Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài toán hình học không gian trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Đặc biệt, đối với học sinh lớp 11 và lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT năm 2021, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT MÔN: TOÁN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT MÔN: TOÁN Tác giả: Trần Đình Hiền Tổ: Toán Năm thực hiện 2020 - 2021 SĐT liên hệ: 0949 996 500
MỤC LỤC Trang PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 I. Lý do chọn đề tài 1 II. Mục đích nghiên cứu 1 III. Đối tượng nghiên cứu 2 IV. Kế hoạch nghiên cứu 2 V. Phương pháp nghiên cứu 2 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng 3 II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra 3 III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả 3 IV. Cơ sở lý luận 3 1. Năng lực toán học 3 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh 5 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được 5 V. Nội dung đề tài 5 1. Khái quát hóa bài toán hình học phẳng thành bài toán hình học 7 không gian 1.1. Khái quát hóa bài toán liên quan đến trọng tâm, trực tâm, tỷ số 7 thể tích, tâm tỷ cự … 1.2. Khái quát hóa bài toán liên quan đến quỹ tích 21 2. Tương tự hóa bài toán hình học không gian thành bài toán mới 26 2.1. Tương tự hóa bài toán bằng cách thay đổi giả thiết 26 2.2. Tương tự hóa bài toán bằng cách hoán đổi giữa giả thiết và kết 31 luận 3. Phát triển bài toán hình học tổng hợp thành bài toán mới 34 3.1. Phát triển thành bài toán hình học giải tích 34 3.2. Phát triển thành bài toán số phức 36 3.3. Phát triển thành bài toán hình học không gian 38 4. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện 44 PHẦN III. KẾT LUẬN 51 I. Những kết luận 51 II. Những kiến nghị đề xuất 51 Danh mục tài liệu tham khảo
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi luôn tự hỏi làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực toán học đòi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh. Dạy học dựa trên phát triển năng lực (trong đó có dạy học dựa trên phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học) là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. Trong số những bài toán hình học không gian của đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, học sinh giỏi các tỉnh/thành phố có nhiều bài toán được khái quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài toán đơn giản, nhưng những bài toán đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình: “Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận một số bài toán hình học không gian trong đề thi thử TN THPT trên toàn quốc, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Đặc biệt, đối với học sinh lớp 11 và lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi TN THPT năm 2021, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố. 1
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. Học sinh lớp 11 và lớp 12 THPT. Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT. IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU. Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khác nhau để hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp trong quá trình học tập, giải quyết các bài toán hình học không gian. Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy, Cô môn Toán trong tổ, ngoài trường và trên các diễn đàn toán học. Đề tài được thực hiện trong năm học 2020-2021 với kế hoạch cụ thể. TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm Từ 20/9/2020 Chọn đề tài Đăng ký đề tài SKKN 1 đến 2/11/2020 Từ 3/11/2020 đến Viết đề cương nghiên cứu Trình xét duyệt bản 2 15/12/2020 đề cương SKKN Từ 16/12/2020 Đọc tài liệu lý thuyết viết Tập hợp tài liệu lý 3 đến 30/12/2020 cơ sở lý luận thuyết Từ 1/1/2021 Trao đổi với đồng nghiệp Tập hợp ý kiến đóng 4 đến 15/1/2021 và đề xuất sáng kiến góp của đồng nghiệp Từ 16/1/2021 Dạy thử nghiệm tại các lớp Thống kê các kết quả 5 đến 30/1/2021 12A, 12D, 12E trường thử nghiệm THPT Đặng Thúc Hứa Từ 1/2/2021 Dạy thử nghiệm tại các lớp Thống kê các kết quả 6 đến 6/3/2021 11 và 12 trường THPT thử nghiệm huyện Thanh Chương Từ 7/3/2021 Hoàn thiện đề tài nghiên Hoàn thành SKKN 7 đến 20/3/2021 cứu V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan đến bài toán hình học không gian, phát triển bài toán thành các bài toán mới, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. Giảng dạy tại các lớp 11 và lớp 12 trường THPT Đặng Thúc Hứa. Phối hợp với giáo viên môn Toán trường THPT trong huyện Thanh Chương, trong tỉnh Nghệ An để dạy thử nghiệm tại các lớp 11 và lớp 12. 2
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG. Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá. Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực tư duy và lập luận toán học, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán. Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và giáo viên Toán THPT trên địa bàn huyện Thanh Chương về nội dung hình học không gian, chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán dạng này. II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA. Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy. Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học, giải quyết được các vấn đề đặt ra và 50% trong số đó biết cách tìm tòi, xây dựng những bài toán tương tự, bài toán mới. Trong các kỳ thi thử TN THPT trên toàn quốc có 90% học sinh các lớp được dạy thử nghiệm có thể giải quyết những bài toán hình học không gian. III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ. Đề tài là tài liệu tham khảo ôn thi TN THPT, thi học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố cho các học sinh đang học lớp 11 và lớp 12 THPT. Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho giáo viên Toán ở trường THPT. Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán. IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN. 1. Năng lực toán học. Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận 3
nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 1.1. Năng lực tư duy toán học. Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. 1.2. Năng lực lập luận toán học. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh. 4
2.1. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; không chỉ coi trọng tính logic của khoa học toán học mà cần chú ý cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh. 2.2. Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”. Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề. 2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực. Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác. 2.4. Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học. Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định đối với môn Toán; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả. 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh thực hiện được trong năng lực tư duy và lập luận toán học. Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch. Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi kết luận. Giải thích và điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương tiện toán học. V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong các đề thi thử TN THPT, học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố có nhiều bài toán được khái quát hóa, tương tự hóa hoặc đặc biệt hóa từ những bài toán đơn giản, nhưng những bài toán đó đã gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Ví dụ 1: [Câu 45 – THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) lần 1 năm 2020] Cho hình chóp S .ABC có SA vuông góc với (ABC ), AB  3, AC  2 và BAC  600. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A lên cạnh SB, SC . Tính bán 5
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCNM . 21 4 A. R  2. B. R  . C. R  . D. R  1. 3 3 Ví dụ 2 [THPT Thạch Thành 1- Thanh Hóa – 2021] Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác thỏa mãn AB  a, AC  a 2, BAC  1350, tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và (SAB ) bằng 300. Thể tích V của khối chóp S .ABC bằng a3 6 a3 a3 6 a3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 3 3 6 Ví dụ 3: [Câu 47 – Khối THPT chuyên Đại học Vinh lần 1 năm 2018] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6; 2), B(5;10; 9) và mặt phẳng () : 2x  2y  z  12  0. Điểm M di động trên mặt phẳng () sao cho MA, MB luôn tạo với () các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn () cố định. Hoành độ của tâm đường tròn () bằng 9 A. – 4. B. . C. 2. D. 10. 2 Ví dụ 4: [Câu 5.b HSG lớp 11 vòng 2 năm 2020 - trường THPT Đặng Thúc Hứa] Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm G, cạnh AB  a; O là tâm của tam giác BCD và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (BCD ) . Gọi H , K , L lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng (ACD ),(ABD ),(ABC ) . Chứng minh đường thẳng GM luôn đi qua trọng tâm E của tam giác HKL. Ví dụ 5: [Câu 3 HSG lớp 11 vòng 4 năm học 2015-2016 THPT Đô Lương 1] Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm cách đều A, B,C , D. Gọi ma , mb , mc , md là độ dài các đường trọng tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C , D và R là khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh đó và thỏa mãn 3(ma  mb  mc  md )  16R. Chứng minh rằng AB  CD, BC  AD, CA  BD. (trọng tuyến của tứ diện là đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện). Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh ở nội dung hình học không gian, nhiều giáo viên gặp khó khăn khi lập luận, giải thích để học sinh hiểu; phần lớn học sinh lớp 11, 12 không biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích, lập luận của giáo viên, bạn bè. Trong đề tài này việc phát triển năng lực tư duy, lập luận toán học dựa trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến bản chất bên trong. Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, tương tự hóa, 6
đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán học. 1. Khái quát hóa bài toán hình học phẳng thành bài toán hình không gian. 1.1. Khái quát hóa bài toán liên quan đến trọng tâm, trực tâm, thẳng hàng, tỷ số thể tích, tâm tỷ cự… Bài toán 1: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC có trọng Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và E tâm G và M là trung điểm của là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi M , N cạnh BC . lần lượt là trung điểm của AB,CD. Định nghĩa 1: Ba đường Định nghĩa 1: Bốn đường đường trọng trung tuyến đồng quy tại trọng tuyến đồng quy tại trọng tâm G của tứ tâm G . diện.      Định nghĩa 2: Định nghĩa 2: GA  GB  GC  GD  0     GA  GB  GC  0   Tính chất: AG  2GM . Tính chất 1: G là trung điểm của đoạn thẳng MN .   Tính chất 2: AG  3GE . GY: Bài toán trong không gian Tính chất 1: Do M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD nên       GA  GB  2GM , GC  GD  2GN .      Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên GA  GB  GC  GD  0 , ta    có 2GM  2GN  0 suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng MN . Tính chất 2: Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus ta có AM BN EG   . .  1  AG  3GE , do đó AG  3GE . MB NE GA Cách 2: Dựng điểm MF song song với AE (trong đó F  BN ). Áp dụng 1 1 1   định lý Thales GE  MF  . AE  AE  4GE  AG  3GE . 2 2 2  Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa định nghĩa trọng tâm và 7
các tính chất của trọng tâm tam giác trong hình học phẳng thành định nghĩa trọng tâm và tính chất trọng tâm của tứ diện trong hình học không gian.  Phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học qua bài toán sử dụng tính chất của trọng tâm tứ diện Bài tập áp dụng 1.1: Cho tứ diện ABCD . Tìm điểm M trong không gian sao cho biểu thức T  MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập áp dụng 1.2: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  c, AD  BC  b, AC  BD  a, các đường trọng tuyến AA ', BB ' cắt nhau tại trọng tâm G của tứ diện. Biết AA ' và BB ' vuông góc với nhau, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. a 2  b 2  3c 2 . B. a.c  3b 2 . C. (a  b)2  3c 2 . D. a 2  c 2  3ac. Bài tập áp dụng 1.3: [HSG Kon Tum - 2007] Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S ) . Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD , các đường thẳng AG, BG,CG, DG lần lượt cắt mặt cầu (S ) tại các điểm thứ hai A ', B ',C ', D ' . Chứng minh VABCD  VA ' B 'C ' D ' . Bài toán 2: Các đường cao của tứ diện bất kỳ có đồng quy tại một điểm không? Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC . Cho tứ diện ABCD bất kỳ. Ba đường cao đồng Điều kiện cần và đủ để các đường cao của tứ quy tại trực tâm H . diện đồng quy tại một điểm (gọi là tứ diện trực tâm) là: a) Các cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau. b) Một đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt này. c) Tổng bình phương của các cạnh chéo nhau thì bằng nhau. d) Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh chéo nhau thì bằng nhau. GY: Bài toán trong không gian Gọi E, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (BCD ) và (ACD ) và H là giao điểm của AE và BK . 8
a) Do đó CD  AE ,CD  AK  CD  (ABH )  CD  AB. b) Theo câu a) CD  (ABE )  CD  BE . Tương tự BC  DE . Do đó E là trực tâm của tam giác BCD. c)         AB 2  CD 2  AC 2  BD 2  (AB  AC )(AB  AC )  (CD  BD )(CD  BD )  0          CB(AB  AC )  CB(CD  BD )  0  2CB.AD  0  AD  BC . d) Gọi P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, AB, AC , BD . Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác và áp dụng câu c). AP 2  BP 2 AB 2 (AC 2  BD 2 )  (AD 2  BC 2 )  (AB 2  CD 2 ) PQ 2    2 4 4 (AB 2  CD 2 )  (AD 2  BC 2 )  (AD 2  BD 2 )   RS 2 . 4  Học sinh hiểu được khả năng khái quát tứ diện trực tâm và các tính chất trong hình học không gian. Bài toán 3: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC có R, r lần Cho tứ diện ABCD có R, r lần lượt là lượt là bán kính đường tròn ngoại bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tiếp và nội tiếp tam giác. tứ diện. Chứng minh: R  2r . Chứng minh: R  3r . GY: Bài toán trong không gian Gọi A ', B ',C ', D ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC và G,O, I lần lượt là trọng tâm, tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 1 Xét phép vị tự tâm G, tỷ số k   , V 1 : A  A ' … biến tứ diện 3 (G ,k  ) 3 ABCD thành tứ diện A ' B ' C ' D '. Gọi R ' là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' B 'C ' D ' , khi đó R  3R ' và R '  r . Do đó R  3r, dấu bằng xảy ra khi ABCD là tứ diện đều.  Để khái quát bài toán trong hình học phẳng sang bài toán trong hình 9
học không gian học sinh phải nắm vững phép vị tự và các tính chất. Bài toán 4: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC vuông tại Cho hình chóp O.ABC có OA,OB,OC A có đường cao AH . đôi một vuông góc và OH là đường cao của hình chóp. Tính chất 1: Tính chất 1: 1 1 1 1 1 1 1 2  2     AH AB AC 2 OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 Tính chất 2: (ĐL Pythagoras) Tính chất 2: 2 2 2 AB  AC  BC S 2 OAB  S 2 OAC  S 2 OBC  S 2 ABC Tính chất 3: H là trực tâm của tam giác ABC . GY: Bài toán trong không gian Tính chất 1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên cạnh AB. Tam giác OAB vuông tại O, có đường cao OK ; tam giác OKC vuông tại O, có 1 1 1 1 1 1 đường cao OH . Do đó 2  2  2  2  2  OH OK OC OA OB OC 2 1 1 Tính chất 2: S 2 ABC  CK 2 .AB 2  (OC 2  OK 2 ).AB 2 4 4 1 1  OC 2 (OA2  OB 2 )  OK 2 .AB 2  S 2 OAB  S 2 OBC  S 2 OCA 4 4  Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa độ dài đường cao của tam giác vuông trong hình học phẳng thành độ dài đường cao của tam diện vuông trong hình học không gian. Bài tập áp dụng 4.1: Cho hình chóp O.ABC có OC vuông góc với mặt phẳng (OAB ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC ). 1 1 1 1 Biết 2  2  2  . Chứng minh tam giác OAB vuông tại O. OH OA OB OC 2 Bài tập áp dụng 4.2: [HSG Nam Định 2020] Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC ; V là thể tích khối chóp O.ABC và h là chiều cao của khối chóp O.ABC kẻ từ đỉnh O. Giá trị nhỏ nhất 10
V (h  r ) của biểu thức bằng R 2hr 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Bài tập áp dụng 4.3: Cho tứ diện gần đều ABCD có đường cao AH ,(H  (BCD )) , H 1 là trực tâm của tam giác BCD, O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng O1 là trung điểm của đoạn thẳng HH 1. Bài toán 5: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi Cho hình hộp chữ nhật   BAC ,   DAC . ABCD.A ' B 'C ' D '. Gọi   BAC ',   DAC ',   A ' AC '. Tính chất: cos2   cos2   1. Tính chất: cos2   cos2   cos2   1. GY: Bài toán trong không gian AB 2 AD 2 AA '2 cos2   , cos 2   , cos 2   AC '2 AC '2 AC '2 2 2 AB 22 AD 2 AA '2 Do đó cos   cos   cos      1. AC '2 AC '2 AC '2  Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa tính chất trong hình học phẳng thành tính chất trong hình học không gian. Bài tập áp dụng 5.1: Cho tứ diện đều ABCD. Mặt phẳng (P ) chứa cạnh CD cắt cạnh AB tại E . Gọi ,  lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng (P ) với các mặt phẳng (BCD ) và (ACD ). Giá trị biểu thức T  cos(   ) bằng. 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 6 Bài tập áp dụng 5.2: [HSG Bắc Ninh - 2019] Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH . Mặt phẳng (P ) chứa cạnh AH cắt các cạnh BC ,CD, BD lần lượt tại M , N , P. Gọi , ,  lần lượt là góc tạo bởi AM , AN , AP với mặt phẳng (BCD ) . Chứng minh rằng tan2   tan2   tan2   12. Bài toán 6: Trong mặt phẳng Trong không gian 11
Cho tam giác ABC Cho đa giác A1A2 ...An nằm trên mặt phẳng vuông tại A có đường cao (P ) và có diện tích S , đa giác A' A' ...A' là hình 1 2 n AH . chiếu vuông góc của đa giác A1A2 ...An lên mặt phẳng (Q ). Đa giác A1' A2' ...An' có diện tích S ' , góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q ) bằng . Hệ thức lượng trong tam Định lý hình chiếu: giác vuông: S '  S .cos  AB  BC .cos B  Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa định lý hình chiếu trong hình học phẳng thành định lý hình chiếu trong hình học không gian. Bài tập áp dụng 6.1: Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a, BAC  1200, BB '  a. Gọi M là trung điểm của CC '. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (AB ' M ) và (ABC ). Giá trị cos  bằng. 10 3 30 3 A. . B. . C. . D. . 10 3 10 6 Bài toán 7: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác OAB , một đường Cho tứ diện S .ABC , một mặt phẳng thẳng bất kỳ cắt hai cạnh OA,OB bất kỳ cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại lần lượt tại A, B. A ', B ',C '. Tỷ số diện tích: Tỷ số thể tích: S OA ' B ' OA ' OB ' VS .A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  .  . . . S OAB OA OB VS .ABC SA SB SC GY: Bài toán trong không gian 12
1 1 VS.A' B 'C ' VA'.SB 'C ' dtSB 'C '.d(A',(SBC)) SB'.SC '.sinBSC d(A',(SBC)) SA'.SB '.SC '  3 2 .  VS.ABC VA.SB 'C ' 1 1 d(A,(SBC)) SASBSC . . dtSBC.d(A,(SBC)) SBSC . .sinBSC 3 2  Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa tỷ số diện tích trong hình học phẳng thành tỷ số thể tích trong hình học không gian. Bài tập áp dụng 7.1: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P ) cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt tại A ', B ',C ', D '. SA SC SB SD Đặt x  ;y  ;u  ;v  . Chứng minh rằng SA ' SC ' SB ' SD ' SA SC SB SD a)    . SA ' SC ' SB ' SD ' VS .A ' B 'C ' D ' x y u v b)  . VS .ABCD 4xyuv Bài toán 8: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC , M là điểm Cho hình chóp S .ABC , M là điểm thuộc cạnh BC . Qua M kẻ các nằm trong tam giác ABC . Qua M kẻ đường thẳng song song với các đường thẳng song song với AB, AC , chúng cắt các cạnh SA, SB, SC , chúng cắt các mặt phẳng AC , AB lần lượt tại B ',C '. Chứng (SBC ), (SCA), (SAB ) lần lượt tại minh rằng khi M thay đổi thì biểu A ', B ',C '. Chứng minh rằng khi M MB ' MC ' thay đổi thì biểu thức thức  là hằng số. AB AC MA ' MB ' MC '   là hằng số. SA SB SC GY: Bài toán trong không gian VM .SAB VM .SAC VM .SBC VS .ABC  VM .SAB VM .SAC  VM .SBC     1. VC .SAB VB .SAC VA.SBC MF ME MD MA ' MB ' MC '    1    1. CF BE AD SA SB SC  Học sinh hiểu được khả năng khái quát hóa tỷ số độ dài đoạn thẳng trong hình học phẳng thành tỷ số độ dài đoạn thẳng trong hình học không 13
gian. Bài tập áp dụng 8.1: [HSG Cụm trường Cầu Giấy – Hà Nội 2020] Cho hình chóp S .ABC , M là điểm nằm trong tam giác ABC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC , chúng cắt các mặt phẳng (SBC ), (SCA), (SAB ) lần lượt tại A ', B ',C '. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức SA SB SC T    bằng. MA ' MB ' MC ' A. 3 3. B. 3. C. 6 3. D. 6. Bài tập áp dụng 8.2: [HSG THPT Lê Hồng Phong 2020, HSG Gia Lai 2020] Cho điểm M nằm trong tứ diện ABCD . Các đường thẳng MA, MB, BC , MD lần lượt cắt (BCD ),(ACD ),(ABD ),(ABC ) tại A ', B ', C ', D ' thỏa MA MB MC MD mãn     12. Gọi V ,V1 lần lượt là thể tích khối tứ diện MA ' MB ' MC ' MD ' V ABCD, MBCD. Tỷ số bằng V1 3 A. 2. B. 3. C. 4. D. . 2 Bài toán 9: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC . M là điểm Cho tứ diện ABCD bất kỳ. M là điểm bất kỳ trong tam giác. Gọi bất kỳ trong tứ diện. Gọi A ', B ',C ', D ' A ', B ',C ' lần lượt là hình chiếu của lần lượt là hình chiếu của M lên các M lên cạnh BC ,CA, AB ( ha , hb , hc mặt phẳng (BCD ),(CDA),(ABD ),(ABC ). lần lượt là độ dài đường cao của Gọi ha , hb , hc , hd lần lượt là độ dài đường tam giác kẻ từ các đỉnh A, B,C ). cao của tứ diện kẻ từ các đỉnh A, B,C , D. MA ' MB ' MC ' MA ' MB ' MC ' MD '    1.     1. ha hb hc ha hb hc hd GY: Bài toán trong không gian VM .BCD VM .ACD VM .ACD VM .ABC VM .BCD VM .ACD VM .ACD  VM .ABC  V     1 V V V V 14
MA ' MB ' MC ' MD ' Do đó     1. ha hb hc hd  Học sinh hiểu được khả năng khái quát tính chất tỷ số diện tích trong hình học phẳng sang tính chất tỷ số thể tích trong hình học không gian. Bài tập áp dụng 9.1: [HSG An Giang 2020] Cho M là điểm bất kỳ trong tứ diện ABCD . Gọi ka , kb , kc , kd lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng (BCD ),(CDA),(ABD ),(ABC ). Chứng minh rằng MA  MB  MC  MD  2 ka kb  2 ka kc  2 ka kd  2 kbkc  2 kbkd  2 kckd . Bài toán 10: Trong mặt phẳng Trong không gian a) Nếu điểm M thuộc đường a) Nếu điểm M thuộc mặt phẳng thẳng AB thì có hai số x , y mà (ABC ) thì có ba số x , y, z mà x y  1 sao cho x  y  z  1 sao cho        OM  xOA  yOB, với mọi điểm O. OM  xOA  yOB  zOC , với mọi điểm O. b) Nếu có điểm O thỏa mãn b) Nếu có điểm O thỏa mãn             OM  xOA  yOB  OM  xOA  yOB  zOC  thì điểm M  thì điểm  x y 1  x y z 1     thuộc đường thẳng AB. M thuộc mặt phẳng (ABC ). GY: Bài toán trong không gian a) Do M thuộc mặt phẳng (ABC ) nên có 2 số x , y sao cho        CM  xCA  yCB  OM  xOA  yOB  (1  x  y )OC . Đặt z  1x y ,      x  y  z  1 , vì vậy OM  xOA  yOB  zOC .        b) OM  xOA  yOB  (1  x  y )OC  CM  xCA  yCB , do đó M thuộc mặt phẳng (ABC ).  Học sinh hiểu được khả năng khái quát tính chất ba điểm thẳng hàng trong hình học phẳng thành tính chất bốn điểm đồng phẳng trong hình học không gian. Bài tập áp dụng 10.1: Cho tứ diện SABC có trọng tâm G . Mặt phẳng (P ) bất kỳ đi qua G , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ',C '. Giá trị của SA SB SC biểu thức T    bằng SA ' SB ' SC ' A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Bài tập áp dụng 10.2: [HSG THPT Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc 2020] Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của SG . Mặt phẳng (P ) bất kỳ đi qua M , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ',C '. 15
SA SB SC Giá trị của biểu thức T    bằng SA ' SB ' SC ' A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Bài toán 11: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC có M là Cho tứ diện ABCD có M là điểm bất điểm bất kỳ trong tam giác. kỳ trong tứ diện.          SMBC .MA  SMCA.MB  SMAB .MC  0 VM.BCD.MAVM.ACD.MB VM.ABD.MC VM.ABC.MD  0 GY: Bài toán trong không gian Dựng hình hộp AB ' HC '.D ' KMI .         Giả thiết VM.BCD.MA VM.ACD.(MA  AB) VM.ABD.(MA  AC) VM.ABC .(MA AD)  0.      V .AM  VM .ACD .AB VM .ABD .AC VM .ABC .AD  V  V  V   AM  M .ACD AB  M .ABD AC  M .ABC AD V V V  AB '  AC '  AD '       AM  .AB  AC  AD  AM  AB '  AC '  AD '. AB AC AD Bài toán 12: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác đều ABC và M Cho tứ diện đều ABCD và M là một là một điểm thay đổi nhưng luôn điểm thay đổi nhưng luôn nằm trong tứ nằm trong tam giác ABC . Gọi diện ABCD. Gọi A , B ,C , D lần lượt là 1 1 1 1 A ', B ',C ' là các điểm đối xứng của hình chiếu của M lên các mặt phẳng M lần lượt qua BC ,CA, AB. (BCD ),(ACD ),(ABD ),(ABC ). Gọi A ', B ',C ', D ' là các điểm thỏa mãn       MA '  3MA1, MB '  3MB1, MC '  3MC 1,   MD '  3MD1, Chứng minh rằng khi M thay đổi Chứng minh rằng khi M thay đổi trọng tâm của tam giác A ' B 'C ' trọng tâm của tứ diện A ' B 'C ' D ' vẫn cố vẫn cố định. định. 16
GY: Bài toán trong không gian Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Gọi AE , BF ,CK , DI là đường cao của tứ diện. Ta có AE  BF  CK  DI .         Ta có MA '  MB '  MC '  MD '  3(MA1  MB1  MC 1  MD1 ) MA1  MB1  MC 1  MD1   3( .AE  .BF  .CK  .MI ) AE BF CK DI V  V  V  V   3( M .BCD .AE  M .ACD .BF  M .ABD .CK  M .ABC .MI ) V V V V 4        (VM .BCDGA VM .ACDGB  VM .ABDGC VM .ABC GD ) V 4    (VM .BCD VM .ACD VM .ABD VM .ABC )GM V 4       (VM .BCD MA VM .ACD MB VM .ABD MC VM .ABC MD )  4MG . V Do đó tứ diện A ' B 'C ' D ' có trọng tâm G cố định.  Để khái quát bài toán trong hình học phẳng sang bài toán trong hình học không gian học sinh phải nắm vững bản chất của lời giải bài toán trong hình học phẳng, từ đó thay đổi tỷ số độ dài của vectơ trong không gian. Bài toán 13: Trong mặt phẳng Trong không gian Cho tam giác ABC có Cho tứ diện trực tâm ABCD có O, H ,G, M lần lượt là tâm đường O, H ,G, I lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tròn ngoại tiếp của tam giác tiếp tứ diện ABCD , trực tâm của tứ diện ABC , trực tâm của tam giác ABCD , trọng tâm tứ diện ABCD, tâm ABC , trọng tâm tam giác ABC , trung điểm cạnh BC . Đường cao đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. AK cắt đường tròn ngoại tiếp tại Đường cao AK cắt mặt cầu ngoại tiếp tại E. E . A1 đối xứng với A qua trọng tâm G . Chứng minh: Chứng minh: a) GH  2GO. a) GH  GO. b) AH  2OM . b) AH  OA1. c) KE  KH . c) KE  2HK . 17