Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm đề xuất một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 qua dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lĩnh vực: Toán THPT Nhóm tác giả: Đào Thị Thành- Võ Thị Hoài Tổ CM: Toán – Tin Yên Thành - 2023. Số điện thoại: 0368 811 500 - 0979 419 917
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài: ............................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu: ......................................................................................... 2 3. Phạm vi nghiên cứu: ........................................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2 6. Điểm mới của đề tài...............................................................................................2 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................. 3 Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. .......................................................................... 3 1. Cơ sở lý luận : .................................................................................................... 3 1.1. Năng lực giải quyết vấn đề .............................................................................. 3 1.2. Các mục tiêu cần đạt khi dạy học chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác .......... 5 2. Cơ sở thực tiễn. .................................................................................................. 7 Chương 2: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác ............................................................... 7 2.1. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ Toán học.................... ....7 2.1.1. Bài toán áp dụng định lý côsin ...................................................................... 7 2.1.2. Bài toán áp dụng định lý sin. ...................................................................... 13 2.1.3. Bài toán áp dụng công thức tính diện tích tam giác ..................................... 15 2.1.4. Bài toán giải tam giác ................................................................................. 19 2.1.5. Bài toán sử dụng hệ thức lượng chứng minh đẳng thức trong tam giác ....... 20 2.2. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề từ các bài toán có tính thực tiễn ........... 23 2.2.1. Bài toán đo chiều cao.................................................................................. 24 2.2.2. Bài toán đo tầm xa. ..................................................................................... 28 2.2.3. Bài toán đo khoảng cách giữa hai điểm ...................................................... 30 2.2.4. Bài toán xác định một số yếu tố khác.......................................................... 32 2.2.5. Thực hành đo đạc các sự vật trong thực tế qua hình ảnh cụ thể................... 36 2.2.6. Hoạt động trải nghiệm, thực hành đo đạc ngoài trời .................................. 38 Chương 3. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất .......... 40 Chương 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ................................................... 44 PHẦN III. KẾT LUẬN ........................................................................................ 47 1. Kết luận ............................................................................................................ 47 2. Kiến nghị và đề xuất ......................................................................................... 47
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÝ HIỆU Từ viết tắt/ kí hiệu Cụm từ đầy đủ THPT Trung học phổ thông GDPT Giáo dục phổ thông GV Giáo viên HS Học sinh GQVĐ Giải quyết vấn đề NLGQVĐ&ST Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Đối chứng ĐC Thực nghiệm TN
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài: Trong nhiều năm gần đây, Đảng và Nhà nước ta luôn luôn không ngừng quan tâm đến công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để đào tạo ra những con người phát triển toàn diện cả về đức, trí, thể, mĩ nhằm đáp ứng yêu cầu về nguồn lao động ngày càng cao của trong nước và thế giới. Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã đề ra mục tiêu: “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính cách năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt nam xã hội chủ nghĩa; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thông mới sẽ hình thành và phát triển cho học sinh 5 phẩm chất là yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm. Ngoài ra, chương trình cũng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi gồm: Những năng lực chung, được hình thành và phát triển từ tất cả các môn học và hoạt động giáo dục; Những năng lực chuyên môn, được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định. Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp. Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Một trong các năng lực chung quan trọng được nhà trường và giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển xuyên suốt trong chương trình giáo dục phổ thông đó là năng lực Giải quyết vấn đề và sáng tạo. Trong suốt quá trình đổi mới khi đưa ra những điều chỉnh về nội dung dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đưa ra yêu cầu: Chủ động rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa để tiếp nhận và vận dụng kiến thức mới thông qua giải quyết nhiệm vụ học tập đặt ra trong bài học. Từ đó, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từ việc giải quyết vấn đề trong nội bộ môn Toán, cho đến việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn… Với mục đích tạo ra những nguồn lao động chất lượng cao, có khả năng ứng xử linh hoạt và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo trong lao động và cuộc sống. Trong môn Toán lớp 10 của chương trình toán Phổ thông 2018, các bài toán về chủ đề hệ thức lượng trong tam giác là bài toán dành được sự quan tâm của giáo viên cũng như học sinh bởi tính hấp dẫn của nó. Các bài toán của chủ đề này tương đối đa dạng, phong phú, bao gồm cả bốn mức độ từ nhận biết, thông hiểu cho đến vận dụng và vận dụng cao. Và điều đặc biệt là khi học chủ đề này, học sinh có thể 1
vận dụng kiến thức và kỹ năng Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn. Để nâng cao năng tự giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10, chúng tôi đã xây dựng đề tài: “Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác.” 2. Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 qua dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác. 3. Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu qua thực tiễn dạy học chương trình Toán lớp 10 ở trường THPT của chúng tôi nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho các em. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài tập trung làm rõ một số vấn đề sau: - Nghiên cứu lý luận và xác định một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giảng dạy môn Toán lớp 10 chương trình 2018 - Trên cơ sở lý luận và một số biện pháp đã được xác định, chúng tôi đề xuất phương án nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh khối 10 qua dạy học chủ đề các hệ thức lượng trong tam giác. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về cơ sở pháp lý, các tài liệu giáo dục học, tâm lý học, các tạp chí, sách, báo, đặc san tham khảo có liên quan tới vấn đề nghiên cứu. - Điều tra quan sát: Điều tra, khảo sát thực tế đối với học sinh trong nhà trường; phỏng vấn giáo viên ở các trường THPT trong huyện. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm đề tài vào thực tiễn để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài cũng như tiếp tục bổ sung, hoàn thiện. - Phương pháp thống kê toán học. Sử dụng công cụ toán học thống kê, xử lí các số liệu điều tra và kết quả thực nghiệm 6. Điểm mới của đề tài Đề tài góp phần nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ năng lực giải quyết vấn đề trong nội bộ toán học, cho đến năng lực vận dụng kiến thức và kĩ năng toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn. 2
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. 1. Cơ sở lý luận : Một trong các năng lực chung quan trọng mà chương trình giáo dục phổ thông 2018 hướng tới, và luôn được nhà trường cũng như giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển xuyên suốt trong cả quá trình dạy học đó là năng lực Giải quyết vấn đề và sáng tạo. Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018, NLGQVĐ&ST trong dạy học được xác định là khả năng: Nhận ra ý tưởng mới; Phát hiện và làm rõ vấn đề; Hình thành và triển khai ý tưởng mới; Đề xuất, lựa chọn giải pháp; Thiết kế và tổ chức hoạt động; Tư duy độc lập.Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú trọng nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Đặc biệt là khả năng ứng dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề thực tiễn. Có thể nói chỉ khi có được khả năng nhận thức vấn đề, khả năng suy nghĩ phương án giải quyết vấn đề, khả năng thực hiện phướng án giải quyết thì lúc đó mới gọi là có năng lực giải quyết vấn đề. Thông qua việc giải quyết vấn đề, HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương pháp nhận thức. Vì vậy “giải quyết vấn đề” không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị trí hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội. 1.1. Năng lực giải quyết vấn đề. 1.1.1. Khái niệm năng lực giải quyết vấn đề Vấn đề nói chung là một câu hỏi mà chủ thể của vấn đề chưa có câu trả lời, một bài toán chưa có cách giải quyết, chưa có lời giải. Ở góc độ triết học, vấn đề chứa đựng mâu thuẫn giữa nhiệm vụ phải giải quyết và năng lực hiện thời của chủ thể. Giải quyết vấn đề chính là quá trình chủ thể giải quyết mâu thuẫn nói trên, tìm được câu trả lời cho câu hỏi hay bài toán đặt ra. Kết quả của giải quyết vấn đề là sản phẩm mới về vật chất, tinh thần. Đối với mỗi cá nhân, cuộc đời là một chuỗi các vấn đề, hạnh phúc của con người chính là giải quyết thành công các vấn đề của cá nhân trong mối liên hệ với công việc, với xã hội và với tự nhiên. Ở tuổi đi học, nhà trường cần hình thành cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề, để khi vào đời cá nhân có thể tự lực giải quyết các vấn đề của mình, lập thân lập nghiệp, sống hạnh phúc theo đúng nghĩa. Theo định nghĩa trong đánh giá PISA (2012): “Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng của một cá nhân hiểu và giải quyết tình huống có vấn đề khi mà giải pháp giải quyết chưa rõ ràng. Nó bao gồm sự sẵn sàng tham gia vào giải quyết tình huống vấn đề đó – thể hiện tiềm năng là công dân tích cực và xây dựng”. “Giải quyết vấn đề là hoạt động trí tuệ được coi là trình độ phức tạp và cao nhất về nhận thức, vì cần huy động tất cả các năng lực trí tuệ của cá nhân. Để giải quyết vấn đề, chủ thể phải huy động trí nhớ, tri giác, lý luận, khái niệm hóa, ngôn ngữ, đồng thời sử dụng cả cảm xúc, động cơ, niềm tin ở năng lực bản thân và khả năng kiểm soát 3
được tình thế” (Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, 2012, Xã hội học tập – học tập suốt đời). Từ những định nghĩa trên, chúng ta có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề của học sinh là khả năng của học sinh phối hợp vận dụng những kinh nghiệm bản thân, kiến thức, kĩ năng của các môn học trong chương trình trung học phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống của các em với thái độ tích cực. 1.1.2. Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề Giải quyết vấn đề là thiết lập và thực hiện những biện pháp thích ứng để hóa giải các khó khăn, trở ngại, giải đáp được câu hỏi hay bài toán đặt ra. Thông thường có 5 thành phần trong việc giải quyết vấn đề là:  Nhận diện vấn đề.  Tìm hiểu cặn kẽ vấn đề.  Đưa ra giải pháp.  Thực hiện giải pháp, thu nhận kết quả.  Thụ hưởng kết quả, đánh giá hiệu quả của giải pháp và của kết quả. Theo cách tiếp cận đó, cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề gồm các năng lực thành tố sau: 4
1.1.3. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề + Đối với học sinh: - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS hiểu và nắm chắc nội dung cơ bản của bài học. Học sinh có thể mở rộng và nâng cao những kiến thức xã hội của mình. - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS biết vận dụng những tri thức xã hội vào trong thực tiễn cuộc sống. - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS hình thành kỹ năng giao tiếp, tổ chức, khả năng tư duy, tinh thần hợp tác, hoà nhập cộng đồng. + Đối với giáo viên - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp GV có thể đánh giá một cách khá chính xác khả năng tiếp thu của HS và trình độ tư duy của họ, tạo điều kiện cho việc phân loại HS một cách chính xác. - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp cho GV có điều kiện trực tiếp uốn nắn những kiến thức sai lệch, không chuẩn xác, định hướng kiến thức cần thiết cho HS. - Giúp GV dễ dàng biết được năng lực nhận xét, đánh giá, khả năng vận dụng lý luận vào thực tiễn xã hội của HS. Từ đây định hướng phương pháp giáo dục tư tưởng học tập cho HS. 1.2. Các mục tiêu cần đạt khi dạy học chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác a. Về kiến thức: - Giải thích được hệ thức lượng cơ bản trong tam giác: định lí côsin, định lí sin, các công thức tính diện tích trong tam giác - Mô tả được cách giải tam giác và vận dụng được vào việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp,...). b. Về năng lực: Năng lực Yêu cầu cần đạt Năng lực đặc thù -Nghe hiểu, đọc hiểu, trình bày, diễn đạt được các nội dung Năng lực giao tiếp liên quan định lý cosin toán học -Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận các nội dung liên quan định lý cosin. 5
Năng lực tư duy và Học sinh so sánh, phân tích, lập luận để thiết lập Định lí lập luận toán học cosin Năng lực giải -Học sinh sử dụng định lí cosin để giải tam giác, giải quyết quyết vấn đề toán các bài toán thực tế. học - Thiết lập được mô hình Toán học ( bài toán giải tam giác). Năng lực mô hình - Giải quyết được vấn đề Toán học ( giải được tam giác). hóa toán học. - Trả lời bài toán thực tế. Năng lực sử dụng Học sinh sử dụng thước thẳng, thước đo góc để vẽ hình, sơ công cụ đồ, đo đạc. Năng lực chung Năng lực tự chủ và Tự giải quyết các bài tập trắc nghiệm và bài tập về nhà. tự học Năng lực giao tiếp Tương tác tích cực của các thành viên trong nhóm khi thực và hợp tác hiện nhiệm vụ hợp tác. c. Về phẩm chất: - Chăm chỉ tìm hiểu tài liệu, kiến thức về định lí cosin, ứng dụng của định lý cosin để giải quyết các bài toán trong thực tế, qua đó nhận thức được tầm quan trọng của toán học với Trách nhiệm đời sống. - Có ý thức hỗ trợ, hợp tác với các thành viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ. Có ý thức tôn trọng ý kiến của các thành viên trong nhóm Nhân ái khi hợp tác. 2. Cơ sở thực tiễn. Qua thực tế dạy học ở trường THPT, bản thân tôi nhận thấy năng lực giải quyết vấn đề của học sinh vẫn còn hạn chế, đặc biệt là năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn. Vì vậy hiệu quả của việc dạy học chưa cao. Đối với đa số học sinh, môn Toán là môn học khó, trong đó, phân môn Hình học lại càng không dễ đối với nhiều học sinh. Để nâng cao hiệu quả dạy học, thì giáo viên cần chú ý hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 6
Chương 2: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác. Nghiên cứu một số phương pháp nâng cao các năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác, qua đó đề xuất biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 2.1. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ Toán học 2.1.1. Bài toán áp dụng định lý côsin Kiến thức cơ bản : Định lí côsin Trong tam giác ABC với BC  a, AC  b và AB=c. Ta có a 2  b 2  c 2  2bc.cos A , b 2  c 2  a 2  2ca.cos B c 2  a 2  b 2  2ab.cos C Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có ̂ = và AB=5, AC=8. Tính độ dài cạnh BC. Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề ở đây là gì? - Bài toán đã cho những dữ liệu gì? - Cần huy động kiến thức nào để giải quyết bài toán? - Đã áp dụng trực tiếp kiến thức cơ bản để giải quyết chưa? Phân tích bài toán Bài toán cho biết 2 cạnh và 1 góc xen giữa của tam giác nên ta áp dụng trực tiếp định lý Cosin, tính được cạnh BC. Hướng dẫn giải: Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:  1 BC 2  AB 2  AC 2  2 AB  AC  cos120  5  8  2  5  8      129. 2 2  2 Vậy BC  129. 7
Nhận xét: Từ bài toán này HS biết cách áp dụng trực tiếp công thức để giải quyết bài toán, qua đó phát triển năng lực tính toán, giải quyết vấn đề đơn giản cho HS. Hướng phát triển: Nếu bài toán chỉ cho biết 2 cạnh và không cho biết góc xen giữa của tam giác thì ta tìm mối liên hệ giữa các góc bằng quan hệ góc bù nhau, đối nhau...như ví dụ sau: Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có ( ) và AB=5, AC=8. Tính độ dài cạnh BC. Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề ở đây là gì? - Cần huy động kiến thức nào để giải quyết bài toán? - Đã áp dụng trực tiếp kiến thức cơ bản để giải quyết chưa? - Nêu mối liên hệ giữa ( ) và cos A? Phân tích bài toán Bài toán chỉ cho biết 2 cạnh và cosin của tổng 2 góc mà không phải là góc xen giữa của tam giác nên ta chưa áp dụng trực tiếp định lý Cosin được. Do đó, ta tìm mối liên hệ giữa các góc bằng quan hệ góc bù nhau. Từ đó, tính được cạnh BC. Hướng dẫn giải: Vì trong tam giác ABC ta có B  C bù với góc ̂ nên ( ) ⇒ cos A= Lúc đó BC = √ =√ = 2√ Nhận xét: Từ bài toán này HS biết tư duy, tìm mối liên hệ giữa 2 góc bù nhau để giải quyết bài toán, qua đó phát triển năng lực tính toán, phân tích, lập luận, giải quyết vấn đề cho HS. Hướng phát triển: Từ công thức của định lý Côsin ta dễ thấy nếu biết 3 cạnh của tam giác thì ta sẽ tính được các góc của tam giác đó theo công thức sau 8
Ta phát triển thành bài toán sau: Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có các cạnh AB  6 , AC  5 , BC  9 . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MC=2MB. Tính độ dài đoạn thẳng AM. Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề ở đây là gì? - Bài toán đã cho những dữ liệu gì? Từ dữ liệu đó hãy tính cos B? - Với dữ liệu MC=2MB hãy xác định vị trí điểm M trên BC và tính BM? - Xét tam giác ABM, hãy tính AM? Hướng dẫn giải: Xét tam giác ABC, từ định lí côsin trong tam giác, ta có Vì MC=2MB Nên BM= 3 Xét tam giác ABM, áp dụng định lí côsin trong tam giác ABM, ta có: 23 43 129 AM 2  AB 2  BM 2  2 AB  BM  cos B  62  32  2.6  3   . Vậy AM  27 3 3 Nhận xét: Từ bài toán này HS biết huy động kiến thức cơ bản để tính côsin của 1 góc, biết tư duy để tính độ dài 1 cạnh bất kỳ trong tam giác khi biết điểm chia tỉ lệ, qua đó phát triển năng lực tính toán, phân tích, lập luận, giải quyết vấn đề cho HS. Hướng phát triển: Từ việc tính độ dài AM, với M là điểm chia tỉ lệ trên cạnh BC, ta có thể giải quyết bài toán điểm M nằm ở vị trí đặc biệt là trung điểm của BC. Từ đó, ta xây dựng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác thông qua bài toán sau. 9
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, biết a  21, b  17, c  10 Gọi ma là đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC . Tính độ dài ma Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề ở đây là gì? - Bài toán đã cho những dữ liệu gì? Từ dữ liệu đó hãy tính cos B? - Với ma là đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC, hãy tính ma Phân tích bài toán: Xét tam giác ABC, từ định lí côsin trong tam giác, ta có Xét tam giác ABM, ta tính cạnh AM theo định lý Cô sin trong tam giác ABM. Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xét tam giác ABC, từ định lí côsin trong tam giác, ta có Vì M là trung điểm BC nên BM = Xét tam giác ABM, áp dụng định lí côsin trong tam giác ABM, ta có: 21 2 21 3 337 AM 2  AB 2  BM 2  2 AB  BM  cos B , AM 2  102  ( )  2.10    . 2 2 5 4 337 Vậy AM  2 Từ đó GV cho HS chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến, HS có thể áp dụng trực tiếp để tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác b2  c2 a 2 ma  2  2 4 10
Hướng phát triển: Từ bài toán cho độ dài 3 cạnh tính độ dài đường trung tuyến của tam giác, ta có thể cho độ dài 2 cạnh và đường trung tuyến, tính cạnh còn lại của tam giác. Ta có bài toán sau: Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, biết a  5, b  4, c  3 .Gọi ma là đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC. Lấy D đối xứng của B qua C. Tính ma và AD. Hướng dẫn giải: a 5 Ta có a 2  b2  c 2  25 nên tam giác ABC vuông tại A. Do đó ma    2,5 2 2 AB 2  AD 2 BD 2 Tam giác ADB có AC là trung tuyến nên AC 2   2 4 Suy ra AD   4 AC  BD  2 AB    4.4  10  2.3   73 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 Vậy AD  8,5 . Một số bài toán phát triển: 1. Cho tam giác ABC có AB  5 , BC  8,CA  6 . Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng CG Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AB , ta có CM2 √ Suy ra: CG = CM = √ = 2. Cho hình bình hành có hai cạnh là 5 và 9 , một đường chéo bằng 11 . Tìm độ dài đường chéo còn lại. 11
Hướng dẫn giải: Gọi hình bình hành là ABCD , AD  5, AB  9 . Gọi  là góc đối diện với đường chéo có độ dài 11. Ta có: cos = ⇒  là góc tù ⇒ = ̂ ⇒ BD=11 ⇒AC2= AD2 + DC2-2.AD.DC.cos ADC= AD2+DC2+2.AD.DC.cos BAD (vì ̂ và ̂ bù nhau ⇒cos ̂ =-cos ̂ ) ⇒ ⇒ √ 3. Cho tam giác ABC, có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh AB=9 và ACB  60o . Tính cạnh BC. Hướng dẫn giải: Đặt BC  x, x  0 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Ta có MN  3  AC  6 . Theo định lí cô-sin ta có 1  AB 2  CA2  CB 2  2.CA.CB.cos C  81  36  x 2  12 x.  BC  x  3 1  6 2  4. Cho xOy  30 .Gọi A, B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox, Oy sao cho AB  2 . Độ dài lớn nhất của OB bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí cosin: 3 AB 2  OA2  OB 2  2OA.OB.cos 30  4  OA2  OB 2  2OA.OB. 2  OA2  3.OB.OA  OB 2  4  0 (*). Coi phương trình (*) là một phương trình bậc hai ẩn OA . Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB thì (*)  0  ( 3OB)2  4(OB2  4)  0  OB 2  16  OB  4 .Vậy max OB  4 . 12
Nhận xét: Các bài toán áp dụng định lý côsin chủ yếu xoay quanh các công thức trực tiếp để tính 1 cạnh khi biết 2 cạnh kề và góc xen giữa; công thức gián tiếp để tính 1 góc khi biết 3 cạnh của tam giác, tính độ dài đường trung tuyến khi biết 3 cạnh và 1 số bài toán phát triển dựa vào các mối liên hệ giữa các góc, cạnh trong tam giác. GV cần đưa ra các câu hỏi định hướng và các bài toán phát triển để HS biết huy động kiến thức cơ bản, biết tư duy để giải quyết vấn đề một cách tốt nhất. 2.1.2. Bài toán áp dụng định lý sin. Kiến thức cơ bản: Định lý sin Trong tam giác ABC với BC  a, AC  b, AB  c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. a b c Ta có    2R sin A sin B sin C Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có BC = 10; ̂  .Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề ở đây là gì? Cạnh và góc có mối liên hệ gì hay không? - Cần huy động kiến thức nào để giải quyết bài toán? - Đã áp dụng trực tiếp kiến thức cơ bản để giải quyết chưa? Phân tích bài toán: Bài toán cho biết 1 góc và 1 cạnh đối diện góc đó, nên ta áp dụng trực tiếp định lý sin trong tam giác ABC, từ đó tính được R. Hướng dẫn giải: a Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC. Ta có  2R sin A a 10 Suy ra R    10 2sin A 2.sin 30 Nhận xét: Bài toán yêu cầu tính bán kính đường tròn ngoại tiếp trong tam giác khi biết góc và cạnh đối diện, qua đó HS biết huy động công thức cơ bản để giải quyết vấn đề đặt ra. 13
Hướng phát triển: Từ bài toán trên, GV có thể cho HS phát triển tư duy và nâng cao năng lực giải quyết vấn đề bằng việc cho 2 góc, yêu cầu HS tính tỉ số giữa các cạnh qua ví dụ sau: Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có các góc ̂ , ̂  .Tính tỉ số . Câu hỏi định hướng - Để tính tỉ số ta cần xác định những yếu tố nào? - Cần huy động kiến thức nào để giải quyết bài toán? - Khi cho 2 góc, hãy tính góc còn lại? Từ đó tính tỉ số cần tìm? Hướng dẫn giải: ̂ ( ) √ Ta có : ̂ = ̂ ̂ Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có A  135 , C  15 và b=12. Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề là gì? - Bài toán đã cho những dữ liệu gì? - Hãy tính góc B ? Từ đó tính cạnh BC và R? Hướng dẫn giải: Ta có: B  180  ( A  C )  180  135  15   30 Áp dụng Định lí sin, ta có: a 12 c      2R sin135 sin 30 sin15 12 12 Suy ra a   sin135  12 2 và R  12 sin 30 2sin 30 Bài toán phát triển Cho tam giác ΔABC vuông cân tại A và điểm M trong tam giác sao cho MA =1, MB = 2 , MC = 2. Tính góc ̂ 14
Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề là gì? - Nhận xét gì về tam giác BMC? Tính góc ̂ ? - Áp dụng định lý sin, hãy tính góc ̂ ? - Từ mối liên hệ giữa các góc trong tam giác, hãy tính góc ̂ ? Nhận xét: Các bài toán áp dụng định lý sin chủ yếu xoay quanh các bài toán: tính 1 cạnh khi biết 2 cạnh và góc không xen giữa 2 cạnh đó; tính bán kính đường tròn ngoại tiếp trong tam giác khi biết 1 cạnh và 1 góc đối diện cạnh đó; và 1 số bài toán phát triển dựa vào các mối liên hệ giữa các góc, cạnh trong tam giác. GV cần đưa ra các câu hỏi định hướng và các bài toán phát triển để HS biết huy động kiến thức cơ bản, biết tư duy để giải quyết vấn đề một cách tốt nhất. 2.1.3. Bài toán áp dụng công thức tính diện tích tam giác Kiến thức cơ bản: Các công thức tính diện tích trong tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA,AB và R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ; p  a  b  c là nửa chu vi tam giác ; S là diện tích tam giác. 2 Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 S  aha  bhb  chc  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 2 2 2 abc   pr  p  p  a  p  b  p  c  4R Ví dụ 1. Tính diện tích S của tam giác ABC có c  4, b  6, A  150 Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề là gì? - Vấn đề đó đã áp dụng trực tiếp kiến thức cơ bản để giải quyết chưa? Hướng dẫn giải 1 1 Ta có: .S  bc sin A   6  4  sin150  6 2 2 Nhận xét: Bài toán cho 2 cạnh và 1 góc xen giữa nên HS dễ dàng áp dụng để tính diện tích tam giác, ta nâng dần mức độ bằng ví dụ sau: Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có a  13, b  14, c  15 a) Tính sinA. 15
b) Tính diện tích tam giác ABC bằng hai cách khác nhau. Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề là gì? - Vấn đề đó đã áp dụng trực tiếp kiến thức cơ bản để giải quyết chưa? - Nêu mối liên hệ giữa 3 cạnh và 1 góc bất kỳ trong tam giác? - Từ đó tính diện tích tam giác bằng 2 cách khác nhau? Hướng dẫn giải a) Áp dụng Định lí côsin, ta có: b 2  c 2  a 2 142  152  132 cos A    0, 6 2bc 420 Do đó sin A  1  cos 2 A  0,8 1 b) Ta có diện tích tam giác ABC là: S  bc sin A  84 2 Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai sau: a  b  c 13  14  15 Tam giác ABC có nửa chu vi là: .p    21 2 2 Khi đó S ABC  p( p  a)( p  b)( p  c)  21 (21  13)  (21  14)  (21  15)  21 8  7  6  84. Nhận xét: Bài toán cần huy động đến định lý côsin để tính góc, từ đó tính được diện tích tam giác, giúp HS tư duy để tính sinA. GV chú ý cho HS là trong 1 tam giác thì sinA luôn dương và từ đó tính được diện tích tam giác theo 2 cách khác nhau. Ta có thể phát triển tư duy cho HS bằng các bài toán ngược như cho diện tích tam giác và 2 cạnh, yêu cầu tính góc, tính chiều cao, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Qua đó phát triển năng lực tính toán, tư duy, phân tích, lập luận để giải quyết vấn đề. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, có A  60o , b  20, c  25 . a) Tính chiều cao ha . b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r Câu hỏi định hướng - Tình huống có vấn đề ở đây là gì? - Vấn đề đó đã áp dụng trực tiếp kiến thức cơ bản để giải quyết chưa? - Từ giả thiết hãy tính S? Mối liên hệ giữa S và ha 16
Hướng dẫn giải 1 1 3 a) Ta có S  bc sin A  .20.35.  175 3 2 2 2 1 Hơn nữa a 2  b2  c 2  2bc cos A  202  352  2.20.35.  925 2 Vậy a  925  30, 41 1 2S 350 3 Từ công thức S  aha  ha    19,94 2 a 925 a a 925 b) Từ công thức  2R  R    17,56 sin A 2sin A 3 abc Từ công thức S  pr với p  ta có 2 3 20.30. 2S bc sin A 2 r    7,10 abc abc 925  20  35 Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, có BC  12, CA  13 , trung tuyến AM  8 .Tính S ABC và cạnh AB . Câu hỏi định hướng - Bài toán đã cho những dự liệu gì? - Hãy tính S AMC ? - Mối liên hệ giữa S ABC và S AMC ? Hướng dẫn giải Theo hệ thức Heron ta có: 27  27   27   27  9 55 S AMC    13    6    8   2  2  2  2  4 9 55 Vì M là trung điểm BC nên S ABC  2 S AMC  2 b2  c 2 a 2 a2 Ta có AM 2    2 AM 2  b 2  c 2  2 4 2 a2 Suy ra AB 2  c 2  2 AM 2  b 2   2.64  196  72  31 Vậy AB  c  31 2 Nhận xét: 17