Sáng kiến kinh nghiệm: Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

208
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số được viết nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG  Mã số :……………….. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Người thực hiện : NGUYỄN THỊ THANH Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học bộ môn :…………… Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :…………………………… . Có đính kèm : Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác 1
BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : 1. Họ và tên : NGUYỄN THỊ THANH 2. Ngày tháng năm sinh : 20 - 04 - 1987 3. Nam, nữ : NỮ 4. Địa chỉ : Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai 5. Điện thoại : 0906992829 6. Fax : - E-mail : 7. Chức vụ : Giáo viên 8. nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11C7. 11C11. 9. Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng : 2010 - Chuyên ngành đào tạo : Toán học III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán. - Số năm có kinh nghiệm : 05 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng 2
Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong năm học vừa qua tôi được phân công giảng dạy lớp 12. Đa số học sinh còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. - Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã được tiếp cận với các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số. Tuy nhiên, trong chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình bày ở chương I, phần bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa ra nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh. Trong khi đó, trong thực tế các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất phong phú và đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa. - Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1. Thuận lợi: Học sinh được truyền thụ các kiến thức cơ bản về các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số. Được sự hỗ trợ của các giáo viên trong tổ. 2. Khó khăn: Học sinh chưa có thói quen tìm tòi phương pháp giải khi gặp các bài toán tổng quát. Cần nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh. 3. Số liệu thống kê: Đang áp dụng để giảng dạy cho học sinh khá, giỏi. 3
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI: 1. Cơ sở lí luận: - Nhiệm vụ trung tâm của trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn Toán rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. - Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu nôm Toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. - Trong SGK giải tích 12 chỉ nêu một số bài tập liên quan đến khảo sát hàm số đơn giản chưa tạo sự hứng thú, tìm tòi sáng tạo của học sinh. Vì vậy khi gặp các bài toán phức tạo hơn các em sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải. - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. - Trong giới hạn SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thường gặp. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài: Đưa ra một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và đề ra phương pháp giải. A. LÝ THUYẾT 1. Dấu của tam thức bậc 2: a) Dấu của tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c(a  0) : 2 + Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. b + Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x   2a 4
+ Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a khi x  x1 hoặc x2  x trái dấu với a khi x1  x  x2 , trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của f(x), x1  x2 . a  0 + ax  bx  c  0   2   0 a  0 + ax 2  bx  c  0     0 b) So sánh hai nghiệm của tam thức với số : f ( x)  ax 2  bx  c(a  0) có hai nghiệm x1 , x2 và số   R , ta có: + x1    x2  a. f ( )  0    0  +   x1  x2  a. f ( )  0  S    2    0  + x1  x2    a. f ( )  0 S   2 2. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: Định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K. + f(x) đồng biến trên K  f ( x)  0, x  K + f(x) nghịch biến trên K  f ( x)  0, x  K ( f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K ) 3. Cực trị của hàm số: a) Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc K \ x0  , với h > 0. 5
+ Nếu f ( x)  0 trên ( x0  h; x0 ) và f ( x)  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là điểm cực đại. + Nếu f ( x)  0 trên ( x0  h; x0 ) và f ( x)  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là điểm cực tiểu. b) Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên ( x0  h; x0  h) , với h > 0. Khi đó: + Nếu f ( x0 )  0 và f ( x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại. + Nếu f ( x0 )  0 và f ( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu. c) x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì y( x0 )  0 . 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) là y  f ( x0 )( x  x0 )  y0 :  Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong (C1 ) : y  f ( x) và (C2 ) : y  g ( x)  f ( x)  g ( x) (C1 ) tiếp xúc (C2 )   có nghiệm.  f ( x)  g ( x) 5. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c  0(a 2  b 2  0) là ax0  by0  c d ( M , )  a2  b2 Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ) và B( xB ; yB ) là AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 6
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f (x) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C )  Tính f (x ) và f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0 Ví dụ1 : Cho hàm số y  x 3  x  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 5). Giải: Ta có: y  3x 2  1 , y (1)  4 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 5) là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0  y  4( x  1)  5  y  4x  1 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0  Tính y0  f ( x0 )  Tính f (x ) và f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0 2x 1 Ví dụ 2: Cho hàm số y  có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của x 1 (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có x0  2  y0  5 3 y   y (2)  3 ( x  1) 2 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2; 5) là: y  3( x  2)  5  y  3x  11 7
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 3  2 x 2  2 x  4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại giao điểm của (C) với trục hoành. b) Tại giao điểm của (C) với trục tung. c) Tại điểm x0 là nghiệm của phương trình y( x0 )  0 . Giải: a) Gọi A( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có A  (C )  Ox nên y0  0 và x0 là nghiệm của phương trình x 3  2 x 2  2 x  4  0  x  2 . Vậy A(2; 0) Ta có y  3x 2  4 x  2  y(2)  6 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  6( x  2)  0  y  6 x  12 b) Gọi B( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì B  (C )  Oy nên x0  0  y0  y(0)  4 y (0)  2 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm B(0; -4) là: y  2 x  4 . c) Ta có: y   6 x  4 Gọi C ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. 2 88 2 2 Ta có: 6 x0  4  0  x0   y0   , y ( )  3 27 3 3 2  88 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm C ( ; ) là: 3 27 2 2 88 2 100 y  (x  )   y  x 3 3 27 3 27 Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y 0  Ta có y0  f ( x0 )  x0  Tính f (x ) và f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0 8
1 Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 4  2 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến 4 9 của (C) tại điểm có tung độ bằng 4 Giải: Ta có y  x 3  4 x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm 9 1 9  x02  1 Ta có y0   x04  2 x02   x04  8x02  9  0    x0  3  x0  9 2 4 4 4 9 9 + Với x0  3, y0  , y (3)  15 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1 (3; ) là: 4 4 9 171 y  15( x  3)   15 x  4 4 9 + Với x0  3, y0  , y(3)  15 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm 4 9 9 171 M 2 (3; ) là: y  15( x  3)   15 x  4 4 4 171 171 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu: y  15 x  và y  15 x  . 4 4 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến có hệ số góc k Cách 1:  Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm  Ta có f ( x0 )  k  x0  x0  y0  f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến là: y  k ( x  x0 )  y0 Cách 2:  Tiếp tuyến có phương trình dạng: y  kx  b  f ( x)  kx  b  Điều kiện tiếp xúc: hệ  có nghiệm  b  f ( x)  k  Kết luận 9
Chú ý: + Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y  ax  b thì f ( x0 )  a 1  + Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y  ax  b thì f ( x0 )   a 3x  1 Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  biết tiếp x2 tuyến có hệ số góc bằng 7. Giải: 7 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có y  ( x  2) 2 7  x0  3 Theo đề bài ta có: y( x0 )  7   7  ( x0  2) 2  1   ( x0  2)  x0  1 2 + Với x0  3  y0  10 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M1 (3;10) là: y  7( x  3)  10  7 x  31 + Với x0  1  y0  4 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 2 (1;4) là: y  7( x  1)  4  7 x  3 1 Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  x 2  1 , biết 3 tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y   x  5 Giải: Gọi N ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có: y  x 2  2 x . Vì tiếp tuyến song song với d : y   x  5 nên 1 y ( x0 )  1  x0  2 x0  1  0  x0  1  y0   2 3 1 1 4 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm N (1; ) là: y  ( x  1)    x  3 3 3 Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  8 y  1  0 Giải: Gọi P( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Ta có: y  4 x 3  4 x . 10
1 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với d : x  8 y  1  0  y   x  nên 8 8 1 y( x0 )    y( x0 )  8  4 x0  4 x0  8  0  x0  1  y0  4 3 1  8 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm P (1;4) là: y  8( x  1)  4  8 x  4 Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A( xA ; y A )  (C) Cách 1:  Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, gọi  là tiếp tuyến  Phương trình  dạng: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0   đi qua A( x A ; y A ) ta có: y A  f ( x0 )( x A  x0 )  y0  x0  Tính y0 , f ( x0 )  Vậy phương trình tiép tuyến  là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0 Cách 2:  Gọi  là tiếp tuyến cần tìm.   đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k có phương trình dạng: y  k ( x  xA )  y A  f ( x)  k ( x  x A )  y A  Điều kiện tiếp xúc hệ  có nghiệm  k  f ( x)  k  Kết luận Ví dụ 8: Cho hàm số y  x 3  3x  1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1). Giải: Cách 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, gọi  là tiếp tuyến Ta có y   3x 2  3, y ( x0 )  3x02  3 Phương trình  dạng: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3x02  3)( x  x0 )  ( x03  3x0  1)  đi qua A(-2; -1) nên ta có:  1  (3x02  3)( 2  x0 )  ( x03  3x0  1) 11
 x0  1    x03  3x02  4  0  x0  1 x02  4 x0  4  0    x0  2 + Với x0  1  y0  1, y(1)  0 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M1 (1;1) là: y  1 + Với x0  2  y0  1, y(2)  9 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M 2 (2;1) là: y  9( x  2)  1  9 x  17 Cách 2: Gọi  là tiếp tuyến.  đi qua A(-2; -1) và có hệ số góc k là: y  k ( x  2)  1  kx  2k  1  x 3  3 x  1  kx  2k  1  tiếp xúc (C)   2 có nghiệm 3 x  3  k x  1 Thay (2) vào (1) ta được:  x 3  3x 2  4  0  x  1x 2  4 x  4  0    x  2 + Với x  1  k  0 . Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  1 + Với x0  2  k  9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  9( x  2)  1  9 x  17 Vấn đề 2: Các dạng bài tập về đồng biến, nghịch biến Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f (x)  Tìm tập xác định  Tính f (x) . Tìm các điểm xi (i  1;2;...; n) tại đó f (x) bằng 0 hoặc f (x) không xác định  Lập bảng biến thiên.  Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. Ví dụ 1: Xét tính đơn diệu của các hàm số sau: 1 x 1 a) y  x 3  2 x 2  3x  1 b) y  3 x 1 Giải: a) TXĐ: D = R 12
 x  1 y  x 2  4 x  3 , y  0  x 2  4 x  3  0    x  3 Bảng biến thiên: x  -3 -1  y + 0 - 0 + y -1  7   3 Hàm số đông biến trên (   ; -3), (-1;   ), nghịch biến trên (-3; -1) b) TXĐ: D  R \ 1 2 Ta có y   0, x  1 ( x  1) 2 Vậy hàm số đồng biên trên mỗi khoảng (   ; -1), (-1;   ) Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y  f ( x, m) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) Boài toán 1: Tìm m để hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) đồng biến hoặc nghịch biến trên miền xác định của nó.  TXĐ: D = R  Tính y  3ax 2  2bx  c a  0  + Hàm số đồng biến trên R  y   0, x  R     0 a  0 + Hàm số nghịch biến trên R  y   0, x  R     0 x3 Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y   (m  1) x 2  4 x  5 đồng biến trên miền xác 3 định của nó. Giải: TXĐ: D = R Ta có y  x 2  2(m  1) x  4 13
Hàm số đồng biến trên R  y   0, x  R    0 (vì a = 1 > 0 )  m  1  4  0  m  1  4  3  m  1 2 2 Bài tán 2: Tìm m để hàn số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( a; b).  TXĐ  Tính y   Lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên tìm m. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y   x 3  mx 2  m đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ). Giải: TXĐ: D = R x  0 Ta có y  3x  2mx , y  0  3x  2mx  0   2m 2 2 x   3 + TH1: m = 0 Ta có y  3x 2  0, x  R suy ra hàm số nghịch biến trên R Nên m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán. + TH2: m  0 Bảng biến thiên * m>0 x  0 2m  3 y - 0 + 0 - y 2m Hàm số đồng biến trên (1; 2)  2   3 m 3 14
* m
x  x1 x2  y - 0 + 0 - y Hàm số nghịch biến trên (;2)  2  x1  x2  1 1  1 1  1 1  m m m   6  m  6 m   6  m  6  6 6    29   3. y (2)  0  36m  29  0  m     2  2 m  1  36 S  2    3  2  m   2  29 1 1  m m (2) 36 6 6 29 Từ (1) và (2) ta có m   thỏa yêu cầu bài toán. 36 ax  b Bài toán 3: Tìm m để hàm số y  đồng biến hoặc nghịch biến trên từng cx  d khoảng xác định của nó.  TXĐ: D  R \   d  c ad  bc  Tính y  (cx  d ) 2  + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y   0, x  D  ad  bc  0, x  D  m  + Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y   0, x  D  ad  bc  0, x  D  m 2x  m 1 Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y  đồng biến trên từng khoảng xác định x2 của nó. Giải: 16
m3 TXĐ: D  R \ 2. Ta có y  ( x  2) 2 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y   0, x  2  m  3  0  m  3 . mx  m  1 Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y  nghịch biến trên từng khoảng xác x2 định của nó Giải: TXĐ: D  R \  2. + TH1: m = 0 1 1 Ta có y  , y    0, x  2 x2 ( x  2) 2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (;2), (2;) Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán. (1) + TH2: m  0 3m  1 Ta có y  ( x  2) 2 1 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  3m  1  0, x  2  m  (2) 3 1 Từ (1) và (2) ta có m  thỏa yêu cầu. 3 Vấn đề 3: Các dạng bài tập về cực trị Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Cách 1:  Tìm tập xác định.  Tính f (x) . Tìm các điểm tại đó f (x) bằng 0 hoặc f (x) không xác định.  Lập bảng biến thiên.  Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Cách 2: 17
 Tìm tập xác định.  Tính f (x) . Giải phương trình f ( x)  0 tìm các nghiệm xi (i  1;2;...; n) .  Tính f (x) và f ( xi ) .  Dựa vào dấu của f ( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi . Chú ý: Cách 1 dùng cho các hàm tính đạo hàm cấp hai phức tạp. Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số x2  2x  3 a) y  x 3  2 x 2  x  1 b) y  x 1 Giải: a) Cách 1: TXĐ: D = R x  1 Ta có y  3x 2  4 x  1 , y  0  3x 2  4 x  1  0   x  1  3 x  1 1  3 y + 0 - 0 + y  23  27  -1 1 23 Vậy hàm số đạt cực đại tại x  , yCĐ   3 27 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1, yCT  1 Cách 2: TXĐ: D = R x  1 Ta có y   3x  4 x  1 , y   0  3x  4 x  1  0   2 2 x  1  3 y   6 x  4 1 1 y (1)  6.1  4  2  0 , y ( )  6.  4  2  0 3 3 18
1 23 Vậy hàm số đạt cực đại tại x  , yCĐ   3 27 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1, yCT  1 b) TXĐ: D  R \ 1 x2  2x  5  x  1  6 Ta có y  , y  0  x 2  2 x  5  0   ( x  1) 2  x  1  6 Bảng biến thiên: x   1 6 1 1 6  y + 0 - || - 0 + y 42 6     || 42 6 Hàm số đạt cực đại tại x  1 6 , hàm số đạt cực tiểu tại x  1 6 Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số bậc 3 y  ax 3  bx 2  cx  d có một cực đại, một cực tiểu.  Tìm tập xác định  Tính y  Hàm số có một cực đại, một cực tiểu thì phương trình y   0 có hai a  0 nghiệm phân biệt   m  y   0 Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số bậc 3 y  ax 3  bx 2  cx  d không có cực trị.  Tìm tập xác định  Tính y 19
 Hàm số không có cực trị thì phương trình y   0 vô nghiệm hoặc có a  0 nghiệm kép   m  y  0 Chú ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm m để hàm số có cực trị mà hệ số a có chứa tham số thì phải xét hai trường hợp a  0 và a  0 1 Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y   x 3  2 x 2  (m  3) x  2m có cực đại và cực tiểu. 3 Giải: TXĐ: D = R Ta có: y   x 2  4 x  (m  3) Hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình  x 2  4 x  (m  3)  0 có hai nghiệm phân biệt    0  4  (m  3)  0  m  7 Vậy m < 7 1 1 Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  mx3  (m  1) x 2  3(m  2) x  có cực trị. 3 3 Giải: TXĐ: D = R 1 + TH1: m = 0: thì y  x 2  6 x  3 Ta có: y   2 x  6 , y   0  2 x  6  0  x  3 Bảng biến thiên: x  3  y - 0 + y   26  3 x = 3 là điểm cực tiểu vậy m = 0 thỏa yêu cầu. + TH2: m  0 Ta có y  mx2  2(m  1) x  3(m  2) 20