Phương trình và bất phương trình chưa trị tuyệt đối

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

526
lượt xem 94
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi CĐ ĐH môn Toán chuyên đề Phương trình và bất phương trình chưa trị tuyệt đối

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình và bất phương trình chưa trị tuyệt đối

CHÖÔNG 3: II. CAÙC VÍ DUÏ. PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA TRÒ Ví duï 1: TUYEÄT ÑOÁI. Giaûi phöông trình: 2 x + 2 + 3 x − 1 = 5 (1) Giaûi Xeùt daáu x + 2 vaø x – 1 A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA TRÒ TUYEÄT ÑOÁI I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. 1.Ñònh nghóa vaø tính chaát: ⎧a neáu a ≥ 0 7 a. Ñònh nghóa : a = ⎨ . x ≤ −2 : (1) ⇔ −2(x + 2) − 2(x − 1) = 5 ⇔ x = − (loaïi) ⎩−a neáu a ≤ 0 4 . −2 < x < 1: (1) ⇔ 2(x + 2) − 2(x − 1) = 5 ⇔ 0x + 6 = 5 : voâ nghieäm b. Tính chaát : * a ≥ 0 * − a ≤ a ≤ a * a + b ≤ a + b daáu “ =” khi ab ≥ 0 3 . x ≥ 1: (1) ⇔ 2(x + 2) + 2(x − 1) = 5 ⇔ x = (loaïi) 4 * a − b ≤ a + b daáu “ =” xaûy ra khi ab ≤ 0 Vaäy phöông trình voâ nghieäm. 2. Phöông phaùp giaûi toaùn: Ví duï 2: a. Daïng cô baûn: ⎧3 x + 5y + 9 = 0 (1) ⎪ A = B ⇔ A = B ∨ A = −B caùch1 Giaûi heä phöông trình: ⎨ ⎪2x − y − 7 = 0 (2) ⎩ ⇔ A 2 = B2 caùch 2 (ÑH Haøng Haûi naêm 1998). ⎧B ≥ 0 Giaûi A = B ⇔⎨ caùch 1 ⎩A = ± B Nhaän xeùt: (1) Cho ta: y < 0, ∀x ∈ R ⎧A ≥ 0 ⎧A ≤ 0 (2) Cho ta: x > 0, ∀y ∈ R ⇔⎨ ∨⎨ caùch 2 ⎩A = B ⎩A = −B ⇒ heä chæ coù nghieäm khi x > 0, y < 0 b. Caùc daïng khaùc: ⎧3x + 5y + 9 = 0 44 39 Heä ⇔ ⎨ giaûi ra: x = ,y = − Ta thöôøng xeùt daáu caùc bieåu thöùc trong caùc daáu trò tuyeät ñoái ñeå ⎩2x + y − 7 = 0 7 7 khöû daáu trò tuyeät ñoái treân moãi khoaûng. Giaûi phöông trình treân moãi ⎛ 44 39 ⎞ khoaûng. Vaäy heä coù nghieäm ⎜ x = ,y = − ⎟ ⎝ 7 7 ⎠ Coù theå duøng aån phuï. 115 116
Ví duï 3: ⎡ ⎧t ≥ 0 ⎪ Ñònh m ñeå phöông trình: ⎢⎨ 2 ⎡t = 0 ⎢ ⎪t = 0 ⎩ ⎢ 2 2 −2x + 10x − 8 = x − 5x + m coù 4 nghieäm phaân bieät. (2) ⇔ t 2 − 2mt + m 2 + 2m t = m 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎧t = 4m ⎢ ⎧t < 0 ⎪ ⎢ ⎨m < 0 Giaûi ⎢ ⎨t 2 − 4mt ⎣⎩ ⎣⎪⎩ Phöông trình cho ⇔ −2x + 10x − 8 − x 2 + 5x = m 2 . t = 0 ⇒ x = −m 2 Ñaët f(x) = −2x + 10x − 8 − x + 5x 2 . t = 4m ⇒ x = 3m(m < 0) Toùm laïi: ⎧x 2 − 5x + 8 vôùi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 ⎪ Ta coù: f(x) = ⎨ m < 0: Phöông trình coù 2 nghieäm: x1 = 3m ; x2 = - m 2 ⎪−3x + 15x − 8 vôùi 1 ≤ x ≤ 4 ⎩ m > 0: moät nghieäm x2 = - m ⎧2x − 5 vôùi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 m = 0: VN (loaïi vì x = 0) f '(x) = ⎨ Ví duï 5: ⎩−6x + 15 vôùi 1 ≤ x ≤ 4 Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát: Baûng bieán thieân: x 2 + 2mx + 1 = x + 1 (1) Giaûi ⎧x ≥ 1 ⎪ Ta coù: (1) ⇔ ⎨ 2 2 2 ⎪(x + 2mx + 1) = (x + 1) ⎩ ⎧x ≥ −1 ⎪ ⎧x ≥ −1 ⎪ ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎪x + (2m − 1)x = 0 (2) ⎩ ⎪x + (2m + 1)x + 2 = 0 (3) ⎩ (2) ⇔ x = 0 ∨ x = 1 − 2m Ta nhaän thaáy x = 0 thoûa ñieàu kieän x ≥ −1, neâ ñieàu kieän caàn ñeå phöông Döïa vaøo baûng bieán thieân, phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⎡1 − 2m = 0 1 43 trình (1) coù nghieäm duy nhaát laø: ⎢ ⇔ m = ∨ m >1 khi vaø chæ khi: 4 < m < . ⎣1 − 2m < −1 2 4 1 Ví duï 4: Thöû laïi: + vôùi m = : (3) ⇔ x 2 + 2x + 2 = 0 VN 2 2m x + m m 2 Giaûi vaø bieän luaän: x + = (m ≠ 0) (1) + Vaäy (1) coù nghieäm duy nhaát x = 0 x x + Vôùi m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0 Giaûi ⇒ (3) coù nghieäm x > -1 ⇒ khoâng coù nghieäm duy nhaát (loaïi) Ñieàu kieän: x ≠ 0 1 Vaäy m = . (1) ⇔ x 2 + 2m x + m = m 2 (2) 2 Ñaët t = x + m ⇒ x = t − m ⇒ x 2 = t 2 − 2mt + m 2 117 118
Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 3 − 2x − x 1.1. Baûng xeùt daáu : 1.1. Giaûi phöông trình: =5 2 + 3x + x − 2 1.2. Xaùc ñònh k ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät. (x − 1)2 = 2 x − k 1.3. Tìm tham soá a sao cho phöông trình: 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 Xeùt caùc tröôøng hôïp : coù nghieäm duy nhaát. 23 ⎧ 2 3−x ⎪x = − 23 * x ≤ − : phöông trình cho ⇔ =5⇔⎨ 9 ⇔x=− 1.4. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm: x 2 − 2x + m = x 2 + 3x − m − 1 3 −2x − 4 ⎪ x ≠ −2 9 ⎩ 2 thoûa x ≤ − . 1.5. Ñònh m ñeå phöông trình coù 4 nghieäm phaân bieät : 3 2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = x 2 − (m − 1)x + 2 − m ⎧ 1 3−x ⎪x = 1 2 ⇔ =5⇔⎨ 7⇔x= * − < x ≤ 0 : phöông trình cho 4x ⎪x ≠ 0 7 khoâng 3 ⎩ 2 thoaû ñieàu kieän − < x ≤ 0 . 3 3 3 − 3x 3 * 0 < x ≤ : phöông trình cho ⇔ =5⇔ x= thoûa ñieàu kieän 2 4x 23 3 0 : phöông trình cho ⇔ =5⇔⎨ ⇔ x ∈∅ 2 4x ⎪x > 3 ⎪ ⎩ 2 23 3 Toùm laïi nghieäm : x = − ∨ x = . 9 23 119 120
⎡2(x − k) = (x − 1)2 Baûng bieán thieân: 1.2. (x − 1)2 = 2 x − k (1) ⇔ ⎢ ⎢2(x − k) = −(x − 1)2 ⎣ ⎡ x 2 − 4x + 2k + 1 = 0 (2) ⇔⎢ ⎢ x 2 = 2k − 1 (3) ⎣ Ñeå phöông trình coù nghieäm phaân bieät ⇔ Ñieàu kieän laø phöông trình (2), (3), moãi phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät vaø chuùng khoâng coù nghieäm chung. Nhaän xeùt neáu (2) vaø (3) coù nghieäm chung thì nghieäm chung phaûi laø nghieäm cuûa heä phöông trình : ⎧ 2 Baûng bieán thieân cho ta phöông trình coù nghieäm duy nhaát ⎪x − 4x + 2k + 1 = 0 (2) 57 −57 ⎨ 2 ⇔a=− = ⎪x = 2k − 1 (3) ⎩ 16.5 80 (3) ⇔ 2k = x 2 + 1 theá vaøo (2), ta ñöôïc : x 2 − 4x + x 2 + 2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ k = 1 1.4. x 2 − 2x + m = x 2 + 3x − m − 1 (*) Ta loaïi k = 1 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎪ ⎧∆ ' > 0 (*) ⇔ ⎨ 2 2 2 2 ⎪ 1 3 ⎪(x − 2x + m) = (x + 3x − m − 1) ⎩ Vôùi k ≠ 1 , ñieàu kieän : ⎨2k − 1 > 0 ⇔ < k < ∧ k ≠ 1 ⎪k ≠ 1 2 2 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎩ ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪5x = 2m + 1 ∨ 2x + x − 1 = 0 ⎩ 1.3. 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 ⇔ 2x 2 + 8x + 2x 2 − 3x − 2 = 5a ⎧x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2m + 1 ∨⎨ 1 ⎧ 2 1 ⎪ 4x + 5x − 2 neáu x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2 ⎪x = ⎪ x = −1 ∨ x = ⎪ ⎩ 5 ⎩ 2 Ñaët f(x) = 2x 2 + 8x + 2x 2 − 3x − 2 = ⎨ ⎪11x + 2 neáu - 1 < x < 2 Ñaët f(x) = x 2 + 3x − m − 1 ⎪ ⎩ 2 ⎡ ⎛ 2m + 1 ⎞ ⎡ 3 ⎧ 1 ⎢f ⎜ ⎟≥0 ⎢ m ≤ −3 ∨ m ≥ 4 ⎪8x + 5 neáu x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2 ⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎢ ⎪ * Coù nghieäm ⇔ ⎢ f( −1) ≥ 0 ⇔ ⎢ m ≤ −3 ⇔ m∈R ⇒ f '(x) = ⎨ ⎢ ⎪11 neáu − 1 < x < 2 ⎢f ⎛ 1 ⎞ ≥ 0 ⎢ 3 ⎪ ⎩ 2 ⎜2⎟ ⎢m ≤ ⎢ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣ 4 ⎣ 121 122
1.5. 2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = x 2 − (m − 1)x + 2 − m ⎡2x 2 − (2m + 1)x + m + = x 2 − (m − 1)x + 2 − m ⇔⎢ ⎢2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = − x 2 + (m − 1)x − 2 + m ⎣ ⎡ x 2 − (m + 2)x + 2m = 0 (1) ⇔⎢ ⎢3x 2 − 3mx + 4 = 0 ⎣ (2) g(x) Ñeå phöông trình cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät, (2) coù 2 nghieäm phaân bieät vaø 2 nghieäm phaân bieät cuûa (1) vaø (2) khaùc nhau. (1) coù : ∆1 = (m − 2)2 > 0 ⇔ m ≠ 2 : x1 = m,x 2 = 2 ⎧∆ 2 = 9m 2 − 48 > 0 ⎧ −4 3 4 3 ⎪ ⎪m < ⎪ ∨m> (2) coù : ⎨g(m) ≠ 0 ⇔⎨ 3 3 ⎪g(2) ≠ 0 ⎪m ≠ 8 ⎩ ⎪ ⎩ 3 123