PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.069
lượt xem 104
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình mặt cầu trong không gian', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

P H ƯƠ NG T R Ì NH M ẶT C ẦU T R O NG K H Ô NG G I AN 1) P h ư ơn g tr ìn h mặ t cầ u : 2 2 2 * Cho mặt cầu S(I,R) có tâm I ( a ; b; c ) và bán kính R : Pt mặt cầu là ( x - a ) + ( y - b ) + ( z - c ) = R2 * Dạng khai triển : x2 + y2 + z2 + a x + by + cz + d = 0 là pt mặt cầu khi và chỉ khi a 2 + b 2 + c 2 - 4d f 0 2 2 2 a 2 + b 2 + c 2 - 4 aö æ bö æ cö d æ Khi đó ta viết pt trên về dạng ç x + ÷ + ç y + ÷ + ç z + ÷ = 2ø è 2ø è 2 ø 4 è æ a b c ö 1 2 a + b 2 + c 2 - 4 Suy ra tâm mặt cầu là : I ç - ; - ; - ÷ , R = d è 2 2 2 ø 2 Ví dụ 1: Viết pt mặt cầu trong các trường hợp sau “ a) đường kính AB với A(1;1;1) , B ( 3; -1;1) b) đi qua 3 điểm A( 0; 0;1) , B (1; 0; 0 ) , C ( 0;1; 0 ) và gốc tọa độ c) đi qua 3 điểm A,B,C ở trên và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z - 3 = 0 1 Giả i : a) Tâm là trung điểm của AB là : I ( 2; 0;1) , bán kính R = AB = 2 2 2 2 2 Vậy pt mc là : ( x - 2 ) + y + ( z - 1) = 2 b) Gọi ptmc là : x2 + y2 + z2 + a x + by + cz + d = 0 Mặt cầu đi qua 4 điểm trên nên lần lượt thay tọa độ 4 điểm đó vào pt ta có hệ : ì1 + c + d = 0 ìa = -1 ï1 + a + d = 0 ïb = -1 ï ï . Vậy pt mc là : x2 + y2 + z2 - x - y - z = 0 Ûí í ï1 + b + d = 0 ïc = -1 ïd = 0 ï = 0 îd î ì IA = R ï IB = R ï d) Gọi tâm mặt cầu là I ( a ; b; c ) và bán kính R , Ta có : í ï IC = R ï I Î (a ) î ì a 2 + b 2 + (1 - c ) 2 = R2 ì a = 1 ï ïb = 1 2 ï(1 - a ) + b 2 + c 2 = R2 ï ï Ûí Ûí ïc = 1 2 ï a 2 + (1 - b ) + c 2 = R2 ï ï R = 2 î ï + b + c - 3 = 0 îa Ví dụ 2: Viết pt mc đi qua 3 điểm A( 0; 0;1) , B (1; 0; 0 ) , C ( 0;1; 0 ) và có bán kính nhỏ nhất. ì IA = IB Giả i : Gọi tâm mặt cầu là I ( a ; b; c ) và bán kính R , Ta có : í î IA = IC ìa 2 + b 2 + ( c - 1) 2 = ( a - 1 2 + b 2 + c 2 ) ï Ûí Û a = c = b 2 2 2 2 2 2 ï + b + ( c - 1) = a + b + ( c - 1) îa 2 1ö 2 2 æ 2 Ta lại có : R = IA = a + b + ( c - 1) 2 2 2 = 3a - 2a + 1 = 3 ç a - ÷ + ³ 3 ø 3 3 è 1 2 Bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b = c = , R = 3 3 2 2 2 1ö æ 1ö æ 1ö 2 æ PTmc là: ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z - ÷ = 3ø è 3ø è 3ø 3 è h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 1
2) Mặ t ph ẳ n g tiếp xú c với mặ t cầ u : Cho mặt cầu S ( I , R ) và mặt phẳng (a ) . Mặt phẳng (a ) tiếp xúc mặt cầu S ( I , R ) Û d ( I , (a ) ) = R Ví dụ 3: Viết pt mc có tâm thuộc trục Ox, và tiếp xúc với hai mp sau : (a ) : 2 x + 2 y - z + 1 = 0, ( b ) : x + 2 y + 2 z - 6 = 0 Giả i : Tâm I Î Ox Þ I ( a ; 0; 0 ) ì 2a + 1 ìd ( I , (a ) ) = R ï 3 = R ï ï Ta có : í Þí ïd ( I , ( b ) ) = R ï a - 6 = R î ï 3 î é a = -2 Suy ra: 2a + 1 = a - 6 Û ê ê a = 5 ë 3 13 169 2 Với a = -2 Þ R = : ptmc là : ( x + 2 ) + y 2 + z2 = 3 9 2 5ö 169 5 13 æ Với a = Þ R = : ptmc là : ç x - ÷ + y2 + z2 = 3 9 3 ø 81 è 2 2 2 Ví dụ 4: Cho mặt cầu có pt : 9 x + 9 y + 9 z + 126 x + 272 = 0 ( S ) . Viết pt mặt phẳng t iếp xúc mặt cầu trên và đi qua các điểm A( 2;1;1) , B ( 0; 3; 0 ) 13 Giả i : Mặt cầu có tâm I ( -7; 0; 0 ) , R = 3 ìd ( I , (a ) ) = R ï ï Gọi pt mặt phẳng là : (a ) : a x + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0 ,Ta có : í A (a ) ) Î ï ï B Î (a ) î ì -7 + d a 13 = (1 ) ï2 a + b 2 + c 2 3 ï ï Û í 2a + b + c + d = 0 ( 2 ) ï ï3b + d = 0 ( 3 ) ï î * Nếu b = 0 : từ (3) ta có d = 0 , và từ (2) ta có c = - thay tất cả vào (1) ta có: 2a -7 a 13 7 13 = , do oó pt vô nghiệm = Û 5 2 3 5 3 a * Nếu b ¹ 0 : chọn b = 1 -7 a - 3 13 Từ (3) ta có d = - và từ (2) ta có : c = 2 - 2 . Thay vào pt (1) ta có : = 3 a 3 2 a 2 + 1 + ( 2 - 2 ) a ( ) 2 2 Giải pt này bằng cách bình phương hai vế : 9 ( 7a + 3 ) = 169 a 2 + 1 + ( 2 - 2 ) , ta tìm được a, từ đó tính a được c. Một đáp số là : x + 2 y + 2 z - 6 = 0 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 2
Ví dụ 5: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z2 - 4 x + 2 = 0 , đi qua điểm A 1; 0;1) , và tạo ( với mặt phẳng ( xOy một góc 450 ) Giả i : Mặt cầu đã cho có tâm I ( 2; 0; 0 ) , R = 2 Gọi pt mặt phẳng là : a x + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0 ) ì ì c ì 2 + d a 1 ï = = 2 ï ï2 ï d ( I , (a ) ) = R ï 2a + d 2 2 2 ï a + b + c ï ï ï ï Ta có : í A (a ) Î Û ía + c + d = 0 Û ía + c + d = 0 ï uu r r ï ï c c 1 1 ï na . k ï ï 2 = = ï uu r r = cos 450 = ï a 2 + b2 + c2 ï a 2 + b 2 + c 2 2 2 î î 2 ï na . k î * Nếu c = 0 thì từ PT(1) ta thấy hệ vô nghiệm é a = 3 1 1 * Nếu c ¹ 0 : chọn c = 1 . Từ pt(2) ta có d = -1 - a thay vào (1) ta có = Û a - 1 = 2 Û ê a = -1 2a - 1 - a 2 ë 1 1 Với a = 3 Þ d = -4 thay vào (3) : = Þ vn 9 + b 2 + 1 2 Với a = -1 Þ d = 0 thay vào (2) ta có b = 0 Vậy mặt phẳng cần t ìm có pt : - x + z = 0 Ví dụ 6: Cho A(1;1;1) , B (1; 3; - ) . Viết pt mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng ( xOy ) , đi qua B và tiếp xúc với 1 đường thẳng OA tại A H ư ớn g dẫ n : Gọi mặt cầu S có tâm I ( a ; b; 0 ) , bán kính R. ì IB = R ï Ta có các điều kiện : í IA = R , giải ra được a = 1, b = 2, R = 2 ïuu uuu rr IA.OA = 0 î Ví dụ 7: Viết pt mặt cầu tiếp xúc hai mặt phẳng (a ) : 2a + 2 y + z + 1 = 0, ( b ) : 2 x + 2 y + z - 5 = 0 và đi qua hai điểm A( 2; 0; 0 ) , B (1; 0;1) 1 H ư ớn g dẫ n : Nhận xét hai mp trên song song với nhau., do đó bán kính mặt cầu R = d ( (a ) , ( b ) ) 2 1 -1 - 5 1 d ( M , ( b ) ) = Lây điểm M ( 0; 0; -1) Î (a ) , thì R = = 1 2 2 3 ì d ( I , (a ) ) = R ï Gọi mặt cầu S có tâm I ( a ; b; 0 ) , bán kính R, ta có : í ( ( ) ) ï d I , b = R giải hệ này ra được a,b,c ï IA = R ï î IB = R Ví dụ 8: Viết pt mặt cầu có tâm thuộc trục Oz và tiếp xúc hai đường thẳng D1 : x = 1 + t , y = 1 + 2t , z = 2t , D 2 : x = 3 + 2t , y = 2 + t , z = 2 + 2 t H ư ớn g dẫ n : Nhận thấy D1 Ç D 2 = I (1;1; 0 ) (a ) là mặt phẳng chứa đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên và vuông góc với mp chứa hai đt đó. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của trục Oz với (a ) h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 3
Cá ch kh á c: Gọi mặt cầu S có tâm I ( 0; 0; a ) , bán kính R. Và hai t iếp điểm của hai đường thẳng với mặt cầu M (1 + m,1 + 2m, 2 m) , N ( 3 + 2 n, 2 + n, 2 + 2 ) . n ì IM = IN ( = R ) ï uuu uur r ï Ta có : í IM .uD1 = 0 giải hệ ba pt 3 ẩn này t ìm được a, R,m, n. uur uuu r ï ï IN.uD 2 = 0 î *Hoặc gọi tọa độ tâm I ( 0; 0; a ) , khi đó ta có : ur uuur uu uur r éu1 ; IM ù éu2 ; IN ù ë û ë û ur uu , trong đó M (1;1; 0 ) , N ( 3; 2; 2 r d ( I , D1 ) = d ( I , D 2 ) = R Û ) = u1 u2 Ví dụ 9: Cho ba điểm A(1; 0; 0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0; 0;1) . Viết pt mặt cầu có bán kính nhỏ nhất mà tiếp xúc với đường thẳng AC và OB H ư ớn g dẫ n : Gọi I là tâm mặt cầu, M,N lần lượt là tiếp điểm của mặt cầu và tiếp tuyến. Ta có : MN 2 = IM + IN ³ MN Þ R ³ R 2 Vậy R nhỏ nhất khi MN nhở nhất và I thuộc đoạn MN, hay MN là đoạn vuông góc chung và I là trung điểm của MN. đó là mặt cầu có đường kính MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và OB 3) Mặ t ph ẳ n g cắ t mặ t cầ u : Cho mặt cầu S tâm I , bán kính R và mặt phẳng (a ) Nếu h = d ( I , (a ) ) p R thì mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn xác đinh như sau : Tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp (a ) Bán kính t ính theo công thức r = R2 - h 2 đường tròn lớn nhất khi và chỉ khi h = 0 hay mp (a ) đi qua tâm mặt cầu. Ví dụ 10: Cho mặt phẳng (a ) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0 . Viết pt mặt cầu : 35p a) Có tâm là I (1;1; 2 ) và cắt mặt phẳng (a ) theo đường tròn có diện tích bằng 9 b) Có tâm thuộc trục Ox , tiếp xúc mặt phẳng ( yoz ) và cắt mặt phẳng (a ) theo đường tròn có bán kính lớn nhất. 2 + 2 - 2 - 3 1 Giả i : Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (a ) là : h = = , từ công thức diện tích đường 22 + 22 + ( - ) 3 2 1 S 35 1 35 tròn S = p r 2 Þ r = . Mà R2 = h 2 + r 2 = + = = 4 Þ R = 2 p 3 9 9 2 2 2 Vậy pt mc cần tìm là : ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 2 ) = 4 b) Mặt cầu cắt mp (a ) theo một đường tròn lớn nhất khi tâm I thuộc mp (a ) . Theo giả thiết nó còn thuộc æ 3 ö Ox, nên ta có ngay tâm là I ç ; 0; 0 ÷ è 2 ø 3 Tiếp xúc mặt ( yO z nên có bán kính R = xI = ) 2 2 3ö 9 æ Vậy pt mc là : ç x - ÷ + y2 + z2 = 2 ø 4 è 2 2 Ví dụ 11: Cho mặt cầu có phương trình : ( x - 1) + y2 + ( z - 2 ) = 9 và hai điểm A(1; 0; 3 , B ( 2; 0; 2 ) ) h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 4
Viết ptmp qua A,B sao cho nó cắt mặt cầu theo một đường tròn có a) Bán kính lớn nhất b) Bán kính nhỏ nhất Giả i : a) Mặt phẳng cần tìm đi qua A,B và tâm mặt cầu. Bạn tự giải b) Gọi pt mp là (a ) : a x + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0 ) ìa + 3c + d = 0 ìa = c Vì mặt phẳng đi qua A,B nên ta có : í Þí î2a + 2c + d = 0 î = -4 d c Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mp lớn nhất. a + 2 + d c - c h = d ( I (a ) ) = , = a 2 + b2 + c 2 2c 2 + b 2 Nếu c = 0 thì h = 0 1 Nếu c ¹ 0 chọn c = 1 : khi đó h = lớn nhất khi b = 0 2 + b 2 Khi đó ptmp cần tìm là : x + z - 4 = 0 Ví dụ 12: Viết pt đường tròn đi qua 3 điểm A(1;1; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C (1;1;1) H ư ớn g dẫ n : Viết pt mặt phẳng (a ) = ( ABC ) Lấy 1 điểm D Ï (a ) ( nên thử gốc tọa độ O ), viết pt mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D Đường tròn cần tìm là giao của mặt phẳng và mặt cầu trên Ví dụ 13: Cho mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z2 - 2 x + 2 z - 2 = 0 và mặt phẳng (a ) : 2 x - 2 y + z + 6 = 0 . Tìm điểm M thuộc mặt cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (a ) nhỏ nhất , lớn nhất Hướng dẫn : Mặt phẳng không cắt mặt cầu. Giả sử đường thẳng qua tâm mặt cầu vuông góc với mp cắt mặt cầu tại hai điểm A,B. Đó là hai điểm cần t ìm 2 2 Ví dụ 14: Cho mặt cầu : ( S ) : x2 + ( y - 2 ) + ( x + 2 ) = 9 và hai điểm thuộc mặt cầu A( 3; 2; - ) , B ( 0; 2;1) . 2 Tìm điểm C thuộc mặt cầu ( S ) sao cho diện t ích DABC lớn nhất. H ư ớn g dẫ n : Ta có thể dễ dàng chứng minh rằng đó là 1 trong hai giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu và trung điểm của AB. 28 2 2 Ví dụ 15: Cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) + ( y - 1) + z2 = và mặt phẳng (a ) : 2 x - 2 y + z + 6 = 0 3 Viết pt mp nằm trong mp (a ) , đi qua điểm A( 2; 2; - và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) 6) H ư ớn g dẫ n : đáp số D : x = -1 + 3t , y = 1 + t , z = -2 - 4t h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m 5