Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit" nhằm đề xuất một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Lĩnh vực: Toán THPT Nhóm tác giả: Đào Thị Thành- Võ Thị Hoài- Phan Hoàng Thạch Tổ CM: Toán – Tin Yên Thành - 2024. Số điện thoại: 0368 811 500 - 0979 419 917- 0977 100 284 1
SỞ GD-ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 2
MỤC LỤC Phần I Đặt vấn đề 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Điểm mới của Đề tài 3 Phần II Nội dung nghiên cứu 3 Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 3 1. Cơ sở lý luận 3 2. Cơ sở thực tiễn 6 Chương 2. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit. 7 2.1. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ các bài 7 toán trong nội bộ toán học. 2.2. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thông qua các bài toán 20 thực tiễn liên môn. 2.3. Khai thác một số bài toán vận dụng hàm số mũ, hàm số logarit 43 giúp học sinh ôn thi tốt các kỳ thi Đánh giá Năng lực, Đánh giá Tư duy. Chương 3. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải 49 pháp đề xuất Chương 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 53 Phần III Kết luận và kiến nghị 56 1. Kết luận 56 2. Kiến nghị và đề xuất 57 Tài liệu tham khảo 58 3
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÝ HIỆU Từ viết tắt/ kí hiệu Cụm từ đầy đủ THPT Trung học phổ thông GDPT Giáo dục phổ thông GV Giáo viên HS Học sinh GQVĐ Giải quyết vấn đề NLGQVĐ&ST Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ĐC Đối chứng TN Thực nghiệm 4
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài: Trong nhiều năm gần đây, Đảng và Nhà nước ta luôn luôn không ngừng quan tâm đến công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để đào tạo ra những con người phát triển toàn diện cả về đức, trí, thể, mĩ nhằm đáp ứng yêu cầu về nguồn lao động ngày càng cao của trong nước và thế giới. Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã đề ra mục tiêu: “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính cách năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt nam xã hội chủ nghĩa; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thông mới sẽ hình thành và phát triển cho học sinh 5 phẩm chất là yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm. Ngoài ra, chương trình cũng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi gồm: Những năng lực chung, được hình thành và phát triển từ tất cả các môn học và hoạt động giáo dục; Những năng lực chuyên môn, được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định. Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp. Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Một trong các năng lực chung quan trọng được nhà trường và giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển xuyên suốt trong chương trình giáo dục phổ thông đó là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Trong suốt quá trình đổi mới khi đưa ra những điều chỉnh về nội dung dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đưa ra yêu cầu: Chủ động rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa để tiếp nhận và vận dụng kiến thức mới thông qua giải quyết nhiệm vụ học tập đặt ra trong bài học. Từ đó, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từ việc giải quyết vấn đề trong nội bộ môn Toán, cho đến việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn, liên môn, hay bài toán về tài chính… Với mục đích tạo ra những nguồn lao động chất lượng cao, có khả năng ứng xử linh hoạt và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo trong lao động và cuộc sống. Xuyên suốt chương trình môn Toán 11 (chương trình Giáo dục Phổ thông 2018) là các bài toán gắn liền với thực tiễn, gắn liền với cuộc sống con người. Đặc 5
biệt, các bài toán về chủ đề hàm số mũ, hàm số lôgarit tương đối đa dạng, phong phú. Khi học chủ đề này, học sinh có thể vận dụng kiến thức và kỹ năng Toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn liên môn như bài toán về cường độ âm, bài toán dân số, biến đổi khí hậu, nồng độ PH, các bài toán về tài chính, kinh tế... Để nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11, chúng tôi đã xây dựng đề tài: “Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit”. 2. Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit. 3. Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu qua thực tiễn dạy học chương trình Toán lớp 11 ở trường THPT của chúng tôi nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho các em. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài tập trung làm rõ một số vấn đề sau: - Nghiên cứu lý luận và xác định một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giảng dạy môn Toán lớp 11 chương trình 2018 - Trên cơ sở lý luận và một số biện pháp đã được xác định, chúng tôi đề xuất phương án nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về cơ sở pháp lý, các tài liệu giáo dục học, tâm lý học, các tạp chí, sách, báo, internet tham khảo có liên quan tới vấn đề nghiên cứu. - Điều tra quan sát: Điều tra, khảo sát thực tế đối với học sinh trong nhà trường; phỏng vấn giáo viên ở các trường THPT trong huyện. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm đề tài vào thực tiễn để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài cũng như tiếp tục bổ sung, hoàn thiện. - Phương pháp thống kê toán học. Sử dụng công cụ toán học thống kê, xử lí các số liệu điều tra và kết quả thực nghiệm 6
6. Điểm mới của đề tài Đề tài nghiên cứu các giải pháp nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số lôgarit của chương trình Giáo dục phổ thông 2018. Đặc biệt, đề tài hướng tới cách giải quyết các bài toán thực tiễn liên môn (Vật lí, Địa lí, Sinh học, Hóa học, Tài chính) nhằm giúp các em có năng lực giải quyết các các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Đề tài khai thác một số bài toán trong các kỳ thi đánh giá tư duy, đánh giá năng lực của các trường Đại học liên quan đến chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit giúp các em có định hướng tốt, chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. 1. Cơ sở lý luận Một trong các năng lực chung quan trọng mà chương trình giáo dục phổ thông 2018 hướng tới, và luôn được nhà trường cũng như giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển xuyên suốt trong cả quá trình dạy học đó là năng lực Giải quyết vấn đề và sáng tạo. Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018, NLGQVĐ&ST trong dạy học được xác định là khả năng: Nhận ra ý tưởng mới; Phát hiện và làm rõ vấn đề; Hình thành và triển khai ý tưởng mới; Đề xuất, lựa chọn giải pháp; Thiết kế và tổ chức hoạt động; Tư duy độc lập. Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú trọng nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Đặc biệt là khả năng ứng dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề thực tiễn. Có thể nói chỉ khi có được khả năng nhận thức vấn đề, khả năng suy nghĩ phương án giải quyết vấn đề, khả năng thực hiện phương án giải quyết thì lúc đó mới gọi là có năng lực giải quyết vấn đề. Thông qua việc giải quyết vấn đề, HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương pháp nhận thức. Vì vậy “giải quyết vấn đề” không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị trí hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội. 1.1. Năng lực giải quyết vấn đề. 1.1.1. Khái niệm năng lực giải quyết vấn đề Vấn đề nói chung là một câu hỏi mà chủ thể của vấn đề chưa có câu trả lời, một bài toán chưa có cách giải quyết, chưa có lời giải. Ở góc độ triết học, vấn đề chứa đựng mâu thuẫn giữa nhiệm vụ phải giải quyết và năng lực hiện thời của chủ thể. Giải quyết vấn đề chính là quá trình chủ thể giải quyết mâu thuẫn nói trên, tìm được câu trả lời cho câu hỏi hay bài toán đặt ra. Kết quả của giải quyết vấn đề là sản phẩm mới về vật chất, tinh thần. 7
Đối với mỗi cá nhân, cuộc đời là một chuỗi các vấn đề, hạnh phúc của con người chính là giải quyết thành công các vấn đề của cá nhân trong mối liên hệ với công việc, với xã hội và với tự nhiên. Ở tuổi đi học, nhà trường cần hình thành cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề, để khi vào đời cá nhân có thể tự lực giải quyết các vấn đề của mình, lập thân lập nghiệp, sống hạnh phúc theo đúng nghĩa. Theo định nghĩa trong đánh giá PISA (2012): “Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng của một cá nhân hiểu và giải quyết tình huống có vấn đề khi mà giải pháp giải quyết chưa rõ ràng. Nó bao gồm sự sẵn sàng tham gia vào giải quyết tình huống vấn đề đó – thể hiện tiềm năng là công dân tích cực và xây dựng”. “Giải quyết vấn đề là hoạt động trí tuệ được coi là trình độ phức tạp và cao nhất về nhận thức, vì cần huy động tất cả các năng lực trí tuệ của cá nhân. Để giải quyết vấn đề, chủ thể phải huy động trí nhớ, tri giác, lý luận, khái niệm hóa, ngôn ngữ, đồng thời sử dụng cả cảm xúc, động cơ, niềm tin ở năng lực bản thân và khả năng kiểm soát được tình thế” (Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, 2012, Xã hội học tập – học tập suốt đời). Từ những định nghĩa trên, chúng ta có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề của học sinh là khả năng của học sinh phối hợp vận dụng những kinh nghiệm bản thân, kiến thức, kĩ năng của các môn học trong chương trình trung học phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống của các em với thái độ tích cực. 1.1.2. Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề Giải quyết vấn đề là thiết lập và thực hiện những biện pháp thích ứng để hóa giải các khó khăn, trở ngại, giải đáp được câu hỏi hay bài toán đặt ra. Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề dự kiến phát triển ở học sinh gồm 4 thành tố, mỗi thành tố bao gồm một số hành vi cá nhân khi làm việc độc lập hoặc khi làm việc nhóm trong quá trình giải quyết vấn đề. Cụ thể là: - Tìm hiểu, khám phá vấn đề: nhận biết vấn đề, phân tích được tình huống cụ thể, phát hiện được tình huống có vấn đề, chia sẻ sự am hiểu về vấn đề với người khác. - Thiết lập không gian vấn đề: lựa chọn, sắp xếp, tích hợp thông tin với kiến thức đã học. Xác định thông tin, biết tìm hiểu các thông tin có liên quan, từ đó xác định cách thức, quy trình, chiến lược giải quyết và thống nhất cách hành động. - Lập kế hoạch và thực hiện giải pháp: + Lập kế hoạch: thiết lập tiến trình thực hiện (thu thập dữ liệu, thảo luận, xin ý kiến, giải quyết các mục tiêu…), thời điểm giải quyết từng mục tiêu. + Thực hiện kế hoạch: thực hiện và trình bày giải pháp, điều chỉnh kế hoạch để phù hợp với thực tiễn và không gian vấn đề khi có sự thay đổi. 8
- Đánh giá và phản ánh giải pháp: Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề. Suy ngẫm về cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề. Điều chỉnh và vận dụng trong tình huống mới, xác nhận những kiến thức và kinh nghiệm thu được. Đề xuất giải pháp cho những vấn đề tương tự. 1.1.3. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề + Đối với học sinh: - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS hiểu và nắm chắc nội dung cơ bản của bài học; từ đó giúp HS mở rộng và nâng cao vốn kiến thức của bản thân. - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS biết vận dụng những kiến thức được học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn của cuộc sống. - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp HS hình thành kỹ năng giao tiếp, tổ chức, khả năng tư duy, tinh thần hợp tác, hoà nhập cộng đồng. + Đối với giáo viên - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp GV có thể đánh giá một cách khá chính xác khả năng tiếp thu của HS và trình độ tư duy của họ, tạo điều kiện cho việc đánh giá HS và dạy học phân hóa hợp lí. - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề giúp cho GV phát hiện ra những năng lực cá nhân, thiên hướng phát triển của HS từ đó định hướng HS phát huy tối đa ưu điểm của bản thân. - Giúp GV dễ dàng biết được năng lực nhận xét, đánh giá, khả năng vận dụng lý luận vào thực tiễn xã hội của HS. Từ đây định hướng phương pháp giáo dục tư tưởng học tập cho HS. 1.2. Các mục tiêu cần đạt khi dạy học chủ đề Hàm số mũ, hàm số logarit a. Về kiến thức: - Học sinh nắm vững các kiến thức về : Lũy thừa với số mũ thực (định nghĩa, tính chất). Hàm số lũy thừa: tập xác định, đạo hàm, chiều biến thiên, đồ thị; Logarit và các quy tắc tính logarit; Hàm số mũ và hàm số logarit: tập xác định, đạo hàm, chiều biến thiên, dạng đồ thị; Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ và bất phương trình logarit. - Sử dụng thành thạo các quy tắc tính lũy thừa và logarit để tính các biểu thức; giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản. -Vận dụng giải quyết một số vấn đề liên môn hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với chương hàm số mũ, hàm số logarit. 9
b. Về năng lực: Năng lực Yêu cầu cần đạt Năng lực đặc thù -Nghe hiểu, đọc hiểu, trình bày, diễn đạt được các nội dung liên quan hàm số mũ, hàm số logarit. Năng lực giao tiếp -Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, toán học thảo luận, tranh luận các nội dung liên quan hàm số mũ, hàm số logarit. Năng lực tư duy và Học sinh so sánh, phân tích, lập luận để chứng minh một số lập luận toán học công thức mũ, công thức logarit Năng lực giải Học sinh sử dụng công thức mũ, công thức logarit để giải quyết vấn đề toán toán, giải quyết các bài toán thực tiễn liên môn. học - Thiết lập được mô hình Toán học. Năng lực mô hình - Giải quyết được vấn đề Toán học vào thực tiễn hóa toán học. Năng lực sử dụng Học sinh sử dụng máy tính cầm tay để tính toán, phần mềm công cụ GeoGebra để vẽ đồ thị, thước để vẽ hình. Năng lực chung Năng lực tự chủ và Tự giải quyết các bài tập trắc nghiệm và bài tập về nhà. tự học Năng lực giao tiếp Tương tác tích cực của các thành viên trong nhóm khi thực và hợp tác hiện nhiệm vụ hợp tác. c. Về phẩm chất: - Chăm chỉ tìm hiểu tài liệu, kiến thức về hàm số mũ, hàm số logarit, ứng dụng của hàm số mũ, hàm số logarit để giải quyết các bài toán trong thực tế, qua đó nhận thức được tầm Trách nhiệm quan trọng của toán học với đời sống. - Có ý thức hỗ trợ, hợp tác với các thành viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ. Có ý thức tôn trọng ý kiến của các thành viên trong nhóm Nhân ái khi hợp tác. 2. Cơ sở thực tiễn. Qua thực tế dạy học ở trường THPT, bản thân chúng tôi nhận thấy năng lực giải quyết vấn đề của học sinh vẫn còn hạn chế, đặc biệt là năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. Đa số các em chỉ biết áp dụng các công thức để tính toán, giải phương trình thông thường; khi gặp bài toán có tính thực 10
tiễn lại tỏ ra lúng túng, chưa tìm được mối liên hệ giữa kiến thức đã học với tình huống thực tiễn của bài toán nên không giải quyết được những bài toán thực tiễn liên môn; dẫn đến hiệu quả của việc dạy học chưa cao. Vì vậy để nâng cao hiệu quả dạy học, thì giáo viên cần chú ý hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh để các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán cũng như các vấn đề khác nhau trong cuộc sống. Chương 2: Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chương hàm số mũ, hàm số logarit. Để học sinh có thể vận dụng được các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tiễn, liên môn, thì trước hết học sinh cần có năng lực giải quyết vấn đề từ các bài toán trong nội bộ toán học. 2.1. Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh từ các bài toán trong nội bộ toán học. Khi dạy học chủ đề “Hàm số mũ, hàm số logarit”, chúng ta cần trang bị cho học sinh năng lực giải quyết một số các dạng toán dưới đây. 2.1.1. Dạng toán về lũy thừa với số mũ thực. Sau khi học sinh học xong định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số mũ thực, chúng ta trang bị cho học sinh năng lực giải quyết một số bài toán cơ bản sau đây: Dạng toán 1: Tính giá trị của biểu thức Đây là bài toán cơ bản quan trọng nhất của bài lũy thừa với số mũ thực, nhằm giúp học sinh vừa nắm vững định nghĩa, vừa củng cố được các tính chất của lũy thừa. Là dạng toán cơ bản, phương pháp giải cũng đơn giản, nên chúng ta dễ dàng hướng dẫn học sinh có lời giải đúng. 5  2 x  2 x Bài toán 1. Cho 4 x  4 x  7 . Tính giá trị của biểu thức P  8  4.2 x  4.2 x Để giải được ví dụ này, học sinh cần nhận ra mối liên hệ giữa giả thiết và biểu thức cần tính giá trị. Chúng ta hướng dẫn học sinh dùng hằng đẳng thức biến đổi giả thiết. Ta hi vọng học sinh có lời giải đúng như sau: Ta có: 4 x  4  x  7   2 x  2  x   9  2 x  2  x  3. 2 5  2 x  2 x 53 Suy ra P    2. 8  4.2 x  4.2 x 8  12 11
5  2 x  2 x a a Bài toán 2. Cho 4 x  4 x  7 . Khi đó biểu thức P   với tối giản và 3 2  2 x 1 1 x b b a  , b    . Tính tổng a  b ? Với giả thiết tương tự như ở ví dụ 1, nên học sinh dễ dàng biến đổi, tuy nhiên, để có thể sử dụng được giả thiết sau khi đã biến đổi, học sinh cần biến đổi biểu thức cần tính về dạng có chứa biểu thức có chứa giả thiết (sau khi đã được biến đổi). Chúng ta định hướng và mong muốn học sinh có lời giải đúng như sau: Ta có:  2 x  2  x   4 x  4  x  2.2 x.2  x  7  2  9 . Suy ra: 2 x  2 x  3 . 2 5  2 x  2 x 5   2 x  2 x  53 2 P    3 2  2 x 1 1 x 3  2  2  2  3  2.3 9 x x Suy ra: a  2 , b  9  a  b  11 . Dạng toán 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức. Sau khi học sinh được rèn luyện một số kĩ năng biến đổi lũy thừa trong bài toán tính giá trị của biểu thức, chúng ta hướng dẫn học sinh giải một số ví dụ về bài toán biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa, nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững và vận dụng thành thạo các tính chất của lũy thừa vào giải toán. Từ đó có thể vận dụng giải quyết các bài toán thực tiễn và liên môn. 1 x3 6 x Bài toán 1. Rút gọn biểu thức P  4 , với x  0 . x Để rút gọn được biểu thức chứa lũy thừa, chúng ta yêu cầu học sinh nắm vững các tính chất của lũy thừa. Với ví dụ này, học sinh dễ dàng biến đổi đúng. 1 1 1 1 1 1 1 x 3 6 x x 3 .x 6   Ta có P  4  1  x3 6 4  x4  4 x . x x4 Chúng ta nâng mức độ khó khăn hơn một chút trong quá trình biến đổi bài toán sau. 1 1 a4 3 b  b4 3 a Bài toán 2. Cho hai số thực dương a, b . Rút gọn biểu thức A  12 ta thu a  12 b được A  a m .bn . Tích của m.n là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 16 18 8 12
Với bài toán này, ngoài sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa với số mũ thực, học sinh còn phải sử dụng kĩ năng đặt nhân tử chung và rút gọn. Chúng ta định hướng giúp học sinh có lời giải đúng như sau: 1 1  1 1  1 a 4 b 4  b12  a 12  1 a b b a 4 3  4 3 1 1   a 4 b 4 . Vậy m.n  1 . 1  1 . Ta có A  12  a  12 b  12 1 1  4 4 16  a  b12    Bằng cách thay đổi câu hỏi nhằm tạo sự chú ý, gây hứng thú cho học sinh trong giờ học, chúng ta đưa ra dạng toán sau: Dạng toán 3. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa Để giải được bài toán so sánh, hs cần nắm vững tính chất bất đẳng thức của lũy thừa. Ở bài toán này, chúng tôi xin đưa ra các ví dụ ở dạng trắc nghiệm để học sinh dễ dàng rèn luyện kĩ năng nhận diện so sánh hơn. Bài toán 1. Cho a  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 1 1 1 3 a2 A.  . B. a  a .3 C. a  3  5. D.  1. a 2016 a 2017 a a Để so sánh hai lũy thừa, chúng ta đưa về cùng cơ số, cần lưu ý cho học sinh chú ý đến cơ số, sau đó xét đến số mũ. 1 1 1 Vì a  1 nên a 3  a 5   5  a 3  . Vậy chọn C a3 a a5 1 1 Bài toán 2. Nếu a 3  a 6 và b 3  b 5 thì A. a  1;0  b  1 . B. a  1; b  1 . C. 0  a  1; b  1 . D. a  1;0  b  1 . Khi cần so sánh cơ số, chúng ta cần chú ý đến chiều của bất đẳng thức và so sánh hai số mũ. 1 1 1 1 Ta có:  , lại có a  a 6  a  1. 3 3 6 Ta có: 3  5 , lại có b 3  b 5  0  b  1 . Vậy chọn D 2.1.2. Dạng toán về logarit. Định nghĩa và các tính chất của logarit là nền tảng cơ bản quan trọng để nghiên cứu các vấn đề tiếp theo như: hàm số mũ và hàm số logarit; phương trình , bất phương 13
trình mũ và logarit. Vì vậy, sau khi học xong kiến thức, chúng ta cần trang bị cho học sinh năng lực giải quyết một số dạng toán cơ bản, giúp học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất của logarit, từ đó học sinh có thể vận dụng giải quyết các bài toán thực tiễn hay ở môn học khác. Chúng ta mở đầu bằng dạng toán cơ bản sau. Dạng toán 1: Tính giá trị biểu thức chứa logarit Bài toán 1. Biết log 2 3  a . Tính log12 18 theo a . Nhận xét: Với bài toán biểu diễn một logarit theo logarit cho trước, học sinh cần nắm vững công thức đổi cơ số. Ta hướng dẫn học sinh có lời giải như sau: log 2 18 log 2  2.3  1  2 log 2 3 1  2a 2 Ta có log12 18     . log 2 12 log 2  3.2 2  2  log 2 3 2a Bài toán 2. Cho a  log 7 5, b  log 3 5 . Tính giá trị biểu thức M  log 21 5 ? Tương tự bài toán biểu diễn logarit theo một logarit cho trước, với bài toán tính giá trị biểu thức logarit theo hai logarit đã cho, chúng ta định hướng để học sinh có lời giải đúng. 1 1 1 Ta có M  log 21 5    log 5 21 log 5 3  log 5 7 1 1  log 3 5 log 7 5 1 log 7 5.log 3 5 ab    . log 7 5  log 3 5 log 7 5  log 3 5. a  b log 7 5.log 3 5. Với mục đích gây hứng thú cho học sinh trong giờ học, chúng ta thay đổi giả thiết và yêu cầu bài toán, chúng ta gợi ý học sinh giải ví dụ sau: 2a  b Bài toán 3. Cho số thực dương a, b thỏa mãn log16 a  log 20 b  log 25 . 3 a Tính tỉ số ? b a Để tính được tỉ số , ta hướng dẫn học sinh cần chuyển a và b về theo một b ẩn. Chúng ta định hướng để học sinh tìm được lời giải hợp lý. 14
a  16 x 2a  b  Đặt log16 a  log 20 b  log 25  x  b  20 x 3 2a  b  3.25 x  x x  16   25  Suy ra 2.16  20  3.25  2.    3.    1  0 x x x  20   20   4  x x x 2x x    1  ktm  4 5 4 4 5  2.   3.    1  0  2.       3  0   5  4 5 5   4 x 3      5 2  x a 16 x  4  3 Vậy  x     b 20  5  2 Sau dạng toán tính giá trị logarit, chúng ta hướng dẫn học sinh giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa logarit. Dạng toán 2: Rút gọn biểu thức. Để giải được bài toán rút gọn biểu thức, học sinh cần nắm vững các tính chất của logarit, để có thể biến đổi biểu thức đã cho về dạng đơn giản nhất. Vì vậy, bài toán này vừa giúp học sinh củng cố kiến thức cơ bản, vừa rèn luyện kĩ năng biến đổi logarit. 4 2 Bài toán 1. Cho x là các số thực khác 0 . Rút gọn biểu thức: P  2log x log x . 16 2 Để giải được ví dụ này, chúng ta định hướng học sinh biến đổi đưa về sử dụng tính chất a log x  x . Đây là ví dụ cần sử dụng tốt tính chất lũy thừa và tính chất a logarit. Chúng ta hi vọng học sinh có lời giải đúng. Với x là các số thực khác 0 , ta có :   1 3 log x4  log 2 x2 4. log 2 x  2log 2 x 3 P2 24 2 4  23log 2 x  2log 2 x  x . Bài toán 2. Cho a, b là các số thực dương và khác 1 . Rút gọn biểu thức:  b3  log a  a 3b 2   log b  2  P a  log a b  1 2 Chỉ cần học sinh nắm vững các tính chất của logarit thì có thể giải được ví dụ này một cách khá dễ dàng. 15
Với a, b là các số thực dương và khác 1 , ta có:  1  2  log a b  log a a  log a b   logb b  log b a 3 2 3 2  3  2 log a b  3  2 log b a   log a b  P   log b  1 2 a log 2 b  1 a log 2 b  1 a  log 2 b  1  2 a    log a b   2  2log a . log 2 b  1 b a log a b Bài toán 3. Cho a , b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab  1 . Rút gọn biểu thức P   log a b  logb a  2  log a b  log ab b  log b a  1 Tương tự như bài toán 2, chỉ cần học sinh nắm vững các tính chất, qui tắc tính logarit thì học sinh có thể dễ dàng giải được ví dụ này. P   log a b  logb a  2  log a b  log ab b  log b a  1  1  log a b    log a b   2   log a b    log b a  1  log a b  log a  ab    log a b  2log a b  1  2 log a b   .  log a b   logb a  1 log a b  1  log a b   log a b  1 2 log 2 b  . a .log b a  1   log a b  1 .log a b.logb a  1  log a b . log a b 1  log a b 2.1.3. Dạng toán về hàm số mũ và hàm số logarit. Để giúp học sinh hiểu được các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit, biết vận dụng vào giải toán, từ đó nâng cao năng lực vận dụng toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn hoặc môn học khác, chúng ta hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán sau khi học sinh đã học xong kiến thức lý thuyết như sau: Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số mũ- hàm số logarit Bài toán tìm tập xác định của hàm số mũ- hàm số logarit cũng là một trong những bài toán thường gặp của phần này. Chúng ta mở đầu với ví dụ đơn giản sau: Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số y  log 2024  3x  x 2  . Với ví dụ đơn giản này, học sinh dễ dàng tìm được lời giải đúng. Hàm số xác định khi: 3x  x 2  0  x   0; 3 . Vậy D   0; 3 16
Chúng ta nâng mức độ khó khăn hơn trong bài toán sau đây. Bài toán 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  log  x 2  2 x  m  1 có tập xác định là  . Với ví dụ này, ngoài việc cần nhớ điều kiện của biểu thức dưới dấu logarit, học sinh còn cần nhớ thêm điều kiện để hàm số bậc hai dương trên  .Ta hi vọng học sinh có lời giải đúng như sau: Điều kiện: x 2  2 x  m  1  0 . Để hàm số có tập xác định là   x 2  2 x  m  1  0 x     1   m  1  0  m  0 . 2 Dạng toán 2. Xét sự biến thiên của hàm số mũ-logarit. Để học sinh dễ dàng vận dụng kiến thức vào giải toán hơn, ở bài toán này, chúng ta hướng dẫn học sinh giải một số ví dụ dưới dạng trắc nghiệm khách quan như sau: Bài toán 1.Trong bốn hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên  ? x x  2025   2024  A. y  2025 . x B. y    C. y  log 2024 x . D. y    .  2024   2025  Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hàm số logarit. Ta hi vọng học sinh chọn được đáp án đúng. Hàm số y  a x nghịch biến trên  khi 0  a  1 và hàm số y  log a x nghịch biến trên khoảng (0; ) khi 0  a  1 . Vậy chọn đáp án D Bài toán 2. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập xác định. x 2 A. y  0.3 . B. y  log 1 x . C. y  log 3 x . x D. y    3 2 3 Cũng tương tự như ví dụ 1, học sinh chỉ cần nắm vững tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit là có thể chọn được đáp án chính xác. 3 Ta có  1 suy ra hàm số y  log 3 x. đồng biến trên tập xác định của nó. 2 2 Vậy chọn đáp án C 17
Dạng toán 3. Đồ thị hàm số mũ- logarit. Ở dạng toán này, chúng ta cũng cho học sinh nhận dạng đồ thị bằng một số ví dụ trắc nghiệm sau đây: Bài toán 1. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào? y 3 O 1 x x x 1 1 A. y  2 .x B. y    . C. y    . D. y  3x 2 3 Từ tính chất của hàm số, chúng ta suy ra được dạng đồ thị, và ngược lại từ đồ thị có thể nhận biết được hàm số. Ta hi vọng học sinh có nhận định đúng như mong muốn. Đồ thị hàm số “đi lên” và qua điểm có tọa độ 1;3 . Vậy chọn đáp án D Bài toán 2. Cho hàm số y  log a x  a  0, a  1 có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của a bằng 1 1 A. a  2 . B. a  . C. a  . D. a  2 2 2 Đồ thị hàm số “đi xuống” và qua điểm có tọa độ  2; 1 . Dễ dàng nhận thấy đáp án B đúng . Bài toán 3. Cho các hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn mệnh đề đúng. 18
A. a  c  b . B. a  b  c . C. c  a  b . D. b  c  a . Đây là bài toán dựa vào đồ thị để so sánh ba cơ số của logarit. Ta định hướng để học sinh có lời giải đúng như sau: Dựa vào đồ thị ta có hàm số y  log b x là một hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó nên 0  b  1 ; hàm số y  log a x , y  log c x là các hàm số đồng biến trên tập xác định của nó nên a , c  1 . Kẻ đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số y  log c x , y  log a x lần lượt tại điểm A  c ;1 và B  a ;1 . Dựa vào đồ thị ta thấy x A  xB  c  a . Vậy a  c  b . Chọn A Bài toán 4. Cho đồ thị hàm số y  a x ; y  b x ; y  log c x như hình vẽ. Tìm mối liên hệ của a, b, c . A. c  b  a . B. b  a  c C. a  b  c . D. c  a  b 19
Nhìn đồ thị ta thấy hàm số y  a x là hàm số đồng biến nên a  1 ; y  b x là hàm số đồng biến nên b  1 ; y  log c x là hàm số nghịch biến nên 0  c  1 do vậy ta có 0  c  a  0  c  b Khi thay x  1 vào hai hàm số y  a x ; y  b x ta thu được a  b vậy c  b  a. Chọn A 2.1.4. Dạng toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Với yêu cầu học sinh giải được các phương trình, bất phương trình mũ –logarit đơn giản và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tiễn hoặc ở môn học khác có liên quan, chúng ta hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán đơn giản sau đây: Dạng toán 1: Phương trình mũ. x 2  x 5 2 x 3 Bài toán 1. Giải phương trình    2 3     2  3 Với ví dụ này, chúng ta chỉ cần gợi ý học sinh đưa về cùng cơ số là dễ dàng tìm được nghiệm. x 2  x 5 2 x 3 x 2  x 5 2 x 3 Ta có    2 3 3 3          x 2  x  5  2 x  3 2  3 2 2 x  1  x2  x  2  0   .  x  2 Bài toán 2. Giải phương trình: 5x 1  5x  2 x 1  2 x 3 Cũng tương tự như ví dụ 1, chúng ta định hướng học sinh biến đổi đưa về cùng cơ số. Ta có: 5x 1  5x  2 x 1  2 x 3  5.5x  5x  2.2 x  23.2 x x  5  10 5  4.5  10.2     x x   x  1 . Vậy phương trình cho có nghiệm x  1. 2 4 2 Chúng ta nâng dần mức độ khó khăn, rèn luyện kỹ năng biến đổi cho học sinh thông qua các ví dụ sau: 2 Bài toán 3. Tìm m để phương trình 5mx  2 x 3 2 m  5m  x có hai nghiệm trái dấu 20