Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai" được hoàn thành với mục tiêu nhằm nâng cao kĩ năng nghiên cứu và phân tích: Hỗ trợ học sinh trong việc thu thập thông tin, phân tích bài toán và đưa ra hướng trình bày; Rèn được các suy luận tư duy và trình bày bài từ đó định hướng để các em phân chia bài tập này thành các dạng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai

ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN HOÀI ĐỨC TRƯỜNG THCS DI TRẠCH HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN PHẠM VI ẢNH HƯỞNG VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG CẤP HUYỆN TÊN SÁNG KIẾN: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI ” Tên tác giả: Nguyễn Thu Dung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Di Trạch Năm học 2023 -2024
UBND HUYỆN HOÀI ĐỨC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS DI TRẠCH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Hoài Đức, ngày 20 tháng 04 năm 2024 BẢN MÔ TẢ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA SÁNG KIẾN Tên người viết sáng kiến: NGUYỄN THU DUNG . Đơn vị công tác: Trường THCS Di Trạch Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai” 1.Thực trạng: (1) Các khó khăn *Với giáo viên: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ra phương pháp, đường lối để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cho dù đó là học sinh khá, giỏi của bộ môn toán. *Với học sinh: Học sinh chưa hào hứng tham gia, chưa phát huy hết khả năng trong việc lập luận những ý tưởng của mình. Nhiều em còn rụt rè, thiếu tự tin trong việc trình bày bài. Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ra phương pháp, đường lối để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cho dù đó là học sinh khá, giỏi của bộ môn toán. (2) Lý do thực hiện sáng kiến Trong chương trình toán THCS, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức không phải là bài toán quá mới lạ, đó là một dạng cơ bản giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán, biến đổi biểu thức đại số và một số kĩ năng khác…dạng toán phát triển tư duy và thường xuyên có trong các đề thi nhằm phân loại học sinh. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ra phương pháp, đường lối để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cho dù đó là học sinh khá, giỏi của bộ môn toán. Vì vậy, tôi đã thực hiện nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai” với mong muốn các em sẽ hứng thú, tự tin, say mê bộ môn Toán, đồng thời rèn luyện khả năng tư duy logic, khả năng phân tích, tổng hợp…. mà đặc trưng bộ môn yêu cầu. 2. Nội dung sáng kiến *Nội dung và cách thức thực hiện -Bước 1: Chuẩn bị. Giáo viên:+ Lựa chọn nội dung phù hợp với chuyên đề + Chuẩn bị tài liệu, hướng dẫn, chuẩn bị các dạng bài phù hợp + Phân chia nhóm học sinh hợp lý, đảm bảo tính đa dạng và hỗ trợ lẫn nhau. Học sinh: + Tìm hiểu kiến thức liên quan đến chủ đề.
2 + Chuẩn bị các dụng cụ, tài liệu cần thiết cho dự án. -Bước 2: Giúp học sinh phân dạng bài toán, ở mỗi dạng hình thành cách giải. Giai đoạn khởi động: + GV giới thiệu mục tiêu, yêu cầu và hướng dẫn thực hiện. + Nội dung bài tập dự án của học sinh gồm 5 dạng: Dạng 1 : Biểu thức có dạng ax  b x  c 𝑎 Dạng 2: Biểu thức rút gọn có dạng: 𝐴 = với c, d cùng dấu. 𝑐 √ 𝑥+𝑑 𝑎 Dạng 3: Biểu thức rút gọn có dạng: A = (𝑏 ≠ 0) 𝑏𝑥+𝑐√ 𝑥+𝑑 𝑎√ 𝑥 Dạng 4: Biểu thức rút gọn có dạng: A = (với b, d cùng dấu) 𝑏𝑥+𝑐√ 𝑥+𝑑 𝑎𝑥+𝑏√ 𝑥+𝑐 Dạng 5: Biểu thức rút gọn có dạng: A = 𝑚√ 𝑥+𝑛 Giai đoạn thực hiện: + Học sinh thực hiện dự án theo kế hoạch đã đề ra. + Giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, hỗ trợ và giải đáp thắc mắc cho HS + Khuyến khích học sinh trao đổi, hợp tác và hỗ trợ lẫn nhau trong nhóm. Giai đoạn báo cáo: + Các nhóm học sinh trình bày dự án của mình trước lớp. + GV và học sinh cùng nhau đánh giá kết quả dự án dựa trên rubric đã đề ra. -Bước 3: Đánh giá, động viên, khen thưởng * Khả năng áp dụng, phổ biến rộng rãi của giải pháp: Sáng kiến này có thể áp dụng cho các môn học khác và các cấp học khác nhau. *Những hiệu quả nổi bật đạt được - Khảo sát 16 HSG trong đội tuyển Toán vào đầu học kì I năm học 2023 – 2024 Kết quả thu được như sau: Giải được Câu Số lượng Tỉ lệ % 1 8/16 50 2 5/16 31,25 3 1/16 6,25 - Cuối tháng 1/2024 làm bài khảo sát trên 16 HSG trong dội tuyển Toán: Kết quả thu được như sau:
3 Giải được Câu Số lượng Tỉ lệ % 1 16/16 100 2 13/16 81,25 3 11/16 68,75 3. Đánh giá phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến - Sáng kiến này có thể áp dụng cho các môn học khác và các cấp học khác nhau trong Đơn vị áp dụng và các các đơn vị trong khu vực. - Bản thân và đồng nghiệp không phải loay hoay tìm kiếm tài liệu mà chỉ cần nghiên cứu áp dụng, tìm cách bổ sung để hoàn thiện thành chuyên đề dùng trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 và cả trong quá trình ôn luyện thi vào lớp 10. - Đề tài có tính ứng dụng cao giúp ích rất nhiều trong công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN Hoài Đức, ngày 20 tháng 4 năm 2024 Người viết sáng kiến Nguyễn Thu Dung
UBND HUYỆN HOÀI ĐỨC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS DI TRẠCH Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Hoài Đức, ngày 20 tháng 4 năm 2024 BÁO CÁO TÓM TẮT Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai” I. Sơ lược lý lịch - Họ và tên: Nguyễn Thu Dung Giới tính: Nữ - Ngày, tháng, năm sinh: 21/06/1982 - Quê quán: Di Trạch, Hoài Đức, Hà Nội - Nơi thường trú: Tổ 13, Phú Diễn, Bắc Từ Liêm, Hà Nội - Đơn vị công tác: Trường THCS Di Trạch - Chức vụ hiện nay: Giáo viên - Trình độ chuyên môn, nghiệp vụ: Đại học - Số điện thoại liên hệ: 0914773373 II. Sáng kiến kinh nghiệm, cải tiến kỹ thuật, giải pháp công tác, đề tài nghiên cứu khoa học hoặc áp dụng công nghệ mới 1. Tên, lĩnh vực thực hiện sáng kiến đề nghị xem xét: Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3. Các thành viên tham gia nghiên cứu sáng kiến: Nguyễn Thu Dung 4. Thời gian thực hiện: Từ tháng 11 năm 2023 đến tháng 3 năm 2024 5. Mô tả sáng kiến: - Mục đích của giải pháp: + Mục đích của đề tài: Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai với một vài phương pháp mà trong sách giáo khoa không giới thiệu cụ thể, chi tiết với mong muốn các em sẽ phát triển được tư duy logic và khả năng tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho bản thân đồng thời, qua đây cũng mong muốn xây dựng được một chuyên đề về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức, làm cẩm nang tham khảo cho bản thân, cho học sinh và các đồng nghiệp. + Bài toán tìm cực trị đòi hỏi học sinh có khả năng vận dụng kiến thức cao, các em cần phải huy động nhiều kiến thức cũng như kĩ năng giải toán ở mức độ cao.
2 Thông qua giải bài tập này học sinh được củng cố khắc sâu nhiều đơn vị kiến thức và rèn luyện được nhiều kĩ năng phân tích, biến đổi, trình bày bài ... + Nâng cao kĩ năng nghiên cứu và phân tích: Hỗ trợ học sinh trong việc thu thập thông tin, phân tích bài toán và đưa ra hướng trình bày. + Rèn được các suy luận tư duy và trình bày bài từ đó định hướng để các em phân chia bài tập này thành các dạng. + Tạo hứng thú học tập cho học sinh để các em không sợ phức tạp, không sợ khó trước bài toán mới, từ đó tạo tâm lí hào hứng, tò mò muốn khám phá cách giải quyết trong bài toán mở rộng. Giải pháp 1: Củng cố lại các kiến thức liên quan. a. Mục tiêu của giải pháp Nhắc lại các kiến thức liên quan để tạo đà thuận lợi cho học sinh tiếp cận bài toán b. Nội dung và cách thức thực hiện * Bước 1: Chuẩn bị Giáo viên: + Lựa chọn nội dung phù hợp với chuyên đề + Chuẩn bị tài liệu, hướng dẫn, chuẩn bị các dạng bài phù hợp + Phân chia nhóm học sinh hợp lý, đảm bảo tính đa dạng và hỗ trợ lẫn nhau. Học sinh: + Tìm hiểu kiến thức liên quan đến chủ đề. + Chuẩn bị các dụng cụ, tài liệu cần thiết cho dự án. * Bước 2: Giúp học sinh phân dạng bài toán, ở mỗi dạng hình thành cách giải. Giai đoạn khởi động: + Giáo viên giới thiệu mục tiêu, yêu cầu và hướng dẫn thực hiện. + Nội dung bài tập dự án của học sinh gồm 5 dạng: Dạng 1 : Biểu thức có dạng ax  b x  c 𝑎 Dạng 2: Biểu thức rút gọn có dạng: 𝐴 = với c, d cùng dấu. 𝑐 √ 𝑥+𝑑 𝑎 Dạng 3: Biểu thức rút gọn có dạng: A = (𝑏 ≠ 0) 𝑏𝑥+𝑐√ 𝑥+𝑑 𝑎√ 𝑥 Dạng 4: Biểu thức rút gọn có dạng: A = (với b, d cùng dấu) 𝑏𝑥+𝑐√ 𝑥+𝑑 𝑎𝑥+𝑏√ 𝑥+𝑐 Dạng 5: Biểu thức rút gọn có dạng: A = 𝑚√ 𝑥+𝑛
3 Giai đoạn thực hiện: + Học sinh thực hiện dự án theo kế hoạch đã đề ra. + Giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, hỗ trợ và giải đáp thắc mắc cho học sinh. + Khuyến khích học sinh trao đổi, hợp tác và hỗ trợ lẫn nhau trong nhóm. Giai đoạn báo cáo: + Các nhóm học sinh trình bày dự án của mình trước lớp. + Giáo viên và học sinh cùng nhau đánh giá kết quả dự án dựa trên rubric đã đề ra. * Bước 3: Đánh giá, động viên, khen thưởng c. Điểm mới của giải pháp + Hướng dẫn từng bước sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về quá trình thực hiện dự án. Các bước cụ thể và rõ ràng sẽ giúp loại bỏ sự mơ hồ và tạo ra một hướng dẫn rõ ràng và dễ hiểu. + Phát triển kĩ năng quản lí thời gian: Bằng cách hướng dẫn từng bước, giáo viên có thể giúp học sinh hiểu rõ về thời gian cần thiết cho mỗi bước trong quá trình thực hiện dự án. Điều này giúp học sinh phát triển kỹ năng quản lý thời gian và làm việc hiệu quả hơn. + Tăng cường sự tự tin cho học sinh: Hướng dẫn từng bước sẽ giúp loại bỏ một phần lo lắng và sự bất an của học sinh khi họ phải tự thực hiện một bài tập. Họ sẽ cảm thấy tự tin hơn khi biết rằng họ có một kế hoạch cụ thể để làm theo. - Khả năng áp dụng, phổ biến rộng rãi của giải pháp: Sáng kiến này có thể áp dụng cho các môn học khác và các cấp học khác nhau. 6. Địa chỉ áp dụng sáng kiến: Trường THCS Di Trạch 7. Thời gian bắt đầu áp dụng sáng kiến: Từ tháng 11 năm 2023 đến tháng 3 năm 2024 8. Hiệu quả kinh tế, xã hội mà giải pháp mang lại: + Học sinh tự tin, chủ động, sáng tạo hơn: HS có cơ hội chuẩn bị mọi thứ từ việc lên kế hoạch, xác định mục tiêu cho đến tiến hành thực hiện. + Tư duy, nhận thức của học sinh được thúc đẩy: các em học sinh được tìm hiểu thông qua thực hành nên tích lũy nhiều kiến thức được đúc kết từ quá trình thực hành. + Bản thân và đồng nghiệp không phải loay hoay tìm kiếm tài liệu mà chỉ cần nghiên cứu áp dụng, tìm cách bổ sung để hoàn thiện thành chuyên đề dùng trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 và cả trong quá trình ôn luyện thi vào lớp 10.
4 + Đề tài có tính ứng dụng cao giúp ích rất nhiều trong công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. + Học sinh khá giỏi lớp 9 không còn tâm lí sợ khó, né tránh những bài toán tìm cực trị các em đã tự tin, mạnh dạn tiếp cận và tạo được sự thích thú đam mê học toán cho các em. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Người báo cáo Ký và ghi rõ họ tên, đóng dấu) (Ký và ghi rõ họ tên) Nguyễn Thu Dung
UỶ BAN NHÂN DÂN HUYỆN HOÀI ĐỨC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ DI TRẠCH ===*****=== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI ” Tên tác giả: Nguyễn Thu Dung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Di Trạch Năm học: 2023 – 2024
MỤC LỤC TT Nội dung Trang I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 1 Tính cấp thiết phải tiến hành sáng kiến 1 2 Mục tiêu của đề tài 1 3 Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1 II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2 1 Hiện trạng vấn đề 2 2 Giải pháp thực hiện sáng kiến để giải quyết vấn đề 3 2.1.Củng cố lại các kiến thức liên quan 3 2.2.Giúp HS phân dạng bài toán ở mỗi dạng hình 3 thành cách giải 2.3.Luyện tập 9 2.4.Bài tập tự luyện 12 3 Kết quả 13 4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với 14 bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 5 Tính khả thi 15 6 Thời gian thực hiện 15 7 Kinh phí thực hiện 15 III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 15 1 Kết luận 15 2 Khuyến nghị 16 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 17
1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Tính cấp thiết phải tiến hành sáng kiến. Trong chương trình toán THCS, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức không phải là bài toán quá mới lạ, đó là một dạng cơ bản giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tính toán, biến đổi biểu thức đại số và một số kĩ năng khác…dạng toán phát triển tư duy và thường xuyên có trong các đề thi nhằm phân loại học sinh. Vì vậy, không phải bài tập nào cũng đơn giản, học sinh có thể dễ dàng để giải, những bài tập nâng cao gây cho học sinh không ít khó 1ong cả về kĩ năng giải lẫn tâm lí sợ khó khi gặp những bài tập dạng này. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc tìm ra phương pháp, đường lối để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cho dù đó là học sinh khá, giỏi của bộ môn toán. Vì vậy, tôi đã thực hiện nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải một số bài toán cực trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai” với mong muốn các em sẽ hứng thú, tự tin, say mê bộ môn Toán, đồng thời rèn luyện khả năng tư duy logic, khả năng phân tích, tổng hợp…. Mà đặc trưng bộ môn yêu cầu. 2. Mục tiêu của đề tài. Mục đích của đề tài: Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9 giải được dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức với một vài phương pháp mà trong sách giáo khoa không giới thiệu cụ thể, chi tiết với mong muốn các em sẽ phát triển được tư duy logic và khả năng tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho bản thân đồng thời, qua đây cũng mong muốn xây dựng được một chuyên đề về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức, làm cẩm nang tham khảo cho bản thân, cho học sinh và các đồng nghiệp. 3. Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng là học sinh lớp 9 khá, giỏi của trường THCS Di Trạch. - Thời gian: Tôi đã nghiên cứu và thực hiện giảng dạy trong nhiều năm đặc biệt là trong năm học 2023- 2024.
2 - Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu các bài tập từ nhiều kênh thông tin như internet, sách tham khảo, các bài đã thi trong các đề thi..., tham khảo ý kiến đồng nghiệp, xây dựng cơ sở lý thuyết, khảo sát thực tế.. II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. 1. Hiện trạng vấn đề: - Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của HS khi giải toán như sau: + Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. + Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. + Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. + Những học sinh khá, giỏi cũng lười tìm tòi, đọc sách để tự nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và các em luôn có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán này. Khi trao đổi kinh nghiệm và phối hợp cùng các bạn đồng nghiệp khảo sát đội tuyển học sinh giỏi của trường (16 học sinh) vào đầu học kì I năm học 2023 – 2024 với đề bài như sau: Câu 1: (3đ) Cho số x là các số thực dương. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + x +1 Câu 2: (3 điểm) Cho số a là các số thực không âm. a 4 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức B = a 1 Câu 3: (4 điểm) Cho x  0. Tìm giá trị giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x y x 5 x 7 Kết quả thu được thông kê chi tiết từng bài là:
3 Giải được Câu Số lượng Tỉ lệ % 1 8/16 50 2 5/16 31,25 3 1/16 6,25 2. Giải pháp thực hiện sáng kiến để giải quyết vấn đề. Để hướng dẫn học sinh luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện những giải pháp sau. 2.1. Củng cố lại các kiến thức liên quan. Trước khi cho các em tiếp cận bài tập “Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức” giáo viên cần củng cố lại các kiến thức cần thiết có liên quan để tạo đà thuận lợi cho các em tiếp cận bài toán. Một trong những kiến thức cần củng cố là: - 7 hằng đẳng thức đắng nhớ (Đặc biệt là bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu hai biểu thức) - Các hằng đẳng thức mở rộng. - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức cho đa thức. - Quy đồng, rút gọn, cộng, trừ, nhân, chia các phân thức… Sau đó đặt vấn đề để mở rộng sang bài toán “Tìm cực trị của biểu thức chứa căn thức” để các em không sợ phức tạp, không sợ khó trước bài toán mới, từ đó tạo tâm lí hào hứng, tò mò muốn khám phá cách giải quyết trong bài toán mở rộng. 2.2. Giúp học sinh phân dạng bài toán, ở mỗi dạng hình thành cách giải. Trong toán học, nếu ở mỗi bài toán chúng ta phân chia được thành từng nhóm, từng loại hay còn gọi là phân dạng rồi từ đó hình thành quy tắc, kĩ năng giải cụ thể cho từng dạng thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Vì vậy tôi đưa ra một số ví dụ, từ đó định hướng để các em phân chia bài tập này thành các dạng sau: (Ở mỗi dạng tôi cho học sinh trình bày các ý tưởng để giải, sau đó tôi tổng hợp và hướng các em đến một quy tắc giải chung)
4 Dạng 1 : Biểu thức có dạng ax  b x  c */ Phương pháp giải: + Trường hợp a = 0 - Áp dụng tính chất: √A xác định thì √A ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi A = 0. + Trường hợp 𝑎 ≠ 0  Bước 1 : Biến đổi A về dạng: 𝐴 = [𝑓(𝑥)]2 + 𝑎 hoặc 𝐴 = 𝑏 − [𝑓(𝑥)]2  Bước 2 : Lập luận tìm ra GTLN hoặc GTNN của A.  Bước 3 : Lập bảng, tìm giá trị của 𝑥.  Bước 4 : Kết hợp với điều kiện đề bài, chọn giá trị thỏa mãn rồi kết luận. Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): a/ 𝑷 = √ 𝒙 + 𝟏𝟎 b/ 𝑷 = 𝟑√ 𝒙 − 𝟕 GV hướng dẫn +Hai biểu thức trên nằm trong trường hợp a = 0 của dạng 1. +Áp dụng tính chất: √𝐴 xác định thì √𝐴 ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi 𝐴 = 0. Bài giải a/ 𝑃 = √ 𝑥 + 10 √ 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ≥ 0 ⇒ √ 𝑥 + 10 ≥ 10, ∀𝑥 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi x = 0. Vậy 𝑃min = 10 ⇔ 𝑥 = 0 b/ 𝑃 = 3√ 𝑥 − 7 √ 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ≥ 0 ⇒ 3√ 𝑥 − 7 ≥ −7, ∀𝑥 ≥ 0 Vậy Pmin = −7 ⇔ x = 0 Ví dụ 2: Tìm GTNN của A = 𝒙 − √ 𝒙. GV hướng dẫn  Hai biểu thức trên nằm trong trường hợp a  0 của dạng 1.  Vận dụng 4 bước giải như trên. Bài giải
5 1 1 1 Ta có : A =𝑥 − √ 𝑥 = (𝑥 − 2. √ 𝑥 + ) − 2 4 4 1 2 1 = (√ 𝑥 − ) − 2 4 1 2 1 Vì (√ 𝑥 − ) ≥ 0 ∀𝑥 ⇒ 𝐴 ≥ − 2 4 1 1 Dấu “ =” xảy ra ⇔ √ 𝑥 = ⇔ 𝑥 = . 2 4 1 1 Vậy Amin = − ⇔ 𝑥 = . 4 4 Ví dụ 3: Tìm GTLN của 𝑩 = −𝒙 + 𝟐√ 𝒙 + 𝟑 với 𝒙 ≥ 𝟎. GV hướng dẫn  Hai biểu thức trên nằm trong trường hợp a  0 của dạng 1.  Vận dụng 4 bước giải như trên. Bài giải 2 𝐵 = −𝑥 + 2√ 𝑥 + 3 = −(√ 𝑥 − 1) + 4 2 2 Vì (√x − 1) ≥ 0, ∀x ≥ 0 ⇔ −(√x − 1) ≤ 0, ∀x ≥ 0 2 ⇔ −(√x − 1) + 4 ≤ 4, ∀x ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔ √x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy Bmax = 4 ⇔ x = 1. 𝑎 Dạng 2 : Biểu thức rút gọn có dạng: 𝐴 = với c, d cùng dấu. 𝑐√ 𝑥+𝑑 Phương pháp giải : 1 1  Nếu c, d mang dấu dương thì 𝑐√ 𝑥 + 𝑑 ≥ 𝑑, ∀𝑥 ≥ 0 ⇒ ≤ . 𝑐√ 𝑥+𝑑 𝑑 Lúc này Amin hay Amax tùy thuộc vào dấu của tử số a.  Nếu c, d mang dấu âm thì đổi dấu cả tử và mẫu, đưa về trường hợp c, d mang dấu dương. −𝟑 *Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 𝟐√ 𝒙+𝟕 GV hướng dẫn  Áp dụng phương pháp giải trên với a0, d>0. Bài giải ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0
6 −3 −3 Ta có: 2√x + 7 ≥ 7, ∀x ≥ 0 ⇒ ≥ 2√x+7 7 Dấu “=” xảy ra khi √x = 0 ⇔ x = 0. −3 𝐴min = khi 𝑥 = 0. 7 √ 𝒙+𝟗 Ví dụ 2: Tìm GTLN của 𝑨 = . √ 𝒙+𝟒 GV hướng dẫn 𝑎 - Chia tử cho mẫu, tìm được phần nguyên và phân thức có dạng 𝑐√ 𝑥+𝑑 - Áp dụng phương pháp giải trên với a>0, c>0, d>0. Bài giải ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0 √ 𝑥+9 5 𝐴= =1+ . √ 𝑥+4 √ 𝑥+4 Ta có :√x ≥ 0 ∀x ≥ 0 ⇒ √x + 4 ≥ 4 ∀x ≥ 0 5 5 5 9 ⇒ ≤ ∀x ≥ 0 ⇒ 1 + ≤ ∀x ≥ 0 √x + 4 4 √x + 4 4 9 ⇒A≤ ∀x ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi x = 0. 4 9 Vậy Amax = ⇔ x = 0. 4 Nhận xét : 𝒂√ 𝒙 + 𝒃 Từ ví dụ 2, ta có thể tính GTLN hoặc GTNN của biểu thức dạng 𝒄√ 𝒙 + 𝒅 𝑎 Dạng 3 : Biểu thức rút gọn có dạng: A = (𝑏 ≠ 0) 𝑏𝑥+𝑐√ 𝑥+𝑑 Phương pháp giải :  Biến đổi mẫu như dạng 1 để tìm GTLN, GTNN của mẫu.  Tùy thuộc vào dấu của a ta tìm GTLN, GTNN 𝟐 Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức : A = −𝒙+𝟐√ 𝒙+𝟐 Bài giải −𝑥 + 2√ 𝑥 + 2 = −(𝑥 − 2√ 𝑥 + 1) + 3
7 2 = 3 − (√ 𝑥 − 1) ≤ 3, ∀𝑥 ≥ 0 1 1   x  0 3  ( x  1) 2 3 2 ⇒ 𝐴≥ Dấu”=” xảy ra ⇔ √ 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 1. 3 2 Vậy 𝐴min = khi 𝑥 = 1. 3 𝑎√ 𝑥 Dạng 4 : Biểu thức rút gọn có dạng: A = (với b, d cùng dấu) 𝑏𝑥+𝑐√ 𝑥+𝑑 Phương pháp giải : + Xét x = 0 ⇒ √x = 0. Thay vào biểu thức, tính được A = 0. + Xét x > 0 ⇒ √x > 0 a Chia cả tử và mẫu cho √x ta được A= d . b√x+ +c √x -Nếu b, d cùng dương: d + Áp dụng BĐT Cosi ta có: b√x + ≥ 2√bd, suy ra A ≥ m hoặc A  M √x với m, M ∈ ℝ. + So sánh m( hoặc M) với 0 để tìm GTNN hoặc GTLN. -Nếu b, d cùng âm: Đổi dấu cả tử và mẫu, đưa về trường hợp b, d cùng dương. 𝟐√ 𝒙 Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 𝒙+𝟒√ 𝒙+𝟗 Bài giải ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0. Xét x = 0 ⇒ √x = 0. Khi đó A = 0. (1) Xét x > 0 ⇒ √x > 0.Ta có: 2√x 2 2 2 1 A= = 9 ≤ = = x+4√x+9 √x+4+ x 2√9+4 10 5 √ 9 Dấu “=” xảy ra khi √x = ⇔ x = 9. (2) √x 1 Từ (1) và (2) suy ra Amax = ⇔ x = 9. 5 𝑎𝑥+𝑏√ 𝑥+𝑐 Dạng 5 : Biểu thức rút gọn có dạng: A = 𝑚√ 𝑥+𝑛
8 Phương pháp giải : • Lấy tử chia mẫu. • Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm. Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: 4 4 𝒙+𝟓√ 𝒙+𝟏𝟎 a / x 1  (𝐯ớ𝒊 𝒙 > 𝟏) b/ x  5 c/ x 1 x 2 √ 𝒙+𝟐 Bài giải √𝑥−1>0 a/ Vì 𝑥 > 1 ⇒ { 4 >0 √ 𝑥−1 4 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương √ 𝑥 − 1 và ta có: √ 𝑥−1 4 4 √x − 1 + √x−1 ≥ 2√(√x − 1) √x−1 4 ⇔ √x − 1 + ≥ 4. √x−1 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ √x − 1 = ⇔ √x − 1 = 2 do √x − 1 > 0 √x−1  x=9 ( thỏa mãn) Vậy GTNN của biểu thức là 4 khi x = 9. √𝑥+2>0 b/ ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0. Vì 𝑥 ≥ 0 ⇒ { 4 >0 √ 𝑥+2 4 4 Ta có: x  5  x 2 3 x 2 x 2 4 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương √ 𝑥 + 2 và ta có: √ 𝑥+2 x 2 4 x 2 2   x 2 . 4 x 2  x 2 4 x 2  4  x 2 4 x 2 3 7 4 Dấu “=” xảy ra  x  2   x  2  2 do x 20 x 2 ⇔ x = 0 (Thỏa mãn ). Vậy GTNN của biểu thức là 7 khi x = 0. c/ ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0.
9 𝑥 + 5√ 𝑥 + 10 4 4 = √𝑥+3+ =√𝑥+2+ +1 √𝑥+2 √𝑥+2 √𝑥+2 √x + 2 > 0 Vì √x ≥ 0 ⇒ { 4 . >0 √x+2 4 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương √ 𝑥 + 2 và ta có: √ 𝑥+2 4 4 √ 𝑥 + 2 + √ 𝑥+2 ≥ 2√(√ 𝑥 + 2). √ 𝑥+2 4 4 ⇔√𝑥+2+ ≥4⇔√𝑥+2+ +1≥5 √ 𝑥+2 √ 𝑥+2 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ √x + 2 = ⇔ √x + 2 = 2 ⇔ x = 0(TM ) √x+2 Vậy GTNN của biểu thức là 5 khi x = 0. 2.3. Luyện tập 𝟐√ 𝒙 √𝒙 𝟑𝒙+𝟑 𝟐√ 𝒙−𝟐 Bài 1: Cho biểu thức: 𝑷 = ( + − ):( − 𝟏) √ 𝒙+𝟑 √ 𝒙−𝟑 𝒙−𝟗 √ 𝒙−𝟑 a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài giải ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 9 2√ 𝑥 √𝑥 3𝑥 + 3 2√ 𝑥 − 2 𝑃=( + − ):( − 1) √𝑥+3 √𝑥−3 𝑥−9 √𝑥−3 2√ 𝑥(√ 𝑥 − 3) + √ 𝑥(√ 𝑥 + 3) − 3𝑥 − 3 2√ 𝑥 − 2 − √ 𝑥 + 3 =( ):( ) (√ 𝑥 + 3)(√ 𝑥 − 3) √𝑥−3 2𝑥 − 6√ 𝑥 + 𝑥 + 3√ 𝑥 − 3𝑥 − 3 √𝑥+1 =( ):( ) (√ 𝑥 + 3)(√ 𝑥 − 3) √𝑥−3 −3√ 𝑥−3 √ 𝑥+1 =( ):( ) (√ 𝑥+3)(√ 𝑥−3) √ 𝑥−3 −3(√ 𝑥+1) √ 𝑥−3 =( ).( ) (√ 𝑥+3)(√ 𝑥−3) √ 𝑥+1 −3 = √ 𝑥+3 −3 Vậy với 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 9 thì P = √ 𝑥+3 b/ Ta có:
10 √x + 3 ≥ 3 ∀x ≥ 0, x ≠ 9 1 1 ⇒ ≤ ⇒ P ≥ −1 ∀x ≥ 0, x ≠ 9. √x+3 3 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 (thỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Vậy Pmin = −1 ⇔ x = 0 𝒂 𝟐 +√ 𝒂 𝟐𝒂+√ 𝒂 Bài 2: Cho biểu thức: 𝑷 = − 𝒂−√ 𝒂+𝟏 √ 𝒂+𝟏 a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài giải a/ ĐKXĐ: 𝑎 ≥ 0. 2𝑎+√ 𝑎 P= √ 𝑎(√ 𝑎 + 1) − √ 𝑎+1 √a(a + 2√a + 1) − 2a − √a = √a + 1 𝑎 √ 𝑎 + 2𝑎 + √ 𝑎 − 2𝑎 − √ 𝑎 𝑎√ 𝑎 = = √𝑎+1 √𝑎+1 𝒂√ 𝒂 Vậy với 𝒂 ≥ 𝟎 thì 𝑷 = √ 𝒂+𝟏 𝑎√ 𝑎 b/ Ta có: 𝑃 = ≥ 0, ∀a ≥ 0 √ 𝑎+1 Dấu “=” xảy ra khi a = 0. Vậy Pmin = 0 ⇔ a = 0. 𝟏 𝟓 √ 𝒙−𝟐 Bài 3: Cho biểu thức: 𝑷 = − − √ 𝒙+𝟐 𝒙−√ 𝒙−𝟔 𝟑−√ 𝒙 a/ Rút gọn P b/Tìm giá trị lớn nhất của P Bài giải a/ ĐKXĐ: 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 9 1 5 √𝑥−2 𝑃= − − √𝑥+2 𝑥−√𝑥−6 3−√𝑥