Sáng kiến kinh nghiệm: Hình thành tư duy – Kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT quốc gia

Chia sẻ: YYYY YYYY | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của nghiên cứu này nhằm trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số công thức giải nhanh phần cực trị của hàm số bậc ba giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Hình thành tư duy – Kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT quốc gia

SỞ SỞ GIÁO D ỤỤC VÀ ĐÀO T GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠẠO THANH HOÁ O THANH HOÁ TR ƯỜNG THPT NH TRƯỜ NG THPT NHƯƯ THANH II THANH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHI ỆM HÌNH THÀNH TƯ DUY – KỸ NĂNG GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM PHẦTÊN Đ N CỰC TR Ị CỦA HÀM SỐ BẬC BA Ề TÀI: CHO HỌ SỬ DỤNG TRÒ CH ƠC SINH TR ƯỜ I Ô CHỮ Ở MNG THPT ỘT SỐ TIẾT BÀI TẬP CỦA CHNH THANH II LUY ƯNG THU ƯƠ ỘC CHƯƠỆN THI THPT QU NG TRÌNH TIN HỐC GIA ỌC LỚP 10 NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP MÔN TIN HỌC HỌC SINH Người thực hiện: Mạc Lương Thao Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán học Người thực hiện: Nguy ễn Thị Hòng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tin Học 1
THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC Phần I: Đặt vấn đề ……………………………………………………………..1 Phần II: Giải quyết vấn đề.………………………………………………... …..2 I. Cơ sở của đề tài……... ………………………………………………………...2 1. Cơ sở lý luận………………………………………………………………..… 2 1.1 Khái niệm cực trị hàm số………………………………………………….....2 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số……………………………………... …………...2 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đại cực trị……………………….. ……………....2 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đại cực trị…………………………... …………....2 1.2 Cực trị của hàm số bậc ba………………………………………………........3 1.2.1 Điều kiện tồn tại cực trị………………………………………………... ….3 1.2.2 Kỹ năng tính nhanh…………..………………………………..…………..3 2. Thực trạng vấn đề ……………………………………………………….. …...4 2
II. Các dạng toán về cực trị của hàm số bậc ba thường gặp…………….. ………4 1 Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 ………………….. …….4 2 Biện luận theo m số cực trị của hàm số……………………………………. ….5 3 Tìm m để hàm số có hai cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước……………. …6 4 Áp dụng một số công thức giải nhanh……………………………………. ….12 4.1 Công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị……. ……….12 4.1.1 Công thức của TS Nguyễn Thái Sơn…………………………………..… 12 4.1.2 Công thức có được bằng cách chia y cho y’……………………………...13 4.2 Công thức tính độ dài hai điểm cực trị………………………………. …….14 5. Một số bài tậ p trắc nghiệm…………………………………………………..15 Phần III. Kết luận ………………………………..………………………...… 21 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….22 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 3
Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT. Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được trình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bày trong học kỳ I lớp 12. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐHCĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia. Chúng ta có thể kể đến một số ứng dụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số; cực trị hàm số… Phần ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba là một phần không quá khó với học sinh nếu không muốn nói là phần “lấy điểm” của học sinh. Tuy nhiên, việc giải quyết các bài toán cực trị hàm số bậc ba nhanh và hiệu quả là điều mà ít học sinh làm được nhất là trong bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm. Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dàn trải và học sinh thường mất thời gian khi giải bài tập phần này. Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Hình thành tư duy kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT Quốc Gia ” với mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số công thức giải nhanh phần cực trị của hàm số bậc ba giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi. 4
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở của đề tài. 1. Cơ sở lí luận. 1.1 Khái niệm cực trị hàm số 1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số [3] Cho f : D ﾡ và x0 D . a) x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng ( a; b ) sao cho x0 �( a; b ) �D . f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ( a; b ) \ { x0} b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng ( a; b ) sao cho x0 �( a; b ) �D . f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ( a; b ) \ { x0 } c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này: x0 f ( x0 ) ( x0 ; f ( x0 ) ) Điểm cực đại Giá trị cực đại (cực đại) Điểm cực đại của đồ thị hàm của f ( x) của f ( x) số f ( x) Điểm cực tiểu Giá trị cực tiểu (cực tiểu) Điểm cực tiểu của đồ thị của f ( x) của f ( x) hàm số f ( x) Điểm cực trị Cực trị của f ( x) Điểm cực trị của đồ thị hàm của f ( x) số f ( x) 1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị [6] Giả sử hàm f ( x) có đạo hàm tại x0 . Khi đó: nếu f ( x) đạt cực trị tại x0 thì f ' ( x0 ) = 0 . 1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị [6] a) Quy tắc 1 Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f ( x) đạt cực đại tại x0 ; 5
Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f ( x) đạt cực tiểu tại x0 . b) Quy tắc 2: f ' ( x0 ) = 0 f ( x) đạt cực đại tại x0 ; f " ( x0 ) < 0 f ' ( x0 ) = 0 f đạt cực tiểu tại x0 . f " ( x0 ) > 0 1.2 Cực trị của hàm số bậc ba [5] Xét hàm y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a 0 ). Đạo hàm: y ' = 3ax 2 + 2bx + c 1.2.1 Điều kiện tồn tại cực trị: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay ∆ ' = b 2 − 3ac > 0 . 1.2.2 Kỹ năng tính nhanh cực trị: Giả sử ∆ ' = b 2 − 3ac > 0 , khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt −b b 2 − 3ac và hàm số đạt cực trị tại x , x . x1,2 = 1 2 3a Thực hiện phép chia y cho y’ ta có: �1 b � 2 � b 2 � � bc � f ( x) = � x + �f '( x) + � c − �x + �d− � �3 9a � 3 � 3a � � 9a � Tức là f ( x) = q ( x). f '( x) + r ( x) 2 � b 2 � � bc � y1 = f ( x1 ) = � c − �x1 + �d− � f '( x1 ) = 0 � 3 � 3a � � 9a � Do nên f '( x2 ) = 0 2 � b 2 � � bc � y2 = f ( x2 ) = � c − �x2 + �d− � 3 � 3a � � 9a � Từ đó ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số là: 2 � b � � bc � 2 bc y= � c − �x + � d − �= ( 3ac − b 2 ) x + (d − ) 3 � 3a � � 9a � 9a 9a −2∆ ' � bc � = x+� d− � 9a � 9a � Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của hàm số. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: 6
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 AB = 2 ��−2 ∆ ' � bc � �� −2 ∆ ' � bc � �� ( x2 − x1 ) 2 = + �� x2 + �d− �� −� x1 + �d− �� 9a � 9a � � �9a � 9a � �� 2 �−2∆ ' � ( x2 − x1 ) 2 = +� ( x2 − x1 ) � �9 a � 2 2 �−2 b 2 − 3ac � �−2∆ ' −2 b 2 − 3ac � = � �+ � . � � 3 a � �9a 3 a � � � � � 4∆ ' 16 4 ( ∆ ') 3 = 2 + (3a) 9(3a) 4∆ ' 16 + 4 ( ∆ ') 3 Đặt k = 3a ta được AB = 2 k 9k 4∆ ' 16 + 4 ( ∆ ') với 3 Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB = 2 k 9k k = 3a là hệ số của x 2 trong phương trình y ' = 0 . Như vậy khi k là hằng số thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị ngắn nhất khi ∆ ' nhỏ nhất. 2. Thực trạng của vấn đề. Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán cực trị thường hay xuất hiện, với mục đích của nhà giáo dục dành cho những học sinh có học lực trung bình. Đối với trường THPT Như Thanh II là một trường miền núi, chất lượng đầu vào của học sinh còn rất thấp nên gần như học sinh mất nhiều thời gian trong việc định hướng cách làm hoặc trong quá trình làm thường mắc sai sót. Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm. II. Các dạng toán về cực trị của hàm số bậc ba thường gặp 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 Cach lam: ́ ̀ ́ ̣ 1. Tinh đao ham ̀ y’ y’ = 0. 7
̀ ̣ 2. Điêu kiên cân: Thay ̀ ̀ ương trinh x0 vao ph ́ ̣ ̉ m (nếu ̀ y’ = 0 gia tri cua co)́ ̣ ̉ ́ ợp xet dâu cua y’’: 3. Điêu kiên đu: Kêt h ̀ ́ ́ ̉  Nêu ́ ̣ ực tiêu tai ́ y’’(x0) > 0 thi ham sô đat c ̀ ̀ ̉ ̣ x0  Nêu ́ ̣ ực đai tai ́ y’’(x0) 0 (thoa man) ̉ ̃ Vây ̣ m = 1 ham sô co c ̀ ́ ́ ực tiêu tai ̉ ̣ x = 2. 1 Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃ Cho ham sô ̀ ́ y = x3 − mx 2 + ( m 2 − m + 1) x + 1 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham 3 ́ ̣ ực đai tai sô đat c ̣ ̣ x = 1 [3] Giaỉ Ta co: ́ y ' = x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 y ' = 0 � x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 = 0 (*) ̀ ̣ Điêu kiên cân: thay ̀ x = 1 vao (*) ̀ m 2 − 3m + 2 = 0 (m = 1 hoăc ̣ m = 2) ̣ Điêu kiên đu: ̀ ̉ y '' = 2 x − 2m  Vơi ́ m = 2 y '' = 2 x − 4 y ''(1) = −2 < 0 ( thoa man) ̉ ̃ ́ m = 1 y '' = 2 x − 4 ( không xet đ  Vơi ́ ược dâu) ́ Nhưng khi đo:́ y ' = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 0 (∀x) ham sô luôn đông biên 2 ̀ ́ ̀ ́ ́ ực tri. Hay nên ko co c ̣ m = 1 không thoa man.̉ ̃ ̣ m = 2 ham sô co c Vây ̀ ́ ́ ực đai tai ̣ ̣ x = 1. 2. Biện luận theo m số cực trị của hàm số ́ ực tri cua ham sô phu thuôc vao sô nghiêm cua ph Sô c ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ y’ = 0 Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃ Cho ham sô ̀ ́ y = x3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham số ̣ ực tri. không đat c ̣ [3] 8
Giaỉ Ta co: ́ y ' = 3x − 6mx + m − 1 2 y ' = 0 � 3 x 2 − 6mx + m − 1 = 0 (*) Ham sô không đat c ̀ ́ ̣ ực tri khi: ̣ 0 3m 2 − m + 1 �0 (vô lý) ∆ ' = 9m 2 − 3m + 3 �� ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̉ m đê ham sô không đat c Vây không co gia tri nao cua ̉ ̀ ́ ̣ ực tri.̣ Vi du mâu 2: ́ ̣ ́ y = mx3 + (m − 1) x + 2 . Tim ̃ Cho ham sô ̀ ̉ ̀ ̣ ̀ m đê ham sô không đat ́ cực tri. ̣ [3] Giaỉ + Nếu m = 0 hàm số trở thành y = − x + 2 là PT đường thẳng nên không có cực trị hay m = 0 thỏa mãn. + Nêu ́ y ' = 3mx 2 + m − 1 ́ m 0 . Ta co: 1− m y ' = 0 � 3mx 2 + m − 1 = 0 � x 2 = 3m 1− m m 1 ̣ ực tri khi: Ham sô không đat c ̀ ́ ̣ 0 3m m0 ̣ ̃ ̀ ̣ ̣ ̉ 2) Goi ro rang toa đô 2 điêm cực tri: ̣ A, B ( nêu cac nghiêm ́ ́ ̣ x1 va ̀x2 ̣ ̣ gon – đep) ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ A, B theo x1; x2 nêu nghiêm qua xâu không nên tinh ra. Hoăc biêu thi toa đô ́ ̣ ́ ́ ́ 3) Sử dung cac tinh chât quen thuôc x ̣ ́ ́ ́ ̣ ử ly yêu câu đê bai. ́ ̀ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̉ 4) Kêt luân gia tri m thoa man. ̃ 9
Chu y: ́ ́ Nêu biêu thi toa đô ́ ̉ ̣ ̣ ̣ A, B theo x1 va ̀x2 do nghiêm xâu sau la phai dung hê ̣ ́ ̀ ̉ ̀ ̣ thưc Viet. ́ ́ Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃ THPT Quôc Gia 2016 ́ Tim m đê ham sô ̀ ̉ ̀ ́ f ( x) = x3 − 3 x 2 + mx − 1 co hai điêm ć ̉ ực tri. Goi ̣ ̣ x1 va ̀x2 là hoanh đô hai điêm c ̀ ̣ ̉ ực tri tim ̣ ̀ m đê ̉ x12 + x22 = 3 . Giaỉ Ta có : f '( x) = 3x − 6 x + m 2 f '( x) = 0 � 3 x 2 − 6 x + m = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 phân biêt ̣ ĐK : ∆ ' > 0 � 9 − 3m > 0 � m < 3 (**) b x1 + x2 = − = 2 a ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ c m x1.x2 = = a 3 2m 3 Theo bài ra ta có : x12 + x22 = 3 � ( x1 + x2 ) − 2 x1x2 = 3 � 4 − 2 =3� m= 3 2 3 Kêt h ́ ợp điêu kiên (**) ̀ ̣ m = thoa man đê bai ra. ̉ ̃ ̀ ̀ 2 Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃ Tim m đê ham sô ̀ ̉ ̀ ́ f ( x) = x3 − 3 x 2 + mx − 1 co hai điêm ć ̉ ực tri. Goi ̣ ̣ x1 va ̀x2 là hoanh đô hai điêm c ̀ ̣ ̉ ực tri tim ̣ ̀ m đê ̉ x1 va ̀x2 la đô dai hai canh goc vuông cua ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ̣ môt tam giac vuông co canh huyên băng . ́ ́ ̣ ̀ ̀ [2] Giaỉ Ta co : ́ f '( x) = 3x − 6 x + m 2 f '( x) = 0 � 3 x 2 − 6 x + m = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 phân biêt : ̣ ĐK : ∆ ' > 0 � 9 − 3m > 0 � m < 3 (**) b x1 + x2 = − = 2 a ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ c m x1.x2 = = a 3  Đê ̉ x1 va ̀x2 la đô dai hai canh goc vuông cua môt tam giac thi: ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ̣ ́ ̀ x1 + x2 > 0 � m > 0 (***) x1.x2 > 0 ̉ ́ ́ ̣  Đê tam giac vuông co canh huyên băng ̀ ̀ 3 thì: 10
2m 3 x12 + x22 = 3 � ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 3 � 4 − 2 =3� m= 3 2 3 ́ ợp điêu kiên (**) va (***) Kêt h ̀ ̣ ̀ m = ̉ thoa man đê bai ra. ̃ ̀ ̀ 2 Vi du mâu 3: ́ ̣ ̃ KD – 2012 2 2 Cho ham sô :̀ ́ y = x 3 − mx 2 − 2(3m 2 − 1) x + . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham sô co hai điêm ́ ́ ̉ 3 3 cực tri ̣ x1 va ̀x2 sao cho: x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 . Giaỉ Ta có y ' = 2 x − 2mx − 2(3m − 1) 2 2 y ' = 0 � 2 x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1) = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 phân biêt : ̣ 2 m> 13 ĐK : ∆ ' > 0 � m + 4(3m − 1) > 0 � 13m − 4 > 0 � 2 2 2 (**) −2 m< 13 b x1 + x2 = − = m a ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ c x1.x2 = = 1 − 3m 2 a m=0 Theo bài ra ta có : x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 � 1 − 3m + 2m = 1 � 2 2 m= 3 2 Đối chiếu với (**) ta được m = thỏa mãn điều kiện đề bài. 3 Vi du mâu 4: ́ ̣ ̃ Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 − (2m − 1) x 2 + (2 − m) x + 2 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham sô co hai điêm ́ ́ ̉ cực tri ̣ x1 va ̀x2 va hoanh đô cac điêm c ̀ ̀ ̣ ́ ̉ ực tri d ̣ ương. [2] Giaỉ ́ y ' = 3x 2 − 2(2m − 1) x + 2 − m Ta co : y ' = 0 � 3 x 2 − 2(2m − 1) x + 2 − m = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 phân biêṭ m < −1 ĐK : V' > 0 � ( 2m − 1) − 3 ( 2 − m ) > 0 � 4m − m − 5 > 0 � 2 2 5 (**) m> 4 11
b 2(2m − 1) x1 + x2 = − = a 3 ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ c 2−m x1.x2 = = a 3 ̉ ̀ Đê ham sô co hai điêm c ́ ́ ̉ ực tri co ̣ ́hoanh đô d ̀ ̣ ương : 2(2m − 1) >0 1 x1 + x2 > 0 � 3 � m> 1 � �� 2 � 0 � 2 m
Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (m 2 − 3m + 2) x + 4 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham sô co hai ́ ́ ̉ ực tri ̣ năm vê hai phia truc tung. điêm c ̀ ̀ ́ ̣ Giaỉ ́ y ' = 3x 2 − 4( m + 1) x + m2 − 3m + 2 Ta co : y ' = 0 � 3 x 2 − 4(m + 1) x + m 2 − 3m + 2 = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 ̣ phân biêt : −17 − 3 33 m< 2 ∆ ' > 0 � 4( m + 1) 2 − 3(m 2 − 3m + 2) > 0 � m 2 + 17 m − 2 > 0 � −17 + 3 33 m> 2 (**) ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ b 4(m + 1) x1 + x2 = − = a 3 c m − 3m + 2 2 x1.x2 = = a 3 Đê c̉ ực tri năm vê hai phia truc tung chúng ta quan sat hinh anh cua đô thi bâc 3 ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ̉ ̀ ̣ ̣ sau : ̉ ực tri n Đê c ̣ ằm vê hai phia truc tung thi chi c ̀ ́ ̣ ̀ ̉ ần : x1 x2 < 0 � m − 3m + 2 < 0 � 1 < m < 2 2 ́ ợp điêu kiên (**) Kêt h ̀ ̣ 1< m < 2 Vi du mâu 7: ́ ̣ ̃ 13
Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (m 2 − 3m + 2) x + 4 . Tim m đê ham sô co hai ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ năm cung phia so v điêm c ̀ ̀ ́ ơi truc tung. ́ ̣ [6] Giaỉ Ta co : ́ y ' = 3x 2 − 4( m + 1) x + m2 − 3m + 2 y ' = 0 � 3 x 2 − 4(m + 1) x + m 2 − 3m + 2 = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 phân biêt : ̣ ∆ ' > 0 � 4( m + 1) 2 − 3(m 2 − 3m + 2) > 0 � m 2 + 17 m − 2 > 0 −17 − 3 33 m< 2 (**) −17 + 3 33 m> 2 b 4(m + 1) x1 + x2 = − = a 3 ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ c m − 3m + 2 2 x1.x2 = = a 3 ̉ ực tri năm cung phia so v Đê 2 c ̣ ̀ ̀ ́ ơi truc tung chúng ta quan sat 1 hinh anh cua đô ́ ̣ ́ ̀ ̉ ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ́ ược anh nay bên trai Oy): thi bâc 3 sau (hoăc con 1 anh đôi ng ̀ ̉ ̀ ́ Để 2 cực trị năm ̀ phiá so vơí truc̣ tung thì ̀ cung m>2 x1 x2 > 0 � m 2 − 3m + 2 > 0 � m
−17 − 3 33 m< ́ ợp điêu kiên (**) ta đ Kêt h ̀ ̣ ược 2 m>2 Vi du mâu 8: ́ ̣ ̃ Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 − 3x 2 + mx − 1 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham sô co hai điêm c ́ ́ ̉ ực tri ̣ năm ̀ khac phia đ ́ ́ ường thăng ( ̉ d): x = 1. Giaỉ Ta co : ́ y ' = 3x − 6 x + m 2 y ' = 0 � 3 x 2 − 6 x + m = 0 (*) ̉ ̀ Đê ham sô co 2 điêm c ́ ́ ̉ ực tri thi ph ̣ ̀ ương trinh (*) co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ x1 va ̀x2 phân biêt : ̣ ∆ ' > 0 � 9 − 3m > 0 � m < 3 (**) b x1 + x2 = − = 2 a ̣ Theo đinh ly viet: ́ ́ c m x1.x2 = = a 3 Ta co : ( ̉ ̀ ́ d): x = 1 x – 1 = 0. Đê ham sô co hai điêm c ́ ́ ̉ ực tri ̣ năm khac phia ̀ ́ ́ đương thăng ( ̀ ̉ d) thì m ( x1 − 1) ( x2 − 1) < 0 � x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1 < 0 � − 1 < 0 � m < 3 2 Kêt h ́ ợp điêu kiên (**) ta đ ̀ ̣ ược m 0 (**) ̣ ̣ Goi toa đô : ( ) ̣ B − m ;2m m + 1 C ( m ;2m m + 1) uuur AB ( − m ;2m m + 1) Suy ra: uuur AC ( m ;2m m + 1) ̉ Đê tam giac ̣ A nên AB = AC hay: ́ ABC cân tai 15
(− ) 2 m − 2 + (2m m − 2) 2 = ( m − 2) 2 + ( −2m m − 2) 2 m=0 � 16m m − 8 m = 0 � 1 m= 2 1 ́ ợp điêu kiên (**) ta đ Kêt h ̀ ̣ ược m = . 2 4. Áp dụng một số công thức giải nhanh 4.1 Công thức phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị 4.1.1 Công thức của TS Nguyễn Thái Sơn [4] ̣ Goi ph ương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri la: ̣ ̀ y = Ax + B thì y '. y '' A, B được xac đinh nh ́ ̣ ư sau: Ax + B = y − 18a Vi du mâu 1: ́ ̣ ́ ương trinh đ ̃ viêt ph ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri cua ham ̣ ̉ ̀ ́ y = x − x + 3x + 1 sô: 3 2 Giải ́ ̣ Ap dung công th ưc hoc nhanh: ́ ̣ Ax + B = ( x − x + 3x + 1) 3 2 − ( 3x 2 − 2 x + 3) ( 6 x − 2 ) 18 4 ̀ ̉ Thay x = 0 vao đăng thưc ta đ ́ ược: B = 3 ̀ ̣ ̉ Thay x = 1 vao lai đăng thưc trên ta lai đ ́ ̣ ược: 28 28 16 A+ B = � A= −B= 9 9 9 16 4 ̣ Vây phương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̣ ̃ ̀ y= ̉ ực tri se la: x+ 9 3 Vi du mâu 2: ́ ̣ ́ ương trinh đ ̃ viêt ph ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri cua ham ̣ ̉ ̀ ́ y = 2 x + 3x + 5 sô: 3 Giải ́ ̣ Ap dung công th ưc hoc nhanh: ́ ̣ Ax + B = ( 2 x + 3 x + 5 ) 3 − ( 6x 2 + 3) .12 x 36 ̀ ̉ Thay x = 0 vao đăng thưc ta đ ́ ược: B = 5 16
̀ ̣ ̉ Thay x = 1 vao lai đăng th ̣ ược: A + B = 7 � A = 7 − B = 2 ưc trên ta lai đ ́ ̣ Vây phương trinh đ ̀ ường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̣ ̃ ̀ y = 2x + 5 ̉ ực tri se la: 4.1.2 Công thức có được bằng cách chia y cho y’ −2 ∆ ' � bc � y= x+�d− � 9a � 9a � Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃ Cho ham sô :̀ ́ y = x3 − 3x 2 − mx + 2 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham sô co hai ́ ́ ̉ điêm c ực tri ̣ A, B sao cho đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri song song v ̣ ơí đương thăng d: ̀ ̉ y = −4 x + 5 . [1] Giải: Ta có y ' = 3x − 6 x − m (*) 2 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ĐK: ∆ ' > 0 � 9 + 3m > 0 � m > −3 Ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là −2∆ ' −2 k= = ( 9 + 3m ) 9a 9 Do đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri song song v ̣ ơi đ ́ ường thăng d: ̉ −2 y = −4 x + 5 nên ( 9 + 3m ) = 4 � m = 3 (tm) 9 Vậy m = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃ Cho ham sô :̀ ́ y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 . Tim ̉ ̀ ̀ m đê ham sô co hai ́ ́ điêm c̉ ực tri ̣ A, B sao cho đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri vuông goc v ̣ ́ ơí 3 đương thăng d: ̀ ̉ y = x + 2017 . [1] 2 Giải: Ta có: y ' = 3x + 2mx + 7 (*) 2 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m > 21 ĐK: ∆ ' > 0 � m − 21 > 0 � 2 m < − 21 Ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là −2∆ ' −2 2 k= = ( m − 21) 9a 9 17
Do cho đường thăng đi qua hai điêm c ̉ ̉ ực tri vuông goc v ̣ ́ ơi đ ́ ường thăng ̉ 3 −2 −2 d: y = x + 2017 nên ( m 2 − 21) = � m 2 = 24 � m = � 24 (tm) 2 9 3 Vậy m = 24 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4.1.3 Công thức tính độ dài hai điểm cực trị 4∆ ' 16 ( ) 3 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB = + ∆ ' với k = 3a k 2 9k 4 là hệ số của x 2 trong phương trình y ' = 0 Khi k là hằng số thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị ngắn nhất khi ∆ ' nhỏ nhất. 1 Vi du mâu 1: ́ ̣ ̃ Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 − mx 2 − x + 1. Tim m đê ham sô co hai ̀ ̉ ̀ ́ ́ 3 ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai điêm c ̣ ̀ AB ngăn nhât. ́ ́ [2] Giải Ta có: y ' = x − 2mx − 1 ; ∆ ' = m 2 + 1 2 Ham sô co hai điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai ̣ ̀ AB ngăn nhât khi ́ ́ ∆ ' nhỏ nhất. ∆ 'min = 1 khi m = 0 Vậy với m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vi du mâu 2: ́ ̣ ̃ Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 + 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x + m3 + m 2 . Biêt́ ham sô luôn co hai điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ A, B vơi moi ́ ̣ m. Tính khoảng cách giũa hai điểm cực trị. Giải Ta có: y ' = 3x + 6( m + 1) x + 3m(m + 2) 2 ∆ ' = 9(m + 1) 2 − 9m(m + 2) = 9 4∆ ' 16 + 4 ( ∆ ') = 2 5 3 Áp dụng công thức: AB = 2 k 9k Vậy khoảng cách giũa hai điểm cực trị bằng 2 5 . 1 Vi du mâu 3: ́ ̣ ̃ Cho ham sô : ̀ ́ y = x3 − mx 2 − x + 1. Tim m đê ham sô co hai ̀ ̉ ̀ ́ ́ 3 ̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai điêm c ̣ ̀ AB = 2 15 . Giải: Ta có: y ' = x 2 − 2mx − 1 ; ∆ ' = m 2 + 1 18
̉ ực tri ̣ A, B sao cho đô dai Theo bài ra: ham sô co hai điêm c ̀ ́ ́ ̣ ̀ AB = 2 15 . 4∆ ' 16 + 4 ( ∆ ') ta được 3 Áp dụng công thức: AB = 2 k 9k 4∆ ' 16 16 + 4 ( ∆ ') = 2 15 � ( ∆ ') + 4∆ '− 60 = 0 3 3 AB = 2 k 9k 9 � ∆ ' = 3 � m 2 + 1 = 3 � m2 = 2 � m = � 2 Vậy với m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5. Một số bài tập trắc nghiệm ̀ ̣ ̉ ̀ ́ y = ax 3 + bx 2 + cx + d dang nh Câu 1: Đô thi cua ham sô ̣ ư trong hinh ve co hê ̀ ̃ ́ ̣ sô.́ A. a > 0 B. a < 0 C. a 0 D. a 0 ̀ ̣ ̉ ̀ ́ y = ax 3 + bx 2 + cx + d dang nh Câu 2: Đô thi cua ham sô ̣ ư trong hinh ve co hê ̀ ̃ ́ ̣ sô.́ 19
A. d = 0 B. d = 1 C. d = 3 D. d = 2 Câu 3: Đô thi cua ham sô dang nh ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ư trong hinh ve la môt trong bôn đô thi ham ̀ ̃ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ược liêt kê sô đ ̣ ở 4 phương an A, B, C, D. Đo la đô thi cua ham sô nao. ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ A. y = x3 − 3x 2 + 2 B. y = x3 C. y = − x3 + 3 x + 2 D. y = x3 + 3 x + 2 Câu 4: Đô thi cua ham sô dang nh ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ư trong hinh ve. Hoi ph ̀ ̃ ̉ ương trinh y = 4 co ̀ ́ ̣ bao nhiêu nghiêm. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20