1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Truy ngược hàm trong bài toán ứng dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số vẫn
đang mang tính thời sự trong đề thi THPTQG những năm gần đây, tuy nhiên nó cũng
không quá xa lạ đối với các em học sinh. Các trang mạng cũng như các nhóm giải
toán trên toàn quốc đã khai thác bài toán truy ngược hàm để khảo sát sự biến thiên
của hàm ẩn, cực trị, GTLN GTNN, tương giao …. Song trong quá trình giải toán,
cũng như theo sự hiểu biết hạn chế của bản thân thì tôi thấy rằng việc ứng dụng truy
ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn hầu như chưa được đề cập đến. Để góp phần nhỏ
vào sự đa dạng và phong phú các dạng toán hàm ẩn, trong quá trình giảng dạy,
nghiên cưú, bản thân đã tìm tòi và sáng tạo bài toán “ Dùng truy ngược hàm để
đọc đồ thị hàm ẩn”.
Bài toán đọc đồ thị hàm số: “Cho đồ thị hàm số
( )
y f x=
, yêu cầu tìm phương
trình hàm số
( )
y f x=
, hoặc kiểm tra dấu của các hệ số trong biểu thức
( )
fx
” thì
không còn xa lạ gì đối với học sinh. Tuy nhiên nếu đề bài không cho trực tiếp đồ thị
hàm số
( )
y f x=
mà lại cho đồ thị hàm số
( )
y f u x=

thì bài toán trở nên phức tạp
hơn nhiều. Thậm chí đề bài không chỉ dừng lại ở việc cho đồ thị hàm số
( )
y f u x=

mà đề bài có thể cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số
( )
'
y f u x=

, yêu cầu
kiểm tra các kết luận về các hệ số trong biểu thức
( ) ( )
y g x f v x==


. Lúc này bài
toán đọc đồ thị hàm số được phát triển cao hơn về mặt độ khó, và học sinh muốn
giải được dạng toán này thì phải có một nền tảng kiến thức về bài toán hàm ẩn, bài
toán truy ngược hàm, bài toán đọc đồ thị hàm số thông thường mà các em đã được
học, và phải vận dụng các kiến thức đó một cách linh hoạt logic.
Để giúp các em có được những hiểu biết mang tính hệ thống, học nắm vững,
chắc chắn các kiến thức về dạng toán mới lạ này, bản thân tôi đã mạnh dạn nghiên
cứu và viết SKKN “ Dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn”. Sáng kiến được
trình bày theo hướng phát triển (dạng toán sau được phát triển từ dạng toán trước);
phân dạng rõ ràng, logic từng dạng toán, từ đơn giản đến phức tạp; ở các dạng có
trình bày phân tích, phương pháp giải và các bài mẫu, sau đó là những bài tập tự
luyện có đáp án giúp các em học sinh tự luyện tập và khắc sâu kiến thức.
Đây là dạng toán mới lạ, hi vọng sẽ mang lại nhiều điều bất ngờ và thú vị cho
các em học sinh. Hiện tại sách giáo khoa hay các tài liệu chính thống vẫn chưa kịp
thời quan tâm và viết nhiều về vấn đề này. Do đó bản thân hi vọng đây sẽ là một
nguồn tài liệu bổ ích giúp các em học sinh tiếp cận dạng toán này một cách bài bản,
2
có tư duy logic, từ đó giải quyết các bài tập của dạng toán này ở mức độ cao hơn và
cũng là nguồn tài liệu hay cho các đồng nghiệp giáo viên tham khảo.
Tuy nhiên do tính thời sự của đề tài, với những hiểu biết hạn chế của bản thân
thì chắc chắn trong quá trình biên soạn không thể tránh những thiếu sót, kính mong
quý thầy cô giúp đỡ, đóng góp ý kiến để bản SKKN này được hoàn thiện hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Đối với giáo viên:
Đề tài giúp giáo viên trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ, tích lũy
kinh nghiệm, nắm bắt kịp thời những bài toán mới, dạng toán mới trong các kỳ thi
của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo mà cụ thể là bài toán “ Dùng truy ngược hàm để đọc
đồ thị hàm ẩn”.
2.2. Đối với học sinh:
Đề tài sẽ là một nguồn tài liệu bổ ích giúp các em học sinh có được những
hiểu biết mang tính hệ thống cho dạng toán “ Dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị
hàm ẩn” . Sau mỗi dạng hoặc sau mỗi bài là lời dẫn giúp học sinh hiểu sâu hơn về
từng dạng hoặc từng bài, giúp học sinh phân biệt được từng dạng để tránh nhầm lẫn;
giúp các em hiểu được bản chất của bài toán sau được phát triển từ bài toán trước
như thế nào, dạng toán sau được phát triển từ dạng toán trước như thế nào, từ đó
hình thành cho các em hệ thống kiến thức chắc chắn cho dạng toán “ Dùng truy
ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn”.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của SKKN bao gồm:
+ Tìm hiểu định hướng đổi mới phương pháp dạy học của nước ta.
+ Tổng quan về năng lực giải toán của học sinh THPT
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm minh họa và bước đầu kiểm nghiệm tính hiệu
quả và tính khả thi của những biện pháp được đề xuất.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu một số dạng toán
đọc đồ thị hàm ẩn mà phải dùng truy ngược hàm, đồng thời đưa ra lời giải cơ bản,
những lưu ý nhận xét quan trọng để học sinh phát hiện ra vấn đề, từ đó giúp học sinh
giải quyết tốt bài toán “ Dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn”.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau
a. Nghiên cứu lý luận :
3
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ... có liên quan đến nội dung đề
tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Tham khảo các đề minh họa thi THPT-QG của Bộ GD và đề thi thử của các
trường trên toàn Quốc.
b. Nghiên cứu thực tế :
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề
tài.
- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học.
6. Đóng góp mới của đề tài
“Dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn” là dạng toán mới lạ mà bản thân
đã tìm tòi sáng tạo trong quá trình giảng dạy cũng như giải toán. Hiện tại sách giáo
khoa hay các tài liệu chính thống vẫn chưa viết nhiều về vấn đề này. Thời gian qua,
trên các trang mạng cũng có những bài viết về dạng toán này, tuy nhiên đó vẫn là ít
ỏi những bài viết rời rạc, chưa có tính hệ thống. Đề tài cung cấp cho các em học sinh
nguồn tài liệu mới quan trọng, là hệ thống bài tập logic giúp các em có tư duy tốt
hơn cho bài toán hàm ẩn đặc biệt là bài toán dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm
ẩn.
Ngoài những điểm mới trọng tâm nêu trên, đề tài còn một số đóng góp khác:
- Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí là
không có định hình về lời giải trong việc đọc đồ thị hàm ẩn.
- Góp phần gây hứng thú học tập phần đồ thị hàm ẩn cho học sinh, một trong
các phần được coi là hóc búa, đòi hỏi tính tư duy cao.
- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then
chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần
nâng cao chất lượng dạy học.
Đề tài hi vọng rằng sẽ giúp các đồng nghiệp giáo viên đón đầu được những
nội dung mới, các em học sinh có thêm kiến thức mới quan trọng, phong phú thêm
hành trang chinh phục các đề thi trong các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia,
các kỳ thi đánh giá năng lực của các trường Đại học.
4
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
1.1. Cơ sở lý luận
Bài toán dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn chúng ta tiến hành 2 phần:
Phần truy ngược hàm và phần đọc đồ thị.
Đối với phần truy ngược hàm, đề bài có thể cho đồ thị hàm số
( )
y f u x=

(
), hoặc bảng biến thiên của hàm số
( )
y f u x=

(
( )
'
y f u x=

), ta cần
truy về hàm số
( )
y f x=
bởi các bước:
Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình
( )
'0fx=
.
Bước 2: Xét dấu của
( )
'
fx
trên một khoảng.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
.
Đối với phần đọc đồ thị hàm số, ta thực hiện theo quy trình sau:
5
1.2. Cơ sở thực tiễn
Dạng toán hàm ẩn trong chương 1 giải tích 12 (Ứng dụng khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số) là một dạng toán luôn luôn có trong đề thi THPTQG những năm gần đây ở
mức vận dụng và vận dụng cao. Đề thi THPTQG năm 2017 tạo ra sự bất ngờ và khó
khăn cho nhiều em học sinh vì sự mới lạ của dạng toán này. Càng ngày dạng toán
này càng tiến sâu và xa hơn về độ khó, và một bài toán mới của dạng toán hàm ẩn
đang mang tính rất thời sự trong thời gian gần đây, đó là bài toán truy ngược hàm.
Đối với dạng toán hàm ẩn trước đây, đề bài cho những vấn đề liên quan đến
hàm số
( )
y f x=
hoặc những vấn đề liên quan đến hàm số
( )
'
y f x=
và hỏi những
vấn đề liên quan đến hàm số
( )
y f v x=

. Tuy nhiên đề thi năm 2020 - 2021; 2021
- 2022 vừa qua dạng toán này đã không dừng lại ở đó mà tiến thêm một bước mới,
đó là đề bài lại cho những giả thiết về hàm số
( )
y f u x=

, buộc học sinh phải truy
ngược lại được những vấn đề liên quan đến hàm số
( )
y f x=
hoặc những vấn đề
liên quan đến hàm số
( )
'
y f x=
rồi mới giải quyết được yêu cầu bài toán.
Bài toán đọc đồ thị hàm số là bài toán khá quen thuộc đối với các em học sinh.
Và bài toán dùng truy ngược hàm để đọc đồ thị hàm ẩn là bài toán phải kết hợp
nhuần nhuyễn vừa kiến thức hàm ẩn, vừa kiến thức truy ngược hàm và vừa kiến
thức phần đọc đồ thị hàm số.
Để xác định được tính cấp thiết và tính khả thi của nội dung đề tài cũng như
các giải pháp, tôi đã tiến hành khảo sát đối với giáo viên và học sinh tại các
trường THPT trên địa bàn đơn vị công tác qua phần mềm Google Foms.
Link khảo sát: https://forms.gle/JPn4JP6dvbbXoz316
Kết quả cụ thể như sau: