t = ,0 < t ≤ 1 ∀x ≤ 0 ⇒ = và b t phương trình tr thành: 2 t 2 1 t2 + 1 t + (2a + 1) + 2a < 0 ⇔ t 2 + 1 < −2a(t + 1) ⇔ < −2a (I ) t t +1 t2 + 1 Xét hàm s f (t) = v i t ∈ D = (0;1] . t +1 t 2 + 2t − 1 Ta có: f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = −1 + 2 ⇒ Max f (t) = f (1) = 1 . (t + 1) 2 (0;1] 1 BPT ñã cho nghi m ñúng ∀x ≤ 0 ⇔ (I ) ñúng ∀t ∈ (0;1] ⇔ −2a > Max f (t) ⇔ a < − . (0;1] 2 2 2 2 −x −x −x Ví d 11: Tìm m ñ bpt m.9 2x − (2m + 1)6 2x + m.4 2x ≤ 0 nghi m ñúng v i 1 m i x th a mãn | x |≥ . 2 .v n Gi i: 4 h 2x 2 − x Chia hai v b t phương trình cho 4 o c 2 2x 2 − x m.t 2 − (2m + 1)t + m ≤ 0 ⇔ t ≥ m(t 2 − 2t + 1) (*). 3 và ñ t t = 2 ta có b t phương trình : ih 1 1 Xét hàm s u(x) = 2x 2 − x v i | x |≥ , có u '(x) = 4x − 1 ⇒ u(x) ≥ u( ) = 0 ∀ | x |≥ u 2 2 1 2 ⇒ t ≥ 1 ∀ | x |≥ . V 1 2 * V i t=1 ta th y (*) ñúng. * V i t > 1 ⇒ (*) ⇔ f (t) = 2 t ≥ m (**) t − 2t + 1 −t 2 + 1 Ta có f '(t) = < 0 ∀t > 1 ⇒ f (t) ngh ch bi n trên (1; +∞) (t − 1) 4 Mà lim f (t) = 0 ⇒ f (t) > 0 ∀t > 1. Suy ra (**) ñúng ∀t > 1 ⇔ m ≤ 1. t →+∞ Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 10
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 2. Phương pháp ñánh giá. N i dung phương pháp này là d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ñ tìm nghi m c a phương trình. ðư ng l i chính là ta d ñoán m t nghi m c a phương trình r i d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t. Ví d 1: Gi i các phương trình sau 1) 4 x + 3x = 5 x 2) 3x = 4 − x Gi i: 1) Ta khó tìm ñư c m i liên h gi a các cơ s xu t hi n trong bài toán. Tuy nhiên ta nh n th y phương trình có nghi m x=2. Ta tìm cách ch ng minh x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình. ð làm ñi u này ta chia hai v phương trình cho 5x (Nh m t o ra hàm s x x 4 3 VT ngh ch bi n) ta ñư c: + = 1 (1). 5 5 G i f (x) là VT c a (1) ⇒ f (x) là hàm ngh ch bi n và f (2) = 1 . * x > 2 ⇒ f (x) < f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghi m. .v n * x < 2 ⇒ f (x) > f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghi m. V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2 . 4 h 2) Ta có: PT ⇔ 3x + x = 4 (2) o c 2 ih Ta th y VT c a (2) là m t hàm ñ ng bi n và x=1 là m t nghi m c a phương trình và ñây cũng là nghi m duy nh t c a phương trình ñã cho. V u Ví d 2: Gi i các phương trình sau: 1) 3.4 x + (3x − 10)2 x + 3 − x = 0 2) 4x 2 −4 + (x 2 − 4)2x − 2 = 1 . Gi i: Ví d 2: Gi i và bi n lu n phương trình: 2 2 5x + 2mx + 2 − 52x + 4mx +m + 2 = x 2 + 2mx + m Bài t p: Bài 1: Gi i các phương trình sau x −1 x +5 1) 34x + 8 − 4.32x + 5 + 27 = 0 2) 3.2 x +1 − 2 2 + 4 = 0 3) (5 − 21) x + 7(5 + 21) x = 2x + 3 4) ( 5 + 2 6 )sin x + ( 5 − 2 6 )sin x = 2 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 11
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 5) 4 x− x −5 − 12.2 x−1− x −5 + 8 = 0 2 2 6) Bài 2: Gi i các b t phương trình sau: 2x − x 2 x 2 − 2x 1 1) 9 − 2 ≤3 3 .v n Bài t p 4 h Bài 1: Gi i các phương trình và b t phương trình sau 10) 4 x+1 + 2 x + 2 − 3 = 0 o c 2 ih 11) 7) 25x − 6.5x + 5 > 0 8) 3x+1 + 18.3− x < 29 V u 12) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x 13) 22x +1 − 5.6 x − 32x +1 ≥ 0 14) ( 2 + 3 ) x + ( 2 − 3 ) x = 14 15) ( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x ≤ 14 16) Bài 2: Tìm m ñ các phương trình và B t phương trình sau có nghi m: 1) m.9x + (m − 1)3x + 2 + m − 1 = 0 2)4x − m.2x +1 + 3 − 2m ≤ 0 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 12
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1.Phương trình cơ b n f (x ) = g(x ) * loga f (x ) = loga g (x ) ⇔ f (x ) ≥ 0 (g(x ) ≥ 0) b * loga f (x ) = b ⇔ f (x ) = a * loga f (x ) ≥ loga g(x ) (*) f (x ) > g(x ) + N u a>1 thì (*) ⇔ g(x ) > 0 f (x ) < g(x ) + N u 0 0 4 h Ví d 1: Gi i các phương trình sau 0 < a ≠ 1 o c 2 ih 2 4) log 1 (x − 3x + 2) ≥ −1 1) log 3 (x − 1) + log 3 (x − 2) = log 3 6 V u 2) lg(x 2 − 7x + 6) = lg(x − 1) + 1 2 3) ( 1-x + 1 + x − 2)log2 (x − x ) = 0 6) 2 5)log 5 (4x + 144) − 4 log5 2 < log 5 5(2x −2 + 1) 2x − 3 log 3
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit 1) 1 + log2 (x − 1) = logx −1 4 x3 32 4) log2 x − log2 4 1 2 + 9 log2 2 < 4 log 1 x 5 8 2) log5x + log2 x = 1 5 2 x 2 x 5) log 4 (2x 2 + 3x + 2)1 > log2 (2x 2 3x + 2) 3) log2 x + 3 log2 x + 1 − 5 = 0 3 a )lg2 x − lg x 3 + 2 = 0 1 2 c) + =1 4 − lg x 2 + lg x d )3 logx 16 − 4 log16 x = 2 log2 x f )5lg x + x lg 5 = 50 g )logx 2 16 + log2x 64 = 3 h) lg x + 7 x 4 = 10lg x +1 .v n i *)9log3 (1− 2x ) = 5x 2 − 5 4 h 1)log 1 (4x + 4) ≥ log 1 (22x +1 − 3.2x ) 2 2 o c 2 ih 1 1 8 2) log 2 (x + 3) + log 4 (x − 1) = log2 (4x ) 2 4 2 V u 3) 16 log27x 3 x − 3 log 3x x 2 4) 4( log2 x ) − log 1 x + m = 0 x ∈ (0;1) 2 5)log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 ≤ 0 2 4 6)log 5 (5x − 4) = 1 − x 7)log 3 x > logx 3 1 3 log2 x log2 x 8) 2x 2 ≥ 22 9) log π (log2 (x + 2x 2 − x ) < 0 4 Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 14
- Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit .v n 4 h o c 2 uih V Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 15
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chuyên đề giải phương trình và bất phương trình vô tỉ
22 p | 1332 | 418
-
Phương trình và Bất phương trình đại số
25 p | 575 | 262
-
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
15 p | 415 | 92
-
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
2 p | 327 | 69
-
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHBÀI TẬP SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1)
18 p | 241 | 56
-
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ; BÀI TẬP SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1)
13 p | 178 | 42
-
Giới thiệu các phương pháp giải toán đại số và giải tích (Tái bản lần thứ nhất có chỉnh sửa và bổ sung): Phần 1
210 p | 107 | 22
-
Tuyển tập và hướng dẫn giải 540 bài toán phương trình và bất phương trình đại số: Phần 1
209 p | 168 | 20
-
Tuyển tập và hướng dẫn giải 540 bài toán phương trình và bất phương trình đại số: Phần 2
235 p | 153 | 19
-
Chuyên đề phương trình và bất phương trình: Bài tập sử dụng ẩn phụ - Phần 1
14 p | 112 | 11
-
Các bài toán Vật lý sơ cấp và một số phương pháp chọn lọc giải (Tập 3) (In lần thứ II): Phần 1
161 p | 106 | 10
-
Áp dụng tính đơn điệu của hàm số khảo sát phương trình và bất phương trình - Phan Phi Công
17 p | 98 | 9
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ trong hình học phẳng để chứng minh một số bất đẳng thức, giải một số phương trình và bất phương trình đại số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10 ở trường THPT
15 p | 56 | 8
-
Chuyên đề 4: Phương trình và bât phương trình chứa căn thức
4 p | 164 | 7
-
Kỹ thuật giải hệ phương trình và bất phương trình: Phần 2 - GV. Đặng Việt Hùng
7 p | 85 | 6
-
Đôi điều về phương trình và bất phương trình năm 2014
7 p | 59 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương trình và bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
8 p | 66 | 5
-
SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng tọa độ trong hình học phẳng để chứng minh một số bất đẳng thức, giải một số phương trình và bất phương trình đại số nhằm nâng cao chất lượng đối với học sinh lớp 10 ở trường THPT
15 p | 46 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn