Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân loại và hệ thống các dạng toán phần quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 trung học phổ thông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Việc hệ thống hóa và phân loại các dạng bài tập phần quan hệ vuông góc trong không gian giúp học sinh dễ hiểu, phát triển tư duy logic, kĩ năng vẽ hình, phân tích, tổng hợp khi làm hình học không gian. Với mỗi dạng toán tác giả phân tích cụ thể, rõ ràng để học sinh hiểu được bản chất của bài toán giúp học sinh có kĩ năng lập luận, trình bày chặt chẽ khi chứng minh hình học, từ đó giúp học sinh có hứng thú, chủ động, tích cực trong học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân loại và hệ thống các dạng toán phần quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 trung học phổ thông

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tác giả nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Hình học không gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ giáo dục, nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng khi làm hai câu trong về hình học không gian trong đề thi đại học. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tác giả cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tác giả nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng. Xuất phát từ thực tế giảng dạy và nghiên cứu của bản thân, tác giả lựa chọn đề tài: “Phân loại và hệ thống các dạng toán phần quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 trung học phổ thông”. 2. Mục đích nghiên cứu
2 Việc hệ thống hóa và phân loại các dạng bài tập phần quan hệ vuông góc trong không gian giúp học sinh dễ hiểu, phát triển tư duy logic, kĩ năng vẽ hình, phân tích, tổng hợp khi làm hình học không gian. Với mỗi dạng toán tác giả phân tích cụ thể, rõ ràng để học sinh hiểu được bản chất của bài toán giúp học sinh có kĩ năng lập luận, trình bày chặt chẽ khi chứng minh hình học, từ đó giúp học sinh có hứng thú, chủ động, tích cực trong học tập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận và thực tiễn - Phân loại và hệ thống các dạng bài tập phần quan hệ vuông góc lớp 11 trung học phổ thông. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong dạy học. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu chương quan hệ vuông góc trong không gian trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản 5. Mẫu khảo sát Học sinh lớp 11A1, 11A2 trường THPT Thanh Oai A- Thanh Oai - Hà Nội. 6. Vấn đề nghiên cứu Làm thế nào để học sinh có kĩ năng giải toán hình học không gian phần quan hệ vuông góc trong không gian trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 ban cơ bản. 7. Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu lý luận
3 - Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục môn Toán, tâm lí học, lý luận dạy học môn Toán - Nghiên cứu chương quan hệ vuông góc trong khôn gian sách giáo khoa lớp 11 ban cơ bản. b) Phương pháp quan sát - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Quan sát quá trình học tập và lĩnh hội tri thức của học sinh trong quá trình học tập. - Kiểm tra, đánh giá mức độ học tập của học sinh từ đó tìm ra được những điểm yếu của học sinh khi giải toán hình học không gian phần quan hệ vuông góc. c) Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. - Có đánh giá sự tiến bộ của học sinh khi áp dụng đề tài đối với học sinh trước và sau khi áp dụng giữa các lớp được phân công giảng dạy. 8. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3 chương: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2. Phân loại và hệ thống các dạng toán phần quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 trung học phổ thông. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I. Cơ sở lý luận Để giải được các bài toán hình học không gian phần quan hệ vuông góc thì học sinh cần phải nắm vững các định nghĩa, định lí và tính chất có liên quan. Kiến thức học sinh cần phải nắm được trong chương quan hệ vuông góc trong không gian gồm các nội dung dưới đây. 1. Các định nghĩa  Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. a  b  (a, b)  900  Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. a  ( )  b  ( ) : a  b  Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. ( )  (  )  (( ),(  ))  900 .  Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.  Định nghĩa 5: . Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 900. . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).
5  Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.  Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆)  Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).  Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.  Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 2. Các định lý thường được sử dụng a b    Định lí 1: a, b  ( P)   d  ( P) d  a, d  b   a  ( P)    Định li 2: d  ( P)   d  a a  ( P)    Định lí 3: d  ( P)  +   d '  ( P) d '/ / d  ( P) / /(Q)  +   d  (Q ) d  ( P)  d / /( P)  +  d' d d '  ( P)  d  ( P)   Định lí 4:   ( P )  (Q) d  (Q) 
6 ( P)  (Q)  ( P)  (Q)      Định lí 5:   d  (Q) d  ( P)  d    ( P)  (Q)      Định lí 6: ( P)  ( R)     ( R) (Q)  ( R)   II. Cơ sở thực tiễn Trong thực tiễn giảng dạy tác giả nhận thấy đa số học sinh còn lúng túng và chưa có kĩ năng về vẽ hình, trình bày và lập luận khi giải các bài toán về chứng minh vuông góc, xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian…Một trong những nguyên nhân mà học sinh còn yếu khi giải toán hình không gian là do học sinh không nắm vững lí thuyết, chưa hiểu rõ bản chất của các định lý, định nghĩa. Trong quá trình dạy học tác giả nhận thấy học sinh thường gặp những vấn đề sau: Học sinh không biết vẽ hình không gian, không tưởng tượng được hình không gian; học sinh không hiểu nhưng chưa biết cách trình bày; học sinh không biết dựng góc, dựng khoảng cách, xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng… Tác giả thực hiện kiểm tra đánh giá trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm (đề kiểm tra đính kèm trong phần phụ lục, kết quả kiểm tra thể hiện ở chương 3). Tổng kết chương 1 Trong chương này đề tài nêu lên các kiến thức trọng tâm của chương quan hệ vuông góc trong không gian. Đồng thời qua thực tế giảng dạy, kiểm tra đánh giá tác giả đã tìm ra được những vướng mắc, khó khăn của học sinh khi học sinh khi làm các bài tập về phần quan hệ vuông góc trong không gian.
7 CHƯƠNG 2 PHÂN LOẠI VÀ HỆ THỐNG CÁC DẠNG TOÁN PHẦN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG I. Các dạng toán về chứng minh vuông góc 1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1.1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt 1.2. Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, SA  ( ABC ) a) Chứng minh rằng: BC  ( SAC ) b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  ( SBC ) c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF  ( SAB) Giải: a) Ta có: BC  AC ( gt ) (1) SA  ( ABC )  Mặt khác, vì   SA  BC (2) BC  ( ABC )  Từ (1) và (2) suy ra: BC  ( SAB)
8 b) Ta có: AE  SC (3) (gt) S D Theo a) BC  ( SAB)  AE  BC (4) H E Từ (3) và (4) suy ra: AE  ( SBC ) A B c) Ta thấy: ( P)  ( ADE ) C Theo b) AE  ( SBC )  BC  AE (5) F Trong mp(ADE) kẻ ( ADE )  ( SAB)   EH  AD, H  AD . Vì ( ADE )  ( SAB)  AD   EH  ( SAB)  SB  EH (6) EH  AD   Từ (5) và (6) suy ra: SB  ( ADE ) hay SB  ( P) SA  ( ABC )  d) Từ   AF  SA (7) AF  ( ABC )  Theo c) SB  ( ADE )  AF  SB (8) . Từ (7) và (8) suy ra: AF  ( SAB) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều, ( SAB)  ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: FC  ( SID)
9 Giải: Ta có: S SI  AB   ( SAB)  ( ABCD)   SI  ( ABCD) SI  ( SAB)    SI  CF (1) F D Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và A H DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó, I AID  DFC từ đó ta có: B C I1  F1  F  A D  D2  C2   F1  D2  90 0 1 2  I1  D2  900  H  1  FHD  900 I 2 Hay CF  ID (2) B C Từ (1) và (2) suy ra: FC  ( SID) 2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 2.1. Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông góc có trong hình học phẳng 2.2. Các ví dụ mẫu:
10 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA  ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông S Giải: Ta có: SA  ( ABCD)    SA  CD(1) CD  ( ABCD )  I D A + Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông. Do đó, ACI  450 (*). Mặt khác, B C CID là tam giác vuông cân tại I nên: BCI  450 (*). Từ (*) và (**) suy ra: ACD  900 hay AC  CD (2) Từ (1) và (2) suy ra: CD  ( SAC )  CD  SC hay ∆SCD vuông tại C Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, E S N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN  BD P M Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD. A D IN / / AC  Ta có:   BD  IN (1) I O AC  BD  B N C IM / / BE  Mặt khác,   IM / / PO(*) BE / / PO  Mà PO  BD(**) (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
11 Từ (*) và (**) ta có: BD  IM (2) Từ (1) và (2) ta có: BD  ( IMN )  BD  MN Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: + Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì BD  AC nên chọn mp chứa MN và vuông góc với BD là mp(IMN)) + Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song. a / /b  + Sử dụng định lý: b c a  c Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, ( SAD)  ( ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: AM  BP S Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, M H là trung điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH. A B K Xét hai tam giác vuông ABN và BCP H I N có: AB=BC, BN=CP. Suy ra, ABN  BCP D P C  BAN  CBP, ANB  BPC mà BAN  ANB  900  CBP  ANB  900 hay AN  BP (1) SH  AD   Vì ∆SAD đều nên: ( SAD)  ( ABCD)   SH  BP(*) . BP  ( ABCD)  
12 Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay MK / / SH (**) Từ (*) và (**) suy ra: BP  MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM 3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 3.1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3 3.2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy S ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng: ( SBD)  ( ABCD) Giải:+ Ta có: AC  BD (1) (giả thiết) D C + Mặt khác, SO  AC (2) (SAC là tam O giác cân tại A và O là trung điểm của AC A B nên SO là đường cao của tam giác) + Từ (1) và (2) suy ra: AC  ( SBD) mà AC  ( ABCD) nên ( SBD)  ( ABCD)
13 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD  a 2 , SA  ( ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: ( SAC )  ( SMB) S Giải: + Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BM (1) . + Xét tam giác vuông ABM có: A AB M D tan AMB   2. Xét tam giác AM I CD 1 vuông ACD có: tan CAD   . Ta AD 2 B C có: cot AIM  cot(1800  ( AMB  CAD))   cot( AMB  CAD)  0  AIM  900 Hay BM  AC (2) . + Từ (1) và (2) suy ra: BM  ( SAC ) mà BM  ( SAC ) nên ( SAC )  ( SMB) 4. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là a 6 trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, SD  ( ABC ), SD  . 2 Chứng minh rằng: a) ( SBC )  ( SAD) b) ( SAB)  ( SAC )
14 Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC). b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI. Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB). b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC. Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi O. Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC  (AID). b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mp(ABC). Chứng minh rằng: a) BC  (OAH).
15 b) H là trực tâm của tam giác ABC. 1 1 1 1 c)    . OH 2 OA2 OB2 OC 2 Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC. Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) CMR: SH  (ABCD). b) Chứng minh: AC  SK vaø CK  SD. Bài tập 9: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD. a) Chứng minh: AB  (BCD). b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). c) Gọi O và H lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  (ADC). Bài tập 10: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD). a) Chứng minh (SAC)  (SBD).
16 b) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). Bài tập 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a (ABCD). Gọi M, N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh BC, DC sao cho BM = 2 3a , DN = . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. 4 Bài tập 12: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC). a) Chứng minh (ABB)  (ACC). b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK). II. Các dạng toán về góc 1. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng 1.1. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a) *) Chú ý: Các định lý hay sử dụng